Quelltext der Seite Zariski-Tangentialraum

Der '''Zariski-Tangentialraum''' ist ein Konzept aus der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]], welches die aus der [[Elementargeometrie|elementaren Geometrie]] und der [[Differentialgeometrie]] bekannten Begriffe von [[Tangente]]n, [[Tangentialebene]]n und [[Tangentialraum|Tangentialräumen]] in die Sprache der algebraischen Geometrie übersetzt.

Um einem Punkt einer [[Algebraische Varietät|Varietät]] einen affinen Unterraum des umgebenen Raumes zuzuordnen, werden die analytischen Methoden der Differentialgeometrie in eine algebraische Sprache übersetzt. In der Sprache der modernen algebraischen Geometrie wird der Tangentialraum eines Schemas intrinsisch, also ohne Bezugnahme auf einen umgebenen Raum definiert.

== Motivation ==
===Analogie zur Differentialgeometrie===
Klassisch wird der Tangentialraum an einem Punkt als Menge der [[Tangentialvektor]]en definiert. Diese wiederum entsprechen eindeutig den [[Richtungsableitung]]en in diesem Punkt. Richtungsableitungen sind genau die [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]] (siehe den Abschnitt weiter unten) der glatten Funktionen, weshalb man den Tangentialraum auch als Menge der Derivationen in einem Punkt definieren kann.

Weil Derivationen linear sind und die Derivation einer konstanten Funktion Null ergibt, ist eine Derivation schon durch ihre Anwendungen auf die Elemente des Maximalideals <math>{\mathfrak m}=\left\{f\colon f(x)=0\right\}</math> eindeutig bestimmt. Weiterhin verschwindet jede Derivation aufgrund der für sie geltenden [[Produktregel|Leibniz-Regel]]  auf <math>{\mathfrak m}^2</math>. Man kann also Derivationen als lineare Abbildungen <math>D:{\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2\to k</math> auffassen. Das motiviert die nachfolgende Definition.

(Während diese Definition sich auch auf den Tangentialraum von [[Mannigfaltigkeit]]en übertragen lässt, hat sie dort aber kaum Anwendungen. Innerhalb der algebraischen Geometrie ermöglicht die algebraische Definition die Verwendung der Idealtheorie auch bei der Untersuchung von Tangentialräumen, sowie auch die Verallgemeinerung des Begriffs in den Kontext der [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]].)

=== Tangentialraum einer affinen Hyperfläche ===
Sei im Folgenden <math>k</math> ein algebraisch abgeschlossener Körper, <math>\mathbb A^n_k</math> der affine <math>n</math>-dimensionale Raum und <math>f \in k[X_1, \dots, X_n]</math> ein [[irreduzibles Polynom]]. <math>H</math> sei die durch <math>f</math> definierte Hyperfläche
:<math>H:=\{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb A^n_k | f(x_1, \dots, x_n)=0\}</math>
Ist <math>P</math> ein Punkt der [[Hyperfläche]], so ist eine Gerade eine Tangente an <math>H</math> im Punkt <math>P</math>, wenn sie einen mehrfachen Schnittpunkt mit <math>H</math> im Punkt <math>P</math> hat. Algebraisch ausgedrückt bedeutet das:

[[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] sei <math>P</math> der Nullpunkt. (Nach einem Koordinatenwechsel kann man dies stets erreichen.) Ist <math>(a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{A}^n_k</math> ein beliebiger Punkt, so hat die Gerade
:<math>g:=t \cdot (a_1, \dots, a_n),</math>
die durch den Nullpunkt und <math>(a_1, \dots, a_n)</math> geht, genau in den Nullstellen des Polynoms <math>p \in k[t]</math>:
:<math>p:=f(t \cdot a_1, \dots, t \cdot a_n)</math>
Schnittpunkte mit <math>H</math>.

Das Polynom <math>p</math> ist von der Form
:<math>p=\alpha_0 + \alpha_1 t^1 + \cdots +\alpha_k t^k</math>
Da Null ein Schnittpunkt ist, ist <math>\alpha_0=0</math>. Ist nun auch <math>\alpha_1=0</math>, so hat die Gerade einen mehrfachen Schnittpunkt mit <math>H</math> im Nullpunkt und ist eine Tangente an <math>H</math>. Die Vereinigung aller Tangenten ist ein affiner Unterraum und wird als der Tangentialraum von <math>H</math> bezeichnet.

== Definition ==
Sei <math>V</math> eine [[algebraische Varietät]] (über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>k</math>) mit [[Koordinatenring]] <math>k\left[V\right]</math>, und sei <math>x\in V</math> ein Punkt mit zugehörigem [[Maximalideal]]
:<math>{\mathfrak m}_x=\left\{f\in k\left[V\right]\colon f(x)=0\right\}</math>.

Dann ist der Kotangentialraum <math>T_x^*V</math> definiert als
:<math>T_x^*V:={\mathfrak m}_x/{\mathfrak m}_x^2</math>
und der Zariski-Tangentialraum <math>T_xV</math> als dessen [[Dualraum]]
:<math>T_xV=\operatorname{Hom}({\mathfrak m}_x/{\mathfrak m}_x^2,k)</math>.

Allgemeiner kann man für einen [[Lokaler Ring|lokalen Ring]] <math>R</math> mit Maximalideal <math>{\mathfrak m}</math> den Kotangentialraum als <math>{\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2</math> definieren, und analog den Zariski-Tangentialraum als dessen Dualraum <math>\operatorname{Hom}(\mathfrak m/\mathfrak m^2,R/\mathfrak m)</math>. Der Zariski-Tangentialraum einer algebraischen Varietät im Punkt <math>x</math> ist dann der Zariski-Tangentialraum des [[Lokaler Ring#Lokale Ringe einer algebraischen Varietät|lokalen Ringes]] <math>{\mathcal O}_x=k\left[V\right]_{{\mathfrak m}_x}</math>, also des Ringes der Keime regulärer Funktionen in <math>x</math>.

== Explizite Berechnung ==
Sei <math>V\subset k^n</math> eine algebraische Varietät mit definierendem Ideal <math>I(V)</math> und sei <math>x\in V</math>. Für <math>f\in I</math> sei 
:<math>df_x:=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial X_i}(x)X_i</math>.
Dann ist der Zariski-Tangentialraum isomorph zu <math>V(I_x)</math>, wobei <math>I_x\subset k\left[X_1,\ldots,X_n\right]</math> das von den 
:<math>df_x, f\in I(V)</math>
aufgespannte Ideal ist. Also
:<math>T_xV = \left\{v\in k^n\colon df_x(v)=0\ \forall f\in I(V)\right\}</math>.

Sind <math>f_1,\ldots,f_r</math> Erzeuger von <math>I(V)</math>, dann sind <math>df_1,\ldots,df_r</math> Erzeuger von <math>I_x</math>.

== Beispiele ==
[[Bild:ECClines-3.svg|frame|right|Graphen der über <math>\R</math> definierten Kurven ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' und ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' + 1]]
* <math>V(y^2-x^3+x)</math>: 
:Die Tangente in <math>(0,0)</math> an <math>V(y^2-x^3+x)</math> ist die y-Achse, also <math>V(x)</math>. Der Tangentialraum in <math>(1, 0)</math> ist derselbe, d.&nbsp;h. der Tangentialraum ist nicht als affiner Raum, sondern als Vektorraum zu verstehen. Allgemein ist die Tangente im Punkt <math>(x,y)</math> der Kern der linearen Abbildung <math>(1-3x^2,2y)</math>, also der vom Vektor <math>(2y,3x^2-1)</math> aufgespannte 1-dimensionale Unterraum des <math>k^2</math>.
* <math>V(y^2-x^3+x-1)</math>: 
:Auch hier ist die Tangente im Punkt <math>(x,y)</math> der Kern der linearen Abbildung <math>(1-3x^2,2y)</math>, also der vom Vektor <math>(2y,3x^2-1)</math> aufgespannte 1-dimensionale Unterraum des <math>k^2</math>.
* <math>V(y^2-x^3-x^2)</math> ([[Newtonscher Knoten]]):
:Hier kann man in <math>(0,0)</math> zwei Tangenten anlegen, <math>y=x</math> und <math>y=-x</math>. Der Tangentialraum ist der davon aufgespannte <math>k^2</math>. Die Dimension des Tangentialraumes ist in diesem Punkt größer als die Dimension der Varietät, es handelt sich um eine Singularität (siehe unten).
* <math>V=V(y^2-x^3)</math> ([[Neilsche Parabel]]):
:Ebenso wie im vorigen Beispiel ist hier <math>df_{(0,0)}=0</math>, also <math>T_{(0,0)}V=k^2</math>.
* <math> V=V (x^2+y^2-z^2) </math>:
:Man berechnet <math>T_{(0,0,0)}V=k^3</math>. Insbesondere ist <math>(0,0,0)</math> eine Singularität. Es gibt auf dieser Fläche keine weiteren Singularitäten. Beispielsweise ist <math> T_{(1, 0, 1)}V=V(x-z)</math>.

== Derivationen ==
Äquivalent kann man den Tangentialraum auch mit Hilfe von [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]] definieren. (Dies entspricht der Interpretation von [[Vektorfeld]]ern als [[Richtungsableitung]]en.)

Sei <math>V</math> eine algebraische Varietät und <math>\mathcal{O}(V)</math> der Ring ihrer regulären Funktionen. Eine Derivation von <math>\mathcal{O}(V)</math> in einem Punkt <math>x\in V</math> ist eine <math>k</math>-lineare Abbildung <math>\delta\colon \mathcal{O}(V)\to k</math> mit
:<math>\delta(fg)=\delta(f)g(x)+f(x)\delta(g)</math>
für alle <math>f,g\in \mathcal{O}(V)</math>.

Der <math>k</math>-[[Vektorraum]] der Derivationen in <math>x</math> ist isomorph zum Zariski-Tangentialraum <math>T_xV</math>.

== Dimension und Singularitäten ==
Für einen [[Noetherscher Ring|noetherschen]] lokalen Ring <math>R</math> mit Maximalideal <math>\mathfrak{m}</math> gilt stets 
:<math>\dim_k(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)\ge \dim(R)</math>,
wobei <math>\dim(R)</math> die [[Krull-Dimension]] von <math>R</math> bezeichnet.

Insbesondere gilt für alle Punkte <math>x</math> einer algebraischen Varietät <math>V</math>:
:<math>\dim T_xV\ge \dim_x V</math>.
Punkte <math>x\in V</math>, in denen <math>\dim T_xV > \dim_x V</math> ist, werden als [[Algebraische Varietät#Singularitäten|Singularität]] bezeichnet. Punkte, in denen <math>\dim T_xV = \dim_x V</math> ist, heißen '''reguläre Punkte''' oder '''glatte Punkte'''.

Die glatten Punkte bilden eine [[Offene Menge|offene]] und [[Dichte Menge|dichte]] Teilmenge der Varietät <math>V</math>.

Eine '''glatte Varietät''' ist eine algebraische Varietät, in der alle Punkte glatt sind, es also keine Singularitäten gibt.

== Literatur ==
* Oscar Zariski: ''The concept of a simple point of an abstract algebraic variety.'' Trans. Amer. Math. Soc. 62, 1-52 (1947)
* Pierre Samuel: ''Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique.'' Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (N.F.), Heft 4. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1955.
* Igor Shafarevich: ''Basic algebraic geometry.'' Translated from the Russian by K. A. Hirsch. Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 213, 1974. Springer Study Edition. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. (Band 1, Kapitel II.1.2)
* Joe Harris: ''Algebraic geometry. A first course.'' Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-97716-3 (Kapitel 14)

== Weblinks ==
* Frank Herrlich: [http://mitschriebwiki.nomeata.de/AlgGeo.pdf.7.pdf Lokale Eigenschaften]
* [https://math.unibas.ch/uploads/x4epersdb/files/AppA_01.pdf Basics of Algebraic Geometry]
* V. I. Danilov: [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Zariski_tangent_space Zariski tangent space] (Encyclopedia of Mathematics)

[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]