Symmetrische Algebra

Eine symmetrische Algebra ist ein Hilfsmittel zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Symmetrische Algebren spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Formale Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Weiter sei

$T^k(V)=\underset{k\text{-mal}}{\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}}$

das $k$-fache Tensorprodukt von $V$ mit den Konventionen $T^0(V)=K$ und $T^1(V)=V$. Die direkte Summe

$T(V)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{T}^k(V)$

ist die Tensoralgebra von $V$.

Das zweiseitige, homogene Ideal $I(V)\subseteq T(V)$ sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit „vertauschter Reihenfolge“:

$I(V):=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{v\otimes w-w\otimes v|v,w\in V\}$.

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

$S(V)=T(V)/I(V)$.

Die $k$-te symmetrische Potenz von $V$ ist definiert als das Bild von $T^k(V)$ in $S(V)$, sie wird mit $S^k(V)$ bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

$S(V)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{S}^k(V)$.

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als $ab$ geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Beispiele

Für $V=K$ ist $S(V)$ isomorph zum Polynomring $K[X]$.

Allgemein kann man die Elemente von $S(V)$ als Polynome in den Elementen einer fest gewählten $K$-Basis von $V$ interpretieren.

Speziell für $V:=𝔤𝔩(n,K)=\mathrm{Mat}(n,K)$, den Vektorraum der $n\times n$-Matrizen über $K$, kann man die Elemente von $S(V)$ als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

$S(𝔤𝔩(n,K))\simeq K[x_{11},\dots ,x_{nn}]$.

Polynome über Vektorräumen

Homogene Polynome vom Grad $k$ über einem $𝕂$-Vektorraum $V$ sind – per Definition – die Elemente aus $S^k(V^{*})$, wobei $V^{*}$ den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

$P:\underset{k\text{-mal}}{\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}}\to 𝕂$

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe $S_k$ invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte $P(x,x,\dots ,x)$ für alle $x\in V$ bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

$S^k(V^{*})\otimes S^l(V^{*})\to S^{k+l}(V^{*})$

ist definiert durch

$(PQ)(v_1,\dots ,v_{k+l})=\frac{1}{(k+l)!}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\dots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+l)})$.

Siehe auch

• Graßmann-Algebra

Literatur

• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3