Dissipativer Operator

In der linearen Theorie sind dissipative Operatoren lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Definition

Seien $X$ ein Banachraum und $D(A)\subset X$. Ein linearer Operator $A:D(A)\to X$ mit

$\Vert (\lambda -A)x\Vert \ge \lambda \Vert x\Vert$

für alle $\lambda >0$ und $x\in D(A)$ wird dissipativ genannt. Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist $A$ ein linearer Operator und $-A$ dissipativ, so wird $A$ akkretiv genannt. Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Hilbertraum

Wenn $X$ ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator $A:D(A)\to X$ genau dann dissipativ, falls

$\mathrm{Re}⟨Ax,x⟩\le 0$

für alle $x\in D(A)$ gilt, wobei $\mathrm{Re}$ den Realteil bezeichnet.

Folgerungen

Sei $(A,D(A))$ ein dissipativer Operator auf einem Banachraum $X$.

• $\lambda -A$ ist für ein $\lambda >0$ surjektiv genau dann, wenn $\lambda -A$ für alle $\lambda >0$ surjektiv ist. Alsdann heißt $(A,D(A))$ m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.
• $A$ ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von $\lambda -A$ für ein $\lambda >0$ abgeschlossen ist.

Beispiel

Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ den Laplace-Operator $\mathrm{\Delta }$ mit Dirichlet-Randbedingung auf $L^2(\mathrm{\Omega })$ (siehe $L^p$-Raum), also $D(\mathrm{\Delta })=H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })$, erhält man:

$⟨\mathrm{\Delta }u,u⟩=-⟨\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u⟩=-\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }^2\le 0$.

Der Satz von Lax-Milgram beweist, dass $\mathrm{\Delta }:D(\mathrm{\Delta })\to L^2(\mathrm{\Omega })$ m-dissipativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.