Quelltext der Seite Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

[[Datei:Introductio in analysin infinitorum. T. 1 - Leonhard Euler, 1748 (title page).pdf|mini|Titelblatt der ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' von 1748]]

Das '''wissenschaftliche Werk von [[Leonhard Euler]]''' ist das umfangreichste von einem Mathematiker jemals geschaffene. Es umfasst unter anderem grundlegende Resultate in den Bereichen [[Infinitesimalrechnung]], [[Analysis]], [[Mechanik]], [[Astronomie]], [[Geodäsie]], [[Zahlentheorie]], [[Algebra]], [[Trigonometrie]], [[Geometrie]], [[Musiktheorie]] und [[Optik]].

Zu Eulers berühmtesten Resultaten zählen die Lösung des [[Basler Problem]]s, der [[Polyedersatz]] und die [[Eulersche Identität]], wobei letztere eine enge Verbindung zwischen zahlreichen fundamentalen [[Mathematische Konstante|mathematischen Konstanten]] zieht. Für diese und andere Ergebnisse erhielt Euler auch posthum viele Ehrungen.

[[Datei:Leonhard Euler.jpg|mini|Porträt Leonhard Eulers ([[Jakob Emanuel Handmann]] 1753)]]

Eulers Forschung war sehr vielseitig. Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik und gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte. Seine gesammelten Schriften der ''Opera omnia'' umfassen bisher 76 Bände. Insgesamt gibt es 866&nbsp;Publikationen von ihm. Eulers Name ist mit einer großen Anzahl von Resultaten und wissenschaftlichen Themenbereichen verbunden.

Nach Leonhard Euler sind gleich zwei [[Liste mathematischer Konstanten|mathematische Konstanten]] benannt: die [[Eulersche Zahl]] <math> \mathrm{e} \approx 2{,}71828 </math> aus der Analysis (siehe [[Exponentialfunktion]]) und die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] γ (Gamma) aus der Zahlentheorie, die manchmal nur als ''Eulersche Konstante'' bezeichnet wird und ungefähr gleich 0,57721 ist. Es ist nicht bekannt, ob γ [[Rationale Zahl|rational]] oder [[Irrationale Zahl|irrational]] ist. Im Gegensatz dazu ist die Irrationalität der Zahl ''e'' bekannt und wurde zuerst von Euler gezeigt (siehe auch: [[Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl]]).

Eine breitere Leserschaft erlangte zudem seine populärwissenschaftliche Schrift [[Briefe an eine deutsche Prinzessin|''Lettres à une princesse d’Allemagne'']] von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin [[Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt]], eine Nichte 2. Grades [[Friedrich II. (Preußen)|Friedrichs&nbsp;II.]], die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelte.

Leonhard Eulers Werk beeinflusste viele Generationen an Mathematikern nachhaltig. So sagte [[Carl Friedrich Gauß]]: „Das Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule in den verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts anderes ersetzt werden“. Wegen der großen Zahl an Publikationen und Korrespondenzen zu anderen Mathematikern und Persönlichkeiten, ziehen sich Bestrebungen, ein Eulersches Gesamtwerk herauszugeben, bis in die heutige Zeit hinein. Durch die Herausgabe der ''Opera Omnia'' über die [[Euler-Kommission]] gilt dieses Unterfangen jedoch als weitestgehend umgesetzt.

== Mathematische Notationen ==

Euler führte in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen ein. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der [[Mathematische Funktion|mathematischen Funktion]] ein<ref>William Dunham: ''Euler: The Master of Us All.'' Mathematical Association of America, 1999, ISBN 978-0-88385-328-3. S. 17.</ref> und schrieb als erster ''f(x)'', um die Funktion ''f'' zu bezeichnen, die auf das Argument ''x'' angewandt wird. Der „formale“ von Euler verwendete Funktionsbegriff war ein wichtiger Meilenstein in Richtung der heutigen Definition:

{{Zitat
 |Text=Sind nun Größen auf die Art voneinander abhängig, daß keine davon eine Veränderung erfahren kann, ohne zugleich eine Veränderung in der anderen zu bewirken, so nennt man diejenige, deren Veränderung man als die Wirkung von der Veränderung der anderen betrachtet, eine Funktion von dieser, eine Benennung, die sich so weit erstreckt, daß sie alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann, unter sich begreift.
 |Autor=Leonhard Euler, 1748
 |ref=<ref>H. Heuser: ''Lehrbuch der Analysis II.'' S. 686.</ref>}}

Von ihm stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]], der Buchstabe ''e'' für die [[Potenz (Mathematik)|Basis]] des [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]], der griechische Buchstabe Σ ([[Sigma]]) für [[Summe]]n und der Buchstabe ''i'' zur Bezeichnung der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]];<ref>Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach: ''A History of Mathematics.'' John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8. S. 439–445.</ref> das Zeichen Δ ([[Delta]]) für die Differenz stammt ebenfalls von Euler.<ref>Rüdiger Thiele: ''Leonhard Euler.'' Leipzig 1982, S.&nbsp;115.</ref> Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser ([[Kreiszahl]]) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den [[Wales|walisischen]] Mathematiker [[William Jones (Mathematiker)|William Jones]] zurückgeht.<ref>Jones, William: ''Synopsis Palmariorum Matheseos.'' S. 243; {{archive.org |SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/Synopsis_Palmariorum_Matheseos |Blatt=n260}}.</ref>

== Analysis und Funktionentheorie ==
=== Elementare Analysis ===

Euler kann als einer der Begründer der [[Analysis]] angesehen werden. Der Mathematikhistoriker [[Thomas Sonar]] beschreibt in seinem Buch ''3000 Jahre Analysis'' (2011) Leonhard Euler als einen „echten Giganten für die Analysis“. Eulers Bedeutung für dieses Feld wird nicht nur über die Einführung eines rigorosen Funktionsbegriffs hervorgehoben. So sei er „ungeschlagener Meister“ im Umgang mit [[Potenzreihe]]n, die er als „unendliches [[Polynom]] verstanden“ zu seinem ständigen „Arbeitspferd“ machte.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis.'' Springer, S. 455–456.</ref>

Euler leistete Pionierarbeit bei der Verwendung analytischer Methoden zur Lösung von Problemen der Zahlentheorie. Damit vereinte er zwei ungleiche Zweige der Mathematik und führte ein neues Studiengebiet ein, die [[analytische Zahlentheorie]].

==== Infinitesimalrechnung ====

Wegen anhaltender Forschung war die [[Infinitesimalrechnung]] im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit. In seinem Werk ''Institutiones calculi differentialis'' (1755) beschäftigte er sich systematisch mit der [[Differentialrechnung]]. Euler wählte die Interpretation: „Kleiner als jede angebbare Größe“ für infinitesimale Größen. In den ''Institutiones calculi differentialis'' aus dem Jahr 1755 definiert Euler:

{{Zitat
 |Text=Es gibt keinen Zweifel, dass jede Größe so lange vermindert werden kann, bis sie verschwindet und zu Nichts wird. Aber eine unendlich kleine Größe ist nichts anderes als eine verschwindende Größe und damit ist sie wirklich 0.
 |Autor=Leonhard Euler}}

Euler betrachtet also das Rechnen mit unendlich kleinen Größen als „Nullenrechnung“. Für diese führte er eine „unendlich kleine“ Größe <math> \omega</math> und eine „unendlich große“
Größe <math>i</math> (nicht zu verwechseln mit der imaginären Einheit) ein – und nutzte diese für Herleitungen korrekter Aussagen.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis.'' Springer, S. 462.</ref> So nutzte Euler mit <math> x = \omega \cdot i</math> den für „eine zunächst beliebige Zahl <math>k</math> gültigen Ansatz“
: <math> a^x = \left(1 + \frac{kx}{i} \right)^i,</math>
um die für die [[Eulersche Zahl]] <math>\mathrm{e}</math> geltende Reihe
: <math> \mathrm{e} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>
herzuleiten.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis.'' Springer, S. 463.</ref> Diese Formel liefert eine äußerst schnell konvergente Reihe für die Zahl <math>\mathrm{e}</math>, es gilt zum Beispiel
: <math> 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} = 2{,}7180\overline{5} \approx 2{,}718281828... = \mathrm{e}.</math>
Vor dem Hintergrund zu Eulers Formel für <math>a^x</math> ist zu erwähnen, dass für <math> k = \log(a)</math> der [[Konvergente Folge|Grenzwert]]
: <math> \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{kx}{n}\right)^n = (\mathrm{e}^{\log(a)})^x = a^x </math>
gültig ist, was seine <math>i</math>-Notation in die moderne Sprache eines mathematischen [[Grenzwert (Folge)|Limes]] einordnet.

[[Datei:Exp series.gif|mini|hochkant=1|Animation zur Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle ''x''=0. Die Gültigkeit dieser Reihe wurde von Euler bewiesen.]]

==== Taylorreihen ====

Euler ist in diesem Kontext für die Entwicklung und häufige Verwendung von [[Potenzreihen]] bekannt. Diese können als „unendlich lange [[Polynom]]e“ aufgefasst werden, aus denen sich eine Funktion aus ihrem lokalen Verhalten (d.&nbsp;h. unter Kenntnis all ihrer Ableitungen und einem Punkt) in manchen Fällen „global rekonstruieren“ lässt. Unter anderem gab er direkte Beweise für [[Taylorreihe]]n der Exponentialfunktion
: <math> \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dotsb </math>
und der [[Arkustangens]]funktion. [[Reductio ad absurdum|Indirekte Beweise]] stammen von [[Isaac Newton|Newton]]<ref>Isaac Newton: [https://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/normalized/NATP00204 ''De analysi per aequationes numero terminorum infinitas.''] 31. Juli 1669, in Latein verfasst, im Abschnitt [15] ''De serie progressionum continuanda.''</ref> und [[Leibniz]] aus der Zeit 1665 bis 1680. Ebenso entwickelte Euler die Sinus- und Kosinusfunktion in ihre Taylor-Reihen um den Entwicklungspunkt 0:
: <math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, </math>
: <math> \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. </math>
Diese benutzte er, um mittels einfachen Einsetzens die [[Eulersche Formel]] für die Exponentialfunktion herzuleiten.

==== Unendliche Reihen ====

1736 fand er (ebenfalls durch Verwendung von Potenzreihen) den lange gesuchten Grenzwert für die unendliche Summe der [[Kehrwert|reziproken]] [[Quadratzahl]]en:
: <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dotsb = \frac{\pi^2}{6}.</math>

[[Datei:EulerSummis.pdf|mini|Eulers explizite Berechnungen in seiner Originalarbeit ''De Summis Serierum Reciprocarum'']]

Summiert man also „alle“ (unendlich vielen) [[Kehrwert]]e der Quadratzahlen auf, ist das Ergebnis die Zahl <math> \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}64493</math>. Das bedeutet, dass für jede noch so kleine Zahl <math>x > 0</math> (etwa <math>x = 0{,}00001</math>) eine Quadratzahl <math>N^2</math> existiert, so dass für ''alle'' folgenden Quadratzahlen <math> N^2 < M^2</math> gilt
: <math> \frac{\pi^2}{6} - x < 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{N^2} + \frac{1}{(N+1)^2} + \cdots + \frac{1}{M^2} < \frac{\pi^2}{6}.</math>
Da er für dieses Ergebnis bis dato nicht bekannte Manipulationstechniken für [[Potenzreihe]]n verwendet hatte, wurde sein [[Basler Problem|ursprünglicher Beweis]] nicht akzeptiert. Jedoch veröffentlichte Euler im Jahr 1743 einen anderen Beweis.<ref>{{Literatur |Autor=Raymond Ayoub |Titel=Euler and the zeta function |Sammelwerk=Amer. Math. Monthly |Band=81 |Datum=1974 |Seiten=1067–86 |Sprache=en |Online=https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/euler-and-the-zeta-function |DOI=10.2307/2319041}} S. 1079.</ref><ref>Leonhard Euler: [http://eulerarchive.maa.org/pages/E063.html ''Demonstration de la somme de cette suite <math> 1 + \tfrac14 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{16} +</math> etc.''] Urspr. veröffentlicht in ''Journ. lit. d’Allemange, de Suisse et du Nord'', 2:1, 1743, S. 115–127.</ref> Aus einer Verallgemeinerung dieses sogenannten [[Basler Problem]]s leitete er eine geschlossene Darstellung für die geraden [[Bernoulli-Zahl]]en <math>B_{2k}</math> ab. Er zeigte beispielsweise, dass die Summe der Kehrwerte aller vierten Potenzen und sechsten Potenzen ebenfalls gegen rationale Vielfache entsprechender Potenzen von <math>\pi</math> streben.
: <math> 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90},</math>
: <math> 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945}, </math>
und ganz allgemein
: <math> \zeta(2k) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2k}} = (-1)^{k-1} \frac{(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} B_{2k}. </math>
Diese galt sehr lange als beste Methode für die Berechnung der Bernoulli-Zahlen <math>B_k</math>.<ref>David Harvey: ''A multimodular algorithm for computung Bernoulli numbers.'' Oktober 2008, {{arXiv|0807.1347}}.</ref>

Er nutzte die Identität

[[Datei:PI constant.svg|400px|mini|Euler war durch unendliche Reihen im Stande, die Kreiszahl <math>\pi</math> auf zahlreiche Stellen zu berechnen. In seiner im Jahre 1748 erschienenen ''Introductio in Analysin Infinitorum'' gab er im ersten Band <math>\pi</math> bereits auf 148 Stellen genau an.]]

: <math> \frac{\pi}{4} = 5 \arctan\left( \frac{1}{7}\right) + 2 \arctan\left(\frac{3}{79}\right),</math>
mit dem [[Arkustangens]] um eine schnell konvergierende Reihe für <math> \pi </math> herzuleiten.<ref name="LD202">Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 202.</ref> [[Unendliche Reihe]]n wie zum Beispiel
: <math> 1 + \frac12 - \frac14 - \frac15 + \frac17 + \frac18 - \dotsb = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}},</math>
: <math> 1 - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \frac{1}{9^3} - \dotsb = \frac{\pi^3}{32}, </math>
oder auch
: <math> \frac{\zeta(2)}{3 \cdot 4 \cdot 2^2} + \frac{\zeta(4)}{5 \cdot 6 \cdot 2^4} + \frac{\zeta(6)}{7 \cdot 8 \cdot 2^6} + \dotsb = \frac14 - \frac{7}{4\pi^2} \zeta(3) </math>
mit der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] <math> \zeta(s)</math> gehen ebenfalls auf Euler zurück.<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical Constants.'' Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 20 und S. 44.</ref><ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 223.</ref> Es war Euler, der als erster [[Divergente Folge|divergente Reihen]] systematisch untersuchte.<ref name="LD202" />

==== Trigonometrische Funktionen ====

Euler ist der erste Autor, der die [[Winkelfunktion]]en auf einen [[Kreis]] mit [[Radius]] 1 bezieht und sie dadurch normiert. Das geschieht im sechsten Kapitel der ''Introductio''. Insbesondere folgt nach dem [[Satz des Pythagoras]] dann sofort<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis.'' S. 465.</ref>
: <math> \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1.</math>

Eine Reihe von Grundformeln der Trigonometrie wurden systematisch von Euler hergeleitet. Er benutzte die [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] der trigonometrischen Funktionen und gab als erster einen einfachen und klaren Beweis der bekannten [[Moivrescher Satz|Formel von De Moivre]]. Dieser Beweis gilt auch aus heutiger Sicht als streng, falls man davon absieht, dass die [[vollständige Induktion]] formal nicht abgeschlossen wurde. Euler erhielt aus diesen Formeln die Entwicklung der trigonometrischen Funktionen in Potenzreihen, indem er dasselbe Verfahren wie im Falle der Exponentialfunktion benutzte.<ref>Aleksander O. Gelfond: ''Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der mathematischen Analysis und seiner Einführung in die Analysis des Unendlichen.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 106.</ref>

Auch die [[Tangens und Kotangens#Reihenentwicklung|Partialbruchzerlegung des Kotangens]] war Gegenstand von Eulers Forschung. Diese diskutierte er unter anderem in einem Brief an Christian Goldbach vom 30. Juni 1742.<ref>Leonhard Euler: ''Briefwechsel.'' Opera omnia, Series Quarta A, Vol, 1, S. 142.</ref>

Im Kontext mit seinen Studien über [[Funktionentheorie|Funktionen einer komplexen Variablen]], die teilweise von d’Alembert antizipiert wurden, gelangte Euler mittels einer schon von Johann Bernoulli verwendeten nicht-reellen [[Integration durch Substitution|Substitution]] zum Resultat
: <math> \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}.</math>
In diesem Zusammenhang ist erwähnenswert, dass Euler mittels mehrfacher Anwendung des Additionstheorems <math> \sin(x) = 2\sin(\tfrac{x}{2})\cos(\tfrac{x}{2})</math> auf die Funktionen <math> f_k(x) = \sin(\tfrac{x}{2^k})</math> die Produktformel
: <math> \frac{\sin(x)}{x} = \prod_{k=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^k}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{8}\right) \cdots </math>
generierte.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 46–47.</ref>

==== Exponentialfunktion und Logarithmus ====

[[Datei:Euler's formula.svg|mini|Geometrische Interpretation der Eulerschen Formel anhand des [[Einheitskreis]]es.]]

Euler verwendete erstmals die [[Exponentialfunktion]] und [[Logarithmen]] in analytischen Beweisen und definierte sie erfolgreich für [[komplexe Zahl]]en. Dadurch wurde deren Anwendungsbereich stark erweitert.<ref>Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach: ''A History of Mathematics.'' John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8, S. 439–45.</ref> Damit fand er die enge Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen. Für jede reelle Zahl <math>\varphi</math> (im [[Bogenmaß]]) besagt die [[Eulersche Formel]], dass die [[komplexe Exponentialfunktion]] die Gleichung
: <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i}\sin(\varphi)</math>
erfüllt. Ein spezieller Fall der obigen Formel ist als die [[Eulersche Identität]]
: <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0</math>
bekannt. Eulers Formel zieht Beweise der [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] und die [[Moivrescher Satz|Formel von De Moivre]] nach sich. So gilt zum einen
: <math> (\cos(\varphi) + \mathrm{i}\sin(\varphi))^n = (\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi})^n = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi n} = \cos(n\varphi) + \mathrm{i}\sin(n\varphi).</math>
Auch bezüglich der Additionstheoreme bedient man sich der Multiplikativität der Exponentialfunktion. Zum anderen haben wir demnach
: <math> \cos(x+y) + \mathrm{i}\sin(x+y) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(x+y)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) + \mathrm{i}(\sin(x)\cos(y) + \sin(y)\cos(x)).</math>
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn [[Realteil|Real- und Imaginärteil]] übereinstimmen – zum Beispiel gilt also <math> \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)</math>.

==== Integralrechnung ====

[[Datei:Euler Inst Calc Int Vol1.jpg|mini|Erste Seite von Leonhard Eulers ''Institutionum Calculi Integralis'', Band 1.]]

In seinem Werk ''Institutiones calculi integralis'' (1768–1770), erschienen in drei Bänden, beschäftigte sich Euler mit der [[Integralrechnung]].<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis.'' S. 456.</ref> Darin finden sich die Methoden der unbestimmten Integration in moderner Form erschöpfend dargestellt für die Fälle, in denen die Integration auf elementare Funktionen führt. Viele Methoden sind erst von Euler entwickelt worden, und noch heute ist die [[Eulersche Substitution]], mit deren Hilfe gewisse irrationale Differentiale rationalisiert werden können, ein Begriff.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 47.</ref> Er fand einen Weg, Integrale mit komplexen Grenzen zu berechnen, womit er wichtige Teile der Entwicklung der [[Funktionentheorie|komplexen Analysis]] vorwegnahm.

Es ist zu bemerken, dass ein Vorläufer der nach Laplace benannten [[Laplace-Transformation]] bereits 1766 von Euler in seiner ''Institutiones calculi integralis'' studiert worden war.<ref>L. Euler: ''Institutiones Calculi Integralis''. Volumen Secundum (1769), ed. von F. Engel and L. Schlesinger, Opera Omnia, Ser. 1, vol. 12. Teubner, Leipzig / Berlin 1914, S. 242–243</ref> Laplace hatte sie erstmals im Rahmen der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] angewandt.<ref>P.-S. Laplace: ''Des Fonctions génératrices'', ''Théorie analytique des Probabilités''. 2nd ed. Paris 1814, Kapitel I. Abschnitte 2–20; {{archive.org |thorieanalytiqu01laplgoog |Blatt=n7}}.</ref>

==== Fourierreihen ====

Euler arbeitete auch im Bereich der [[Fourierreihe]]n. Er leitete die für Werte <math> 0 < x < \pi </math> gültige Formel
: <math> \frac{\pi - x}{2} = \sin(x) + \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac13 \sin(3x) + \frac{1}{4}\sin(4x) + \dotsb </math>
aus der Reihe
: <math> \frac{1-r\cos(x)}{1-2r\cos(x) + r^2} - 1 = r \cos(x) + r^2 \cos(2x) + r^3 \cos(3x) + \dotsb </math>
an der Stelle <math> r = 1</math> her:
: <math> - \frac12 = \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \dotsb </math>
Obwohl die Reihe zur Rechten nirgends konvergiert, lieferte beidseitiges Integrieren, nach Wahl der richtigen Integrationskonstanten, die heute als korrekt bekannte [[Eulersche Reihe]].<ref>Teun Koetsier: ''Lakatos’ philosophy of mathematics: A historical approach.'' North-Holland, 1991, S. 206–210.</ref>

Dies ist ein typisches Beispiel der von Euler zugrunde gelegten „Allgemeinheit der Algebra“. Obwohl einige von Eulers Beweisen nach modernen Standards der mathematischen Strenge nicht akzeptabel sind,<ref>Gerhard Wanner, Ernst Hairer: ''Analysis by its history.'' Springer, 2005, S. 63.</ref> führten seine Ideen, wie eben demonstriert, zu vielen Fortschritten.
=== Begründung der Variationsrechnung ===
==== Eulers ›Methode, Kurven zu finden‹ ====
Euler gilt neben Lagrange als einer der Begründer der systematischen [[Variationsrechnung]]. An verschiedene Problemstellungen und Ideen von Jakob und Johann Bernoulli anknüpfend, formulierte Euler schon seit seiner frühen Schaffensphase deren Hauptprobleme und entwickelte eine allgemeine Methode zu deren Lösung. Im Jahre 1744 erschien sein in dieser Hinsicht epochales Hauptergebnis zum Variationskalkül, die ''Methodus inveniendi lineas curvas''. Diese Spezialdisziplin (von den Brüdern Bernoulli ansatzweise initiiert) wurde von Euler erstmals konzipiert und systematisiert. Sie beschäftigt sich mit ''[[Extremwertproblem]]en allgemeinster Art''. Im Gegensatz zur [[Differentialrechnung]], bei der oft lokale Maxima oder Minima von Funktionen bestimmt werden, ist die Variationsrechnung durch Probleme charakterisiert, bei denen eine oder mehrere ''unbekannte Funktionen'' derart zu bestimmen sind, dass ein gegebenes, ''von diesen Funktionen abhängiges'' bestimmtes Integral extremale Werte annimmt.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S.&nbsp;51.</ref>

Erstmals wird in den ''Methodus inveniendi'' die Bedingungsgleichung zur Ermittlung von Extremwertaufgaben für mehrerer Kurvenscharen formuliert und gelöst. Die allgemeine Bedingung – heute bekannt und gebräuchlich als [[Euler-Lagrange-Gleichung]] – ist das Ergebnis dieser verallgemeinerten Problemstellung.

==== Verfechter der geometrischen Verfahrensweise ====
Das Beweisverfahren zur Euler-Lagrange-Gleichung bleibt in den ''Methodus inveniendi'' ‚geometrisch‘ (siehe etwa ‚''Fig.'' 3‘ hier). Für Euler wie für Lagrange war es daher eine von ihm nicht abgeschlossene mathematische Methode, die erst vollständig in der Analysis aufzugehen habe.<ref>Siehe dazu P. Stäckels ''Anmerkung'' in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), hier angegeben unter ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen'': S.&nbsp;134.</ref><ref>Seite &nbsp;XI in: [[Constantin Carathéodory]], ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. S.&nbsp; VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol.&nbsp;24: ''Methodus inveniendi lineas curvas''. (Orell Füssli) Turici 1952.</ref> Hingegen gibt Euler an einer Stelle der Schrift zu bedenken, dass nur die Verbindung von formalen Ausdrücken der Analysis mit geometrischen Figuren und Kurven «vortheilhaft» sei.

{{Zitat
 |Text=Denn wenn man von den Curven abstrahirt und nur reine Größen betrachtet, wo werden einmal die Aufgaben schwerverständlich und unelegant, auch fällt ihr Nutzen und Werth weniger in die Augen, dann aber würde die Methode diese Aufgaben zu lösen schwerverständlich und mühsam sein, wenn sie bloß bei abstracten Größen auseinandergesetzt werden würde, während sie durch den Anblick der Figuren und die Darstellung der Größen durch Strecken außerordentlich unterstützt und dem Verständnisse näher gebracht wird.
 |Autor=L. Euler
 |Quelle=''Methodus Inveniendi'' (1744/1894)
 |ref=<ref>Euler (1744/1894), E065, in der deutschen Übers. von P. Stäckel, hier unter ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen'': S.&nbsp;31.</ref>}}

Damit erwies sich Euler als ein Befürworter einer ''synthetischen'' Herangehensweise an die angewandte Mathematik,<ref>Der Gegensatz ‚synthetisch-analytisch‘ in diesem Zusammenhang von innermathematischen Methoden folgt der Charakterisierung nach Kap.&nbsp;IV.4: ''Analytische Mechanik und analytische Prinzipien'' (S.&nbsp;187&nbsp;f.) in [[Helmut Pulte|H. Pulte]], ''Axiomatik und Empirie.'' (Wissenschaftliche Buchgesellschaft) Darmstadt 1995, in Orientientierung an Eulers eigene Bezeichnung im Vorwort seiner ''Mechanica'' (1736, E015).</ref> wohingegen Lagrange und später Jacobi die ''analytische'' Methode in der Mechanik auszubauen suchten. Nicht zuletzt darf in Eulers Variationsrechnung ein weiterer Beleg für sein beständiges Bemühen um Allgemeinverständlichkeit in allen Hypothesen, Theoremen und Deduktionen gesehen werden.

{{Zitat
 |Text=Euler ist nie »''Professor«'' in unserem Sinn des Wortes gewesen, er hat nie einen universitären Lehrstuhl innegehabt. Aber wie kaum ein anderer hat er als Lehrer gewirkt, europaweit, und zwar durch seine mustergültigen Lehrbücher, vor allem durch seine Lehrbücher der Analysis, die rasch zur Pflichtlektüre der angehenden Mathematiker wurden. Euler schrieb, um verstanden zu werden; er habe, hieß es,<ref>Nach einer Bemerkung von [[Ferdinand Georg Frobenius|F. G. Frobenius]], abgedruckt auf S.&nbsp;143 in: E. Fellmann, ''Leonhard Euler''. (Rowohlt) Hamburg 1995.</ref> alles gehabt, was das vollkommene Genie ausmache, nur nicht die Unverständlichkeit.
 |Autor=H. Heuser
 |Quelle=(2008)
 |ref=<ref>Seite 152 in: Harro Heuser, ''Eulers Analysis''. S.&nbsp;147–163 des Abschnitts ''Eulers Werk: Mathematik'' in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der ''Literatur'' → '' Monografien und Sammelbände''.</ref>}}

Umso mehr bewunderten Mathematiker seither die ‹klare und durchsichtige Einführung› in die Variationsrechnung, die dieses einzelne Werk auszeichnet.<ref>Die Wortlaute sind S.&nbsp;134 entnommen aus P. Stäckels ''Anmerkungen'' in Euler (1744), E065, in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli (1894), hier angegeben unter ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen''.</ref> Als Lehrbuch konzipiert, bestätigt die Schrift in besonderem Masse das grundlegend didaktische Denken und Vorgehen in Eulers Mathematik. Nach C. Carathéodory handelt es sich um «eines der schönsten mathematischen Werke, die je geschrieben worden sind. Wie sehr diese Lehrbuch späteren Generationen immer wieder als Muster gedient hat, […] kann nicht genügend betont werden».<ref>Seite &nbsp;IX in: [[Constantin Carathéodory]], ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. S.&nbsp; VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol.&nbsp;24: ''Methodus inveniendi lineas curvas''. (Orell Füssli) Turici 1952.</ref>

==== ›Ergänzungen‹ ====
Von historisch einzigartiger Bedeutung ist auch der umfangreiche ''Anhang'' oder Ergänzungsteil (''Additamenta'') zur Schrift ''Methodus Inveniendi Lineas Curvas''.<ref>Seite 245–301 in Euler (1744), hier angegeben unter den ''Schriften'' → ''Publikationen (Auswahl)''.</ref>

Die '''Erste Ergänzung''' trägt den Titel ''Von den elastischen Kurven'' (lateinisch: ''Additamentum I: De Curvis Elasticis'') und bildet die erste umfassende Behandlung der mathematischen [[Elastizitätstheorie]]. Sie errichtet die Dehnungsformen elastischer Körper aus dem Variationsproblem eines einzigen minimalen Potenzials der verzerrenden Kräfte.<ref>Siehe die ''Historical Introduction'', S.&nbsp;3 in [[Augustus Edward Hough Love|A. E. H Love]], ''A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity''. 2nd ed., Cambridge 1906. Online {{archive.org |treatiseonmathem01loveuoft}}.<!-- abgerufen am 20. Januar 2024.--></ref><ref>Siehe auch [[István Szabó (Ingenieur)|István Szabó]]: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen.'' Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. Darin Seite 123.</ref> Im Detail wird von Euler jede Kurve ''elastisch'' genannt, «welche die Gestalt einer an zwei Punkten aufgelegten Feder angiebt. Sie hat die Eigenschaft, den Ausdruck <math> \int \frac{d w}{\rho ^2} </math> zu einem Minimum zu machen».<ref>So die Erwähnung im Hauptteil von Euler (1744/1894), E065 (hier angegeben unter ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen'': S.&nbsp;110). Der Wortlaut steht in den dortigen Anmerkungen von P. Stäckel, S.&nbsp;142.</ref> Hierbei bezeichnet <math>\rho</math> den [[Krümmungskreis|Krümmungsradius]] und <math>dw</math> ein infinitesimales Element der elastischen Biegelinie (''Durchbiegung'') <math>w</math>. Diese Variationsannahme, ursprünglich eine Hypothese von Daniel Bernoulli,<ref>Wann immer eine Hypothese oder eine Idee nicht von Euler selbst ist, weiß er dies stets offen und ehrlich mitzuteilen: in diesem Fall siehe Euler (1744/1910), (hier unter ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen''), S.&nbsp;19.</ref> hat bis heute allgemeinen Bestand im Variationskalkül für Elastika.<ref>Siehe dazu insbes. S.&nbsp;336 (Kap. 10.8: ''Variational Calculus, Energy Theorems, […] Static Loading on an Beam''), in Y. C. Fung, P. Tong, ''Classical and Computational Solid Mechanics.'' (World Scientific) Singapore, New Jersey, London 2001. Effektiv handelt es sich um das aus der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] bekannte infinitesimale Potentialelement <math>d W = \frac{1}{2} E I \frac{d w}{\rho ^2}</math> mit Elastizitätsmodul <math>E</math> und Flächenmoment <math>I</math>.</ref>

Der erste Ergänzungsteil war Anlass und Ausgangspunkt eines umfassenden Kommentarbandes der Eulerschen ''Opera Omnia'' durch den Mechanik- und Eulerexperten [[Clifford Truesdell]]. Der erste Anhang allein wird dort als ‹zeitloses Meisterwerk› bezeichnet.<ref>Seite 200 in: [[Clifford Truesdell|C. A. Truesdell]], ''The Rational Mechanics of flexible or elastic Bodies (1638 – 1788).'' Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae (Opera Mechanica et Astronomia). (Orell Füssli) Turici 1960
* [[V. S. Varadarajan]]: ''Euler through time: A new look at old themes.'' American Mathematical Society, 2006.</ref> Er wurde als eigener Klassiker in die [[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften|Ostwald-Reihe]] der exakten Wissenschaften aufgenommen.<ref>Das ist Euler: ''Von den elastischen Kurven''. Seite 18 – 100 in : Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: ''Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven,'' Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910. (Siehe auch hier unter ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen''.)</ref>

Die '''Zweite Ergänzung''' der ''Methodus Inveniendi''<ref>Mit dem Titel ''Additamentum II: De motu projectorum in medio non resistente, per Methodum maximorum ac minimorum determinando'' (''Über die Aktion von bewegten Körpern''), Seite 309 – 320 in Euler (1744), hier angegeben unter den ''Schriften'' → ''Publikationen (Auswahl)''.</ref> enthält die «älteste Fassung des ''Prinzips der kleinsten Aktion'''»'''''<ref>Seite &nbsp;X in: [[Constantin Carathéodory]], ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. S.&nbsp; VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol.&nbsp;24: ''Methodus inveniendi lineas curvas''. (Orell Füssli) Turici 1952.</ref> und einiger mathematischer Anwendungen desselben. Viele Passagen des Anhangs belegen Eulers philosophische Überzeugung in die Gültigkeit eines minimalen Aktionsprinzips für die gesamte Natur.<ref>Siehe dazu auch H. Heuser (2008), S.&nbsp;151, hier in der ''Literatur''→ ''Sonstiges''.</ref>

Die Verbindung des zweiten Anhangs zur Variationsrechnung besteht darin, dass Euler erstmals das Aktionsprinzip durch die mechanische Größe der ''Aktion'' – gelegentlich auch ''Wirkung'' genannt – bezeichnet. In heutige Notation<ref>Siehe auch [[István Szabó (Ingenieur)|István Szabó]]: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen.'' Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. Darin Seite 123&nbsp;f.</ref> übersetzt besagt es, dass für einen Körper der Masse <math>m</math>, dessen Punkte alle die Geschwindigkeit <math>\vec{v}</math> haben, das Wegintegral <math>\int_{P_1}^{P_2} mv \, ds</math> zwischen zwei Punkten <math>P_1,\, P_2</math> minimal wird. Die Größe <math>dA:= mv \, ds</math> wird hierbei ''Aktion'' bezeichnet. In Eulers Worten:
{{Zitat
 |Text=Nun sage ich, dass die vom Körper beschriebene Linie so beschaffen sein wird, dass unter allen anderen gekrümmten Linien, die in denselben Grenzen enthalten sind,
[<math>\int_{P_1}^{P_2} mv \, ds</math> …] ein Minimum ist.
 |Autor=L. Euler
 |Quelle=''Methodus Inveniendi'' (1744)
 |ref=<ref>Euler (1744), E065, in der deutschen Übers. von Aycock und Diemer (Euler-Kreis Mainz) , hier unter ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen'': S.&nbsp;299&nbsp;f.</ref>}}

Euler gelingt es, verschiedene grundlegende Sätze der Mechanik aus diesem ''Prinzip der kleinsten Aktion'' zu deduzieren.

==== Formulierung der Aufgabe ====
[[Datei:Euler E065 Fig. 3 Methodus Inveniendi.png|mini|Eulers ''Figur 3'' aus den '' Methodus Inveniendi'' (E065)]]
Die Problemstellung findet sich im Original mit den folgenden Worten:
{{Zitat
 |Text=Man soll, wenn <math>Z</math> eine bestimmte Funktion von <math>x</math> und <math>y</math> ist, [… - «und ausserdem die durch Differentiation entstandenen Grössen <math>p, ~ q, ~ r, \ldots</math> vorkommen» -] die Curve <math>az</math> finden [vgl. hier Fig. 3 und 4] , in welcher der Werth der Formel <math>\int Z \, dx</math> am grössten oder am kleinsten ist.
 |Autor=Leonhard Euler
 |Quelle=''Methodus Inveniendi'' (1744)
 |ref=<ref>Euler (1744), E065, S.&nbsp;48 und S.&nbsp;53. In Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' Hrsg. v. [[Paul Stäckel|P. Stäckel]], 1. Teil, [[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften|Ostwalds Klassiker]] 46. Seite &nbsp;21–132. (W. Engelmann) 1894. Zweite Auflage. Leipzig, Berlin 1910.</ref>}}

Hierbei haben <math>x</math> und <math>y</math> die gewöhnliche Bedeutung von Variablen der Abszissen- und Ordinatengröße. Entscheidend ist nun die ''Verallgemeinerung'' hinsichtlich der Funktion <math>Z</math>, die hier im Einschub der Zitats ergänzt wurde. Und zwar dass die Funktion <math>Z</math> auch hinsichtlich der abgeleiteten Größen <math>p:= y'= dy/dx</math>, <math>q:= y' ' = d^2 y/dx^2</math> variierbar und das Kurvenintegral <math>\int Z \, dx</math> als ‹nicht integrierbar› gilt; denn andernfalls wäre die Kurve eines einfachen [[Extremwertproblem]]s der Kurve lösbar, wie er sagt, lösbar «durch die gewöhnliche Methode der Maxima und Minima».<ref>Siehe Euler (1744/1910), S.&nbsp;32 und S.&nbsp;52&nbsp;f., in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' Hrsg. v. [[Paul Stäckel|P. Stäckel]], 1. Teil, [[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften|Ostwalds Klassiker]] 46. Seite &nbsp;21–132. (W. Engelmann) 1894. Zweite Auflage. Leipzig, Berlin 1910.</ref><ref>S.&nbsp;XII in: [[Constantin Carathéodory|C. Carathéodory]], ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. S.&nbsp; VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol.&nbsp;24: ''Methodus inveniendi lineas curvas''. (Orell Füssli) Turici 1952.</ref>

Euler beweist entsprechend zunächst folgende Aussage:
::Sei <math>Z</math> eine nach Differentialen entwickelbare Funktion der Form <math>dZ=M \, dx + N \, dy + P \, dp + Q \, dq + \ldots </math>, so dass <math>M := \partial Z / \partial x \, , N := \partial Z / \partial y \, , P := \partial Z / \partial y', \, Q := \partial Z / \partial y'', \ldots </math>; sei nun ferner <math>Z = Z(x,y)</math> allein von <math>x</math> und <math>y</math> abhängig. Dann lässt sich die Variation des Funktionals <math>Z</math> immer auf die Funktion <math>Z(x) = y</math> zurückführen, und es gilt: <math>N = P = \ldots = 0</math>.

::Ferner ergibt sich die ''gewöhnliche Extremalbedingung'' der Differentialrechnung: <math>Z'(x)= \frac{ d Z }{ d x} = 0</math>.<ref>Siehe Euler (1744/1910), S.&nbsp;49, in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' (W. Engelmann) Zweite Auflage. Leipzig, Berlin 1910.</ref>

==== Erste Variation: Begründung ====
[[Datei:Euler (1744) Methodus Inveniendi Fig. 4.png|mini|Die geometrische Darstellung der Variationsmethode in Euler (1744), Fig. 4]]
Euler schreitet nun gewissermaßen „induktiv“ weiter zur so genannten [[Erste Variation|Ersten Variation]], bei der nach jeder infinitesimal kleinen Änderung des Kurvenverlaufs eine lineare Abhängigkeit des Funktionals <math>Z ( x, \, y, \, p ) </math> von der Steigung <math>p:= y'= dy/dx</math> angenommen wird.<ref>Der Begriff der ''First Variation'' orientiert sich an der entsprechenden Taylor-Entwicklung des Funktionals, wie etwa dargestellt in B. van Brunt, ''The Calculus of Variations''. (Springer) New York, Berlin, Heidelberg 2000: S.&nbsp; 9, &nbsp;29.</ref>

Eulers Begründung ist hierbei geometrisch zu nennen: Er teilt die gedachte Kurve in verschiedene Abszissenabschnitte (siehe hier Fig. 4) ein und betrachtet die Veränderung der Funktionswerte von endlichen Nachbarpunkten, wenn ein zentraler Funktionswert in <math>N</math> um den (infinitesimalen) Abschnitt <math>dy= \nu \mu </math> variiert wird.<ref>Den Beweisgang findet man in Euler (1744/1910), S.&nbsp;54 von: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' (W. Engelmann) Zweite Auflage. Leipzig, Berlin 1910.</ref><ref>Siehe auch die Rekonstruktion in C. Carathéodory, ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. S.&nbsp; VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol.&nbsp;24: ''Methodus inveniendi lineas curvas''. (Orell Füssli) Turici 1952.</ref> Die Betrachtung der einzelnen Steigungsänderungen, die schließlich aufsummiert werden, führt Euler in der ersten Variation auf den ‹Differentialwert› <math> \nu \mu ( N \, dx - dP ) </math>. Damit die Kurve <math>amz </math> extremal sein soll, ist dieser Differentialwert selbst Null zu setzen, so dass, in den Worten Eulers und entsprechend dem lateinischen Text unter der hier angegebenen Abbildung, das zentrale Ergebnis folgt:
{{Zitat
 |Text=''Folgerung'' I. ''22''. Ist also <math>Z</math> eine Funktion von <math>x</math> und <math>y</math> und von ihren Differentialen <math>dx</math> und <math>dy</math> oder an Stelle dieser Differentiale von <math>p</math> selbst, wobei <math>dy = p \, dx</math> ist, so hat das Differential von <math>Z</math> die Form
::<math>dZ = M \, dx + N \, dy + P \, dp ,</math>
und hieraus finden man die Curve, in welcher <math>\int Z \, dx</math> ein Maximum oder Minimum ist, wenn man die Gleichung bildet
::<math>N - \frac{dP}{dx}=0</math>, oder <math> N \, dx = dP </math>.
 |Autor=Leonhard Euler
 |Quelle=''Methodus Inveniendi'' (1744)
 |ref=<ref>Euler (1744), E065, S.&nbsp;54. In Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' (W. Engelmann) 1894. Zweite Auflage. Leipzig, Berlin 1910.</ref>}}
In heutiger Notation<ref>Siehe etwa B. van Brunt, ''The Calculus of Variations''. (Springer) New York, Berlin, Heidelberg 2000: S.&nbsp; 9, &nbsp;33.</ref> wird somit die Form der ''Euler-Lagrange-Gleichung'' dargestellt:
::Sei das Funktional <math>J(y) = \int_{x_0}^{x_1} f(x,y,y') \, dx</math> gegeben und <math>f</math> eine stetige, partiell differenzierbare Funktion, so gilt für alle <math>x \in [x_0, x_1 ]</math>:
::::<math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \Bigl( \frac{\partial f}{\partial y ' }\Bigr)- \frac{\partial f}{\partial y} = 0</math>

Euler setzt dieses Verfahren entsprechend für Variationen von höherer Ordnung fort.<ref>Die allgemeine Deduktion wird treu am Original und mit kritischem Blick auf Eulers gelegentlich lückenhafte Behandlung von infinitesimalen Grenzgängen rekonstruiert, und zwar auf den Seiten S.&nbsp; XIII – XVI von [[Constantin Carathéodory|C. Carathéodory]], ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol.&nbsp;24: ''Methodus inveniendi lineas curvas''. (Orell Füssli) Turici 1952.</ref>

==== Beispielhafte Lösung der Brachistochrone ====
Die Aufgabe der [[Brachistochrone]] war schon vor der Zeit Eulers ein vorrangiges mathematisches Forschungsgebiet und der ‚mechanische Anstoß‘ zur Variationsrechnung von Kurven.<ref>Siehe dazu etwa R. Thiele: ''Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte''. S.&nbsp;165–176 des Kapitels ''Eulers Werk: Mathematik'' in G. Biegel, A. Klein, T. Sonar ''Leronhard Euler (1707–1783) – Mathematiker – Mechaniker - Physiker'' (Braunschweigisches Landesmuseum) Braunschweig 2008.</ref> Sie wird von Euler nach Art einer beispielhaften Anwendung seiner Variationsmethode behandelt.<ref>Das ist ‚Beispiel III‘ in Euler (1744/1910), S.&nbsp;61&nbsp;f., in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' (W. Engelmann) Zweite Auflage. Leipzig, Berlin 1910. (E065, in der Übersetzung von P. Stäckel). In der Originalausgabe Euler (1744), E065 auf S.&nbsp;49 – 51 (Exemplum III). Dazu illustriert der Herausgeber [[Paul Stäckel|P. Stäckel]] in der Anm. &nbsp; 23, S. &nbsp;140, den Grund für die Vertauschung von Abszisse und Ordinate in diesem Fall der Kreisbewegung. Es belegt auf ein Neues, wie Euler jede ‚Problema‘ und jedes ‚Exemplum‘ immer wieder neu denkt und verändert, nicht bei einer Lösung stehen bleibt.</ref> Zudem ergänzt Euler sie als einen Spezialfall der Variation einer [[Kurvenschar]]
:<math> \int y^n\, dx\,\sqrt{1+y'^{\,2}},\textrm{mit} ~ ~n\in \Q, y'= dy/dx</math>.

Damit sorgt er dort für eine Verallgemeinerung der Variationsaufgabe:<ref>Euler (1744/1894), E065, in der Übersetzung von P. Stäckel, hier angegeben unter ''Schriften'' →''Deutsche Übersetzungen'': S.&nbsp;61 (Nr.&nbsp;34 u.&nbsp;35 des 2.&nbsp;Kap.)</ref>

Für <math>n=- \frac{1}{2}</math> lautet die entsprechende Variationsgleichung<ref>B. van Brunt, ''The Calculus of Variations''. (Springer) New York, Berlin, Heidelberg 2000: S.&nbsp; 9, &nbsp;40.</ref>

:<math>\delta J[y] = \int_{a}^{b} dx\,\frac{\sqrt{1+y'^{\,2}}}{\sqrt{y}}= 0</math>, wobei das Funktional nur von <math> y</math> abhängig ist

Der Variation entspricht die Differentialgleichung
:<math>y\cdot (1+y'^{\,2}) = a</math>, <math> a</math> = ''const.'', deren Lösung die [[Zykloide]]nkurve ist.<ref>Euler (1744/1910), E065: in Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' (in der Übersetzung von P. Stäckel). W. Engelmann, 2. Auflage. Leipzig, Berlin 1910. S.&nbsp;63. Darin wird die entsprechende Integralgleichung <math> x= \int dy\,\sqrt{\frac{y}{a-y}}</math> zur Zykloiden angegeben.</ref>

Euler löst dort auch das erste, mathematisch formulierte Variationsproblem, das von [[Isaac Newton|I. Newton]] aus dem zweiten Buch seiner [[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica|Principia Mathematica]] stammt, in der Art eines Zusatzes (‚Lemma‘).<ref>In Euler (1744/1910), E065: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' (in der Übersetzung von P. Stäckel). W. Engelmann, 2. Auflage. Leipzig, Berlin 1910. S.&nbsp;63. Die Anmerkungen auf Seite 140&nbsp;f. erläutern den historischen Hintergrund.</ref>

Im Hauptteil seiner Variationsmethode behandelt Euler die von ihm so genannten ''elastischen'' Kurvenformen, nach dem Vorschlag von Daniel Bernoulli, unter dem einheitlichen Variationsproblem des minimalen Potentials.<ref>Siehe P. Stäckels Anmerkung 33, S.&nbsp;142, in: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli:''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' W. Engelmann, 2. Auflage. Leipzig, Berlin 1910. S.&nbsp;63. Die Anmerkungen auf Seite 140&nbsp;f. erläutern den historischen Hintergrund.</ref> Zur Erläuterung hat Euler einen umfangreichen Anhang (''Additamentum I: De Curvis Elasticis'') ergänzt. Diese Ergänzung allein begründet die mathematische [[Elastizitätstheorie]] und ging in die Wissenschaftsgeschichte ein. Er liegt in deutscher Übersetzung (von H. Linsenbarth) in der Reihe [[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften|Ostwalds Klassiker]] vor. Der Mitherausgeber der Mechanik-Reihe der ''Euleri Opera Omnia'' [[Clifford Truesdell]] hat diesem ''Additamentum'' einen eigenen Ergänzungsband gewidmet.<ref>Das ist C. Truesdell: ''The rational mechanics of flexible elastic bodies 1638–1788.'' Einleitung zu den Bänden X und XI  der ''Leonardi Euleri Opera Omnia'', Series II (Opera Mechanica et Astronomia). (Orell Füssli) Turici 1960.</ref>

=== Transzendente Funktionen ===

Als Vorreiter auf diesem neuen Gebiet schuf Euler die Theorie der [[Gaußsche hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen Reihen]], der q-Reihen und der [[Hyperbolische Funktion|hyperbolischen trigonometrischen Funktionen]].

==== Riemannsche Zeta-Funktion ====

Auch die [[Funktionalgleichung]] der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] <math>\zeta(s)</math>, die Euler für die verwandte Funktion
: <math> \phi(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = (1 - 2^{1-s}) \zeta(s)</math>
in der Form
: <math> \pi^s \left(2^{s-1} - 1 \right)\phi(1-s) + (2^s - 1) \cos\left( \frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(s) \phi(s) = 0</math>
angab, sowie einige deren Werte an negativen Stellen, waren Euler bereits bekannt. Dabei handelt es sich ''nicht'' um eine klassische [[Gleichung]], wie etwa <math> 2x + 2 = 0</math>, die nur vom Wert <math> x = - 1</math> gelöst wird, sondern um eine Identität, d.&nbsp;h. die Gleichung stimmt, egal was eingesetzt wird. Beispielsweise ist <math> x = x</math> eine (triviale) Identität, und im Falle der Zeta-Funktion stellte Euler einen für alle <math> s</math> gültigen Zusammenhang zwischen den Werten <math> \zeta(s)</math> und <math> \zeta(1-s)</math> her. Diese vermutete er nach umfassenden numerischen Berechnungen, die auf der heute als richtig bekannten Darstellung
: <math> (1 - 2^{1-s})\zeta(s) = \lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n^s}</math>
beruhten.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 216.</ref> Die Riemannsche Zeta-Funktion spielt eine sehr wichtige Rolle in der [[Zahlentheorie]] und die Funktionalgleichung wurde von [[Bernhard Riemann]], der erstmals einen strengen Beweis vorlegte, benutzt, um seine Theorie über [[Primzahl]]en aufzubauen.

==== Beta- und Gamma-Funktion ====

Bereits im Jahr 1729 entwickelte Euler unter Hilfenahme des [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatzes]] die für natürliche Zahlen <math>m,n</math> gültige Formel
: <math> \int_0^1 x^m (1-x)^n \mathrm{d}x = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{(m+1)\cdot(m+2)\cdots (m+n+1)}.</math>
Daraus leitete er eine Integraldarstellung für die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultätsfunktion]] ab:
: <math> n! = \int_0^1 (-\log(x))^n \mathrm{d}x.</math>
Diese Resultate führten zur Entdeckung der [[Eulersche Betafunktion|Beta-]] und [[Gammafunktion]] durch Euler, der ihre grundlegenden Eigenschaften studierte. In Korrespondenz mit Christian Goldbach im Jahr 1729 verallgemeinerte Euler zunächst die Fakultät und führte 1730 das Euler-Integral der zweiten Art ein, das für komplexe Werte <math>z</math> mit positivem [[Realteil]] die Euler-Gammafunktion darstellt:<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 235–236.</ref>
: <math> \Gamma(z) = \int_0^1 (-\log(x))^{z-1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t.</math>
Bereits in einem Brief von 1729 an Christian Goldbach hatte Euler eine Formel für die ''halbzahlige Fakultät'' erwähnt in der Form: <math> (\tfrac12)! = \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}</math>.<ref>Leonhard Euler: ''Briefwechsel.'' Opera omnia, Series Quarta A, Vol, 1, S. 134.</ref> Das Integral erster Art stellt die Beta-Funktion für <math>x,y > 0</math> dar:<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 236.</ref>
: <math> \mathrm{B}(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \mathrm{d}t.</math>
Aus den besonderen Eigenschaften dieser Funktionen leitete Euler nicht nur Beziehungen zur [[Euler-Mascheroni-Konstante]]n ab, sondern gab auch die Produktformeln<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 240.</ref>
: <math> \Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^z \left( 1 + \frac{z}{n}\right)^{-1}</math>
und
: <math> \frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(-z)} = -z^2 \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{z^2}{n^2} \right) = - \frac{z}{\pi} \sin(\pi z),</math>
wobei letztere als [[Gammafunktion#Grundlegende Funktionalgleichungen|Eulerscher Ergänzungssatz]] ''(Euler reflection formula)'' bekannt ist.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 242.</ref> Die Beta-Funktion ist die Grundlage der [[Beta-Verteilung]] aus der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]. Die [[Gamma-Funktion]] taucht bei der [[Gammaverteilung|Gamma-Verteilung]] auf, spielt aber auch in [[Funktionentheorie|Funktionen-]] und [[Zahlentheorie]] unter anderem im Kontext vervollständigter [[L-Funktion]]en eine wichtige Rolle.

=== Elliptische Integrale ===

Eulers großes Interesse an [[Elliptisches Integral|elliptischen Integralen]] und [[Elliptische Funktion|elliptischen Funktionen]] geht auf seine frühen Jahre bei [[Johann I Bernoulli|Johann Bernoulli]] zurück. Während seines Studiums an der Berliner Akademie erhielt Euler am 23. Dezember 1751 ein zweibändiges Werk von [[Giulio Carlo Fagnano dei Toschi|Giulio Fagnano]] mit dem Titel ''Produzioni Matematiche'', das 1750 für seine formale Überprüfung veröffentlicht wurde. Diese Arbeit enthielt die Formel für die Verdoppelung der Bogenlänge der [[Lemniskate von Bernoulli|Lemniskate]], deren [[Polarkoordinaten]]gleichung <math> r^2 = a^2 \cos(2\theta)</math>, und deren [[algebraische Gleichung]] <math> (x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2)</math> lautet. Euler wurde durch diese Arbeit enorm inspiriert und half, einen neuen Bereich [[Algebraische Funktion|algebraischer Funktionen]] zu schaffen.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 184.</ref>

Euler war imstande, das heute als [[Additionstheorem für elliptische Integrale]] (erster Gattung) bekannte Resultat zu beweisen. Setzt man <math> R(t) = 1 + mt^2 + nt^4</math> mit ganzen Zahlen <math>m,n</math>, so folgt aus der Gleichheit
: <math> \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{R(t)}} + \int_0^y \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{R(t)}} = \int_0^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{R(t)}}</math>
bereits
: <math> z = \frac{x\sqrt{R(y)} + y\sqrt{R(x)}}{1 - n x^2y^2}.</math>
Dies wird Eulersches Additionstheorem ''(Euler addition theorem)'' genannt. Im Jahre 1753 entdeckte Euler viele Additionsformeln für elliptische Integrale, die gewöhnlich in direktem Bezug zum Additionstheorem stehen.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 188–189.</ref>

== Zahlentheorie und Kombinatorik ==

Eulers Interesse an der [[Zahlentheorie]] lässt sich auf den Einfluss von [[Christian Goldbach]], seinem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Dabei ist Zahlentheorie im Grunde die Wissenschaft der natürlichen Zahlen <math> 1, 2, 3, ...</math> und deren Eigenschaften. Eine ''zahlentheoretische Eigenschaft'' einer Zahl ist dabei zum Beispiel, ob sie durch eine andere Zahl geteilt werden kann oder durch wie viele Zahlen sie geteilt werden kann. Beispielsweise hatte Euler die Einsicht, dass eine ''ungerade'' Zahl größer als <math>1</math> nur durch <math>1</math> und sich selbst teilbar ist (eine [[Primzahl]] ist), wenn es bis auf Reihenfolge nur ''eine'' Möglichkeit gibt, sie als Summe von zwei teilerfremden positiven Quadratzahlen zu schreiben. Damit ist sie gleichzeitig darstellbar als <math>4n + 1</math> mit einer natürlichen Zahl <math>n</math>. (Gleiches gilt sinngemäß für die Quadratzahlen von Primzahlen, etwa <math>25 = 5^2 = 4\times6 + 1 = 3^2 + 4^2</math>). So besitzt etwa die Zahl <math> 1 \ 000 \ 009</math> einen nicht-trivialen Teiler, ist also keine Primzahl, da<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 36</ref>
: <math> 1 \ 000 \ 009 = 1\ 000^2 + 3^2 = 972^2 + 235^2.</math>
Aber im Falle <math>29</math> gilt <math> 29 = 5^2 + 2^2 = 4\times7 + 1</math>, die Zahlen <math>2</math> und <math>5</math> sind teilerfremd, und sonst gibt es keine weitere Möglichkeit zu einer Zerlegung in zwei nicht-triviale Quadrate. Also ist <math>29</math> eine Primzahl. Zu beachten ist jedoch, dass auf der anderen Seite nicht jede Primzahl als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann. Lediglich die Primzahlen der Form <math>4n +1</math> sind stets die Summe zweier Quadratzahlen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von [[Pierre de Fermat]]. Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.

Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu [[Eulersche Zahlen (Begriffsklärung)]].

=== Elementare Zahlentheorie ===

Zum Beispiel widerlegte er Fermats Vermutung, alle [[Fermat-Zahl]]en seien ebenfalls [[Primzahl]]en, indem er zeigte, dass die Zahl <math> F_5 = 2^{2^5} + 1</math> durch 641 teilbar ist.

Er trug wesentlich zur Theorie der [[Perfekte Zahl|vollkommenen Zahlen]] bei, die die Mathematiker seit [[Euklid]] fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und [[Mersenne-Primzahl]]en sogar [[Bijektion|eins zu eins]] ist, ein Ergebnis, das als [[Euklid-Euler-Satz]] bekannt ist. 1772 hatte Euler in einem Brief an Goldbach korrekt behauptet, dass <math>2^{31} - 1 =</math> [[2147483647|2.147.483.647]] eine Mersenne-Primzahl ist.<ref>William Dunham: ''Euler. The master of us all.'' Band 22, S. 4–5.</ref> Sie galt bis 1867 als die größte gefundene Primzahl.<ref>Chris Caldwell: [https://primes.utm.edu/notes/by_year.html ''The largest known prime by year.''] Abgerufen am 26. Januar 2020.</ref> Bereits 1732 konnte er die 19-stellige vollkommene Zahl
: <math> P = 2^{30} \cdot (2^{31}-1)</math>
konstruieren.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 62.</ref>

=== Algebraische Zahlentheorie ===

Er gab gleich mehrere Beweise für den [[Kleiner Fermatscher Satz|kleinen Fermatschen Satz]] und war der erste, der einen Beweis publizierte (der von Leibniz im Jahr 1683 geführte Beweis tauchte erst 1894 auf). Sein erster Beweis wurde mittels [[Vollständige Induktion|Induktion]] geführt, was für die damalige Zeit ungewöhnlich war.<ref>Jeff Suzuki: ''Euler and Number Theory: A Study in Mathematical Invention.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 371–372.</ref> Er führte auch die [[Eulersche Phi-Funktion]] ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als [[Satz von Euler]] bekannt ist.

Euler leistete wichtige Vorarbeit zu Lagranges [[Vier-Quadrate-Satz]], indem er 1751 bewies, dass sich jede positive rationale Zahl als Summe vierer rationaler Quadrate schreiben lässt. Bereits zuvor, im Jahre 1748, hatte er in einem Brief an Goldbach die Identität
: <math> (a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)</math>
: <math>{}=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2)^2</math>
: <math>{}+{}(a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2)^2</math>
: <math>{}+{}(a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2)^2</math>
: <math>{}+{}(a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2)^2</math>
erwähnt, womit sich das Problem auf Primzahlen reduzieren ließ.<ref>John Stillwell: ''Mathematics and Its History.'' 3. Edition, Springer, S. 423.</ref> Nachdem Lagrange gezeigt hatte, dass sich jede positive ''ganze'' Zahl als Summe vierer ''ganzer'' Quadrate schreiben lässt, lieferte Euler kurz darauf einen einfacheren Beweis.<ref>Jeff Suzuki: ''Euler and Number Theory: A Study in Mathematical Invention.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 375.</ref> Es gilt zum Beispiel
: <math> 34 = 5^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 = 25 + 4 + 4 + 1.</math>
Bemerkenswert ist eine weitere Idee Eulers, die aus seiner Beschäftigung mit der ''Partitio numerorum'' hervorging, den Satz von Lagrange zu beweisen. Dafür betrachtete er die Potenzreihe
: <math> (1 + q + q^4 + q^9 + q^{16} + \dotsb)^4 = \sum_{n=0}^\infty A_4(n)q^n,</math>
wobei für den Vier-Quadrate-Satz <math> A_4(n) > 0</math> für alle ''n'' hinreichend ist. Diese Beweisidee deutete Euler in Briefen an Goldbach und in einigen Arbeiten (wie E394, E586) an. So schrieb er im August 1750: „Dieser Weg deucht mir noch der natürlichste zu sein, um zum Beweis […] zu gelangen“.<ref>Herbert Pieper: ''Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi.'' Elem. Math. 60 (2005), 89–107, S. 104.</ref> Bei der betrachteten Potenzreihe handelt es sich um die vierte Potenz einer modifizierten [[Thetareihe]] – [[Carl Gustav Jacobi|Jacobi]] ging später diesen Weg um den Satz von Lagrange rein analytisch zu beweisen.

Ebenso zeigte er Fermats Satz über die [[Zwei-Quadrate-Satz|Summe zweier Quadrate]]. Dieser liefert ein Kriterium, wann sich eine positive [[ganze Zahl]] als Summe zweier ganzer Quadrate schreiben lässt. Beispielsweise gilt <math> 13 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4</math>, jedoch gibt es für die Zahl <math> 7</math> keine Möglichkeit für eine solche Zerlegung.

Euler zeigte den [[Großer Fermatscher Satz|großen Fermatschen Satz]] für die Fälle <math>n=3</math> und <math> n=4</math>. Er bewies, dass ''keine'' Quadratzahl größer als Null als Summe zweier Biquadrate größer als Null geschrieben werden kann, womit bereits folgt, dass die Gleichung <math>x^4 + y^4 = z^4 </math> keine positiven ganzzahligen Lösungen besitzt. Im Fall <math>n = 3</math> faktorisierte Euler <math> p^2 +3q^2 </math> zu <math> (p + q\sqrt{-3})(p - q\sqrt{-3})</math>. Durch die Verwendung dieser Variante der [[Gaußsche Zahl|Gaußschen Zahlen]] und einer impliziten Annahme der eindeutigen Faktorisierung konnte Euler einen Beweis konstruieren, der die Unmöglichkeit des Falls <math> n=3</math> zeigte. Wie bei seinem Beweis für den Fall <math>n = 4</math> beruhte der von Euler geführte Beweis in erster Linie auf Manipulationen algebraischer Symbole und [[Parität (Mathematik)|Paritätsargumenten]] und führte wenig neue Methoden ein.<ref>Jeff Suzuki: ''Euler and Number Theory: A Study in Mathematical Invention.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 381–382.</ref> Wie Generationen von Mathematikern nach ihm scheiterte Euler jedoch am allgemeinen Beweis des großen Fermatschen Satzes. Ein vollständiger Beweis wurde erst 1995 durch [[Andrew Wiles]] und [[Richard Taylor (Mathematiker)|Richard Taylor]] als Konsequenz des [[Modularitätssatz]]es für semi-stabile [[elliptische Kurve]]n erbracht.<ref>Gary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens: ''Modular Forms and Fermat’s Last Theorem'', Springer, S. 10</ref>

Euler vermutete das Gesetz der [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratischen Reziprozität]], das später durch [[Carl Friedrich Gauß]] bewiesen wurde.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 98.</ref> Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie.

=== Kombinatorik ===

Obwohl die [[Kombinatorik]] erst später zu einem neuen modernen Zweig der Mathematik wurde, haben Probleme des Zählens eine lange und frühe Geschichte. Euler betrachtete Probleme der [[Permutation]]en und Kombinationen und formulierte ein bestimmtes Problem wie folgt: Angesichts einer beliebigen Folge von <math>n</math> Buchstaben <math>a, b, c, d, e, \dotsc</math>, wie viele Möglichkeiten gibt es, sie neu anzuordnen, sodass keine wieder auf die ursprünglich besetzte Position zurückkehrt? In diesem Zusammenhang führte Euler die Notation <math>\Pi(n)</math> ein, um die Anzahl der Permutationen der <math>n</math> Buchstaben <math>a, b, c, d, e, \dotsc</math> darzustellen, bei denen keiner seine ursprüngliche Position wieder einnimmt. Eine solche Permutation wird heute als [[fixpunktfreie Permutation]] bezeichnet.

[[Datei:Ferrer partitioning diagrams.svg|mini|hochkant=1.2|Die Partitionszahl einer Zahl ''n'' ist gegeben durch die Anzahl aller Möglichkeiten, diese als Summe kleinerer positiver ganzer Zahlen zu schreiben. Zum Beispiel ist 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1, also ''p''(4) = 5. Die Graphik zeigt die Partitionen der Zahlen 1 bis 8 geometrisch.]]

Mit einem einfachen Argument bewies Euler mehrere [[Rekursion]]sformeln für <math>\Pi(n)</math>, darunter die doppelte Rekursionsformel
: <math> \Pi(n) = (n-1)\left( \Pi(n-1) + \Pi(n-2)\right).</math>
Er gab auch die explizite Formel
: <math> \Pi(n) = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dotsb + \frac{(-1)^n}{n!} \right) </math>
an, die beweist, dass der Quotient aus fixpunktfreien Permutationen und ''allen'' <math>n!</math> Permutationen rapide gegen die Zahl <math> \tfrac{1}{e} \approx 0{,}367879</math> konvergiert.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 343–344.</ref>

Ebenfalls auf Euler geht der [[Pentagonalzahlensatz]]
: <math> \prod_{n=1}^\infty (1-x^n) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2} </math>
zurück, er zeigte ihn 1750.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 71.</ref> Daraus lässt sich eine [[Rekursionsformel]] für die [[Partitionsfunktion|Partitionen]] herleiten. Diese wurde von [[Percy Alexander MacMahon]] dazu verwendet, die Werte der Partitionsfunktion <math> p(n)</math> bis <math> n=200</math> zu berechnen.<ref>Wright Hardy: ''An introduction to the theory of numbers.'' Clarendon Press 1975, S. 286.</ref> Dabei zählt die Funktion <math>p(n)</math>, auf wie viele Arten und Weisen sich <math> n </math> als Summe natürlicher Zahlen schreiben lässt. Zum Beispiel ist <math> p(4) = 5</math>, denn <math> 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1</math>. Es gilt <math> p(200) = 3.972.999.029.388</math>. Der Pentagonalzahlensatz ist zudem ein Eckpfeiler zwischen der Kombinatorik und der Theorie der [[Modulform]]en.

In den 1780er Jahren befasste Euler sich mit griechisch-lateinischen oder [[Eulersches Quadrat|Eulerschen Quadraten]], in denen in jeder Zeile und auch in jeder Spalte jedes Element einer Menge G mit n Elementen und ebenso jedes Element einer Menge L mit n Elementen genau einmal vorkommen muss, und jedes Tupel (g,l)&nbsp;∈&nbsp;G×L muss im gesamten n×n-Quadrat genau einmal vorkommen. Euler fand Methoden zur Konstruktion von Eulerschen Quadraten mit ungerader oder durch vier teilbarer Größe n. Es gelang ihm jedoch nicht, auch für n&nbsp;≡&nbsp;2&nbsp;[[Modulo|mod]]&nbsp;4 Lösungen zu finden. Der Fall n&nbsp;=&nbsp;6 ist als ''Problem der 36 Offiziere'' oder '''36-Offiziere-Rätsel''' bekannt geworden, das Euler 1779 aufgab und das keine klassische Lösung besitzt.<ref>{{Internetquelle |autor=Dan Garisto |url=https://www.spektrum.de/news/quantenphysik-die-superposition-loest-ein-uraltes-matheraetsel/1985230 |titel=Quantenoffiziere lösen jahrhundertealtes Rätsel |hrsg=Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH |datum=2022-02-10 |abruf=2022-03-12}}</ref>

=== Analytische Zahlentheorie ===

Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die [[Satz von Euler (Primzahlen)|Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert]]. Dabei fand er die Verbindung zwischen der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als [[Euler-Produkt]]-Formel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt:
: <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p \, \mathrm{Primzahl}} \frac{1}{1-\tfrac{1}{p^s}} = \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{2^s}\right)\left( 1 - \frac{1}{3^s}\right)\left( 1 - \frac{1}{5^s}\right) \cdots},</math>
wobei sich das Produkt über alle [[Primzahl]]en erstreckt. Wie sich später herausstellte, hat diese Identität weitreichende Konsequenzen für Aussagen über die Verteilung der Primzahlen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des [[Primzahlsatz]]es.<ref>William Dunham: ''Euler: The Master of Us All.'' Mathematical Association of America, 1999, ISBN 978-0-88385-328-3. Kapitel 3 und 4.</ref>

=== Kettenbrüche ===

Auf der Grundlage früherer Arbeiten seiner Vorgänger begann Euler seine Forschungen zu [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]] und veröffentlichte 1737 in einer Arbeit mit dem Titel ''De Fractionibus Continuis'' viele neue Ideen und Ergebnisse. Er bewies auch, dass jede rationale Zahl durch einen endlichen Kettenbruch dargestellt werden kann und fand eine unendliche Kettenbruch-Darstellung für die Zahl <math>\mathrm{e}</math> in folgender Form:
: <math>\mathrm{e} = 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}}}}}</math>
Daraus (und aus einer ebenfalls unendlichen Darstellung als Kettenbruch für <math> \mathrm{e}^2 </math>) folgerte Euler die Irrationalität von <math> \mathrm{e}</math> und <math> \mathrm{e}^2</math>.<ref name="LD80">Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 80.</ref> Er gab nicht-reguläre Kettenbrüche (also ohne ausschließlich Einsen in den Zählern der neuen Brüche) für die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math>, wie in etwa<ref name="LD80" />
: <math> \pi = 3+\frac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\dotsb}}}}}} </math>
Er bewies zusätzlich ein Theorem, das besagt, dass die Lösung einer quadratischen Gleichung dann und nur dann reell ist, wenn sie eine periodische Kettenbruchentwicklung hat.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 81.</ref>

=== Die Euler-Mascheroni-Konstante ===

Euler entdeckte 1734 (möglicherweise früher) zuerst einen Zusammenhang zwischen dem Wachstum natürlicher Logarithmen und der [[Harmonische Folge|harmonischen Folge]].<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 93.</ref><ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. xvii.</ref><ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 178.</ref> Obwohl die Terme <math> \tfrac{1}{n}</math> für größer werdende Werte <math>n</math> gegen 0 streben, gilt
: <math> 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \dotsb = \infty.</math>
Also ist die Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen unbeschränkt. Zieht man jedoch von der harmonischen Folge <math> H_N = 1 + \tfrac12 + \dotsb + \tfrac{1}{N}</math> jeweils den Term <math> \log(N)</math> ab, so wird das unbeschränkte Wachstum weggehoben und die Differenz konvergiert gegen einen Wert, der heute [[Euler-Mascheroni-Konstante]] oder ''Eulersche Konstante'' genannt wird:
: <math> \gamma = \lim_{N \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{N} - \log(N)\right) \approx 0{,}57721. </math>
Trotz dieser fundamentalen Definition sind die algebraischen Eigenschaften von <math> \gamma </math> bis heute weitgehend ungeklärt. Es wird vermutet, dass <math> \gamma</math> [[Irrationale Zahl|irrational]] ist, jedoch wurde bisher kein Beweis dafür gefunden.<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical Constants.'' Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 30.</ref> Im Jahr 1736 hatte er die Zahl <math>\gamma</math> in seiner Arbeit E47 bereits auf 15 Stellen berechnet.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 107.</ref>

== Geometrie, Topologie und Graphentheorie ==
=== Geometrie ===

Die Mehrzahl seiner Entdeckungen in der Geometrie gelangen Euler durch die Anwendung algebraischer und analytischer Methoden. Das Lehrgebäude sowohl der ebenen wie auch der sphärischen Trigonometrie verdankt seine heutige Form – einschließlich der Notationsweise – Leonhard Euler. Seine – von Johann Bernoulli angeregten – Studien über geodätische Linien auf einer Fläche waren richtungsweisend für die später einsetzende Entwicklung der [[Differentialgeometrie]]. Von noch größerer Bedeutung waren seine Entdeckungen in der [[Flächentheorie]], von der [[Gaspard Monge]] und andere Forscher in der Folge ausgehen sollten. In seinen späten Jahren schließlich nahm Euler seine Arbeiten über die allgemeine Theorie der Raumkurven exakt dort wieder auf, wo Clairaut 1731 aufgehört hatte – allerdings wurden sie erst postum gedruckt.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 52–53.</ref>

In den Grundlagen der Differentialgeometrie lieferte er Beiträge für die Krümmung einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] und leitete eine analytische Formel für die Radien der [[Schmiegekreis]]e her. Außerdem entdeckte er die zwei [[Hauptnormalschnitt]]e einer Oberfläche und die Hauptkrümmungen <math>\kappa_1</math> und <math>\kappa_2</math>. Eines seiner Ergebnisse, die sogenannte Euler-Gleichung, ergibt die Krümmung <math>\kappa</math> eines beliebigen anderen Normalenabschnitts, der einen Winkel <math>\alpha</math> mit einem der Abschnitte mit der Hauptkrümmung einschließt, in der Form
<math> \kappa = \kappa_1 \cos^2(\alpha) + \kappa_2 \sin^2(\alpha).</math>
Es war Euler, der sich erstmals mit [[Abwickelbare Fläche|abwickelbaren Oberflächen]] (z.&nbsp;B. einem [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] oder einem [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]) beschäftigte, d.&nbsp;h. Oberflächen, die ohne Verzerrungen wie Dehnung oder Reißen in eine Ebene verformt werden können. Eine Fläche wird als [[Regelfläche]] bezeichnet (z.&nbsp;B. ein Zylinder, Kegel, [[Hyperboloid]] oder hyperbolisches [[Paraboloid]]), wenn sie durch die Bewegung einer geraden Linie im Raum erzeugt werden kann.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 137.</ref>

Es ist bekannt, dass Euler rein mathematisch die zuerst von Jakob Bernoulli und [[Christiaan Huygens]] studierte [[Kreisevolvente]] als günstigste Profilform der Flanken bei Zahnrädern eruiert hat. Diese Kurve liefert – sinnvoll verwendet – optimale mechanische Eigenschaften bezüglich Reibungsverlust, Geräuscharmut und Kraftübertragung (technisch realisiert wurde diese Entdeckung bzw. Erfindung Eulers erst im 19.&nbsp;Jahrhundert mit der [[Evolventenverzahnung]]). Weniger bekannt ist, dass Euler in dieser bereits 1762 entstandenen Arbeit E330 die heute nach [[Felix Savary]] benannte Gleichung antizipiert hat. Sie dient zur Bestimmung des [[Krümmungsradius]] einer [[Rollkurve]] und ermöglicht eine elegante Konstruktion deren Krümmungszentren.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 53–54.</ref>

Innerhalb der elementaren Geometrie beschäftigte sich Euler unter anderem mit einem Vorläufer des [[Doppelverhältnis]]ses und den [[Möndchen des Hippokrates|„Möndchen“]] des [[Hippokrates von Chios|Hippokrates]]. Letzteren widmete er zwei weit auseinander liegende Arbeiten E73 und E423.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 56.</ref> In einer kurzen Abhandlung E648 aus dem Jahre 1779 löste Euler das sog. [[Apollonisches Problem|Taktionsproblem des Apollonius]]. Dies verlangt die (elementar stets mogliche) Konstruktion eines (vierten) Kreises, der drei beliebig gegebene Kreise in der Ebene berührt. Dieses Problem wurde jedoch bereits vor Euler von [[François Viète]], [[Isaac Newton]] und anderen gelöst. Kurz darauf verallgemeinerte er in E733 das Problem auf den dreidimensionalen Raum und fand die Konstruktion der Berührungskugel zu vier beliebig gegebenen Kugeln. Auch diese Konstruktion führt bloß auf eine [[quadratische Gleichung]] und kann somit elementar geleistet werden.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 58.</ref>

=== Topologie ===

[[Datei:Euler Polyeder.pdf|mini|Eulers Polyederzeichnungen in seiner ''Elementa doctrinae solidorum''. Erstmals publiziert in der ''Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae'', 1758.]]

In einem Brief vom 14. November 1750 aus Berlin an Christian Goldbach nach Sankt Petersburg kündigte Euler seine Entdeckung eines fundamentalen Zusammenhangs zwischen wichtigen Größen eines konvexen Polyeders an. Seine Entdeckung war die Formel <math> E - K + F = 2 </math> bezüglich Anzahl der Ecken (''E''), Kanten (''K'') und Flächen (''F'') eines [[konkav und konvex|konvexen]] [[Polyeder]]s,<ref name="DR421">David Richeson: ''The Polyhedral Formula.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 421.</ref> eines planaren Graphen. Dieser Satz wird heute als [[Eulerscher Polyedersatz]] bezeichnet.

<gallery class="center">
 Hexahedron.svg|Wohl der prominenteste konvexe Polyeder ist der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]: Er hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen, es gilt<br />''8 – 12 + 6 = 2''
 Dodecahedron.svg|Ein [[Dodekaeder]] hat 20 Ecken, 30 Kanten und 12 Flächen. Es gilt<br />''20 – 30 + 12 = 2''
 Icosahedron.svg|Ein [[Ikosaeder]] hat 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen. Es gilt, ähnlich wie links,<br />''12 – 30 + 20 = 2''
</gallery>

Acht Jahre nach seinem Brief, 1758, veröffentlichte er zwei Arbeiten zu dem Thema. Die erste enthielt seine Entdeckung, die zweite einen Beweisversuch.<ref name="DR421" /> Eulers Beweis, in dem er die untersuchten Objekte in einzelne [[Tetraeder]] zerlegen wollte, enthielt jedoch nach heutigem Maßstab an Strenge einen Fehler. Diese Lücke wurde 1924 durch [[Henri Lebesgue]] hervorgehoben.<ref>David Richeson: ''The Polyhedral Formula.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 425.</ref>

Euler erhoffte sich mit seiner Arbeit alle Polyeder klassifizieren zu können, erreichte dieses Ziel jedoch nicht. Nach Veröffentlichung der beiden Arbeiten wandte er sich dem Thema nicht mehr zu.<ref name="DR421" />

Die Konstante im Eulerschen Polyedersatz wird heute als [[Euler-Charakteristik]] des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] des Objekts direkt in Zusammenhang.<ref>Alan Gibbons: ''Algorithmic Graph Theory.'' Cambridge University Press, 1985, S. 72, ISBN 978-0-521-28881-1.</ref> Der erste lückenlose Beweis des Polyedersatzes gelang erst [[Adrien-Marie Legendre]].<ref>David Richeson: ''The Polyhedral Formula.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 428.</ref> Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>A. L. Cauchy (1813). ''Recherche sur les polyèdres – premier mémoire.'' Journal de l’École Polytechnique. 9 (Cahier 16): S. 66–86.</ref> und [[Simon L’Huilier|L’Huilier]],<ref>S.-A.-J. L’Huillier (1861): ''Mémoire sur la polyèdrométrie.'' Annales de Mathématiques. 3: 169–89.</ref> markiert den Beginn der ([[Algebraische Topologie|algebraischen]]) [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].<ref name="ReferenceA">Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer, S. 10.</ref><ref>David Richeson: ''The Polyhedral Formula.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 436–437.</ref>

=== Graphentheorie ===

[[Datei:Konigsberg bridges.png|gerahmt|Königsberg zur Zeit Eulers: Sieben Brücken führen über den Pregel.]]

Im Jahr 1735<ref name="ReferenceB">Gerald Alexanderson: ''Euler and Königsberg’s bridges: a historical view.'' Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (4), Juli 2006: 567–573, [[doi:10.1090/S0273-0979-06-01130-X]]. S. 567.</ref> (1741 veröffentlicht<ref>Leonhard Euler: {{Webarchiv |url=http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/Commentarii.html |text=''Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae.'' |wayback=20190907065138 |archiv-bot=2023-02-16 04:17:31 InternetArchiveBot}} Euler Archive.</ref> mit der Arbeit ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis''<ref>Leonhard Euler: [http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E053.pdf ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis''.] (PDF; 959&nbsp;KB) Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (CASP), Vol. 8.</ref>) präsentierte Euler eine Lösung für das [[Königsberger Brückenproblem]].
Die Stadt [[Königsberg (Preußen)|Königsberg]] in [[Preußen]] lag am Fluss [[Pregel]] und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, weil zu mindestens einem Landstück eine ungerade Anzahl an Brücken führt. Diese Bedingung ist bereits durch die zur zentralen Insel führenden Brücken erfüllt. Das Brückenproblem ist gleichbedeutend mit der Frage, ob es für den der Stadtkarte entsprechenden [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] einen [[Eulerkreisproblem|Eulerkreis]] gibt.

<div style="font-size:300%; text-align:center;">
[[Datei:Konigsberg bridges.png|180px]] →
[[Datei:7 bridges.svg|179px]] →
[[Datei:Königsberg graph.svg|180px]]
</div>

Diese Lösung gilt als der erste Satz der [[Graphentheorie]], insbesondere der [[Planarer Graph|planaren Graphentheorie]].<ref name="ReferenceB" />

== Angewandte Mathematik ==
=== Numerik und Differentialgleichungen ===
==== Euler-Maclaurin-Formel ====

Im Jahr 1732 entdeckte Euler die Formel
: <math> \sum_{k=0}^n f(k) = \int_0^n f(t) \mathrm{d}t + \frac{f(0) + f(n)}{2} + \sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(n) - f^{(2k-1)}(0) \right) + R_m</math>
mit den [[Bernoulli-Zahl]]en <math> B_k </math> und dem Restglied
: <math> R_m = \frac{1}{(2m+1)!} \int_0^n B_{2m+1}(t)f^{(2m+1)}(t) \mathrm{d}t. </math>
Dabei bezeichnen <math> B_{2m+1}(t)</math> [[Bernoulli-Polynom]]e. Diese wurde unabhängig von ihm von [[Colin Maclaurin]] gefunden und trägt heute den Namen [[Euler-Maclaurin-Formel]].<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. xiv.</ref> Die Formel stellt einen Zusammenhang zwischen Summen <math> f(0) + f(1) + \cdots + f(N)</math> und dem Integral <math> \int_0^N f(x)\mathrm{d}x</math> her. Die hinteren Terme beinhalten die (höheren) Ableitungen von <math>f</math> an den Grenzstellen und sind bei geschickter (meist nicht zu hoher) Wahl von <math>m</math> meist schnell zu berechnen. Nützlich ist die Summenformel von Euler und Maclaurin dann, wenn die Summe sehr schwer, das Integral jedoch leicht zu berechnen ist. Zum Beispiel ist
: <math> \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{N^2}</math>
schwer allgemein zu berechnen, während die Rechnung
: <math> \int_1^N \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \left[ - \frac{1}{x}\right]_1^N = 1 - \frac{1}{N}</math>
deutlich einfacher zu vollziehen ist (siehe auch: [[Integralrechnung]] und [[Stammfunktion]]) – zu beachten ist, dass die Summenformel auf keine bestimmten Grenzen festgelegt ist und somit auch bei 1 statt 0 beginnen kann. Beginnt man alternativ an einem großen Startwert <math>N</math>, ist somit <math> \tfrac{1}{N^2} + \tfrac{1}{(N+1)^2} + \tfrac{1}{(N+2)^2} + \cdots </math> ungefähr gegeben durch
: <math> \int_N^\infty \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x + \lim_{M \to \infty} \frac{\frac{1}{N^2} + \frac{1}{M^2}}{2} + \lim_{M \to \infty} \sum_{k=1}^m B_{2k}\left( \frac{1}{N^{2k+1}} - \frac{1}{M^{2k+1}} \right) = \frac{1}{N} + \frac{1}{2N^2} + \sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{N^{2k+1}}. </math>
Andersherum kann mit der Summenformel ein (schwer zu berechnendes) Integral über diskrete Summen angenähert werden. Dementsprechend praktischen Nutzen zog Euler aus dieser Formel, um unendliche Reihen, die langsam konvergieren, schnell numerisch anzunähern. So gab er gute Näherungen für die Werte <math> \zeta(3)</math> und <math> \zeta(4)</math> und fand <math> \zeta(2)</math> auf 20 Stellen genau:
: <math> \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \approx 1{,}64493406684822643647.</math>
Hätte Euler stattdessen für eine solche Präzision „naiv“ die Terme <math> \tfrac{1}{n^2} </math> summiert, wäre der Zeitaufwand mit 20 Sekunden pro Summand bei etwa 63 [[Billion]]en Jahren gelegen. Erwiesenermaßen etablierte Eulers ursprüngliche Methode der Berechnung von <math> \zeta(n)</math> für höhere Werte von <math>n</math> die [[numerische Mathematik]] als ein neues Forschungsgebiet.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 217.</ref>

==== Explizites Euler-Verfahren ====

Während des siebzehnten und achtzehnten Jahrhunderts unternahmen Mathematiker ernsthafte Versuche, gewöhnliche Differentialgleichungen in Form von elementaren Funktionen und Quadraturen zu lösen. Als diese Methoden scheiterten, lösten sie Gleichungen mit Hilfe unendlicher Reihen und mit numerischen Methoden. Im Jahre 1768 entwickelte Euler ein einfaches [[Explizites Euler-Verfahren|Finite-Differenzen-Verfahren]] zur numerischen Lösung einer [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]]
: <math> \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x,y) </math>
mit der gegebenen Anfangsbedingung <math> y(x_0) = y_0</math>. Mit einer einheitlichen Schrittweite <math>h</math> zwischen den Punkten <math> x_0, x_1, x_2, \dotsc </math>, konstruierte Euler die Punkte <math>x_{n+1} = x_0 + (n+1)h = x_n + h,</math> mit <math> n = 0, 1, 2, \dotsc</math>, und erhielt dann die Formel
: <math> y_{n+1} = y_n +hf(x_n,y_n) = y_n +hy_n' +O(h^2). </math>
Hierbei bezeichnet <math>O(h^2)</math> die [[Landau-Symbole|O-Notation von Landau]] und bedeutet in diesem Falle, dass das Fehlerrauschen jenseits <math>y_n +hy_n'</math> im rechten Ausdruck im Wesentlichen durch die „winzige“ Zahl <math>h^2</math> nicht überschritten wird. Falls <math>f(x,y)</math> stetig ist, dann konvergiert die Folge der Euler-Polygonlinien [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] mit <math>h \to 0</math> zu der unbekannten Funktion <math>y(x)</math> auf einem ausreichend kleinen geschlossenen Intervall, das <math>x_0</math> enthält.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 273.</ref>

=== Euler-Winkel ===

[[Datei:Euler2a.gif|mini|hochkant=1|Drehung eines Körpers als Folge von drei einzelnen Drehungen um seine Körperachsen.<br />
Eigenes Koordinatensystem: <span style="color:red">rot</span><br />
festes Referenzsystem: <span style="color:blue">blau</span>]]

Nach ihm sind auch die bedeutenden [[Euler-Winkel]] benannt. Es handelt sich dabei um ein Tripel aus [[Winkel]]n, mit denen die Orientierung (Drehlage) eines festen Körpers im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] beschrieben werden kann. Eine algebraische Beschreibung, mit der die Drehlage von beliebigen Punkten berechnet werden konnte, wurde erst ab 1775 von Euler in zunehmender Tiefe formuliert.<ref>Hui Cheng, K. C. Gupta: ''A Historical Note on Final Rotations.'' In: Journal of Applied Mechanics. Band 56, Nr. 1, März 1989, S. 139–145, [[doi:10.1115/1.3176034]].</ref> In der ersten Arbeit zeigte er, dass die neun Elemente der [[Abbildungsmatrix]] (welche die Drehung beschreiben) wegen der [[Isometrie|Längentreue]] einer Bewegung nicht unabhängig voneinander sind, sondern durch nur drei voneinander unabhängige Winkel festgelegt werden, der Euler-Winkel.<ref>Leonhard Euler: ''Formulae generales pro translatione quacunque corporum rigidorum.'' In: ''Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae.'' Band 20 (1775), 1776, S. 189–207.</ref>

In der [[Aerodynamik]] von [[Flugzeug]]en werden bis heute die Euler-Winkel verwendet. Dabei ist es Praxis, ein erdfixes Koordinatensystem zu verwenden, um die Position und Orientierung eines Flugzeugs relativ zur Erde zu beschreiben. Da es sich bei dem Koordinatensystem ''nicht'' um ein [[Kartesische Koordinaten|kartesisches System]] handelt, ergeben sich in der Regel aber einige Probleme bei der Formulierung der Flugzeugdynamik. Durch weitere Differenzierung kann dem begegnet werden. Während die Position des Flugzeugs am besten mittels eines erdfixen Koordinatensystems beschrieben werden kann, werden die Komponenten des [[Trägheitstensor]]s in der [[Bewegungsgleichung]] am besten mittels eines Koordinatensystems beschrieben, welches das [[Gravizentrum]] des Flugzeugs als Ursprung hat. Die Orientierung eines Flugzeugs relativ zur Erde kann nun mit den sogenannten Euler-Winkeln beschrieben werden. Daher ist es notwendig, die Transformation zwischen den beiden oberen Koordinatensystemen mittels der drei Eulerwinkel-Drehungen abzuleiten.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute'', S. 328–329</ref>

=== Lotterien ===

Euler beschäftigte sich auch mit [[Lotterie]]n. 1749 trat ein italienischer Geschäftsmann namens Roccolini an Friedrich den Großen, den damaligen König von Preußen, mit dem Vorschlag heran, ein Lotteriesystem einzuführen, bei dem fünf Zahlen von 1 bis 90 gezogen werden sollten. Der König sandte den Vorschlag an seinen wissenschaftlichen Berater Euler mit der Bitte um eine mathematische Überprüfung bezüglich der Einführung einer staatlichen Lotterie in Deutschland. Auf den königlichen Wunsch hin interessierte sich Euler sehr für die Analyse der verschiedenen Aspekte des genuesischen Lotteriesystems und entwickelte ein verbessertes Lotteriesystem, nachdem er bei der Analyse dieses Glücksspiels kombinatorische Fragen angesprochen hatte. In der Folge wurde die Berliner Lotterie 1763 in Deutschland gegründet.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 341.</ref>

Im selben Jahr, in dem Preußen sein erstes [[Lotto]] veranstaltete, verlas Euler vor der Berliner Akademie eine Arbeit mit einer detaillierten und allgemeinen Analyse dieses Lottos.<ref>R. E. Bradley: ''Euler’s analysis of the Genoese lottery.'' 2004.</ref> Eulers Arbeit wurde posthum veröffentlicht.<ref>Leonhard Euler: [https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1811&context=euler-works ''Réflections sur une espèce singulière de loterie, nommée Loterie génoise.''] (E 812).</ref> Eines der grundlegenden Ergebnisse, die Euler erzielte, bestand darin, eine Formel für die Gewinnwahrscheinlichkeit der Wette zu finden, bei der ''r'' aus ''t'' gezogenen Zahlen bei einer Gesamtzahl von ''n'' richtig erraten werden müssen. Seine Formel lautete:
: <math> \prod_{j=1}^r \frac{t - j + 1}{n - j + 1}</math>
Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsberechnungen berechnete Euler drei praktische Szenarien für die Auszahlungen auf alle Wetten und berücksichtigte dabei die Möglichkeit, einen Gewinn für die Lotterieveranstalter zu erzielen.<ref>D. R. Bellhouse: ''Euler and Lotteries.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 387–388.</ref>

=== Bevölkerungswachstum ===

Im Jahr 1907, fast 125 Jahre nach Eulers Tod, verwendete [[Alfred J. Lotka]] Eulers Arbeit ''Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain'' um die [[Euler-Lotka-Gleichung]] zur Berechnung von [[Bevölkerungswachstum]]sraten abzuleiten.<ref>A. J. Lotka: ''Studies on the mode of growth of material aggregates.'' American Journal of Science, 24, 199–216.</ref><ref>Enric Cortés: ''Perspectives on the intrinsic rate of population growth.'' Methods in Ecology and Evolution, '''7''', 2016, 1136–1145, S. 1136.</ref> Dabei handelt es sich um eine grundlegende Methode, die in der [[Populationsbiologie]] und -ökologie bis heute verwendet wird.<ref>John Van Sickle, C. A. M. Attwell und G. Colin Craig: ''Estimating Population Growth Rate from an Age Distribution of Natural Deaths.'' The Journal of Wildlife Management, Vol. 51, No. 4 (Oct., 1987), S. 941–948.</ref>

== Physik ==
=== Mechanik ===

Eulers Abhandlungen zur Mechanik lassen sich, entsprechend seinem „Programm“, in folgende Bereiche einteilen: Grundlagen der Mechanik (Aufbau und Struktur der Materie, Kraft und Kraftmaß, Prinzipien der Mechanik), Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer, Mechanik biegsamer nicht elastischer, Mechanik elastischer, Mechanik flüssiger sowie Mechanik [[gasförmig]]er Körper.<ref name="ReferenceA" /> In Schriften wie ''Mechanica, sive motus scientia analytica exposita'' (1736), ''Découverte d’un nouveau principe de mécanique'' (1752) und ''Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum'' (1765) wandte Euler dabei die Mathematik auf Fragen der Physik an. Laut [[Clifford Truesdell]] „tragen in der Tat nur wenige Werke so viel zur Mechanik bei“ wie die zweit genannte Arbeit.

==== Analytische Mechanik: das Prinzip der kleinsten Aktion ====
Euler versteht die ''analytische'' Behandlung der Mechanik nach dem ''Prinzip der kleinsten Aktion'' als eine Umwandlung der Mechanik in ein theoretisches Wissen ''a priori''.<ref>Das Prinzip wurde bereits hier im Abschnitt ''Variationsrechnung''→ ''«Ergänzungen»'' vorgestellt, in welchem Zusammenhang Euler es auch erstmals in seinem Werk Euler (1744), [http://eulerarchive.maa.org/backup/E065.html E065], präsentierte.</ref> Es könne hingegen die ''synthetische'' Mechanik, die mit geometrischen Veranschaulichungen ''a posteriori'' operiert, nicht ersetzen. Das formuliert Euler folgendermaßen:
{{Zitat
 |Text=Weil ja alle Wirkungen der Natur einem gewissen Gesetz des Maximums oder Minimums folgen, besteht kein Zweifel, dass bei gekrümmten Linien, welche bewegte Körper, wenn sie von irgendwelchen Kräften beunruhigt werden, beschreiben, eine gewisse Eigenschaft des Maximums oder Minimums auftritt. Welche diese Eigenschaft aber ist, scheint aus metaphysischen Prinzipien a priori nicht so leicht zu bestimmen; weil es aber möglich ist, diese Kurven selbst mit Hilfe der direkten Methode zu finden, wird daher, nachdem entsprechende Aufmerksamkeit walten gelassen wurde, das selbst, was in diesen Kurven ein Maximum oder Minimum ist, gefolgert werden können. Es muss aber hauptsächlich der Effekt betrachtet werden, der aus den wirkenden Kräften entsteht […]. [Hingegen] wird es sogar, nachdem ihre Gültigkeit aufgezeigt worden ist, leichter sein, nach tieferen Naturgesetzen und den Zweck betreffenden Gründen zu suchen und dieses Versicherte mit strengsten Begründungen zu untermauern.
 |Autor=Leonhard Euler
 |Quelle=Methodus Inveniendi (1744)
 |ref=<ref>Euler (1744), E065, in der deutschen Übers. von Aycock und Diemer (Euler-Kreis Mainz) , hier unter ''Schriften'' →''Deutsche Übersetzungen'': S.&nbsp;299&nbsp;f.</ref>}}

Die analytische Herangehensweise an die Mechanik und Physik ist damit eine rückwärts gerichtete Absicherung, um das Erforschen der kausalen mechanische Ursachen in der Natur mit ihren Zweckursachen, die für Euler (wie schon für Leibniz und Maupertuis) a priori gültig und evident sind, zu vereinbaren.

Formal handelt es sich nach Euler und allen Mathematikern nach ihm um eine ''mathematische'' Variationsaufgabe: Es ist diejenige Bahnkurve zu finden, bei der immer die ''Aktionsgröße'' ein Minimum bildet. Das ist das ''Minimalprinzip der kleinsten Aktion'', formal
:<math>\delta \int_{P_1}^{P_2} mv \, ds = 0</math>.

Euler gelingt es, verschiedene grundlegende Sätze der Mechanik aus diesem ''Prinzip der kleinsten Aktion'' zu deduzieren. Unter anderem die Bahnkurven von Wurfprojektilen und das [[Zweikörperproblem|Zentralkraftproblem]] werden behandelt.<ref>siehe dazu Euler (1744), ''Additamentum II'' (E065), siehe hier unter ''Schriften'', in der deutschen Übersetzung von A. Aycock und A. Diener: S.&nbsp;308&nbsp;f. (Stand: 20. Januar 2024).</ref> Euler zeigt, wie dort auf einfache Weise auf die Newtonschen Kraftkomponenten geschlossen werden kann.

Einige Wissenschaftshistoriker sehen in Eulers eigenem, nachträglichen Behandeln<ref>Euler spricht in diesem Kontext der Behandlung von empirisch zu prüfenden Kurven, die damit ein Wissen ''a posteriori'' darstellen, auch von einer ‹''indirekten Methode''› (so etwa auf Seite 18 in: Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: ''Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven,'' Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910).</ref> von Kurven den Grund, weshalb er sein ''Minimalprinzip der kleinsten Aktion'' nicht an den Anfang der gesamten Mechanik stellt, auch später nicht, als er bereits die analytischen Gesetze hierfür gefunden hat. Es schien für einen Mathematiker wie Euler als zu vage und unverständlich, wie das mathematische Instrument auf einem metaphysischen Prinzip ''a priori'' beruhen könne.<ref>Siehe etwa Seite 106 in I. Szabó: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen.'' Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. (S.&nbsp;86–106 ''Der Prioritätsstreit um das Prinzip der kleinsten Aktion'').</ref> Im ''analytischen'' Aufbau ist hingegen das Prinzip der kleinsten Aktion, zum Anfang der Mechanik zu zählen.<ref>Man vergleiche mit der Rekonstruktion Seite&nbsp; 176&nbsp;f. in: [[Helmut Pulte]], ''Konstanter Cartesianismus: Eulers rationale Mechanik und seine materietheoretische Interpretation des Prinzips der kleinsten Wirkung.'' Kap. B.II (S. 104 – 192) in: H. Pulte, ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen''. Studia Leibnitiana (Sonderheft 19). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1989.</ref>

Euler selbst beanspruchte keine Priorität in der Aufstellung des metaphysischen Aktionsprinzips, dessen Begriff und allgemeine Formulierung er seinem Amtskollegen in Berlin [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|P. L. M. de Maupertuis]] vollständig zuerkannte.<ref>Über die prominent besetzte Streitigkeit, hier oben ''Akademiestreit'' bezeichnet, um Maupertuis’ Beitrag in dieser Sache ist mittlerweile legendär zu nennen. Neuere Berichte darüber sind etwa E. Knobloch: ''Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis''. Seiten 79–89 in: Biegel et al. (Hrsg.): ''Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker''. Braunschweig 2008. Ebenso in I. Szabó: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen.'' Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996: S.&nbsp;86–106 (''Der Prioritätsstreit um das Prinzip der kleinsten Aktion'').</ref> In ihrer ''mathematischen'' Umsetzung auf die Theorie der Kurven behauptet Euler hingegen für sich eine Originalität.<ref>Siehe dazu L. Euler, ''Anleitung zur Naturlehre''. In: P. H. Fuss u. [[Nikolaus Fuss|N. Fuss]] (Hrsg.): ''Opera Postuma'', Bd. 2: ''Mathematica et Physica''. Petersburg 1862. Online: [http://eulerarchive.maa.org/backup/E842.html E842]: Seite 493. Gesamtband: [https://archive.org/details/operapostumamath02euleuoft/page/n7/mode/2up archive.org] (Zugriffsdatum: 27. Februar 2023).</ref><ref>L. Euler, ''Recherches sur les plus grands & plus petits qui se trouvent dans les actions des forces'', [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/145/ E145]. Erstveröffentlichung in den ''Histoire de l’Académie des Sciences Berlin et B'', 1750: darin Seite 150.</ref><ref>Seite&nbsp;81 in E. Knobloch: ''Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis''. In: Biegel et al. (Hrsg.): ''Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker''. Braunschweig 2008.</ref>

Dieser analytische Teil, die Beschränkung des Prinzips auf mathematische Fragen, ist auch derjenige, der von kommenden Mathematikern zugebilligt und weiter verfolgt wurde. Allen voran sind dabei [[Joseph-Louis Lagrange|J.-L. Lagrange]] und [[Carl Gustav Jacobi|C. G. Jacobi]] zu nennen. Jacobi selbst hat Eulers Prinzip der kleinsten Aktion (oder Wirkung) später zeitunabhängig formuliert.<ref>Das entspricht der heute so genannten ''Euler-Jacobi-Gleichung'': Näheres dazu hier im Artikel, Abschnitt ''[[#Mechanik|Mechanik]]''.</ref>

==== Punktmechanik ====
Eulers Mechanikschrift von 1736<ref>D. i. ''Mechanica'', [http://eulerarchive.maa.org/backup/E015.html E015] und [http://eulerarchive.maa.org/backup/E016.html E016] (auch im unten angegebenen Literaturverz.<!-- abgerufen am 22. Mai 2023 -->)</ref> ist vorwiegend der Punktmechanik gewidmet. Die Besonderheit ihres Aufbaus ist, dass im Anschluss an die mechanischen Prinzipien, die nach [[Newtonsche Gesetze|Newtonscher Art]] formuliert sind, der jeweilige Objektbereich durch ''algebraische Zusatzannahmen'' definiert wird. Die Zusatzannahmen bestimmen die Art der Kraft-''Funktion'' <math> F(dm,s,v)</math>.

Damit kommt Euler je nach Kraftfunktion auf unterschiedliche Differentialgleichungen, die zugleich den Gegenstandsbereich definieren: Punktmassen im Raum unter Einwirkung von Zentralkräften, Berücksichtigung von weiteren Reibungskräften, periodische Bewegungsabläufe usw.

So formuliert Euler auch die differentielle [[Keplergleichung]] als Folgerung aus allgemeinen Annahmen über die [[Zentripetalkraft]].<ref>Das ist der Inhalt des ausführlichen Kapitels V in Euler (1736), ab S. 233: ''De Motu puncti curvilineo libero a quibuscunque potentii absolutis sollicitati'' (zu Deutsch: ''Von der freien krummlinigen Bewegung eines Punktes, welcher durch beliebige absolute Kräfte angetrieben wird''). Die ‚Keplersche‘ ''Zentralgleichung'', erstmals von Bernoulli 1710 formuliert, befindet dort in Prop. 75, S. 238. Siehe auch Euler, Wolfers (1848), S. 204.</ref> Euler deduziert die zentrale Differentialgleichung in der damals von Johann Bernoulli und [[John Keill]] eingeführten Darstellung durch eine [[Fußpunkt-Transformation|Fußpunktkurve]] ({{enS|pedal curve}}):
: <math>P\,dr = \frac{h^2}{p^3} \,dp</math>.<ref>In Eulers Fassung siehe insbes. Euler (1936), S. 243 der Prop. 74; sowie Euler, Wolfers (1848), S. 203 (§592).</ref>
In der heutigen Fassung entspricht das einer [[Phasenraum]]-Darstellung, bestehend aus dem Größenpaar <math>(r, p)</math> des zentralen Radius <math>r</math> und des tangential gerichteten Bahnimpulses <math>p</math>.<ref>Man vergleiche dazu mit [[Edmund Taylor Whittaker|E. T. Whittaker]]: ''A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies''. 4. Auflage. Cambridge University Press, London 1970, S. 21 und 78.</ref><ref>Zur historischen Einordnung der Eulerschen Fassung siehe insbesondere N. Giucciardini, ''Bernoulli, Keill and the Inverse Problem of Central Forces''. Annals of Science, 52 (1995): S. 557.</ref> Auf diese Weise vereinheitlicht Euler verschiedene Themengebiete der Mechanik durch algebraische oder analytische Umformulierungen.

Im zweiten Teil der ''Mechanica'' (1736) werden entsprechend Bewegungen des [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendels]] untersucht, erstmals auch mit endlicher Amplitude.

==== Mechanik starrer Körper ====

Euler bemerkte, dass die damals allgemein akzeptierten Prinzipien der Mechanik nicht ausreichten, um das Problem der Bewegung eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] in voller Allgemeinheit zu lösen.<ref>S. G. Langton: ''Euler on Rigid Bodies.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 195.</ref> Der [[Drallsatz|Drehimpulssatz]] (um eine raumfeste Achse) findet sich – implizit formuliert – bereits in Eulers Manuskript von 1734 zu seiner ''Mechanica'' sowie in seiner 1738 verfassten, aber erst 1749 publizierten ''Scientia navalis''.<ref name="AV11">Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer, S. 11.</ref> Zum ersten Mal hergeleitet wurde der Drehimpulssatz (bezüglicher einer raumfesten Achse) für Systeme diskreter Massenpunkte in einer Abhandlung Eulers über die Bewegung der Mondknoten, die Euler 1744 der Berliner Akademie der Wissenschaften präsentierte und 1750 publizierte.<ref name="AV11" /> Am 3.&nbsp;September 1750 las er vor der Berliner Akademie ein Mémoire, in dem er das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Kontext der ''[[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)|Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation]]'' als eigene und neue Entdeckung vorstellte. Jedoch erst 1775 publizierte Euler den Drehimpulssatz in seiner allgemein gültigsten Form als unabhängiges neues mechanisches Prinzip.<ref name="AV11" /> Aus einer Idee Johann Bernoullis in dessen Werk ''Hydraulica'' und aus der Anwendung eines Schnittprinzips an einem infinitesimal kleinen Volumenelement gewann Euler den [[Newtonsche Gesetze|Impulssatz der Mechanik]],
: <math> \mathrm{d}\vec{K} = \mathrm{d}m \cdot \frac{\mathrm{d}^2\vec x}{\mathrm{d}t^2}</math>
also das heute so geläufige „[[Kraft]] = [[Masse (Physik)|Masse]]&nbsp;×&nbsp;[[Beschleunigung]]“, das auch als [[Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung|Grundgleichung der Translationsbewegung]] bekannt ist. Das Gesetz wird bis heute namentlich [[Isaac Newton|Newton]] zugeschrieben (als das 'Zweite Newtonsche Axiom'), findet sich in dieser Form dort aber nicht.<ref>[[Thomas Sonar]]: ''3000 Jahre Analysis.'' (Springer), Berlin / Heidelberg 2016, S. 454–455.</ref> Den differentiellen Charakter des Gesetzes für die drei räumlichen Dimensionen und seinen Unterschied zu den Gesetzen bei Drehbewegungen dargestellt zu haben (siehe unten den Eintrag zu „Technische Mechanik“) ist der Verdienst Eulers.<ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' (Springer), Berlin / Heidelberg 2015, S. 460 f., Abschnitt 4.1.1.1.1: ''Impuls und Impulssatz''.</ref>

'''Eulerkraft'''

In seinem dritten, späten Hauptwerk zur Mechanik, der ''Theoria Motus Corporum Solidorum et Rigidorum'', erstmals 1765 erschienen,<ref>Leonhard Euler: ''Theoria Motus Corporum Solidorum et Rigidorum''. Verlag Anton F. Röse, Rostock, Greifswald 1765. [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/289/ Online,] abgerufen am 11. April 2022.<br />
Neu herausgegeben in: ''Leonhardi Euleri Opera Omnia,'' Ser. 2 (Opera Mechanica et Astronomica), Vol. 3. Hrsg. v. Charles Blanc. Bern 1948. (Eneström-Nr. 289).<br />
Die zweite Auflage von 1790 ist von demselben Herausgeber Röse um gleich mehrere nachgelassene Schriften als Anhänge erweitert worden. [[Jakob Philipp Wolfers]] hat diese Auflage schließlich ins Deutsche übersetzt:<br />
J. Ph. Wolfers (Hrsg.): ''Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung – Dritter Teil''. Greifswald 1853. {{archive.org |abr1577.0003.001.umich.edu |Blatt=3}}.</ref> entwickelt Euler einen neuartigen, elementaren Ansatz zur Begründung sämtlicher Kraftwirkungen auf ausgedehnte Körper mit starren Verbindungen, der sich von der [[Newtonsche Gesetze|Newtonschen Kraftdynamik]] für Punktmassensysteme abgrenzt. Konzeptuell entspricht Eulers Ansatz der Anwendung des ''Prinzips nach d’Alembert'', das von der Statik eines Körpersystems ausgeht und für dynamische Einwirkungen verallgemeinert wird. Er besagt in Kurzform:

[[Datei:Eulerkraft Fig.png|mini|Veranschaulichung der Eulerkraft: links anhand der Darstellung in Euler (1765), E289, und rechts rekonstruiert]]
Bei jeder infinitesimalen Rotation eines Körpers um eine feste Achse, die nicht durch den [[Massenmittelpunkt]] des Körpers verläuft, wird ein dynamisches Gleichgewicht der [[Drehmoment]]e auf jedes Massenelement <math>\mathrm dm</math> des Körpers erzeugt. Die verlorene, kompensierende [[Trägheitskraft]] tritt dabei in Form der [[Eulerkraft]] <math>\mathrm d\vec{F}_\mathrm{Euler}</math> auf, deren Betrag <math>\mathrm dF_\mathrm{Euler} = \mathrm dm \cdot \dot{\omega} \cdot r</math> ist.<ref>Von Euler wird diese Trägheitskraft als eine „Elementarkraft“ eingeführt (''vis elementaris''), die eine zur Statik des Körpers „gleichgeltende Kraft“ (''vis aequivalentis'') bilden soll. Man siehe dazu Euler (1765) des vorherigen Belegs, § 279 (Scholion), S. 110 f. sowie § 297, S. 117 (Explicatio). Die Eulerkraft wird explizit in Kapitel III (''De Motus Gyratorii Generatione'', ab § 352, S. 137) aufgestellt und für beliebige Massenverteilungen verallgemeinert.</ref>

Ausgehend von dieser „elementaren“ Kraft gelingt Euler die Verallgemeinerung für beliebige starre Körper, indem er über die jeweils wirkenden statischen [[Flächenmoment]]e integriert. Daran schließt sich in den darauffolgenden Kapiteln der ''Theoria Motus'' ein erstmals ''systematischer'' Stand der Mechanik starrer Körper an. Zu der damaligen Zeit gehörten vor allem folgende Bereiche dazu: der Schwerpunktsatz, der [[Drallsatz|allgemeine Momentensatz]], eine allgemeine Theorie der [[Trägheitsmoment]]e, die Theorie des [[Schwingungsmittelpunkt]]es und die [[Kreiseltheorie]].<ref>Siehe zur Einführung vor allem Charles Blanc: ''Préface de l’éditeur''. Op. Omnia II.3 (1948) des o.&nbsp;g. Belegs, S. VII–XXII. Der „erstmals systematische“ Stand der Mechanik starrer Körper wurde bspw. von [[István Szabó (Ingenieur)|István Szabó]] bemerkt, wenn es etwa in seinem Lehrbuch ''Einführung in die Technische Mechanik'' (Berlin/Göttingen/Heidelberg <sup>5</sup>1961) heißt, dass dieses Werk „schon alles Wesentliche dieses Gegenstandes enthält“.</ref>

Eulers Verfahren, die gesamte Mechanik der starren Körper aus der Elementarkraft <math>\mathrm d\vec{F}_\mathrm{Euler}</math> zu entwickeln, konnte sich in den darauffolgenden Mechanikwerken nicht durchsetzen. Schon frühzeitig etablierte sich vielmehr die Lagrangesche Fassung des ''d’Alembertschen Prinzips'',<ref>Siehe etwa dazu den historisch und begrifflich korrekten Eintrag der englischen Wikipedia [[:en:D'Alembert's principle|d'Alembert's principle]]</ref> nach der die Eulerkraft nur als abgeleitete Größe, die aus [[Zwangsbedingung|Zwangs-]] oder [[Führungskraft (Technische Mechanik)|Führungskräften]] gebildet wird, vorkommt.<ref>Man vergleiche dazu vor allem Lagranges ursprüngliche „analytische“ Darstellung des [[Drallsatz]]es, die in der ersten Auflage von 1788 noch gar nicht vorkommt:<br />
[[Joseph-Louis Lagrange]]: ''Mécanique Analytique''. Nouvelle Édition. Paris <sup>2</sup>1815. Tome Premier, seconde partie, § III, Seite 271 ff. (''Propriétés relatives aux rotations produites par des forces d’impulsion''). [https://archive.org/details/dli.granth.111779/page/n286/mode/1up Online,] abgerufen am 11. April 2022.</ref>

Die heutige Bezeichnung als [[Eulerkraft]] für den verallgemeinerten, vektoriellen Kraftterm
:<math>\vec{F}_\text{Euler} = -m \cdot \frac{\mathrm d\vec\omega}{\mathrm dt} \times \vec{r}</math>
geht hingegen erst auf [[Cornelius Lanczos|C. Lanczos]] zurück, der damit eine Bezeichnungslücke in der Mechanik schließen und Euler auf diesem Gebiet eine weitere Ehre erweisen wollte.<ref>Siehe C. Lanczos, ''The variational principles of mechanics''. Erstveröffentlichung: (University of Toronto Press) Toronto 1949. Vierte Auflage 1970, S.&nbsp;103.</ref>

==== Strömungsmechanik ====

[[Datei:Flow around a wing.gif|mini|Strömung um einen [[Tragflügel]]. Diese inkompressible Strömung genügt den Euler-Gleichungen.]]

Historisch gesehen wurden im 18. Jahrhundert von Jean d’Alembert, Daniel Bernoulli, [[Alexis Clairaut]] und Joseph Lagrange beträchtliche Fortschritte in der theoretischen [[Strömungsmechanik]] erzielt. Unter diesen großen Mathematikern leistete Euler die grundlegendsten Beiträge zur Strömungsmechanik, indem er seine berühmten Bewegungsgleichungen, die [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]], aufstellte.

Eulers Hauptwerk auf dem Gebiet der Strömungsmechanik beruhte im Wesentlichen auf der [[Kontinuumsmechanik|Kontinuumshypothese]] und den [[Newtonsche Gesetze|Newtonschen Bewegungsgesetzen]]. Seine Arbeit bildet die Grundlage der mathematischen Theorie der Strömungsmechanik, die von seiner Entdeckung der Variationsrechnung sowie [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]] umfasst war. Er leistete grundlegende Beiträge zur [[Hydrostatik]] und [[Hydrodynamik]] in der Zeit von 1752 bis 1761 und veröffentlichte 1757 mehrere wichtige Artikel in diesen Bereichen in der ''Mémories de l’Academie des Sciences de Berlin''. Der erste dieser Artikel befasste sich mit den grundlegenden allgemeinen Konzepten, Prinzipien und [[Hydrostatisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsgleichungen]] von Flüssigkeiten. Die zweite und die dritte Arbeit beschäftigten sich im Wesentlichen mit der [[Massenerhaltungssatz|''Massenerhaltungsgleichung'']] (oder der Kontinuitätsgleichung) und den nichtlinearen Euler-Bewegungsgleichungen kompressibler Flüssigkeitsströmungen. Anschließend formulierte er die Bewegungsgleichungen und die Kontinuitätsgleichung für eine [[Viskosität|nichtviskose]], [[Kompressibilität|inkompressible]] Flüssigkeitsströmung mit dem ersten Beweis des berühmten [[D’Alembertsches Paradoxon|d’Alembertschen Paradoxons]] in einer nichtviskosen Flüssigkeitsströmung, die an einem starren Körper vorbeifließt.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 297–298.</ref>

Außerdem arbeitete Leonhard Euler in der [[Mechanik]] auf den Gebieten der [[Turbine]]ngleichung und der [[Kreiseltheorie]], in der er neben den Eulerschen Gleichungen die [[Euler-Winkel]] einführte. Er gilt als der Entwickler der weltweit ersten Wasserturbine.<ref>F. Balck: ''Eulers Aufsatz zur Physik der Reaktionsturbine – ein wichtiger Baustein zur Technikgeschichte der Wasserräder, Turbinen und anderer Energiewandlungs-Maschinen.'' S. 378–405.</ref> Eine Rekonstruktion der Eulerschen Turbine zeigte, dass ihr Wirkungsgrad von 71 % nur wenig<!-- wie viel?--> unter dem moderner Turbinen (Stand 2015) liegt. Auch das technisch realisierbare Prinzip des [[Flügelradantrieb]]s und der [[Schiffsschraube]] ist Euler zu verdanken.<ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' (Springer) Berlin / Heidelberg / Heidelberg / New York 2015, S. 13.</ref>

==== Technische Mechanik ====

Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer [[Druckkraft]] belasteten [[Stab (Statik)|Stabes]] geht ebenfalls auf Euler zurück; er begründete damit die [[Stabilitätstheorie]]. Er half bei der Entwicklung der Euler-Bernoulli-[[Balkengleichung]], die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde.

Die zu den Grundlagen der Elastostatik gehörende Differentialgleichung vierter Ordnung, die in der Technischen Mechanik auch als mathematischer Ausdruck der [[Biegelinie]] bekannt ist, kann in der Form
: <math> k\cdot w ' ' ' ' (x) = q(x) </math>
bereits in der Schrift Euler (1740)<ref>L. Euler, ''De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexibilium. Methodus nova et facilis''. In: ''Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae'', Band 7 (1740), S.&nbsp;99–122. Außerdem neu hrsg. in: ''Opera Omnia'' Ser. 2 (Opera Mechanica et Astronomia), Band 10, von F. Stüssi (Hrsg.), (Birkhäuser) Basel 1947. Eneström-Index [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/40/ E040.] scholarlycommons.pacific.edu; abgerufen am 28. Januar 2023.</ref> gefunden werden.<ref>Siehe dazu auch [[Clifford Truesdell|C. Truesdell]], ''An Idiot’s Fugitive Essays on Science.'' (Springer), New York / Berlin / Heidelberg 1984, S. 324.</ref> Dabei sind ''w'' in der Bedeutung der Durchbiegung und ''q'' in der Bedeutung einer Streckenlast (‚differentiellen Querkraft‘) bereits in Eulers Original ersichtlich, und ''k'', das heute allgemein das Produkt <math>k= E \cdot I</math> (''Elastizitätsmodul'' mal ''Flächenmoment'') bezeichnet,<ref>Siehe etwa E. Brommundt, G. Sachs, ''Technische Mechanik - Eine Einführung.'' 2. Auflage, (Springer), Berlin / Heidelberg / New York 1991, S. 150. Siehe ebenso hier im Eintrag [[Balkentheorie]] die ‚Statik erster Ordnung‘.</ref> ist eine unbestimmte ''elastische Kraft''.<ref>‘Vis Elastica‘ im lat. Original: Euler (1740), E040 (Literaturangabe im obigen Einzelnachweis), §33, S. 113.</ref>

Bemerkenswert ist, dass Euler in dieser und anderen Schriften aus der Phase seines Schaffens zwischen 1734 und 1740 Resultate zur technischen Mechanik entwickelt, die aus einer neuen und verallgemeinerten Theorie des [[Schwingungsmittelpunkt]]es entstanden sind. Der Übergang zu elastischen Kontinua wird dabei als Variationsaufgabe am starren Körper verstanden und informell umgesetzt.<ref>Schon [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert|d‘Alembert]] erwähnt Eulers neuen Ansatz in seiner ''Abhandlung über Dynamik'' (französisch ''[[s:fr:Traité de dynamique|Traité de Dynamique]]'', 1. Auflage von 1743; ''[[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften]]'', Band 106), Frankfurt a. M. 1997, S. 74. Allerdings kritisiert er dort auch Eulers Anwendung als eine unbewiesene, unklare Darstellung des später von [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] nach ihm benannten [[D’Alembertsches Prinzip|Prinzips]].</ref><ref>Die Eingrenzung dieser Schaffensphase, in der sich Euler besonders mit technischen Fragen zur Mechanik beschäftigte, wie auch Eulers häufiges ‚informelles‘ Zurückführen auf eine Variation, orientieren sich an R. S. Calinger, ''Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Kap. 4 (''Reaching the ‘Inmost Heart of Mathematics’''), insbesondere S. 140. (Princeton Univ. Press), Princeton NJ / Oxford 2016.</ref>

Das gilt auch für eine detaillierte Auseinandersetzung mit mechanischen Problemen zur Verbesserung von [[Ankerwinsch|Ankerwinden]], die auch aus dieser früheren Phase der Veröffentlichungen stammt. In der für ihn typischen Herangehensweise, die rein technische Fragestellung auf das Grundlegende der physikalischen Prinzipien zu bringen, nahm Euler die [[Preisfrage]] der Pariser [[Académie des sciences]] von 1737 zum Anlass, um sich der technischen Verbesserung aller [[Einfache Maschine|Einfachen Maschinen]] mit Drehwirkung zuzuwenden. Die mit dem zweiten Preis ausgezeichnete Auseinandersetzung Euler (1741)<ref>L. Euler: ''Dissertation sur la meilleure construction du Cabestan''. In: Recueil de Pièces qui ont remporté le prix de l’académie royale des sciences, 1741, S.&nbsp;29–87. [https://data.bnf.fr/fr/atelier/32849650/recueil_des_pieces_qui_ont_remporte_les_prix_de_l_academie_royale_des_sciences/ BnF Data]
Außerdem neu herausgeg. in: Opera Omnia Ser. 2 (Opera Mechanica et Astronomia), Band 20, hrsg. v. W. Habicht, (Birkhäuser) Basel 1974, S.&nbsp;36–82. Eneström-Index; [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/78/ E078.] scholarlycommons.pacific.edu; abgerufen am 23. Januar 2023. Zur historischen Einordnung des Werks siehe insbes. die Einleitung des Herausgebers Habicht, S. XV. Derselbe Herausgeber sieht (auf S. XXII) den zu geringen Praxisbezug der Dissertation als den Grund dafür, dass Euler nicht als Erstplatzierter hervorging. Eulers rechtfertigender Anhang (Supplement) in der Fassung von 1745 bestätigt diese Vermutung.</ref> umfasst gleich mehrere Neuerungen für die damalige Mechanik:
* das erste Auftreten der dynamischen [[Wellrad]]- oder [[Winde (Mechanik)|Winden]]-Formel, einschließlich der Berücksichtigung von Reibungsverlusten.<ref>Euler (1741), E078, siehe vorigen Einzelnachweis, §§35–37. Siehe auch S. XX in Habicht (1974).</ref>
* auf der Grundlage dieser Formel eine umfassende Behandlung der [[Extremwert]]-Kriterien der Analysis zur technischen Realisierung der besten Maße einer Ankerwinde.<ref>Euler (1741), E078, §§38–41.</ref>
* eine Beurteilung Eulers über den lückenhaften Zustand der damaligen Mechanik. Es ermangele ihr an zureichenden Prinzipien für die ''dynamische'' Beschreibung von Maschinen. Damit wandte Euler sich insbesondere ''momentaner Rotation'' in analytischen Begriffen zu.<ref>Euler (1741), E078, §§3–5.</ref>
* eine allgemeine Untersuchung von Drehmomenten und ihr Zusammenhang zu dem von Euler so genannten ‚Moment der Materie‘, welches später das [[Trägheitsmoment]] <math>I</math> bedeuten wird. Damit verbunden tritt erstmals die [[Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung|Grundgleichung der Drehbewegung]] als betragsmäßiges Gesetz „[[Drehmoment]] = [[Winkelbeschleunigung|Drehbeschleunigung]]&nbsp;×&nbsp;Trägheitsmoment“ auf, kurz<br /> <math>M= \alpha \cdot I.</math><br /> Die Schrift erklärt diesen Zusammenhang gleichfalls als ein neu entdecktes ‚Prinzip der Mechanik‘ und diskutiert die formal beachtliche ‚''Analogie'' ‘ zum [[Newtonsche Gesetze#Zweites Gesetz|Grundgesetz der Translationsbewegung]].<ref>Euler (1741), E078, §§11–28. In §28, S. 50, heißt es etwa: „Cette grande analogie mérite bien d’être remarquée.“</ref>
* nicht zuletzt das Bekenntnis Eulers zu einem ''ganzheitlichen Bild von den Wissenschaften'', an deren Spitze mathematische Erkenntnisse stehen. Wenn nach Euler ein Unterschied zwischen Mathematik und ihren technischen Anwendungen bestehen würde, worauf auch manche [[Preisfrage]]n der Königlichen Akademie hindeuten, so wäre dies ein künstlich hergestellter und ein für die Förderung des Zusammenhalts aller Wissenschaften unwesentlicher. Mechanik ist (nach damaligem Verständnis) angewandte Mathematik.<ref>Siehe etwa [[Helmut Pulte|H. Pulte]]: ''Axiomatik und Empirie.'' (Wiss. Buchgesellschaft), Darmstadt 2005, S. 42 f., Abschnitt II.2: ''Klassische Mathematische Naturphilosophie''.</ref> Vielmehr sind die technischen Bereiche mit den theoretischen Methoden der Analysis und Geometrie zu verknüpfen, um in der technischen Konstruktion gesicherte Aussagen zu gewinnen. Eine technische Mechanik musste nach Eulers Verständnis zugleich auch allgemeine, mathematische Mechanik sein.

Zur letztgenannten Neuerung formuliert Euler:
{{Zitat
 |Text=Und vielleicht wird man nur eine rein mechanische Lösung erwarten, die von allen mathematischen Prinzipien enthoben ist und die man nur einer glücklichen Fügung zu verdanken hätte. Denn tatsächlich sind bis heute diese Art von Maschinen dem Zufall und der Erfahrung zu verdanken, so dass die Wissenschaft daran nahezu nichts beigetragen haben dürfte. […] Man muss [dieses Thema] aber als eines mit größter Auswirkung auffassen und annehmen, dass die geforderte Lösung nicht nur auf die gewöhnliche Mechanik Einfluss nimmt, sondern dass sie ferner erheblich unsere Erkenntnisse überhaupt erweitert. Die Künste und die Wissenschaften sind so eng miteinander vereint, so gemeinsam verbündet, dass jene nur in dem Maße bereichert werden können wie sich diese vervollkommnen.
 |Autor=Leonhard Euler
 |ref=<ref>Euler (1741), E078, siehe obigen Einzelnachweis, §2, S. 32. Der französische Originaltext lautet: „Et peut-être on ne s’attendra qu’à une solution purement méchanique, et destituée de principes Mathématiques, et qui ne seroit due qu’à un heureux hazard: car c’est effectivement au hazard et à expérience que sont dues jusqu’à présent ces sortes de machines, sans que la science y ait contribué presque en rien. Mais […] on le [ce sujet] regarder comme d’une plus grande consequence, et présumer que la solution qu’on exige, peut non-seulement influer sur la méchanique vulgaire, mais, de plus, contribuer à étendre considérablement nos connaissances. Les Arts et les Sciences sont si étroitement unis et allies ensemble, que ceux-là ne s’enrichissent qu’à mesure que celles-ci se prefectionnent.“.</ref>}}

==== Die Euler-Jacobi-Gleichung ====
Für die erst noch sich in der Entstehung befindende [[analytische Mechanik]] hatte Eulers zweiter Ergänzungsteil ''Additatementum 2: De motu projectorum in medio non resistente''<ref>Das ist der 2. Zusatz (''Additamentum II'') in Euler (1744), [http://eulerarchive.maa.org/backup/E065.html E065] (auch in den ''Schriften'' →''Deutsche Übersetzungen'' angegeben). Der Hauptteil wird hier im Abschnitt ''Analysis'' → ''Begründung der Variationsrechnung'' genauer betrachtet.</ref> besondere Beachtung unter den Mathematikern seiner Zeit und deren Nachfolgern erhalten. Denn hier hat Euler eine neue, rein ''analytisch'' zu nennende Herangehensweise an die gesamte Mechanik mitgegeben.

Mit Berufung auf die ''Aktionsgröße'',<ref>Euler gebraucht den Begriff ‘Aktion’ (''action'') im späteren Verlauf seiner Untersuchungen (ab den 1750en) bereits synonym zum Begriff der ‘Wirkung’ (''effort''), von Euler auch in seiner postum erschienenen Schrift ''Anleitung zur Naturlehre'' zu deutsch ''Wirksamkeit'' genannt (siehe L. Euler, ''Anleitung zur Naturlehre''. In: P. H. Fuss u. N. Fuss (Hrsg.): ''Opera Postuma'', Bd. 2: ''Mathematica et Physica''. Petersburg 1862. Online: [http://eulerarchive.maa.org/backup/E842.html E842]: Seite 493). Zu diesen begrifflichen Unterschieden siehe insbes. S.&nbsp;189 in: H. Pulte, ''Konstanter Cartesianismus: Eulers rationale Mechanik und seine materietheoretische Interpretation des Prinzips der kleinsten Wirkung.'' Kap. B.II (S. 104 – 192); in: H. Pulte, ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen''. Studia Leibnitiana (Sonderheft 19). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1989.</ref> die nach Eulers Auffassung von [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|P. L. M. de Maupertuis]] in die Mechanik und in die neuzeitliche Naturphilosophie als grundlegende Größe eingeführt wurde,<ref>In [[Adolf Kneser|A. Kneser]], ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung''. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928; insbesondere in den Abschnitten II bis VII (Seiten 1 bis 22), wird das Wirkungsprinzip in der philosophischen Bedeutung für die neuzeitliche Mechanik auf die Naturphilosophie und teleologische Metaphysik nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz|G. W. Leibniz]] zurückverfolgt. Euler selbst stand der Leibnizschen Metaphysik in diesem Kontext sehr kritisch bis ablehnend gegenüber. Siehe dazu [[Eberhard Knobloch]]: ''Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis''. S.&nbsp;79–89 in: G. Biegel, A. Klein, T. Sonar ''Leonhard Euler (1707–1783) – Mathematiker – Mechaniker - Physiker'' (Braunschweigisches Landesmuseum) Braunschweig 2008.</ref> erklärt er dort schließlich, dass der jeweils naturgemäße Kurvenverlauf <math>y(x)</math> stets so bestimmt ist, dass das Aktionsfunktional
:<math> A [y] := \int_{P_1}^{P_2} m \cdot v \, \cdot ds</math>
zwischen den Punkten <math>P_1</math> und <math>P_2</math> ein ''Minimum'' bildet. Formal dargestellt heißt das:<ref>Diese modernisierte Formulierung ist entnommen: I. Szabó: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen.'' Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. Darin S.&nbsp;107&nbsp;u.&nbsp;124.</ref>
::<math>\delta A [y]= 0</math>.
Euler spezifiziert dort dessen Bedeutung für die Bestimmung von mechanischen Kurven, seien es nun Kurvenverläufe von Elastika oder aber Bahnkurven von punktmechanischen Projektilen, wie sie in der [[Ballistik]] behandelt werden.

Unter Berufung auf den mechanischen [[Energieerhaltungssatz]] <math>E + U = H</math>, wobei <math>E</math> die kinetische Energie, <math>U</math> die potenzielle Energie und <math>H</math> die Gesamtenergie bezeichnet, fasste [[Carl Gustav Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] das Prinzip später differenzierter, insofern er das Funktional zeitunabhängig über den kinetischen Anteil <math>E</math> formulierte. Es handelt sich um die heute so genannte ''Euler-Jacobi-Gleichung''
:<math>\int_{P_1}^{P_2} \sqrt{ 2 m (H-U)} \, ds</math> = Minimum.<ref>Siehe I. Szabó: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen.'' Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996. Darin Seite 124.</ref><ref>In A. Kneser, ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung''. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928. S.&nbsp;22 und S.&nbsp;34.</ref><ref>Dies ist hingegen nicht die Form der generalisierten Koordinaten, die Jacobi auch schon formulierte und die zur Variation [[Geodäte|geodätischer]] Linien gemäß <math>s= \int \sqrt{(H-U\sum a_{\mu \nu} d q_\nu d q _\mu}</math> führt. Siehe dazu insbes. [[Georg Hamel|G. Hamel]], ''Theoretische Mechanik''. Zweite Auflage. (Springer-Verlag) Berlin, Heidelberg, New York 1967: S.&nbsp;315 (Kap. ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung''). Darin heißt es auch: «Das ''Jacobi''sche Prinzip ist gerade deshalb so schön, weil es das Problem der Mechanik auf ein quasigeometrisches zurückführt; […] dann ist das Prinzip der kleinsten Wirkung zurückgeführt auf das Problem der geodätischen Linien im <math>q</math>-Raum, die durch diese Maßbestimmung im <math>q</math>-Raum gegeben sind. Und das ist eine rein geometrische Aufgabe».</ref><ref>C. G. Jacobi, ''Vorlesungen über Dynamik''. Hrsg. v. A. Clebsch. (G. Reimer) Berlin 1866. (''Sechste Vorlesung: das Princip der kleinsten Wirkung''), S.&nbsp;43&nbsp;f. Hierin auf Seite 44 bemerkt Jacobi die logische Ungenauigkeit der Prämissen, die Euler (und später Lagrange, Poisson und Laplace) in ihren Formulierungen widerfahren ist: «Es wird dabei gesagt, dieser Satz [d.i. <math>\delta \int_{P_1}^{P_2} mv \, ds = 0</math>] gelte nur, so lange der Satz der lebendigen Kräfte gelte, aber es wird sozusagen vergessen, dass man durch den Satz der lebendigen Kraft die Zeit aus obigem Integral eliminirt und alles auf Raumelemente rducirt annehmen müsse».</ref>
Jacobi zeigt sich an vielen Stellen seiner Schriften beeindruckt von Eulers Pionierleistung auf diesem Gebiet der Mathematisierung der Mechanik und Physik durch das ''Prinzip der kleinsten Wirkung''. Von ihm stammt folgende Einschätzung:
{{Zitat
 |Text=Das Wichtigste an der ''Methodus inveniendi'' ist ein kleiner Anhang, in welchem gezeigt wird, wie bei gewissen Problemen der Mechanik die Kurve, die der Körper beschreibt, ein Minimum gibt; es wird indes nur ein Körper angenommen, der sich in einer Ebene bewegt. Allein aus diesem Anhang ist die ganze analytische Mechanik entsprungen. Denn bald nach seiner Erscheinung trat Lagrange, nach Archimedes vielleicht das größte mathematische Genie, 20 Jahre alt, mit seiner analytischen Mechanik auf … Indem er Eulers Methode verallgemeinerte, kam er auf seine merkwürdigen Formeln, wo in einer einzigen Zeile die Auflösung aller Probleme der analytischen Mechanik enthalten ist.
 |Autor=Carl Gustav Jacobi
 |ref=<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 52.</ref>}}

=== Astronomie ===

Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der [[Astronomie]] an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von [[Komet]]en und anderen [[Himmelskörper]]n, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der [[Sonnenparallaxe]].<ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer, S. 283.</ref> Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser [[Längenproblem|Längengradtabellen]] bei.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, ISBN 978-1-4008-6663-2, S. 384.</ref>

[[Datei:Jupiter by Cassini-Huygens.jpg|mini|Jupiter]]
[[Datei:Saturn from Cassini Orbiter (2004-10-06).jpg|mini|Saturn]]

Nach [[Victor J. Katz]] gilt es als gesichert, dass Euler der erste Mathematiker in Europa war, der das Kalkül der trigonometrischen Funktionen systematisch durchdrang.<ref>V. J. Katz: ''The Calculus of the Trigonometric Functions.'' Historia Mathematica, 14 (1987), S. 311–324.</ref> Er tat dies in Arbeiten, die ab 1739 erschienen. Die Bedeutung der trigonometrischen Funktionen wurde ihm einige Jahre später bewusst, als er anstrebte, bestimmte [[Differentialgleichung]]en zu lösen, insbesondere [[lineare Differentialgleichung]]en mit [[Fundamentalsystem (Mathematik)|konstanten Koeffizienten]]. Die im Nachhinein offensichtliche Tatsache, dass die Rechnung mit trigonometrischen Funktionen ein Schlüssel zum Verständnis „periodischer Phänomene“, einschließlich der Bewegungen von [[Planet]]en und [[Satellit (Astronomie)|Satelliten]], ist, scheint für die Astronomen vor Euler nicht offensichtlich gewesen zu sein. Euler war der erste, der sich mit der Formulierung und Lösung des [[Störungstheorie|Störungsproblems]] beschäftigte – dem Schlüsselproblem, das formuliert und gelöst werden musste, wenn das [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Newtonsche Gravitationsgesetz]] als Grundlage für die Planeten- und [[Mondtheorie]] etabliert werden sollte.<ref>C. Wilson: ''Euler and Applications of Analytical Mathematics to Astronomy.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 123.</ref>

Mit dem Kalkül der trigonometrischen Funktionen in der Hand konstruierte er eine Reihe von Mondtabellen. Diese wurden 1746 in seinem ''Opuscula varii argumenti'' veröffentlicht. Eulers erster Versuch, mit den planetarischen Störungen fertig zu werden, erfolgte als Reaktion auf den Preiswettbewerb der Pariser Akademie von 1748. Der Preis wurde ausgeschrieben für „eine Theorie von [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] und [[Saturn (Planet)|Saturn]], die die Ungleichheiten erklärt, die diese Planeten in ihren Bewegungen gegenseitig zu verursachen scheinen, insbesondere über den Zeitpunkt ihrer [[Konjunktion (Astronomie)|Konjunktion]]“. Newton hatte in seiner ''Principia'' von „einer Störung der Umlaufbahn des Saturn in jeder Konjunktion dieses Planeten“ geschrieben, „die so empfindlich ist, dass die Astronomen darüber ratlos sind“.<ref>Newton: ''Principia.'' Book III, Proposition 13.</ref> Als Reaktion auf die Ankündigung des Preisausschreibens der Pariser Akademie für 1748 schrieb Euler zwei Memoiren, die beide Mitte 1747 fertiggestellt wurden. In der ersten, die Euler der Berliner Akademie vorlegte, leitete er die Differentialgleichungen für das Problem der Störungen ab.<ref>Leonhard Euler: ''Recherches sur le movement des corps céléstes en générale.'' Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin 3 (1747), 93–143; Leonhard Euler: ''Opera omnia.'' Ser. 2, 25, S. 1–44.</ref> Die zweite, eine Ableitung der Störungen des Saturn durch Jupiter, wurde im Wettbewerb eingereicht und mit dem Preis ausgezeichnet, obwohl Euler es versäumte, die scheinbare Verlangsamung des Saturn oder die Beschleunigung des Jupiter zu erklären.<ref>Leonhard Euler: ''Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter.'' Sujet propose pour le prix de l’année 1748, par l’Académie Royale des Sciences.</ref> Eulers Preisaufsatz überzeugte mit den innovativen Methoden, die er zur Bewältigung planetarischer Störungen einführte.<ref>C. Wilson: ''Euler and Applications of Analytical Mathematics to Astronomy.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 125–126.</ref>

=== Optik ===

In der [[Optik]] veröffentlichte er Werke zur [[Wellentheorie des Lichts]] und zur Berechnung von optischen [[Linse (Optik)|Linsen]] zur Vermeidung von [[Chromatische Aberration|Farbfehlern]]. Er widersprach Newtons [[Korpuskeltheorie]] des Lichts in den ''[[Opticks]]'', die damals vorherrschend war.<ref>Christa Jungnickel, Russell McCormmach: ''Cavendish - The Experimental Life.'' S. 155.</ref> Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er Jahren trugen dazu bei, dass die von [[Christiaan Huygens]] vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde,<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 67.</ref> zumindest bis zur Entwicklung der [[Quantentheorie]] des Lichts.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 361.</ref>

Fast die Mehrzahl von Eulers Schriften zur Optik, im ganzen sieben aus fünfzehn, sind Fragen der [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] gewidmet. Dabei beschäftigte ihn unter anderem wiederholt die Frage, ob [[Rot]] oder [[Violett]] die größere [[Frequenz]] hat. Euler wechselte diesbezüglich seine Ansicht dreimal, jedes Mal auf Grund einer theoretischen Betrachtung, zu der ihn ein neues Experiment, von dem er hörte, veranlasst hatte. In der ''Nova theoria'' hatte noch Rot die größte Frequenz, in zwei späteren Arbeiten korrigierte er diese Ansicht unter anderem auf Grund seiner Theorie der Beobachtungen von Farben dünner Schichten. Dann aber wird er durch eine Betrachtung über die Elastizität von [[Lamelle|Metalllamellen]] wiederum auf die erste, falsche Ansicht zurückgeführt, um dann schließlich zur richtigen zurückzukehren.<ref>David Speiser: ''Eulers Schriften zur Optik, zur Elektrizität und zum Magnetismus.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 218.</ref>

=== Ballistik ===
1745 übersetzte Euler das Werk ''New principles of gunnery'' des Engländers [[Benjamin Robins]] ins Deutsche. Es erschien im selben Jahr in Berlin unter dem Titel ''Neue Grundsätze der [[Artillerie]] enthaltend die Bestimmung der Gewalt des Pulvers nebst einer Untersuchung über den Unterscheid'' ([[sic]]) ''des Wiederstands'' (sic) ''der Luft in schnellen und langsamen Bewegungen.''<ref>Benjamin Robins, Leonhard Euler: ''[http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/08PU6TX8/pageimg&mode=imagepath&pn=7 Neue Grundsätze der Artillerie enthaltend die Bestimmung der Gewalt des Pulvers nebst einer Untersuchung über den Unterscheid des Wiederstands der Luft in schnellen und langsamen Bewegungen.]'' Online auf: ''echo.mpiwg-berlin.mpg.de.'' (European Cultural Heritage Online), abgerufen am 24.&nbsp;Dezember 2016.</ref> Seit [[Galileo Galilei|Galilei]] hatten die Artilleristen die Flugbahnen der Geschosse als Parabeln angesehen, wobei sie den [[Luftwiderstand]] für vernachlässigbar hielten. Robins hat als einer der ersten Experimente zur [[Ballistik]] ausgeführt und gezeigt, dass die Flugbahn durch den Luftwiderstand wesentlich beeinflusst wird. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe „das erste Lehrbuch der Ballistik“ geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. [[Napoleon Bonaparte]] musste es als Leutnant studieren.<ref>Leonhard Euler: ''Einleitung in die Analysis des Unendlichen: Erster Teil.'' Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, S. 11 (Einführung zur Reprintausgabe).</ref>

=== Schiffbau ===

Weniger bekannt sind Eulers Arbeiten zum [[Stabilität (Schiffskörper)|Stabilitätskriterium]] von Schiffen, in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von [[Archimedes]] erneuerte.<ref>Bouger, Euler: ''Zur Begründung der Theorie der hydrostatischen Schiffsstabilität.'' In: ''Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft.'' Band 98, 2004, S. 183.</ref> Die ''Scientia navalis'', das bis weit ins 19. Jahrhundert vorgreifende Hauptwerk über das Schiffsingenieurwesen, erschien während der ersten Berliner Jahre.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 26.</ref>

Der erste Band definiert allgemeine Prinzipien der Hydrostatik und errichtet die erste Theorie der [[Trägheitsmoment]]e ausgedehnter Körper, auf deren Grundlage das Stabilitätskriterium für Schiffsschwingungen analysiert wird. Im Ergebnis stimmen Eulers Ansatz über so genannte „rückführende Momente“,
<math> |\vec M|=h |\vec F_G|\cdot \sin \theta,</math><ref>[[Arnold Sommerfeld|A. Sommerfeld]] ''Mechanik der deformierbaren Medien''. Band II der Reihe ''Vorlesungen über Theoretische Physik''. Nachdruck der 6. Auflage. (Harri Deutsch,) Frankfurt a. M. 1992, S. 40.</ref> und Bougers Ansatz über die Schwingung um das so genannte [[Metazentrum]] überein.<ref>Siehe H. Nowacki, L. D. Ferreiro, ''Historical Roots of the Theory of Hydrostatic Stability of Ships''. In: Contemporary Ideas on Ship Stability and Capsizing in Waves pp 141–180. (2011)</ref>

== Algebra ==

[[Datei:One5Root.svg|mini|Das Bild zeigt die Teilung des Kreises in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] in fünf Abschnitte. Jeder eingezeichnete Punkt entspricht einer Lösung der Gleichung <math> x^5 - 1 = 0</math>.]]

In der Algebra beschäftigte sich Euler unter anderem mit der expliziten Gestalt von [[Einheitswurzel]]n. Diese treten als Lösungen der Gleichungen <math> x^n - 1 = 0 </math> auf. Im 18. Jahrhundert galt es als wegweisende Problemstellung, die Lösungen dieser Gleichungen algebraisch geschlossen durch „Radikale“ auszudrücken. Auch Euler hatte in diesem Bereich Erfolge und löste die Einheitsgleichungen bis <math> n \leq 10 </math>. Als technisch besonders schwierig gilt hierbei das Verfahren für <math> x^7 - 1 = 0</math>, das die Lösungen in Termen von [[Quadratwurzel|Quadrat-]] und [[Kubikwurzel]]n ausdrückt.<ref>O. Neumann: ''Cyclotomy: From Euler through Vandermonde to Gauss.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 324 ff.</ref>

Euler studierte intensiv [[Diophantische Gleichung]]en der Form <math> y^2 = ax^3 + b^2 </math> und <math> y^2 = ax^2 + bx + c</math>, wobei <math> a,b,c </math> ganzzahlig sind und <math> a > 0 </math> keine Quadratzahl ist. In größerer Allgemeinheit untersuchte er Gleichungen des Typs
: <math> Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,</math>
bei denen die [[Diskriminante]] <math> \Delta = B^2 - AC > 0</math> keine Quadratzahl ist.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 88.</ref>

Euler arbeitete Näherungsmethoden für die Lösung numerischer Gleichungen aus und bearbeitete ferner – wahrscheinlich von Daniel Bernoulli angeregt – das [[Eliminationsproblem]]. So gelang ihm ein Beweis des bereits Newton bekannten Satzes, dass zwei algebraische Kurven vom Grad ''m'' bzw. ''n'' höchstens ''mn'' [[Schnittpunkt]]e haben können. In diesem Zusammenhang gelangte er zum wichtigen Begriff der [[Resultante]]. In den beiden Abhandlungen E147 und E148 vom Jahre 1750 gab Euler eine stichhaltige Erklärung des sogenannten [[Cramersches Paradoxon|Cramerschen Paradoxons]].<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 40.</ref>

1770 brachte er das Buch ''Vollständige Anleitung zur Algebra'' heraus. Er erarbeitete eine Methode zur Lösung von [[Quartische Gleichung|quartischen Gleichungen]]. Euler bemerkte ebenfalls, dass sich [[quintische Gleichung]]en im Allgemeinen nicht mehr durch Radikale (also geschlossene Verkettungen von [[Wurzel (Mathematik)|Wurzelausdrücken]]) auflösen lassen. Dieses Resultat wurde jedoch erst später durch [[Niels Henrik Abel]] und [[Évariste Galois]] bewiesen.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 95.</ref>

== Logik ==

{{Hauptartikel|Mengendiagramm}}
[[Datei:3-set Euler diagram.svg|mini|Euler-Diagramm mit drei Mengen. Grün und Rot/Gelb sind disjunkt. Die Schnittmenge von Rot und Gelb ist die Menge <math> \{1\}</math>.]]

Euler wird auch die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der [[Syllogismus|syllogistischen]] Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden. In den Briefen 101 bis 108 (an eine deutsche Prinzessin), die im Februar und März 1761 verfasst wurden, werden die heute als Venn-Diagramme bezeichneten Diagramme vorgestellt, obwohl das eine falsche Bezeichnung ist. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass [[Johann Heinrich Lambert]] sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen [[Proposition (Linguistik)|Propositionen]] zu erklären.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 467.</ref>

Ein Euler-Diagramm ist ein diagrammatisches Mittel zur Darstellung von Mengen und ihren Beziehungen. Euler-Diagramme bestehen aus einfachen geschlossenen Kurven (normalerweise [[Kreis]]en oder auch [[Ellipse]]n) in der Ebene, die jeweils Mengen darstellen. Jede Eulerkurve teilt die Ebene in zwei Bereiche oder „Zonen“: den inneren Bereich, der symbolisch die Elemente der Menge einschließt und darstellt, und den äußeren Bereich, der alle Elemente darstellt, die nicht zur Menge gehören ([[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]]). Die Größen oder Formen der Kurven spielen dabei keine Rolle. Das Diagramm soll lediglich veranschaulichen, wie sie sich überlappen. Die räumlichen Beziehungen zwischen den von jeder Kurve begrenzten Bereichen (Überlappung, Eingrenzung oder keines von beiden) entsprechen mengentheoretischen Beziehungen ([[Schnittmenge]], [[Teilmenge]] und [[Disjunktheit]]). Kurven, deren innere Zonen sich nicht schneiden, stellen disjunkte Mengen dar. Zwei Kurven, deren innere Zonen sich schneiden, repräsentieren Mengen, die gemeinsame Elemente haben (nicht-[[Leere Menge|leere]] Schnittmenge): Die Zone innerhalb beider Kurven stellt dabei die Menge der Elemente dar, die beiden Mengen gemeinsam sind. Eine Kurve, die vollständig im Bereich einer anderen enthalten ist, stellt eine Teilmenge dieser dar.

Euler-Diagramme (und die allgemeineren [[Mengendiagramm#Venn-Diagramme|Venn-Diagramme]]) wurden ab den 1960er Jahren im Zuge der ''[[Neue Mathematik|Neuen Mathematik]]'' als Teil des Unterrichts in der [[Mengenlehre]] aufgenommen.

== Kartographie und Geodäsie ==

Großes Interesse legte Euler für astronomisch-geodätische und kartographische Fragen an den Tag, für deren Lösung bei der Petersburger Akademie der Wissenschaften auf [[Joseph-Nicolas Delisle]]s Anregung eine neue wissenschaftliche Institution ins Leben gerufen wurde – das sogenannte ''Geographische Departement''. Euler war dort als Delisles Helfer eine Reihe von Jahren tätig. Der Einblick in verschiedene Dokumente dieses Departements, vor allem in die Protokolle, brachte viele Einzelheiten über Eulers Tätigkeit auf dem Gebiet der [[Geodäsie]] und [[Kartographie]] zutage. So konnte z.&nbsp;B. festgestellt werden, dass Eulers Anstellung im Geographischen Departement durchaus seinen Wünschen und wissenschaftlichen Neigungen entsprach. Eulers erste Arbeit war die vom Senat angeforderte Karte von Russlands europäischen Grenzen. Am 2. September beriet sich Euler mit Delisle darüber, wie eine solche Karte am besten zu konstruieren sei. Euler beendete die Karte der europäischen Grenzen Russlands am 6. September 1736. Erst am 14. Oktober 1736 war die von Euler und Delisle gemeinsam begonnene Karte, nach Korrekturen des Adjunkten [[Wassili Jewdokimowitsch Adodurow]], endgültig fertiggestellt.<ref>Nina I. Nevskaja: ''Leonhard Euler und die Astronomie.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 367–368.</ref>

== Mathematische Musiktheorie ==

Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik: Er begründete eine auf mathematischen Gesetzen aufbauende Musiktheorie (unter anderem ''[[Tentamen novae theoriae musicae]],'' 1739, Music mathématique, Paris 1865).<ref>Leonhard Euler: [http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html ''Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae.''] Sankt Petersburg 1739.</ref> Sein Modell des [[Eulersches Tonnetz|Tonnetzes]] wird noch heute bei Berechnungen zur [[Reine Stimmung|reinen Stimmung]] verwendet. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa dreißigtausend Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat.<ref>Peter Pesic: ''Music and the Making of Modern Science.'' S. 133.</ref>

Zum Verständnis von Eulers Musiktheorie muss bekannt sein, dass [[Intervall (Musik)|musikalische Intervalle]] in der sog. reinen Stimmung mit den Tonstufen Oktave, [[Quinte]], [[Quarte]] und große [[Terz (Musik)|Terz]] entsprechend den [[Frequenz]]verhältnissen 1:2, 2:3, 3:4 bzw. 4:5 zum [[Grundton]] aufgebaut werden. Im Gegensatz dazu steht die heute meist gebräuchliche [[gleichstufige Stimmung]] (wohltemperiert), bei der zwei Töne eines Halbtons stets das exakte Frequenzverhältnis <math>\sqrt[12]{2} \approx 1{,}059463</math> haben.

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| caption = Eulers Tabelle der ersten zehn „Annehmlichkeitsgrade“ von musikalischen Intervallen.
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Der [[Musikwissenschaft]]ler [[Martin Vogel (Musikwissenschaftler)|Martin Vogel]] stellt fest: „Eine durchaus brauchbare und für die Praxis geeignete Konsonanzgradberechnung wurde von Leonhard Euler aufgestellt.“ Er fährt fort, „daß ihre Ergebnisse mit den tonpsychologischen Testen weitgehend übereinstimmen. Für die praktische Arbeit des Komponierens und des Analysierens lassen sich aus ihr wichtige Folgerungen gewinnen“.<ref>Martin Vogel: Die Lehre von den Tonbeziehungen; Verlag für systematische Musikwissenschaft GmbH, Bonn - Bad Godesberg 1975, Orpheus-Schriftenreihe, Band 16, ISBN 978-3-922626-09-1; S. 136</ref> „Euler geht davon aus, daß der Mensch in einer geordneten Welt leben will und daß das nicht gar zu anstrengende Erfassen dieser Ordnung sein Wohlbefinden steigert. … Euler folgerte weiter: Je einfacher ein Verhältnis<ref>Gemeint sind hier die Schwingungszahlenverhältnisse zwischen zwei oder mehr gleichzeitig erklingenden Tönen.</ref> sei, durch je kleinere Zahlen es ausgedrückt werde, desto deutlicher könne es wahrgenommen werden und desto angenehmer sei seine Wirkung.“<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 146</ref> Euler versucht nun, diese Einfachheit genauer zu definieren und so in mathematische Formeln zu fassen, dass es dem Höreindruck möglichst gut entspricht. Dabei verwendet er [[Primzahl]]theorien.

Zunächst definiert Euler für Konsonanzen, d.&nbsp;h. Zusammenklänge, einen „Grad“. Dieser soll die „Schwierigkeit“ eines Zusammenklangs von Tönen mathematisch erfassen. Ein niedriger Grad spricht dabei für einen „annehmlichen“ – ein hoher Grad für einen „unannehmlichen“ Klang. Als Funktion verwendete Euler den ''Gradus suavitatis'' („Grad der Lieblichkeit, der Verträglichkeit“) <math>\Gamma(n)</math>, der rein abstrakt als eine [[zahlentheoretische Funktion]] interpretiert werden kann: Für eine natürliche Zahl ''n'' mit [[Primfaktorzerlegung]] <math>n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}</math> ist er definiert durch
: <math> \Gamma(n) = 1 + \sum_{j=1}^r a_j(p_j - 1). </math>
Der Gradus suavitatis stellt somit eine Bewertung der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen dar und ist umso größer, je größer die auftretenden Primzahlen und je größer deren Exponenten sind.<ref>Daniel Muzzulini: ''Leonhard Eulers Konsonanztheorie.'' Musiktheorie, 9 (2), S. 2.</ref> Zweiklänge werden nun wie folgt gradiert: Für das Verhältnis ''a'':''b'', wobei bereits vollständig gekürzt wurde, d.&nbsp;h., ''a'' und ''b'' sind [[teilerfremd]], setzt man
: <math> \Gamma(a:b) := \Gamma(a \cdot b). </math>
Euler nennt die Zahl <math> a \cdot b</math> (das kleinste gemeinsame Vielfache von ''a'' und ''b''), den ''Exponenten'' von ''a'':''b''. Damit hat zum Beispiel die reine [[Quinte]] einen Grad von 4, denn es gilt <math> \Gamma(2:3) = \Gamma(2 \cdot 3) = (2-1) + (3-1) + 1 = 4</math>. Dieses Prinzip lässt sich auf beliebige [[Akkord]]e erweitern, indem das kgV des Gesamtklangs verwendet wird. Für einen [[Dreiklang]] ''a:b:c'', wobei ''a'', ''b'' und ''c'' jeweils teilerfremd sind, hat man zum Beispiel <math>\Gamma(a:b:c) = \Gamma(\mathrm{kgV}(a,b,c))</math>.<ref>Daniel Muzzulini: ''Leonhard Eulers Konsonanztheorie.'' Musiktheorie, 9 (2), S. 6.</ref> Eulers Argumente erklären zum Beispiel, warum ein Dur-Dreiklang (wie C-E-G, im Verhältnis 4:5:6) „fröhlicher“ klingt als ein Moll-Dreiklang (E-G-H, im Verhältnis 10:12:15). In seinem Schema hat der Dur-Dreiklang den neunten und der Moll-Dreiklang den vierzehnten Grad – der Moll-Dreiklang ist daher „trauriger“, weil „Freude durch die Dinge, die eine einfachere, leichter wahrnehmbare Ordnung haben, und Traurigkeit durch die Dinge, deren Ordnung komplexer und schwieriger wahrnehmbar ist“ vermittelt wird.<ref>Peter Pesic: ''Euler’s Musical Mathematics.'' Springer Science+Business Media New York, Volume 35, Number 2, 2013, S. 38.</ref> Euler benutzte also das Prinzip des ''Exponenten'', um eine Ableitung des ''Gradus suavitatis'' von Intervallen und Akkorden aus ihren [[Primfaktor]]en vorzuschlagen – man muss sich vor Augen halten, dass er dabei zunächst nur das [[Tonstruktur (mathematische Beschreibung)#Reine Stimmung|Quint-Terz-System]], d.&nbsp;h. die 1, die 2 und die Primzahlen 3 und 5, berücksichtigte.<ref>Mark Lindley, Ronald Turner-Smith: ''Mathematical Models of Musical Scales.'' Bonn, Verlag für systematische Musikwissenschaft, 1993, S. 234–39.<br />Siehe auch Catherine Nolan: ''Music Theory and Mathematics.'' The Cambridge History of Western Music Theory, Th. Christensen ed., New York, CUP, 2002, S. 278–79.</ref> Die oben erwähnte Gradusfunktion, die dieses System auf beliebig viele Primzahlen ausdehnt, wurde später vorgeschlagen.<ref>Patrice Bailhache: [http://patrice.bailhache.free.fr/thmusique/euler.html ''La Musique traduite en Mathématiques: Leonhard Euler.''] Abgerufen am 8. Februar 2020.</ref><ref>Nimmt man beispielsweise zusätzlich zu den Primzahlen 3 und 5 auch noch die Primzahl 7 dazu, gelangt man zum Quint-Terz-Sept-System. In diesem System erhält man z.&nbsp;B. besonders einfache Schwingungszahlenverhältnisse beim Dominantseptakkord, nämlich 4:5:6:7.<!--Diese erweiterte Form der naturreinen Stimmung ist auf der Seite [[Tonstruktur (mathematische Beschreibung)]] bisher noch nicht enthalten.--></ref>

Zu den Ergebnissen dieser Berechnungen konstatiert Vogel: „Mit den gängigen Intervallvorstellungen stimmt Eulers System nicht voll überein. Wer sich aber klar macht, wie diese Vorstellungen sich herausbildeten und wie schlecht fundiert die Theorie ist, auf die sie sich stützen, wird sich sagen, daß es eigentlich nicht anders sein kann, daß ein neuer Ansatz, der uns weiter bringen soll, nicht gleich in die alten Gleise einmünden darf. Eulers Grade entsprechen nicht durchweg den allgemeinen Vorstellungen, sie entsprechen aber recht gut dem Höreindruck.“<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 139f</ref>

Während die konventionelle Musiktheorie oftmals von einer klaren Grenze zwischen [[Konsonanz und Dissonanz|konsonanten und dissonanten]] Intervallen ausgeht, ergeben sich bei Euler nur noch graduelle Unterschiede, also feine Abstufungen zwischen verschiedenen Graden der Verschmelzung der beiden gleichzeitig erklingenden Töne. Damit nimmt er ein wichtiges Prinzip der [[Neue Musik|Neuen Musik]], z.&nbsp;B. von [[Arnold Schönberg|Schönberg]], vorweg, wo die prinzipielle Grenze zwischen Konsonanz und Dissonanz nicht mehr gilt.<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 143</ref>

Im Kapitel „Eulers Grenzen“<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 144ff</ref> versucht Vogel plausibel zu machen, dass die Anwendung von Eulers Formeln auf drei- und mehrstimmige Akkorde zu keinen sinnvollen Ergebnissen führt. Dagegen betont Vogel für zweistimmige Akkorde (= Intervalle): „Im praktischen Umgang mit Intervallen erweist sich Eulers Einstufung jedoch als außerordentlich brauchbar. Diese Feststellung betont die praktische Seite. Die theoretische Begründung wäre schwierig, wenn nicht gar unmöglich.“<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 145f</ref>

Eulers Konsonanztheorie bedarf aber der Ergänzung durch seine Substitutionstheorie: Beim Hören von Musik, deren Intonation vom Ideal leicht abweicht, nehmen wir seiner Meinung nach in unserer inneren Vorstellung nach Möglichkeit nicht die Tonhöhen wahr, die tatsächlich erklingen, sondern diejenigen, die unserem Ideal eher entsprechen würden. „Das Ohr hört zurecht. Das Ohr hört ökonomisch. Es hört die dargebotenen Intervalle im Sinne der einfachsten Verhältnisse zurecht. Das Ohr erkennt das eigentlich gemeinte Intervall, so wie das Auge im Geometrieunterricht an der Tafel ein rechtwinkliges Dreieck hinnimmt und zurechtsieht, auch wenn sein Winkel nicht exakt ein rechter ist.“<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 148</ref> Damit wird ein Vorwurf entkräftet, dem Eulers Konsonanzgrad-Berechnungen oftmals begegnen: „Eulers Lehre von den Schwingungsrhythmen ist oft mit dem billigen Einwand abgetan worden, daß dann eine leichte Verstimmung genüge, um aus der reinsten Konsonanz die rauheste Dissonanz werden zu lassen. Statt einer reinen Quinte 300/200 brauche man nur eine Verstimmung von 301/200 anzunehmen, um ein nicht mehr apperzipierbares Verhältnis zu erhalten.<ref>Vogel bringt als Beispiel für solche Kritik: J. Jeans, Science and Music, Cambridge 1961, 155</ref> Einem solchen Einwand hat Euler, was seinen Kritikern meist nicht bekannt ist, mit seiner Substitutionstheorie vorgebeugt. Es sei genügend bewiesen, daß sich das geistig erfaßte Tonverhältnis oftmals von dem akustisch gegebenen Verhältnis unterscheide. In solchen Fällen sei die apperzipierte Proportion einfacher als die wirkliche. Die Differenz sei so klein, daß sie der Wahrnehmung entgehe. Das Ohr sei daran gewöhnt, als ein einfacheres Zahlenverhältnis gelten zu lassen, was nur wenig davon abweiche.“<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 147 mit Verweis auf L. Euler, Opera omnia, III 1, 512</ref>

„Eulers These vom Zurechthören im Sinne der einfachsten Verhältnisse ist aber kein Freibrief für unreines Musizieren und schlechte Intonation. Euler läßt keinen Zweifel daran, daß ein möglichst hoher Grad an Reinheit anzustreben sei. Je leichter die Intervalle erfaßbar seien, desto weniger ermüde das Ohr und desto größer sei auch der Musikgenuß.“<ref>Vogel, Tonbeziehungen, S. 149 mit Verweis auf L. Euler, Opera omnia, III 1, 521</ref>

Das Prinzip des Zurechthörens liegt auch der Verwendung von [[Temperierte Stimmung|temperierten Stimmungssystemen]] zugrunde, wie sie in der Musik oftmals verwendet werden, und zwar insbesondere bei Tasteninstrumenten.

Ein weiterer Ansatz von Eulers Musiktheorie ist die Definition sog. „Gattungen“, d.&nbsp;h. von möglichen Unterteilungen einer [[Oktave]] durch die [[Primzahl]]en 3 und 5. Diese repräsentieren aufeinanderfolgende Töne, die gewissen Frequenzverhältnissen folgen, und sind demnach [[Tonleiter]]n. Euler beschreibt 18 solcher Gattungen, aufbauend auf den Primzahlen 3 und 5. Dabei wird wie folgt verfahren: Jedes Produkt <math> A = 2^m 3^p 5^q</math> beschreibt eine Folge von Vielfachen einer Grundfrequenz – dabei werden alle möglichen Teiler von <math> A </math> genommen. Für <math> 2 \cdot 3 \cdot 5 </math> hat man zum Beispiel die Verhältnisse 1:1, 1:2, 1:3, 1:5, 1:6, 1:10, 1:15, 1:30. Da die Zahl 2 jedoch (bis auf Oktave) nichts an den vorkommenden Klängen ändert (eine Frequenzverdopplung definiert einen Oktavsprung), spielt die Zweierpotenz keine Rolle für die Gattung.<ref>[https://www.huygens-fokker.org/microtonality/efg.html ''What is an Euler Fokker genus?''] Abgerufen am 27. Februar 2020.</ref>

Euler stellte seine Gattungen in kompakten Tabellen vor, die musikalische und mathematische Notationen visuell nebeneinander stellen. Er zeigte damit, wie wichtig ihm beide waren und wie er versuchte, sie zusammenzubringen:

[[Datei:Euler Species.jpg|zentriert|mini|hochkant=2.5|Eulers musikalische Illustration der ersten zehn Gattungen von Harmonie. Eingetragen sind ebenfalls die „Annehmlichkeitsgrade“. Mit zunehmender Gattung steigt die Komplexität der Harmonien an.]]

Dieses Prinzip wurde von [[Adriaan Fokker]] weiterentwickelt. Beispielsweise lässt sich der Fall <math> A = 3^2 \cdot 7</math> innerhalb einer Oktave auf die folgenden Verhältnisse normieren: 1:1, 8:9, 16:21, 2:3, 4:7, 32:63. {{audio|Euler-Fokker genus 337 on C.mid|Abspielen}}

Die Gattungen 12 (bei Euler <math>2^m.3^3.5</math>), 13 (bei Euler <math>2^m.3^2.5^2</math>) und 14 (bei Euler <math>2^m.3.5^3</math>) sind korrigierte Versionen der [[diatonisch]]en, [[Chromatik|chromatischen]] bzw. [[Enharmonik|enharmonischen]] Versionen aus dem Altertum. Die 18. Gattung (<math>2^m.3^3.5^2</math>) ist die „diatonisch-chromatische“, „die allgemein in allen Kompositionen verwendet wird“,<ref>Eric Emery: ''Temps et musique.'' Lausanne, L’Âge d’homme, 2000, S. 344–45.</ref> und die sich als identisch mit dem von [[Johann Mattheson]] beschriebenen System erweist.<ref>Johannes Mattheson: ''Grosse General-Baß-Schule.'' Hamburg, 1731, Vol. I, S. 104–06, erwähnt von Euler; und ''Exemplarische Organisten-Probe.'' Hamburg, 1719, S. 57–59.</ref> Euler sah später noch die Möglichkeit, Gattungen einschließlich der Primzahl 7 zu beschreiben.<ref>Wilfrid Perret: ''Some Questions of Musical Theory.'' Cambridge, 1926, S. 60–62; [https://www.huygens-fokker.org/microtonality/efg.html ''What is an Euler-Fokker genus?''] Abgerufen am 8. Februar 2020.</ref> Euler entwickelte ein spezielles Diagramm, das ''Speculum musicum'',<ref>Leonhard Euler: ''Tentamen novae theoriae musicae.'' St Petersburg, 1739, S. 147; ''De harmoniae veris principiis.'' St Petersburg, 1774, S. 350.</ref> um die diatonisch-chromatische Gattung zu veranschaulichen, und erläuterte die Wege in diesem Diagramm für bestimmte Intervalle, was an sein Interesse an der Graphentheorie, im Besonderen der Sieben Brücken von Königsberg, erinnert. Das Konzept erregte erneut Interesse als Tonnetz in der [[Neo-Riemannsche Theorie|Neo-Riemannschen Theorie]] ''(Neo-Riemannian Theory)'',<ref>Edward Gollin: ''Combinatorial and Transformational Aspects of Euler’s Speculum Musicum.'' Mathematics and Computation in Music, T. Klouche und Th. Noll eds., Springer, 2009, S. 406–11.</ref> benannt nach dem Musiktheoretiker [[Hugo Riemann]].

== Populäre Darstellungen und Themen ==

[[Datei:Lettres a une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique & de philosophie.png|mini|395x395px|Titelseite des ersten Bands (Erste Edition, 1768) der ''Lettres a une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique & de philosophie'']]

Besondere Bedeutung in der breiten Öffentlichkeit erlangte Eulers populärwissenschaftliche Schrift [[Briefe an eine deutsche Prinzessin|''Lettres à une princesse d’Allemagne'']] von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin [[Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt]], eine Nichte Friedrichs&nbsp;II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelte. Euler begann den ersten Brief mit einer Erklärung des Begriffs „[[Messung|Größe]]“ ''(la grandeur)''. Ausgehend von der Definition eines [[Fuß (Einheit)|Fußes]] definierte er die [[Meile]] und motivierte die unterschiedlichen Maße durch praktische Beispiele. So sei es besser, den Abstand zwischen Berlin und Magdeburg mit 18 Meilen (in einer Übersetzung ist von 83 ''englischen Meilen'' die Rede<ref>[http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E343.1-10.e.pdf ''Letters on different subjects in natural philosophy.''] (PDF; 1,5&nbsp;MB) S. 2.</ref>) statt 432.000 Fuß (43,824 ''feet'') zu beziffern.<ref>Leonhard Euler: [https://books.google.de/books?id=x28OAAAAQAAJ&pg=PA63&lpg=PA63&dq=Euler+trente+Millions+de+Milles&source=bl&ots=s9GXkI4RvG&sig=ACfU3U0-05DiGdCFhKkjxtlcnTzrXTPnqg&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjll9WnreLnAhWJyKYKHWoeC7IQ6AEwAHoECAQQAQ#v=onepage&q=Euler%20trente%20Millions%20de%20Milles&f=false ''Lettres de M. Euler à une princesse d’Allemagne.''] Lettre I, S. 3.</ref> Spätere Briefe beinhalteten Optik, Magnetismus, Elektrizität, aber auch Astronomie. Unter anderem schätzte Euler die Entfernung von Erde und Sonne auf „trente Millions de Milles“ (dreißig Millionen Meilen).<ref>Leonhard Euler: [https://books.google.de/books?id=x28OAAAAQAAJ&pg=PA63&lpg=PA63&dq=Euler+trente+Millions+de+Milles&source=bl&ots=s9GXkI4RvG&sig=ACfU3U0-05DiGdCFhKkjxtlcnTzrXTPnqg&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjll9WnreLnAhWJyKYKHWoeC7IQ6AEwAHoECAQQAQ#v=onepage&q=Euler%20trente%20Millions%20de%20Milles&f=false ''Lettres de M. Euler à une princesse d’Allemagne.''] Lettre XVI, S. 63.</ref>

Die ersten beiden Bände der 234 ursprünglich in Französisch verfassten Briefe erschienen 1768 in Sankt Petersburg und der dritte 1774 in Frankfurt. Die Briefe wurden später in Paris nachgedruckt, der erste Band 1787, der zweite 1788 und der dritte 1789. Die erste Ausgabe der 1787 in Paris veröffentlichten ''Lettres'' enthielt ''Eloge de M. Euler'', einen sechsunddreißigseitigen Nachruf verfasst von [[Marquis de Condorcet]], der dem Leser biografische Skizzen und Höhepunkte von Eulers Karriere bot.<ref>''Lettres de M. Euler à une princesse d’Allemagne sur différentes questions de physique et de philosophie.'' Nouvelle Edition, Avec des Additions, par MM. le Marquis de Condorcet et De La Croix, Paris, 1787.</ref> Obwohl Euler die Briefe auf Französisch verfasst hat, gilt es als gesichert, dass Condorcet einige redaktionelle Änderungen vorgenommen hat, da der Text vom Original abweicht.<ref>Ronald S Calinger, Ekaterina (Katya) Denisova, Elena N Polyakhova: ''Leonhard Euler’s Letters to a German Princess.'' IOP Concise Physics, Morgan and Claypool Publishers, 2019, S. 2–13.</ref>

Euler widmete sich zusätzlich Aufgaben der [[Schachmathematik]], zum Beispiel dem [[Springerproblem]]. Dieses behandelt die Frage, ob es möglich ist, dass die ''Springer''-Schachfigur jedes Feld eines Schachbretts bei einem Rundlauf genau einmal passieren kann. Euler erwähnte das Problem bei einem Brief an Christian Goldbach im Jahre 1757.<ref>A. P. Juskevic, E. Winter: ''Leonhard Euler und Christian Goldbach: Briefwechsel.'' 1729–1764. Akademie-Verlag, Berlin 1965.</ref> In den Jahren 1758–1759 verfasste er schließlich eine Arbeit über die Thematik, die 1766 in den Berliner ''Mémoires'' veröffentlicht wurde.<ref>Leonhard Euler: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/309/ ''Solution d’une question curieuse que ne paroit soumise à aucune analyse.''] 1766.</ref>

Er gilt als Erfinder des [[Griechisch-lateinisches Quadrat|griechisch-lateinischen Quadrats]], einer Vorform des [[Sudoku]].<ref name="LD162">Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 162.</ref> Hierbei handelt es sich (bei Ordnung ''n'') um ein quadratisches ''n''x''n''-Schema, in dessen Felder Elemente zweier (''n''-elementiger) [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math> L, M </math> so eingetragen sind, dass in jeder Spalte und Zeile genau ein Exemplar jedes Elements auftaucht. Beispiele sind:

<gallery class="center">
 GraecoLatinSquare-Order3.svg|Quadrat der Ordnung 3
 GrecoLatinSquare-Order4.svg|Quadrat der Ordnung 4
 GraecoLatinSquare-Order5.png|Quadrat der Ordnung 5
</gallery>

In seiner Arbeit ''Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques'' gibt Euler hunderte Beispiele solcher Quadrate und beschäftigt sich auch mit Quadraten, deren Diagonalen die geforderte Eigenschaft erfüllen. Am Ende behauptet er, ohne jedoch einen rigorosen Beweis vorzulegen, dass kein griechisch-lateinisches Quadrat der Größe 4''k'' + 2 konstruiert werden kann.<ref name="LD162" /> Erst um 1960 wurde gezeigt, dass sich Euler geirrt hatte. Es existieren stets griechisch-lateinische Quadrate, mit Ausnahme der Ordnungen 2 und 6. Für die algebraisch-algorithmische Konstruktion wurde u.&nbsp;a. auf [[Gruppentheorie]], endliche [[Körper (Algebra)|Körper]], [[projektive Geometrie]] und [[Blockplan|Blockpläne]] zurückgegriffen.<ref>D. Klyve und L. Stemkoski: ''Graeco-Latin Squares and a Mistaken Conjecture of Euler.'' The College Mathematics Journal, Vol. 37, No. 1 (Jan., 2006), 2–15, S. 13.</ref>

== Aufarbeitung des archivierten Nachlasses ==
=== Posthumer Publikationsprozess ===

Nach Eulers Tod veröffentlichte die Akademie von Sankt Petersburg bisher nicht erschienene Arbeiten Eulers in ihren ''Mémoires'' [[posthum]]. Wegen der großen Zahl an Dokumenten (in etwa 100 Aufsätze) wurde der Publikationsprozess erst 1830 für abgeschlossen erklärt.<ref>Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer (Hrsg.): ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' Elsevier, 2007, S. 443.</ref> Doch es stellte sich bald heraus, dass Euler noch weitere Arbeiten verfasst hatte. Nachdem [[Paul Heinrich von Fuss]] als Nachfolger seines Vaters 1825 Sekretär der Sankt Petersburger Akademie geworden war, durchforschte er deren Archive und fand einige Pakete aus dem Briefwechsel Eulers u.&nbsp;a. mit den Bernoullis. Aus diesem erwuchs ein Verzeichnis über die Korrespondenzen in zwei Bänden unter dem Titel ''Correspondance mathématique et physique de quelques céleèbres géomètres du XVIIIème siècle''. Diesem wurde eine Auflistung der Eulerschen Schriften beigefügt. Nachdem das Verzeichnis von Fuss’ Vater Nikolaus noch nicht 700 Nummern enthielt, wurde dieses nun auf 756 ergänzt. Für die weitere Vervollständigung wurden die Archive erneut durchsucht und man brachte ein noch nicht veröffentlichtes Werk unter dem Titel ''Astromania mechanica'' hervor.<ref>P. Stäckel, W. Ahrens: ''Der Briefwechsel zwischen C. G. Jacobi und P. H. v. Fuss über due Herausgabe der Werke Leonhard Eulers.'' Zeitschrift für Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Leipzig, 1907–1908, S. 235 f.</ref>

=== Veröffentlichung eines Gesamtwerkes ===
==== Erste Versuche im 19. Jahrhundert ====

[[Datei:Carl Jacobi.jpg|mini|Carl Gustav Jacobi]]

Die ersten Versuche, Eulers Gesamtwerk zu veröffentlichen, gehen auf die 1830er Jahre zurück. Es gab im Wesentlichen zwei Initiativen. Eine davon wurde von Paul Heinrich Fuss ins Leben gerufen. Obwohl Fuss von vielen prominenten Mathematikern, darunter [[Carl Gustav Jacobi]], ermutigt wurde, wurde das Projekt schließlich aufgegeben, als sich herausstellte, dass es die finanziellen Möglichkeiten des Budgets der Akademie übersteigen würde. Das einzige Ergebnis der Initiative von Fuss und Jacobi war die Veröffentlichung von zwei Bänden der ''Commentationes arithmeticae'' im Jahr 1849, die 94 bereits veröffentlichte Artikel und fünf unveröffentlichte Manuskripte umfassen.
Zur gleichen Zeit unternahm eine Gruppe belgischer Mathematiker ein ähnliches Projekt. Sie waren insofern erfolgreicher als Fuss und Jacobi, als dass fünf Bände dieser Ausgabe tatsächlich gedruckt wurden.<ref>''Œuvres complètes de L. Euler.'', 5 Bände, Brüssel, 1838–1839.</ref> Diese Ausgabe wurde scharf kritisiert, insbesondere von dem belgischen Mathematikhistoriker [[Henri Bosmans]], der sie als „sehr schlechtes Werk“ bezeichnete.<ref>Henri Bosmans: ''Sur une tentative d’édition des œuvres complètes de L. Euler faite à Bruxelles en 1839.'' Louvain 1909.</ref> In der Absicht, Eulers Werke einem großen Teil der Öffentlichkeit zugänglich zu machen, hatten die Herausgeber die Originaltexte teils willkürlich abgeändert, auch wenn das Original bereits in Französisch verfasst war. Als treibender Motor der Herausgeber wird die einfache Zugänglichkeit durch andere Mathematiker gesehen, auf die das Werk noch heute „stimulierend wirken“ sollte.<ref name="Andreas Kleinert 2007">Andreas Kleinert: ''Leonhardi Euleri Opera Omnia: a centenary project.'' EMS Newsletter September 2007, S. 26.</ref>

==== Beginn des 20. Jahrhunderts ====

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts startete die Russische Akademie der Wissenschaften mit dem Auftakt des zweihundertsten Jahrestages von Eulers Geburtstag eine neue Initiative zur Veröffentlichung von Eulers Gesamtwerk. Angesichts des Scheiterns früherer Versuche suchten die Russen nach Verbündeten, mit denen sie sich Arbeit und Kosten teilen konnten; die Institution, die ihnen in Bezug auf Euler in den Sinn kam, war die Preußische Akademie der Wissenschaften in Berlin, in deren Dienst Euler 25 Jahre lang gestanden hatte. Die Berliner Akademiker waren anfangs von diesem Plan ziemlich begeistert. Aber als sich herausstellte, dass die Russische Akademie die Aufgabe auf Veröffentlichung des mathematischen und physikalischen [[Textkorpus|Korpus]] aufteilen, und ersteren für sich beanspruchen wollte, schwand die Begeisterung. Die Preußische Akademie bat den angesehensten Physiker unter ihren Mitgliedern, [[Max Planck]], um eine Einschätzung des Vorschlags. In einer berühmten Erklärung sagte Planck, dass es vielleicht stimmt, dass sich Mathematiker immer noch von Eulers Schriften inspirieren lassen, aber dass dies nicht im gleichen Maße auf Physiker zuträfe. Er vermutete, dass die Veröffentlichung von Eulers physikalischen Schriften „nicht im Interesse der Physik als Wissenschaft unserer Zeit“ liege und lehnte deshalb eine Beteiligung der Preußischen Akademie an der Finanzierung des Projekts ab. Da eine Gesamtausgabe für die Russische Akademie zu teuer war, endete auch diese Initiative mit einem Misserfolg.<ref name="Andreas Kleinert 2007" />

==== Gustaf Eneströms Euler-Verzeichnis ====

In den Jahren 1910 bis 1913 legte der schwedische Mathematiker [[Gustaf Eneström]] ein Verzeichnis an, das alle Eulerschen Werke auflistet. Dieses weist 866 Nummern auf, die nach dem Prinzip E001, …, E866 geordnet sind.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', S. 52.</ref>

==== Gründung der Euler-Kommission und die ''Opera omnia'' ====

[[Datei:Ferdinand Rudio.jpg|mini|hochkant|Ferdinand Rudio, Gründer der Euler-Kommission]]

Nach den gescheiterten Versuchen im 19. Jahrhundert war der 200. Geburtstag von Leonhard Euler im April 1907 für die [[Schweizerische Naturforschende Gesellschaft]] der Anlass, erneut eine Gesamtausgabe von Eulers Veröffentlichungen in Angriff zu nehmen. Die Initiative war von dem Mathematiker [[Ferdinand Rudio]] ausgegangen, der am Zürcher Polytechnikum (der heutigen [[ETH Zürich]]) Professor für Mathematik war. In einer flammenden Rede bei der Feier zu Eulers 200. Geburtstag, die in Anwesenheit zahlreicher ausländischer Gelehrter in Basel stattfand, appellierte Rudio mit Geschick an den Schweizer [[Patriotismus]] und die internationale Solidarität: Für Eulers Heimatland „sei die Herausgabe seiner Werke eine Ehrenpflicht“, aber die Schweiz „brauche dazu die Unterstützung der beiden Länder, in denen Euler zu Ruhm und Ehre gekommen sei“, Deutschlands und Russlands:

{{Zitat
 |Text=Die Schweiz wird der Petersburger und der Berliner Akademie stets das Gefühl der Dankbarkeit bewahren, dass sie unserm Euler, für den das eigene Vaterland zu klein war, ein grösseres geboten und ihm die Möglichkeit bereitet haben, in ungetrübter Schaffensfreudigkeit sein grosses Lebenswerk zu vollenden.
 |Autor=[[Ferdinand Rudio]], 1907
 |ref=<ref>F. Rudio, K. Schröter: ''Notizen zur schweizerischen Kulturgeschichte: 21. Der zweihundertjährige Geburtstag von Leonhard Euler; 22. Der Plan einer Gesamtausgabe von Eulers Werken.'' In: Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 52 (1907), S. 537–546, hier: S. 541.</ref>}}

Rudios Worte stießen überall auf starke Resonanz. Die Schweizerische Naturforschende Gesellschaft setzte eine [[Euler-Kommission]] ein, die das Unternehmen durchführen sollte, und Rudio wurde zu deren Präsident gewählt. Die erste Aktion der jungen Kommission war ein Spendenaufruf. Ein Versprechen zur weiteren finanziellen Unterstützung kam außerdem von der Petersburger Akademie. Diese bot zudem an, „alle in ihren Archiven befindlichen Materialien, die zur bestmöglichen Ausführung des Unternehmens nötig sein sollten, zur Verfügung zu stellen“. So gelangte von 1910 bis 1912 in sieben Kisten der gesamte Euler-Nachlass als Diplomatenpost über die russische Botschaft in die Schweiz. Obwohl die Arbeit (unterstützt von bedeutenden Mathematikern wie [[Alexander Ljapunow]]) zunächst zügig voranging, wurde die Euler-Kommission durch die politischen Zerwürfnisse in Europa in Mitleidenschaft gezogen. Gegen das kommunistische System der Sowjetunion bestanden in der Schweiz erhebliche Vorbehalte, und zwischen 1918 und 1946 gab es zwischen den beiden Staaten keinerlei diplomatische Beziehungen.<ref>Ch. Gehring-Straube: ''Beziehungslose Zeiten. Das schweizerisch-sowjetische Verhältnis zwischen Abbruch und Wiederaufnahme der Beziehungen (1918–1946) aufgrund schweizerischer Akten.'' Zürich 1997.</ref> Trotzdem standen die Wissenschaftler weiterhin in erschwerter Verbindung. Während eine Bitte vom 28. Mai 1921 um Zeitaufschub wegen „kriegsbedingter Probleme“ von russischer Seite noch akzeptiert wurde, forderte die Petersburger Akademie 1930 die Manuskripte wieder zurück. Die Euler-Kommission weigerte sich, dieser Bitte nachzugehen, was einen regen Briefwechsel auslöste. Die Schweizer Seite versuchte zunächst mit unterschiedlichen Argumenten, die Rückgabe der Manuskripte immer wieder hinauszuzögern. Im Juli 1930 erklärte sich die sowjetische Akademie damit einverstanden, dass die Manuskripte noch „für einige Zeit“ in Zürich bleiben und bat um einen genauen Zeitplan für die Edition der ausstehenden Bände. Nachdem der Anfrage aus Russland, zumindest diejenigen Manuskripte zurückzugeben, die nicht mehr benötigt würden, von [[Andreas Speiser]] nicht nachgegeben wurde, wurde der Ton schärfer. So setzte die sowjetische Akademie am 5. Juni 1933 selbst eine Frist fest:

{{Zitat
 |Text=Die Akademie der Wissenschaften der UdSSR beehrt sich, Ihnen mitzuteilen, das Der Ausschuss für Wissenschaftl. und Lehranstalten am Zentralen Executiv-Komitee in Moskau hat es für zweckmässig anerkannt, die Handschriften von Euler auf eine Zeitdauer von zwei Jahren vom heutigen Datum in Zürich zu lassen.}}

Obwohl die Kommission diesen Vorgaben zunächst zustimmte, musste sie bereits im nächsten Jahr feststellen, dass der Zeitplan nicht einzuhalten war. In einem erfolglosen Appell an [[Giuseppe Motta]], den Leiter des Politischen Departements der Schweiz, schrieb Speiser, dass „diese Herausgabe […] mindestens zwanzig Jahre in Anspruch nehmen“ dürfte. Aufgrund weiteren Drucks aus Russland begann man nun zusätzlich mit dem Anfertigen von Abschriften und außerdem Photographien. Dies war 1938 abgeschlossen. Die endgültige Übergabe der Dokumente erfolgte jedoch erst am 15. Mai 1947 in Zürich.<ref>A. Kleinert: ''Hundert Jahre russisch-schweizerische Zusammenarbeit bei der EULER-Gesamtausgabe.'' Europäische Wissenschaftsbeziehungen hg. von Dietrich von Engelhardt, Ingrid Kästner, Jürgen Kiefer, Karin Reich (Band 14), S. 213–222.</ref> Die Euler-Kommission machte sich erfolgreich um die Veröffentlichung der [[#Opera Omnia|''Opera Omnia'']] verdient.

Von den 81 vorgesehenen Bänden in vier Reihen sind mittlerweile (Stand 2018) 76 erschienen. Series I (Mathematik: 29 Bände) und Series III (Physik, Varia: 12 Bände) sind vollständig, von den 31 Bänden der Series II (Mechanik, Astronomie) stehen noch zwei aus (II/26 und II/27 zur Himmelsmechanik), die frühestens im Laufe des Jahres 2019 inhaltlich abgeschlossen werden sollten. In der Series IVA (Briefwechsel) sind von den 9 geplanten Bänden bisher 8 erschienen, darunter die beiden Doppelbände IVA/3 und IVA/4. Die Vernissage des neuesten Bandes IVA/8 war am 23.&nbsp;November 2018. Der letzte Band IVA/9 wird von einer Gruppe von Historikern unter der Leitung von Antonio Moretto bearbeitet.<ref>Siehe [https://naturwissenschaften.ch/service/publications/110136-opera-omnia-leonhard-euler ''Opera Omnia Leonhard Euler''.] In: ''Naturwissenschaften Schweiz''; abgerufen am 12. April 2020.</ref>

=== Weitere Veröffentlichungen von 1950 bis 1980 in der Sowjetunion ===

Als der Euler-Nachlass nach Russland in das Archiv der Leningrader Akademie zurückkam, erhielten sowjetische Wissenschaftler neue Möglichkeiten für umfangreiche Forschungen und nutzten diese Gelegenheit energisch. Im Jahr 1958 berichteten Gleb K. Michailow (geb. 1929) und [[Wladimir Iwanowitsch Smirnow]] (1887–1974) erstmals über diese Aktivitäten.<ref>G.I. Michajlov, V.I. Smirnov: ''Neopublikovannye materialy Leonarda Ėjlera v archive Akademii nauk SSSR.'' (Unpublished material of Euler in the archive of the Academy of Sciences of the Soviet Union), in: ''Leonard Ėjler. Sbornik statej v cest’ 250-letija so dnja rozdenija, predstavlennych Akademii nauk SSSR (Collection of papers in honor of the 250th birthday of Euler).'' Moscow: Izdatel’stvo Akademii nauk SSSR, cit. S. 47.</ref> Außerdem wurde 1962 und 1965 in zwei Bänden eine sehr ausführliche, aber nicht kommentierte Liste des im Archiv der Akademie aufbewahrten Euler-Materials veröffentlicht.<ref>''Rukopisnyematerialy Leonarda Ėjlerav Archive Akademiiu nauk SSSR.'' (Handwritten material of Euler in the Archive of the Academy of Sciences of the Soviet Union), 2 vols. (Trudy Archiva 17 and 20). Moscow-Leningrad: Izdatel’stvo Akademii nauk SSSR 1962, Leningrad: Nauka 1965.</ref> Der erste Band enthält eine Liste von 2.268 Briefen von und an Euler (ohne Annotationen), die im Petersburger Archiv aufbewahrt werden. Seit den 1950er Jahren widmete die Sowjetische Akademie und nun auch die Russische Akademie der Wissenschaften der Erschließung und Bearbeitung der Korrespondenz Leonhard Eulers, die in den ursprünglichen Plänen der ''Opera omnia Euleri'' nicht enthalten war, besondere Aufmerksamkeit. In Zusammenarbeit mit der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin erschien die allgemeine Korrespondenz in drei Bänden<ref>''Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Briefwechsel Leonhard Eulers.'' A.P. Juškevič und E. Winter, eds., in Kooperation mit P. Hoffmann, T.N. Klado und Ju. Ch. Kopelevič, 3 Vol. (= Quellen und Studien zur Geschichte Osteuropas, III/1–3). Berlin: Akademie-Verlag 1959, 1961, 1976.</ref> und die Korrespondenz zwischen Euler und Christian Goldbach wurde veröffentlicht.<ref>''Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel 1829–1764.'' A.P. Juškevič und E. Winter, eds., in Kooperation mit P. Hoffmann, T.N. Klado und Ju. Ch. Kopelevič (Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse für Philosophie, Geschichte, Staats-, Rechts- und Wirtschaftswissenschaften, Jahrgang 1965, No. 1). Berlin: Akademie-Verlag 1965.</ref> 1963 erschien ein Band mit ausgewählten wissenschaftlichen Briefen, die Euler an 19 (junge) Wissenschaftler schrieb (alle Briefe wurden ins Russische übersetzt).<ref>L. Ėjler, ''Pis’ma k učenym (Letters to scholars).'' Moscow-Leningrad: Izdatel’stvo Akademii nauk SSSR 1963.</ref> Eine Liste von Eulers Briefen wurde in russischer Sprache von Adolf Pavlovič Jušskevič (1906–1993) und Vladimir Ivanovič Smirnov herausgegeben, die alle bekannten Briefe in Russland und außerhalb Russlands enthielt. Insgesamt enthält die Liste 2.654 Briefe von und an Euler sowie eine kurze Zusammenfassung.<ref>L. Ėjler: ''Perepiska. Annotirovannyj ukazatel (Correspondence. Annotated catalog).'' Leningrad: Nauka 1967.</ref><ref>Peter Hoffmann: ''Leonhard Euler and Russia.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 72–73.</ref>

In den 1970er Jahren wurde die Zusammenarbeit zwischen der Euler-Kommission in Zürich und der Sowjetischen Akademie durch die Erweiterung der Euler-Ausgabe intensiviert.<ref>J.J. Burkhardt: ''Die Euler-Kommission der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft: Ein Beitrag zur Editionsgeschichte.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783.'' J.J. Burckhardt et al., eds. Birkhäuser, Basel 1983, S. 501–510.</ref> Die Korrespondenz und die wissenschaftlichen Notizen werden in einer neuen vierten Serie der ''Opera omnia Euleri'' gesammelt. Im Jahr 1975 erschien der erste Band dieser Reihe und enthielt eine überarbeitete Liste mit 2.892 Briefen der Korrespondenz.<ref>Leonardi Euleri opera omnia, ser. 4. Leonardi Euleri commercium epsitolicum. Vol A1: ''Descriptio commercii epistolici.'' Birkhäuser, Basel 1975.</ref><ref>Peter Hoffmann: ''Leonhard Euler and Russia.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', S. 73.</ref>

=== Im digitalen Zeitalter ===

Eine große Anzahl der Eulerschen Primärquellen ist als Folge der [[Digitalisierung]] im [[Internet]] frei verfügbar. Eulers ''Opera omnia'' obliegen im Gegensatz dazu nicht der freien Nutzung, aber digitale Abbildungen der Originalversionen von über 95 Prozent seiner veröffentlichten Werke, die von den Originalseiten des 18. Jahrhunderts gescannt wurden, sind im sog. ''Euler-Archiv'' aufrufbar. Als Gründer dieser [[Website]] gelten die damaligen Studenten Lee Stemkoski und Dominic Klyve. Den Online-Dokumenten fehlen die Korrekturen und die Einführungen der Herausgeber der ''Opera omnia'', aber sie sind für jeden mit einer Internetverbindung zugänglich, und die Herausgeber des Euler-Archivs fügen nach und nach Links zu Kommentaren und Übersetzungen hinzu. Es wird geschätzt, dass bis 2033 (Eulers 250. Todesjahr) die relativen Rollen der Ausgaben in print und digital zueinander besser eingeschätzt sein werden.<ref>C. Edward Sandifer, Robert E. Bradley: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 3–4.</ref>

Die [[Bernoulli-Euler-Gesellschaft]] führt seit 2022 die Arbeit der ehemaligen Euler-Kommission weiter.

== Rezeption ==

{{Siehe auch|Leonhard Euler#Wirkung und Rezeption|titel1=Leonhard Euler / Wirkung und Rezeption}}

Sein mathematisches Werk inspirierte viele Generationen von Mathematikern nachhaltig. Unter anderem beeinflusste er die Arbeit von [[Pierre-Simon Laplace]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Carl Friedrich Gauß]], [[Carl Gustav Jacobi]], [[Niels Henrik Abel]], [[Évariste Galois]], [[Karl Weierstraß]] und [[Bernhard Riemann]].<ref>Herbert Pieper: ''Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi.'' Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98.</ref><ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. xix.</ref>

Mathematikhistoriker heben die Bedeutung des Eulerschen Werkes bis in die Gegenwart hervor. [[Dirk Struik]] sieht in Eulers „Fruchtbarkeit“ eine „Quelle der Überraschung und Bewunderung“. Hinsichtlich des Eulerschen Werkes bemerkt er in seinem ''Abriss der Geschichte der Mathematik'' 1967, dass dessen Studium „nicht so schwer wäre, wie es scheint“, denn Eulers Latein sei „sehr einfach“ und seine Bezeichnungen „gleichen fast den heutigen“.<ref>Dirk Jan Struik: ''Abriss der Geschichte der Mathematik.'' Springer, S. 139.</ref> Eulers Methode bestand darin, von einfachsten Beispielen ausgehend zu allgemeineren Zusammenhängen zu gelangen, wodurch die Darstellung im Gegensatz zum heute gebräuchlichen abstrakten Stil in die Breite ging; dementsprechend wurden auch Mängel an mathematischer Strenge moniert.<ref>Rüdiger Thiele: ''Leonhard Euler.'' Leipzig 1982, S.&nbsp;158–160.</ref>

== Schriften ==
Leonhard Euler gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis.'' Springer, S. 448.</ref><ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. vii.</ref><ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer, S. XI.</ref> Seine gesammelten Schriften der ''Opera omnia'' umfassen bisher 76 Bände.<ref>Walter Guatschi: [https://www.cs.purdue.edu/homes/wxg/EulerLect.pdf ''Leonhard Euler: His Life, the Man, and His Works.''] (PDF; 3,1&nbsp;MB) SIAM Review, Band 50, Nr. 1, S. 3–33, [[doi:10.1137/070702710]], S. 3.</ref> Insgesamt gibt es 866&nbsp;Publikationen von ihm.<ref>James J. Tattersall: ''Elementary Number Theory in Nine Chapters.'' S. 18.</ref> Sein Gesamtwerk umfasst damit schätzungsweise ein Drittel des gesamten [[Textkorpus|Korpus]] mathematischer, physikalischer und mechanischer Forschung innerhalb der letzten drei Viertel des 18. Jahrhunderts.<ref>W. Dunham: ''The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work.'' S. 15.</ref>

Über die Hälfte des Eulerschen Gesamtwerks sind der reinen Mathematik (Algebra, Analysis und Geometrie) gewidmet. Und über ein Drittel entfallen auf die verschiedenen theoretischen und technischen Gebiete der Mechanik und Physik (einschließlich Himmelsmechanik / Astronomie).<ref>Diese Schätzungen orientieren sich an K. Hedrih, ''Leonhard Euler (1707–1783) and Rigid Body Mechanics.'' Scientific Technical Review, Vol. LVII, No.3-4, 2007, S. 4. Dabei liegt dort für den zweiten Rang (Mechanik) ein Druckfehler vor: Es müssten 28 % statt 8 % sein. Die 2 % der Schiffswissenschaft, Artillerie und Architektur werden hier dazu gezählt, ebenso 11 % der Astronomie. Geometrie, Algebra und Analysis sind außerdem zu Mathematik zusammengefasst.</ref>
=== Publikationen (Auswahl) ===

* ''Mechanica sive motus scientia analytice exposita.'' 2&nbsp;Bände, 1736 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E015.html E015], [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E016.html E016]).
* ''[[Tentamen novae theoriae musicae]].'' 1739 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E033.html E033]).
* ''Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gymnasii bey der Kayserlichen Academie der Wissenschafften in St. Petersburg.'' 2&nbsp;Bände, Academische Buchdruckerey, Sankt Petersburg; Band&nbsp;1 1738, Band&nbsp;2 1740. ({{DTAW|euler_rechenkunst01_1738}} Band&nbsp;1, {{DTAW|euler_rechenkunst02_1740}} Band&nbsp;2).
* ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.'' 1741 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E053.html E053]).
* ''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti.'' Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1744. ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/65/ E065]).<!--Zugriff am 14.01.2024--> Neu erschienen in den Opera Omnia Ser.&nbsp;I, Bd.&nbsp;24, S.&nbsp;1–322, hrsg. v. [[Constantin Carathéodory|C. Carathéodory]]. (Orell) Turici 1952.
* ''Introductio in analysin infinitorum.'' 2&nbsp;Bände, 1748 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E101.html E101], [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E102.html E102]).
* ''Découverte d’un nouveau principe de Mécanique.'' In: ''Mémoires de l’académie des sciences de Berlin.'' Band&nbsp;6, 1752, S.&nbsp;185–217 ([http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E177.html E177]).
* ''Institutiones calculi differentialis.'' 2&nbsp;Bände, 1755 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html E212]).
* ''Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum.'' 1765 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E289.html E289]).
* ''Lettres à une princesse d’Allemagne.'' 3&nbsp;Bände, 1768 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E343.html E343], [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E344.html E344], [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E417.html E417]).
* ''Institutiones calculi integralis.'' 3&nbsp;Bände, 1768–1770 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E342.html E342], [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E366.html E366], [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E385.html E385]).
* ''Vollständige Anleitung zur Algebra.'' 2&nbsp;Bände, 1770 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E387.html E387], [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E388.html E388], Band&nbsp;2 {{DTAW|euler_algebra02_1770}}).
* ''Scientia Navalis'', 2&nbsp;Bände, Petersburg 1749. ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/110/ E110], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/111/ E111].) Englische Übersetzung des lateinischen Originals von I. Bruce (2022); [http://17centurymaths.com/ Naval Science.] 17centurymaths.com; abgerufen am 18. Januar 2023.


<gallery class="center">
 Methodus inveniendi - Leonhard Euler - 1744.jpg|Titelblatt der ''Methodus inveniendi lineas curvas'' von 1744
 Introductio in analysin infinitorum. T. 1 - Leonhard Euler, 1748 (title page).pdf|Titelblatt der ''Introductio in analysin infinitorum'' (Band 1) von 1748
 Introductio2.pdf|Titelblatt der ''Introductio in analysin infinitorum'' (Band 2) von 1748
 Differentialis.pdf|Titelblatt der ''Institutiones calculi differentialis'' von 1755
 Euler Inst Calc Int Vol1.jpg|Titelblatt der ''Institutiones calculi integralis'' (Band 1) von 1768
 Institutionum calculi integralis - vol. 2, 1769 - Leonhard Euler (title page).pdf|Titelblatt (beschrieben) der ''Institutiones calculi integralis'' (Band 2) von 1769
 Institutionum calculi integralis - vol. 3, 1770 - Leonhard Euler (title page).pdf|Titelblatt (gestempelt) der ''Institutiones calculi integralis'' (Band 3) von 1770
</gallery>

=== Deutsche Übersetzungen und Ausgaben seiner Werke ===

* ''Leonhard Euler’s vollständige Anleitung zur Integralrechnung.'' Hrsg. Joseph Solomon, 3 Bände, Wien 1828 bis 1830, [https://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/14891491 Band 1, ETH-Bibliothek], [https://archive.org/details/vollstndigeanle01eulegoog/page/n1/mode/2up Band 1, Archive], [https://archive.org/details/vollstndigeanle00eulegoog/page/n8/mode/2up Band 2, Archive], [https://archive.org/details/vollstndigeanle02eulegoog Band 3, Archive.]
* ''Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft.'' 3 Bände, Hrsg. J. Ph. Wolfers, Greifswald 1848 bis 1853, [https://archive.org/details/leonhardeulersm02eulegoog/page/n5/mode/2up Band 1, Archive], [https://archive.org/details/leonhardeulersm01eulegoog/page/n5/mode/2up Band 2, Archive], [https://archive.org/details/leonhardeulersm00eulegoog/page/n7/mode/2up Band 3, Archive.]
* Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli: ''Abhandlungen über Variationsrechnung.'' 1. Teil, [[Ostwalds Klassiker]] 46, Leipzig 1894; {{archive.org |abhandlungenber01jacogoog |Blatt=n4}}. Zweite Auflage Leipzig und Berlin 1914. Herausgegeben von [[Paul Stäckel]].
* Euler: ''Eine Methode sich der Eigenschaft des Maximums oder Minimums erfreuender Kurven zu finden, oder die Lösung des im weitesten Sinn aufgefassten isoperimetrischen Problems''. Vollständige deutsche Übersetzung der ''Methodus Inveniendi Lineas Curvas'' (E065), Erstveröffentlichung 1744. Übersetzt von A. Aycock und A. Diener; herausgegeben vom [https://www.agtz.mathematik.uni-mainz.de/algebraische-geometrie/van-straten/euler-kreis-mainz/ Euler-Kreis Mainz].<!--Stand: 20. Januar 2024 -->
* Euler: ''Zwei Abhandlungen über Sphärische Trigonometrie.'' Ostwalds Klassiker 73, Leipzig 1896; {{archive.org |abn7435.0001.001.umich.edu |Blatt=n2}}.
* Euler: ''Drei Abhandlungen über Kartenprojektion.'' Ostwalds Klassiker 93, Leipzig 1898; {{archive.org |dreiabhandlunge00wanggoog |Blatt=n4}}.
* Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: ''Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven.'' Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910. ''Erste Ergänzung'' (''Additamentum I'') aus E065, Euler (1744). Herausgeg. v. H. Linsenbarth.
* Euler: ''Vollständigere Theorie der Maschinen, die durch Reaktion des Wassers in Bewegung versetzt werden (1754).'' Ostwalds Klassiker 182, Leipzig 1911.
* Euler: ''Drei Abhandlungen über die Auflösung der Gleichungen (1783, 1764, 1790).'' Ostwalds Klassiker 226, Leipzig 1928.
* Euler: ''Einleitung in die Analysis des Unendlichen.'' Teil 1, Einführung Wolfgang Walter, Springer, 1983.
* Euler: ''Zur Theorie komplexer Funktionen.'' Einleitung A. P. Juschkewitsch, Ostwalds Klassiker 261, Akademische Verlagsgesellschaft, 1983.

=== Opera Omnia ===

Euler veröffentlichte rund zwei Dutzend Bücher und 500&nbsp;wissenschaftliche Aufsätze. Der deutsche Mathematiker [[Ferdinand Rudio]] (1856–1929) initiierte die Herausgabe von Eulers sämtlichen Werken. Zu Lebzeiten Rudios wurden mehr als 30&nbsp;Bände publiziert. Bis 2013 sind über 70&nbsp;Einzelbände erschienen, außerdem vier Bände aus dem umfangreichen Briefwechsel. Die Arbeiten erscheinen in der Originalsprache, meist Französisch oder Latein.

Die gesammelten Werke werden seit 1911 als ''Opera Omnia'' im Birkhäuser (Springer) Verlag herausgegeben durch die [[Euler-Kommission]], die von Ferdinand Rudio gegründet wurde. Damals waren auch [[Adolf Krazer (Mathematiker)|Adolf Krazer]], [[Rudolf Fueter]], [[Heinrich Weber (Mathematiker)|Heinrich Weber]], [[Paul Stäckel]] und [[Karl von der Mühll]] an der Herausgabe beteiligt. Zu den späteren Herausgebern von Einzelbänden gehörten [[Ludwig Schlesinger (Mathematiker)|Ludwig Schlesinger]], [[Friedrich Engel (Mathematiker)|Friedrich Engel]], [[Andreas Speiser]], [[Clifford Truesdell]] (Physik, Mechanik, der ganze Band 11-1 ist eine Geschichte der Elastizitätstheorie im 17. und 18.&nbsp;Jahrhundert, verfasst von Truesdell),<ref>Clifford Truesdell: ''The rational mechanics of flexible elastic bodies 1638–1788.'' 1960.</ref> [[Alexander Michailowitsch Ljapunow]], [[Georg Faber (Mathematiker)|Georg Faber]], [[August Gutzmer]], [[Carl Boehm]], [[Constantin Carathéodory]], [[Henri Dulac]], [[Max Herzberger]], [[Emile Cherbuliez (Physiker)|Emile Cherbuliez]], [[Charles Blanc (Mathematiker)|Charles Blanc]] und [[Eric Aiton]] (Physik). Hauptherausgeber nach Rudio waren Andreas Speiser (ab 1928), [[Walter Habicht]] (ab 1965) und seit 1985 [[Hans-Christoph Im Hof]]. Weitere Herausgeber waren unter anderem [[Emil Fellmann]], [[Adolf Juschkewitsch]], Henri Dulac, [[Pierre Costabel]], [[René Taton]], [[Wladimir Iwanowitsch Smirnow]], Alot T.&nbsp;Grigorjan, [[Joachim Otto Fleckenstein]], [[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|Johann Jakob Burckhardt]], Gleb K.&nbsp;Mikhailov, [[Franz Lemmermeyer]], [[Andreas Kleinert (Wissenschaftshistoriker)|Andreas Kleinert]] und Martin Mattmüller.

Die Edition besteht aus
* Reihe 1: Mathematik, 30&nbsp;Bände (vollständig). Erster Band war 1911 die ''Anleitung zur Algebra.'' Band&nbsp;16 besteht aus zwei Teilbänden.
* Reihe 2: Mechanik und Astronomie, 27&nbsp;Bände in 30&nbsp;Teilbänden (vollständig).
* Reihe 3: Physik und Sonstiges, 12&nbsp;Bände (vollständig).
* Reihe 4a: Briefwechsel. Geplant: 9&nbsp;Bände für die rund 3100 Briefe mit rund 300&nbsp;Korrespondenten. Bisher erschienen: 8&nbsp;Bände.
* Reihe 4b: Notizbücher, Tagebücher und Unveröffentlichtes (geplant).<ref>Hans-Christoph Im Hof, Andreas Kleinert u.&nbsp;a.: [https://www.springer.com/birkhauser/history+of+science?SGWID=0-40295-2-121672-0 ''Leonhard Euler, Opera omnia.''] In: ''Birkhäuser Wissenschaftsgeschichte.'' Online auf: ''Springer.com.'' Abgerufen am 24.&nbsp;Dezember 2016.</ref><ref>Andreas Kleinert, Matthias Mattmüller: [https://www.euler-2007.ch/doc/EMS70965.pdf ''Leonhardi Euleri Opera Omnia: a centenary project.''] (PDF; 1,88&nbsp;MB) In: ''EMS Newsletter'', September 2007, {{ISSN|1027-488X}}, Euler-2007.ch; abgerufen am 24.&nbsp;Dezember 2016.</ref>

=== Briefe ===

Beim Briefwechsel sind im Rahmen der ''Opera Omnia'' erschienen:
* Band&nbsp;1 (Zusammenfassung Inhalte, Übersicht, 1975),
* Band&nbsp;2 (mit Johann&nbsp;I. und Nikolaus&nbsp;I. Bernoulli),
* Band&nbsp;5 (mit [[Alexis-Claude Clairaut|Clairaut]], [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert|d’Alembert]] und [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]) und
* Band&nbsp;6 (mit Maupertuis und Friedrich&nbsp;II.).

Außerdem sind außerhalb der ''Opera Omnia'' folgende Briefwechsel erschienen:
* mit Goldbach (Akademie Verlag, Berlin 1965),
* mit den Berliner und Petersburger Akademien (Akademie Verlag, Berlin, 3&nbsp;Bände: 1959, 1961, 1976),
* mit [[Tobias Mayer]] (American Elsevier, 1971).

Paul-Heinrich Fuss veröffentlichte 1845 Teile des Briefwechsels von Euler mit Goldbach, [[Nikolaus Fuss]], Johann&nbsp;I, Nikolaus und Daniel Bernoulli. Im Band 14 der Werkausgabe von Lagrange ist auch der Briefwechsel mit Euler.<ref>[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229949x/f9 ''Lagrange, Œuvre''.] Band 14, Gallica.</ref>

* [[s:Leonhard Euler|Briefe an eine deutsche Prinzessin]]

== Einzelnachweise ==
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[[Kategorie:Leonhard Euler]]