Endlich erzeugte Gruppe

Eine endlich erzeugte Gruppe ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Es handelt sich um einen Spezialfall einer Gruppe.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt endlich erzeugt (oder auch: endlich erzeugbar), falls es eine endliche Teilmenge $S\subset G$ gibt, die $G$ erzeugt. Dies bedeutet, dass $G$ die kleinste Untergruppe von $G$ ist, die $S$ enthält. Die Teilmenge $S$ nennt man Erzeugendensystem von $G$.

Bemerkungen

• Mit $⟨S⟩$ notiert man oftmals die von $S$ erzeugte Gruppe. Das Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe ist jedoch nicht eindeutig.
• In der Algebra betrachtet man insbesondere endlich erzeugte abelsche Gruppen, da man diese recht einfach klassifizieren kann.
• Die endlichen Gruppen sind insbesondere endlich erzeugt, die Endlichkeit der Gruppe ist hinreichend für ihre endliche Erzeugbarkeit, aber nicht notwendig.
• Notwendig für die endliche Erzeugbarkeit ist, dass die Gruppe eine abzählbare Menge ist. Dies ist aber nicht hinreichend.

Beispiele und Gegenbeispiele

• Die ganzen Zahlen $(\mathbb{Z},+)$ sind eine endlich erzeugte Gruppe mit Erzeugendensystem $\{1\}$.
• Allgemeiner sind alle zyklischen Gruppen endlich erzeugte Gruppen.
• Die Menge der positiven rationalen Zahlen $({\mathbb{Q}}^{+},\cdot )$ bildet mit der Multiplikation eine Gruppe, die kein endliches Erzeugendensystem besitzt, also nicht endlich erzeugbar ist. Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe bildet die abzählbare Menge der Primzahlen.
• Jede freie Gruppe über einer endlichen, mindestens zweielementigen Menge S ist nicht kommutativ, endlich erzeugt – S ist ein Erzeugendensystem – und abzählbar unendlich.

Literatur

• Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 211). Revised 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 978-0-387-95385-4.