Bootstrapping (Zinsen)

Bootstrapping ist ein Verfahren, mit dem risikofreie Zinssätze aus Renditen von Kuponanleihen, welche an effizienten Märkten gehandelt werden, hergeleitet werden können. Mit den hergeleiteten Zinssätzen lässt sich dann die Zinsstrukturkurve darstellen. Mittels des Bootstrapping-Verfahrens ist es möglich, das sogenannte Wiederanlagerisiko zu eliminieren. Bootstrapping ist nicht mit Nullkuponanleihen möglich, da diese nicht an effizienten Märkten gehandelt werden.

Beim Bootstrapping wird zunächst der risikofreie Zinssatz der kleinsten Periode, also beginnend am kurzen Ende der Zinsstruktur, hergeleitet und dann sukzessiv um die nächstlängere Periode erweitert.

Verfahren

Das Vorgehen kann wie folgt beschrieben werden:

Aus der Rendite einer einjährigen Kuponanleihe erhält man den einjährigen risikofreien Zinssatz, aus einer zweijährigen Kuponanleihe in Verbindung mit der einjährigen Kuponanleihe erhält man den zweijährigen risikofreien Zinssatz usw.

Formel

$r_n=\sqrt[n]{\frac{N+k}{(K-\frac{k}{(1+r_1{)}^1}-\frac{k}{(1+r_2{)}^2}-\dots -\frac{k}{(1+r_{n-1}{)}^{n-1}})}}-1$

mit:

$K$ = Kurs einer Anleihe (entspricht dem Barwert einer Anleihe)

$k$ = Kupon einer Anleihe

$N$ = Nennwert einer Anleihe

$R$ = Rendite einer Anleihe

$r$ = risikofreier Zinssatz

Annahme: $r_1=R_1$

Beispiel

Gegeben sei der Kurs einer Anleihe (100 GE) sowie die 1-jährige Rendite einer Anleihe (1 %), die 2-jährige Rendite einer Anleihe (3 %) und die 3-jährige Rendite einer Anleihe (5 %). Zunächst werden nur die ersten zwei Jahre betrachtet und damit folgende Form gebildet:

$100=\frac{3}{(1+0,01{)}^1}+\frac{103}{(1+r_2{)}^2}$.

Durch einfache Umformung erhält man

$r_2=\sqrt{\frac{103}{100-\frac{3}{1,01}}}-1$.

Man erhält den risikofreien Zinssatz $r_2$ von ca. 3,03 %.

Um nun den risikofreien Zinssatz $r_3$ zu ermitteln wird, basierend auf dem risikofreien Zinssatz $r_2$, die Rendite der 3-jährigen Anleihe in der Formel hinzugefügt:

$100=\frac{5}{(1+0,01{)}^1}+\frac{5}{(1+0,0303{)}^2}+\frac{105}{(1+r_3{)}^3}$.

Durch Umformung erhält man

$r_3=\sqrt[3]{\frac{105}{(100-\frac{5}{1,01}-\frac{5}{1,0303^2})}}-1$.

Man erhält den risikofreien Zinssatz $r_3$ von ca. 5,14 %.

Literatur

• William F. Sharpe, Gordon J. Alexander, Jeffery V. Bailey: Investments. Prentice Hall International, 1998. ISBN 0-13-011507-X
• Klaus Spremann, Pascal Gantenbein: Zinsen, Anleihen, Kredite. Oldenbourg, 2007, S. 122, ISBN 3486583735 Google Books