Einparameter-Untergruppe

In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung $\phi :ℝ\to G$ eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist. Für Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen ist Glattheit äquivalent zu Stetigkeit. Jede Einparameter-Untergruppe entspricht genau einem Element in der Lie-Algebra von $G$. Je nach Zugang wird die Lie-Algebra manchmal sogar definiert als die Menge der Einparameter-Untergruppen.

Beispiele

• Die stetigen Gruppenhomomorphismen $ℝ\to ℝ$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen $x\mapsto \lambda x$ für ein festes $\lambda \in ℝ$.
• Die stetigen Gruppenhomomorphismen $ℝ\to {ℝ}^{\times }$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen $x\mapsto a^x$ für ein festes $a\in {ℝ}_{>0}$.

Literatur

• John Frank Adams, Lectures on Lie groups, Benjamin, 1969