Formelsammlung Analysis

Folgen und Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folge

$a_{n+1}-a_n=d\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}n$

$a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n+1})$

$a_n=a_1+(n-1)d$

Geometrische Folge

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}n,q\in ℝ\setminus \{0\}$

$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Grenzwerte: Definition (Folgen)

• Die Folge $(a_n)$ heißt Nullfolge, wenn es zu jedem $ϵ>0$ eine Nummer $n_0$ gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also $n>n_0$ gilt:

$|a_n|<ϵ$

• Eine Folge $(a_n)$ hat den Grenzwert a, wenn die Folge $(a_n-a)$ den Grenzwert 0 hat.
• Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
• Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl $K>0$ gibt, sodass $|f_n|<K$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

Hat die Folge $(a_n)$ den Grenzwert a, die Folge $(b_n)$ den Grenzwert b, so gilt:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n\pm b_n)=a\pm b$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n\cdot b_n)=a\cdot b$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}b=0$

Funktionen (formale Eigenschaften)

Grenzwerte von Funktionen

• [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Regel von de L’Hospital

Sei $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.$

Voraussetzungen:

• Es gibt eine Stelle $a$, sodass $u(a)$ und $v(a)$ entweder Null sind oder bestimmt divergieren
• $u$ und $v$ sind in einer Umgebung von $a$ differenzierbar
• Der Grenzwert $\underset{x\to a}{\lim }\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}$ existiert.

Dann gilt:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}$

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion $f:X\to ℝ$ hat für $x\to p+$ den Limes $L$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt, sodass für alle $x$-Werte aus dem Definitionsbereich $X$ von $f$, die der Bedingung $0<x-p<\delta$ genügen, auch $|f(x)-L|<\epsilon$ gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\underset{x\to p+}{\lim }f(x):=L$ konvergent.

Stetigkeit

Eine Funktion $f$ heißt an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn der Grenzwert von $f$ für $x$ gegen $x_0$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_0)$ übereinstimmt

$f(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }f(x_0+h)=\underset{h\to 0}{\lim }f(x_0-h)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

• Epsilon-Delta-Kriterium:$f:D\to ℝ$ ist stetig in $x_0\in D$, wenn
  zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_0|<\delta$ gilt: $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.
• Folgenkriterium: $f:D\to ℝ$ ist stetig in $x_0\in D$, wenn für jede Folge $(x_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ mit Elementen $x_k\in D$, die gegen $x_0$ konvergiert, auch $f(x_k)$ gegen $f(x_0)$ konvergiert.

Grundlegendes

Zwischenwertsatz

Eine im Intervall $[a,b]$ ($a<b$) stetige Funktion $f$ nimmt jeden Funktionswert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in $I$ stetige Funktion, bei der $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

Extremwertsatz

Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

Mittelwertsatz

Es sei $f:[a,b]\to ℝ$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ ($a<b$) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein $x_0\in (a,b)$, so dass

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

gilt.

Differentialrechnung

Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion $f$ ist genau dann differenzierbar an einer Stelle $x_0$ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$.

Geometrisches: Tangenten

Tangentengleichung zu $f$ im Punkt $P(x_0|f(x_0))$

$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Normale (Senkrechte)

$y=\frac{-1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$

Ableitungsregeln

Konstante Funktion

$\left(a\right)=0$

Faktorregel

$(a\cdot f{)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }$

Summenregel

$(g\pm h)=g^{\prime }\pm h^{\prime }$

Produktregel

$(g\cdot h{)}^{\prime }=g^{\prime }\cdot h+g\cdot h^{\prime }$

Quotientenregel

$\left(\frac{g}{h}\right)=\frac{g^{\prime }\cdot h-g\cdot h^{\prime }}{h^2}$

Potenzregel

$\left(x^n\right)=n{x}^{n-1}$

Kettenregel

$(g\circ h{)}^{\prime }(x)=(g(h(x)){)}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Ableitung der Potenzfunktion $f(x)=g(x{)}^{h(x)}$

$f^{\prime }(x)=(h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)})g(x{)}^{h(x)}$.

Leibnizsche Regel

Die Ableitung $n$-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei $n$-fach differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$ ergibt sich aus

$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$.

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ sind Binomialkoeffizienten.

Formel von Faà di Bruno

Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der $n$-ten Ableitung der Komposition zweier $n$-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

Betrachtet wird $f:x\mapsto f(x)$

Untersuchungsaspekt	Kriterium
Nullstelle	$f(x_N)=0$
Extremwert	$f^{\prime }(x_E)=0\text{und}{f}^{″}(x_E)\ne 0$
Minimum	$f^{\prime }(x_E)=0\text{und}{f}^{″}(x_E)>0$
Maximum	$f^{\prime }(x_E)=0\text{und}{f}^{″}(x_E)<0$
Wendepunkt	$f^{″}(x_W)=0\text{und}{f}^{‴}(x_W)\ne 0$
Sattelpunkt	$f^{\prime }(x_W)=0\text{und}{f}^{″}(x_W)=0\text{und}{f}^{‴}(x_W)\ne 0$
Verhalten im Unendlichen	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)\text{und}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)	$f(x)=f(-x)$
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)	$-f(x)=f(-x)$
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend	$f^{\prime }(x)\ge 0\text{bzw.}{f}^{\prime }(x)>0$
monoton fallend bzw. streng monoton fallend	$f^{\prime }(x)\le 0\text{und}{f}^{\prime }(x)<0$
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)	$f^{″}(x)\ge 0$
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)	$f^{″}(x)\le 0$
Periodizität	$f(x+p)=f(x)$

Gebrochenrationale Funktionen

Funktionsterm:

$f(x)=\frac{a_z{x}^z+a_{z-1}{x}^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\frac{P_z(x)}{Q_n(x)}$

• Einteilung
  • Ist das Nennerpolynom $Q_n$ vom Grad 0 (also n = 0 und b₀ ≠ 0) und ist $P_z$ nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
  • Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
• Definitionsbereich
  • $𝔻=ℝ\setminus \{x_0\mid Q_n(x_0)=0\}$
• Asymptotisches Verhalten: Für $x\to \mathrm{\infty }$ strebt $f(x)$
  • [falls $z>n$] gegen $\mathrm{sgn}(a_z)\cdot \mathrm{sgn}(b_n)\cdot \mathrm{\infty }$, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
  • [falls $z=n$] gegen $\frac{a_z}{b_n}$
  • [falls $z<n$] gegen 0 (die x-Achse)
• Symmetrie
  • Sind $P_z$ und $Q_n$ beide gerade oder beide ungerade, so ist $f$ gerade (symmetrisch zur y-Achse).
  • Ist $P_z$ gerade und $Q_n$ ungerade, so ist $f$ ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn $P_z$ ungerade und $Q_n$ gerade ist.
• Polstellen: $x_p$ heißt Polstelle von $f$, wenn
  • $Q_n(x_p)=0\text{und}{P}_z(x_p)\ne 0.$
• Asymptoten: Mittels Polynomdivision von $p$ durch $q$ erhält man $p=g\cdot q+r$ mit Polynomen $g$ und $r$, wobei der Grad von $r$ kleiner als der von $q$ ist. Das asymptotische Verhalten von $f=\frac{p}{q}=g+\frac{r}{q}$ ist damit durch die ganzrationale Funktion $g$ bestimmt:
  • $[z<n]$ x-Achse ist Asymptote: $g(x)=0$
  • $[z=n]$ waagerechte Asymptote: $g(x)=\frac{a_z}{b_n}$
  • $[z=n+1]$ schräge Asymptote: $g(x)=mx+c;m\ne 0$
  • $[z>n+1]$ ganzrationale Näherungsfunktion

Integralrechnung

Flächenberechnung

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,\text{falls }f(x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in [a,b]$
• $-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,\text{falls }f(x)\le 0\mathrm{\forall }x\in [a,b]$
• Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=0$

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,a<b<c$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}k\cdot f(x)\mathrm{d}x=k\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$

Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralfunktion

$F_a(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

$F_a(x{)}^{\prime }=f(x)$

Stammfunktion

Jede Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt

$F^{\prime }(x)=f(x)$

Dies bezeichnet der Ausdruck $\int f(x)\mathrm{d}x$

Integration

Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

Spezielle Stammfunktionen

Die Stammfunktionen von $f(x)=x^n$ sind

$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,n=-1$

Alles Weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

Produkt-, Teil- oder partielle Integration

• unbestimmt

  $\int f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)\cdot g(x)-\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x$

  $\int f(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x=f(x)\cdot G(x)-\int f^{\prime }(x)\cdot G(x)\mathrm{d}x$

• bestimmt

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\cdot g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[f(x)\cdot g(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x$

Integration durch Substitution

• unbestimmt

  $\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

• bestimmt

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

• Spezialfall: lineare Substitution

  $\int f(mx+n)\mathrm{d}x=\frac{1}{m}F(mx+n)+C,m\ne 0$

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(mx+n)\mathrm{d}x=\frac{1}{m}[F(mx+n){]}_a^b,m\ne 0$

• Spezialfall: logarithmische Integration

  $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln |f(x)|+C,f(x)\ne 0$

Angewandtes

Volumenbestimmung

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]

  $\pi \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]

  $\pi \cdot \underset{f(a)}{\overset{f(b)}{\int }}(f^{-1}(y){)}^2\mathrm{d}y$

• Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, entsteht

  $2\pi \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}(x\cdot f(x))\mathrm{d}x$

Guldinsche Regeln

$M$ Oberflächeninhalt

$V$ Volumen

$L$ Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

$A$ Flächeninhalt der erzeugenden Fläche

$R$ Radius des Schwerpunktkreises

Erste Regel

$M=L\cdot 2\pi R$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

• bei Rotation um die x-Achse

  $M=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\sqrt{1+{[f^{\prime }(x)]}^2}\mathrm{d}x.$

• bei Rotation um die y-Achse

  $M=2\pi \underset{\min (f(a),f(b))}{\overset{\max (f(a),f(b))}{\int }}{f}^{-1}(y)\sqrt{1+{\left[(f^{-1}(y))\right]}^2}\mathrm{d}y.$

Zweite Regel

$V=A\cdot 2\pi R.$

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen $f(x)$, der x-Achse und den Grenzen $x=a$ und $x=b$ ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch $f(x)$ mit $R$ als Flächenschwerpunkt zu

$V=A\cdot 2\pi \frac{1}{A}\underset{A}{\int }y\mathrm{d}A=\pi \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x){)}^2\mathrm{d}x$

mit $y=\frac{f(x)}{2}$ und $\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x.$

Weiteres

• Ist f auf [a,b] stetig, so heißt $\overline{m}$ der Mittelwert der Funktionswerte von f auf $[a,b]$

  $\overline{m}=\frac{1}{b-a}\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

• Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:

  $L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

• Zerlegungssummen

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx hf(x_1)+hf(x_2)+\cdots +hf(x_n)\text{mit }h=\frac{b-a}{n}$

• Keplersche Fassregel

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{1}{6}\cdot (f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b))$

• Trapezregel
  • Sehnentrapez

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{f(b)+f(a)}{2}\cdot (b-a)$

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{2n}(f(x_0)+2f(x_1)+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_n))$

  • Tangententrapez

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{2}\cdot \frac{b-a}{2}$

• Simpsonregel

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{6}\cdot (f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b))$

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{6n}\cdot (f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots f(x_n))$

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.