Isogenie

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus $\varphi :A\to B$ von Abelschen Varietäten $A$ und $B$ eine Isogenie, wenn $\varphi$ surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie $\varphi :A\to B$, so heißen die Abelschen Varietäten $A$ und $B$ isogen. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.

Definition

Sind $A$ und $B$ Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus $\varphi :A\to B$ äquivalent:

• $\varphi$ ist eine Isogenie, das heißt $\varphi$ ist surjektiv und der Kern von $\varphi$ ist endlich.
• $A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und $\varphi$ ist surjektiv.
• $A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und der Kern von $\varphi$ ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man $A$ und $B$ isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Literatur

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