Quelltext der Seite Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem

Das '''Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem''' ist eines der sieben [[Millennium-Probleme]]. Es betrifft die Überschneidung der [[Yang-Mills-Theorie]] mit ihrer Anwendung in der Physik wie etwa bei der Beschreibung der [[Quantenchromodynamik]]. Vereinfacht ausgedrückt betrifft das Problem die Existenz einer leichtesten vorhergesagten Masse der durch die Yang-Mills-Theorie unter bestimmten Bedingungen beschriebenen Teilchen, wie es etwa in der [[Quantentheorie]] mit der [[Nullpunktsenergie|Nullpunktenergie]] erforderlich ist. Im Falle der Quantenchromodynamik bedeutet dies etwa, dass [[Glueball|Glueballs]] nicht beliebig leicht sein können. Vom [[Clay Mathematics Institute]] wurde ein Preisgeld von einer Million Dollar für eine Lösung ausgelobt.

== Formulierung ==
Das Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem verlangt konkret, dass für jede [[Kompakter Raum|kompakte]] [[Lie-Gruppe]] die Existenz einer nichttrivialen [[Quantisierung (Physik)|quantisierten]] Yang-Mills-Theorie, einer nicht unbedingt [[Abelsche Gruppe|abelschen]] [[Quantenfeldtheorie]], mit dieser als Strukturgruppe auf dem vierdimensionalen euklidischen Raum gezeigt werden soll sowie dass diese eine Massenlücke aufweist, nämlich eine Mindestmasse für alle vorhergesagten Teilchen. Für den Beweis der Existenz müssen dabei axiomatische Bedingungen erarbeitet werden, welche hinreichend stark sind. In der originalen Formulierung von [[Arthur Jaffe]] und [[Edward Witten]] lautet das Problem:<ref name="official">{{Cite web |last1=Jaffe |first1=Arthur |author-link=Arthur Jaffe |last2=Witten |first2=Edward |author-link2=Edward Witten |title=Quantum Yang-Mills theory |language=en |url=https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/yangmills.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20230620074636/https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/yangmills.pdf |archive-date=2023-06-20 |url-status=live |website=Claymath.org}}</ref>
{{Zitat
 |Text=Prove that for any compact simple gauge group <math>G</math>, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on <math>\mathbb{R}^4</math> and has a mass gap <math>\Delta>0</math>. Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) and Osterwalder & Schrader (1975).
 |Sprache=en
 |Quelle=
}}
Yang-Mills-Theorie wird häufig mit einer [[Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] <math>\operatorname{SU}(n)</math> oder einer [[Unitäre Gruppe|unitären Gruppe]] <math>\operatorname{U}(n)</math> als Eichgruppe betrachtet. Bei der Anwendung in der Physik ist es etwa <math>\operatorname{U}(1)</math> bei der [[Elektromagnetische Wechselwirkung|elektromagnetischen]], <math>\operatorname{SU}(2)</math> bei der [[Schwache Wechselwirkung|schwachen]] und <math>\operatorname{SU}(3)</math> bei der [[Starke Wechselwirkung|starken Wechselwirkung]]. Jede kompakte Lie-Gruppe lässt sich wegen des [[Satz von Peter-Weyl|Satzes von Peter-Weyl]] immer in eine unitäre Gruppe [[Einbettung (Mathematik)|einbetten]]. Alternativ kann auch eine spezielle unitäre Gruppe genommen werden, da Einbettungen <math>\operatorname{SU}(n)\hookrightarrow\operatorname{U}(n),U\mapsto U</math> und <math>\operatorname{U}(n)\hookrightarrow\operatorname{SU}(n+1),U\mapsto\operatorname{diag}(U,\det(U)^{-1})</math> existieren. Dadurch ergibt sich jede kompakte Lie-Gruppe umgekehrt durch eine [[Hauptfaserbündel#Reduktion der Strukturgruppe|Reduktion der Strukturgruppe]]. Sowohl aus mathematischer als auch physikalischer Perspektive sind daher die speziellen unitären und unitären Gruppen von besonderem Interesse.

== Literatur ==

* {{cite book |last1=Streater |first1=R. |last2=Wightman |first2=A. |title=PCT, Spin and Statistics and all That |publisher=W. A. Benjamin |year=1964 |language=en |url=https://archive.org/details/pctspinstatistic0000stre |url-access=registration}}
* {{cite journal |last1=Osterwalder |first1=K. |last2=Schrader |first2=R. |title=Axioms for Euclidean Green's functions |journal=[[Communications in Mathematical Physics]] |language=en |issue=2 |volume=31 |pages=83–112 |year=1973 |doi=10.1007/BF01645738 |bibcode=1973CMaPh..31...83O |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103858969 |s2cid=189829853}}
* {{cite journal |last1=Osterwalder |first1=K. |last2=Schrader |first2=R. |title=Axioms for Euclidean Green's functions II |journal=[[Communications in Mathematical Physics]] |language=en |issue=3 |volume=42 |pages=281–305 |year=1975 |doi=10.1007/BF01608978 |bibcode=1975CMaPh..42..281O |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899050 |s2cid=119389461}}
* {{cite book |last1=Bogoliubov |first1=N. |last2=Logunov |first2=A. |last3=Oksak |last4=Todorov |first4=I. |title=General Principles of Quantum Field Theory |publisher=Kluver |year=1990 |language=en}}
* {{cite book |last1=Strocchi |first1=F. |title=Selected Topics of the General Properties of Quantum Field Theory FF |publisher=World Scientific |year=1994 |language=en}}
* {{cite journal |last1=Dynin |first1=A. |title=Quantum Yang-Mills-Weyl dynamics in the Schroedinger paradigm |journal=Russian Journal of Mathematical Physics |language=en |issue=2 |volume=21 |pages=169–188 |year=2014 |doi=10.1134/S1061920814020046 |bibcode=2014RJMP...21..169D |s2cid=121878861}}
* {{cite journal |last1=Dynin |first1=A. |title=On the Yang-Mills Mass Gap problem |journal=Russian Journal of Mathematical Physics |language=en |issue=3 |volume=21 |pages=326–328 |year=2014 |doi=10.1134/S1061920814030042 |bibcode=2014RJMP...21..326D |s2cid=120135592}}
* {{cite book |last1=Bushhorn |first1=G. |last2=Wess |first2=J. |title=Heisenberg Centennial Symposium "Developments in Modern Physics" |publisher=Springer |year=2004 |language=en}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]