Lehmer-Mittel

In der Mathematik ist das Lehmer-Mittel ein nach Derrick Henry Lehmer benannter, verallgemeinerter Mittelwert.

Definition

Das Lehmer-Mittel $n$ positiver reeller Zahlen $a_1,\dots ,a_n$ zur Stufe $p$ ist wie folgt definiert:

$L_p(a_1,\dots ,a_n)=\frac{\sum _{k=1}^n{a}_k^p}{\sum _{k=1}^n{a}_k^{p-1}}.$

Es gibt auch eine Form des Lehmer-Mittels mit (positiven) Gewichten $w=(w_1,\dots ,w_n)$. Das gewichtete Lehmer-Mittel ist:

$L_{p,w}(a_1,\dots ,a_n)=\frac{\sum _{k=1}^n{w}_k{a}_k^p}{\sum _{k=1}^n{w}_k{a}_k^{p-1}}.$

Eigenschaften

Für das Lehmer-Mittel gilt

• $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{L}_p(a_1,\dots ,a_n)=\min \{a_1,\dots ,a_n\}$ ist der Minimalwert.
• $L_0(a_1,\dots ,a_n)=\frac{n}{\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$ ist das harmonische Mittel.
• Für $n=2$ ist $L_{\frac{1}{2}}(a_1,a_2)=\frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}{\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}}=\sqrt{a_1{a}_2}$ das geometrische Mittel.
• $L_1(a_1,\dots ,a_n)=\frac{\sum _{k=1}^n{a}_k}{n}=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$ ist das arithmetische Mittel.
• $L_2(a_1,\dots ,a_n)=\frac{\sum _{k=1}^n{a}_k^2}{a_1+\cdots +a_n}$ ist das schon Eudoxos von Knidos bekannte kontraharmonische Mittel.
• $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{L}_p(a_1,\dots ,a_n)=\max \{a_1,\dots ,a_n\}$ ist der Maximalwert.

Das kontraharmonische Mittel ist im Gegensatz zu den anderen fünf Spezialfällen nicht monoton, d. h. aus $a_i\le b_i$ für alle $i$ folgt nicht $L_2(a_1,\dots ,a_n)\le L_2(b_1,\dots ,b_n)$.

Literatur

• D. H. Lehmer: On the compounding of certain means. J. Math. Anal. Appl. 36 (1971) S. 183–200
• P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub. 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).