Quelltext der Seite Winkel

{{Dieser Artikel|erläutert den Begriff ebener Winkel in der Geometrie; für weitere Bedeutungen siehe [[Winkel (Begriffsklärung)]].}}
[[Datei:01-Winkel-1.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.8|class=skin-invert-image|Winkel]]
Ein '''Winkel''' ist in der [[Geometrie]] ein Teil der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], der von zwei in der Ebene liegenden [[Strahl (Geometrie)|Strahlen]] (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird.

Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen wird ''Scheitelpunkt'' des Winkels, ''Winkelscheitel'' oder kurz ''Scheitel'' genannt; die Strahlen heißen ''Schenkel des Winkels'' oder ''Winkelschenkel''. Ein Winkel kann durch drei [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] festgelegt werden, von denen einer den Scheitel des Winkels bildet und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels liegen.

Die [[physikalische Größe]], die die relative Lage der Strahlen zueinander beschreibt, wird als ''Winkelweite'' oder ''Winkelabstand (Winkeldistanz)'' bezeichnet, üblicherweise auch verkürzend als ''Winkel'', wenn eine Unterscheidung von dem geometrischen Objekt nicht notwendig ist, beispielsweise in der [[Physik]]. Die Größe des Winkels wird mit einem [[Winkelmaß]] angegeben.

Die Winkelweite kann auch als Maß einer ebenen [[Drehung]] definiert werden.

Zur Unterscheidung vom [[Raumwinkel]] wird der hier definierte Winkel auch als ''ebener Winkel'' bezeichnet.

== Definition ==
In der Geometrie sind zur Definition des Winkels als Objekt verschiedene [[Ansatz (Mathematik)|Ansätze]] möglich. Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden:
* Der ''ungerichtete Winkel'', der durch eine [[Positive und negative Zahlen|vorzeichenlose]] Winkelweite gekennzeichnet ist.
* Der ''gerichtete Winkel'', der über eine [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] verfügt, und als Drehwinkel oder Winkelabstand gemessen wird.

=== Darstellung als Strahlenpaar ===
Die eingangs angeführte Definition zweier von einem Punkt ausgehenden Strahlen ist in die Anwendungen wie etwa die [[Koordinatensystem]]e und deren Achsen eingebunden.

=== Darstellung als Halbgeradenpaar ===
[[Datei:01-Winkel-2.svg|mini|hochkant=1.3|class=skin-invert-image|Darstellung als Halbgeradenpaar]]
Der Winkel ist ein geometrisches Gebilde bestehend aus zwei [[Halbgerade]]n mit demselben Ursprung.
:Sind <math>f</math>, <math>g</math> zwei [[Gerade]]n, die sich in einem Punkt <math>S</math> schneiden, so teilt der Punkt <math>S</math> die Geraden <math>f</math>, <math>g</math> in Halbgeraden. Je eine Halbgerade von <math>f</math> und <math>g</math> (die ''Schenkel'') zusammen mit <math>S</math> (dem ''Scheitel'') bilden einen Winkel.

Über die „ursprünglichen“ Geraden ermöglicht diese Darstellung etwa Betrachtungen über die verschiedenen Winkelpaare.

=== Darstellung als Teil der Ebene ===
[[Datei:01-Winkel-3.svg|mini|hochkant=1.3|class=skin-invert-image|Darstellung als Teil der Ebene]]

Der Winkel (besser: '''das Winkelfeld''') ist ein Teilbereich der [[Zeichenebene]], der von zwei Halbstrahlen oder Halbgeraden begrenzt wird. Diese bilden den Rand, und der Rest des Winkelfeldes das Innere.
Diese Definition wird im [[Schulunterricht]] verwendet und betont das „Körperhafte“ des Gebildes und dient – über die Festlegung eines ''Innen- und Außenraums'' – der Einführung in die [[Dreiecksgeometrie]]: Das [[Dreieck]] lässt sich als [[Schnittmenge]] zweier Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel definieren.

Ad hoc ist bei diesen drei Ansätzen der Winkel ein ungerichteter Winkel, erst eine zusätzliche Auszeichnung einer der beiden [[Halbstrahl]]en oder Halbgeraden als die „erste“ ermöglicht die Angabe eines gerichteten Winkels.

=== Darstellung als Drehung ===
[[Datei:Name of angles.svg|hochkant=1.3|mini|class=skin-invert-image|Drehwinkel]]
Man kann auch sagen, dass ein Winkel durch eine [[Drehung]] eines Strahls oder einer Halbgeraden in einer Ebene um seinen bzw.&nbsp;ihren Anfangspunkt entsteht.

Da der Strahl auf zwei verschiedene Möglichkeiten gedreht werden kann, muss zusätzlich die [[Drehrichtung]] angegeben werden:
* ''Linksdrehung'': gegen den Uhrzeigersinn, auch ''mathematisch positiver Drehsinn'' genannt (Winkel ist positiv) – im Bild ''grün dargestellt''.
* ''Rechtsdrehung'': mit dem Uhrzeigersinn, auch ''mathematisch negativer Drehsinn'' genannt (Winkel ist negativ) – im Bild ''violett dargestellt''.

In der [[Mathematik]] ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeigersinn –&nbsp;also im ''mathematisch positiven Drehsinn''&nbsp;– auszuführen. Wenn die Drehung andersherum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden.

In der [[Geodäsie]] (Vermessungswesen) wird der Winkel im Uhrzeigersinn, also rechtsdrehend von 0&nbsp;[[gon]] bis 400&nbsp;gon gezählt. Da in der Geodäsie per Definition keine negativen Winkel existieren, ist der Drehsinn positiv. Analog zur Uhr, auch hier wird von 0 bis 24&nbsp;h positiv, rechtsdrehend gezählt. Alle geodätischen Messinstrumente werden zur Richtungs- oder Winkelmessung rechtsherum gedreht.

=== Bezeichnung von Winkeln ===
Die Angabe eines Winkels erfolgt nach [[DIN 1302]] oder [[ISO 80000|ISO 80000-2]].
* Winkel werden meistens mit kleinen [[Griechische Buchstaben|griechischen Buchstaben]], z.&nbsp;B.&nbsp;<math>\alpha</math> oder <math>\beta</math>, bezeichnet.
* Ein Winkel <math>\angle fg</math> ist ein Winkel zwischen zwei Halbstrahlen, Geraden, [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und ähnlichem. Er wird dann von <math>f</math> ausgehend Richtung <math>g</math> gezählt.
* Alternativ kann man die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren, wobei der Scheitelpunkt immer in der Mitte steht, z.&nbsp;B.&nbsp;Winkel ABC, <math>\angle ABC</math> oder veraltet <math>\widehat {ABC}</math>. Dies bezeichnet den Winkel zwischen <math>[BA]</math> und <math>[BC]</math>, wobei <math>[BA]</math> im mathematisch positiven [[Drehrichtung#Mathematische Definitionen bezüglich Koordinatensystemen|Drehsinn]] auf <math>[BC]</math> gedreht wird.
* Im [[englisch]]en Sprachraum ist auch nur die Angabe des Scheitels <math>\angle B</math> bzw.&nbsp;<math>\hat {B}</math> üblich.

Für den [[Formelsatz]] steht das Zeichen »∠« ([[HTML-Entität|HTML]] <code>&amp;ang;</code>/<code>&amp;#8736;</code>, [[TeX]] <code>\angle</code>, [[Unicode]] U+2220) zur Verfügung, für den gerichteten Winkel auch »∡« (TeX <code>\measuredangle</code>, U+2221 {{Kapitälchen|measured angle}}, keine HTML-Entität), die sich beide im [[Unicode-Block Mathematische Operatoren]] finden. Das liegende Winkelzeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten, im europäischen Formelsatz ist ein Zeichen üblich, das dem amerikanischen »∢« U+2222 für den [[Raumwinkel]] zum Verwechseln ähnlich sieht. »∠« findet auch für Neigung und Winkligkeit ([[Lagetoleranz]], DIN EN ISO 1101) Verwendung. Speziell für den [[Rechter Winkel#Kennzeichnung und Kodierung|rechten Winkel]] verwendet man alternativ einen Winkel ohne Zusatz »∟«, einen Winkel mit Bogen und Punkt »⦝« oder einen Winkel mit Bogen »⊾«, in der Technik auch einen Winkel mit Quadrat »⦜« oder das Zeichen für [[Orthogonalität]] <math>\perp</math>.
<div style="float:left;">{{Zeichen|∠|ungerichteter Winkel<br />bzw.&nbsp;Winkel allgemein}}</div>
<div style="float:left;">{{Zeichen|∡|gerichteter Winkel}}</div>
<div style="float:left;">{{Zeichen|∢|Raumwinkel}}</div>
<div style="float:left;">{{Zeichen|∟ ⦝ ⊾ ⦜<math>\perp</math>|alternative Kennzeichnung des rechten Winkels}}</div>
{{Absatz}}

== Winkelmaße und Maßeinheiten für Winkel ==
Ausführliche Informationen bietet der ''Hauptartikel'' [[Winkelmaß]], Umrechnungen sind bei den einzelnen Maßen zu finden.
{| class="wikitable zebra"
|-
! Winkelmaß
! [[Maßeinheit]]
! 1 Vollwinkel =
! [[Einheitenzeichen]]
|-
|—
|[[Vollwinkel]]
|style="text-align:center"" |1
|
|-
|[[Bogenmaß]]
|[[Radiant (Einheit)|Radiant]]
|style="text-align:center" |2[[Kreiszahl|π]]
|rad
|-
|Gradmaß
|[[Grad (Winkel)|Grad]] ([[Bogenminute]], [[Bogensekunde]])
|style="text-align:center" |360
|° (′, ″)
|-
|Geodätisches Winkelmaß
|[[Gon]] (veraltet: Neugrad)
|style="text-align:center" |400
|gon (veraltet: <sup>g</sup>)
|-
|[[Zeitmaß (Winkel)|Zeitmaß]]
|Stunden, Minuten, Sekunden
|style="text-align:center" |24
|<sup>h</sup>, <sup>m</sup>, <sup>s</sup>
|-
|—
|[[Nautischer Strich]]
|style="text-align:center" |32
|¯
|-
|—
|[[Artilleristischer Strich]] (Schweiz: Artilleriepromille)
|style="text-align:center" |6400
|mil (A‰)
|-
|—
|[[Prozent]], [[Promille]]
|style="text-align:center" |nichtlinear
|%, ‰
|}
Weitere Formen der Angabe eines Winkels:
* Der [[Tangens]] der Winkelweite des [[Steigungswinkel]]s (auch ''Steigungsmaß'' genannt, entspricht der Maßangabe in Prozent)
* Ein [[Geordnetes Paar|Paar]] <math>(x; y)</math> mit [[Kosinus|Cosinus]] und [[Sinus]] (entspricht den [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] des Punktes auf dem [[Einheitskreis]])

== Arten von Winkeln ==
{| class="wikitable"
|+Winkel nach Größe
!
![°]
![rad] (mit <math>\pi</math>)
![rad] (mit <math>\tau</math>)
![<math>\mathrm{gon}</math>]
|-
|Nullwinkel
|<math>\alpha = 0^\circ</math>
|<math>\alpha = 0</math>
|<math>\alpha = 0</math>
|<math>\alpha = 0\, \mathrm{gon}</math>
|-
|spitzer Winkel < <math>\tfrac{1}{4}</math> Vollwinkel
|<math>\alpha < 90^\circ</math>
|<math>\alpha < \frac{\pi}{2}</math>
|<math>\alpha < \frac{\tau}{4}</math>
|<math>\alpha < 100\, \mathrm{gon}</math>
|-
|rechter Winkel = <math>\tfrac{1}{4}</math> Vollwinkel
|<math>\alpha = 90^\circ</math>
|<math>\alpha = \frac{\pi}{2}</math>
|<math>\alpha = \frac{\tau}{4}</math>
|<math>\alpha = 100\, \mathrm{gon}</math>
|-
|stumpfer Winkel > <math>\tfrac{1}{4}</math> Vollwinkel und < <math>\tfrac{1}{2}</math> Vollwinkel 
|<math>90^\circ < \alpha < 180^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi</math>
|<math>\frac{\tau}{4} < \alpha < \frac{\tau}{2}</math>
|<math>100\, \mathrm{gon} < \alpha < 200\, \mathrm{gon}</math>
|-
|gestreckter Winkel = <math>\tfrac{1}{2}</math> Vollwinkel
|<math>\alpha = 180^\circ</math>
|<math>\alpha = \pi</math>
|<math>\alpha = \frac{\tau}{2}</math>
|<math>\alpha = 200\, \mathrm{gon}</math>
|-
|überstumpfer (erhabener) Winkel > <math>\tfrac{1}{2}</math> Vollwinkel und < 1 Vollwinkel
|<math>180^\circ < \alpha < 360^\circ</math>
|<math>\pi < \alpha < 2 \pi</math>
|<math>\frac{\tau}{2} < \alpha < \tau</math>
|<math>200\, \mathrm{gon} < \alpha < 400\, \mathrm{gon}</math>
|-
|voller Winkel, Vollwinkel (Vollkreis)
|<math>\alpha = 360^\circ</math>
|<math>\alpha = 2\pi</math>
|<math>\alpha = \tau</math>
|<math>\alpha = 400\, \mathrm{gon}</math>
|}
Der Vollwinkel ist in Deutschland, Österreich und der Schweiz eine [[gesetzliche Einheit]] im Messwesen, er besitzt kein Einheitenzeichen.

=== Schnittwinkel ===
Zwischen zwei sich schneidenden [[Gerade]]n existieren vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Jeweils zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich. Der Vollwinkel hat die Besonderheit, dass zwei der Winkel [[null]] sind.

Zwei Geraden oder [[Strecke (Geometrie)|Strecken]], die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander [[Orthogonalität|orthogonal]]. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] dargestellt.

=== Spezielle Winkelpaare ===
[[Datei:Complementary angles.svg|mini|hochkant=0.6|class=skin-invert-image|Komplement- oder Komplementärwinkel]]
Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

==== Komplementwinkel oder Komplementärwinkel ====
Zwei Winkel heißen ''Komplementwinkel'' oder ''Komplementärwinkel'', wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen.

==== Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel ====
{| style="float:right;clear:right;"
|[[Datei:Supplementary angles.png|mini|hochkant=0.5|Supplement- oder Ergänzungswinkel]]
|[[Datei:Nebenwinkel.svg|mini|hochkant=1.05|class=skin-invert-image|Nebenwinkel]]
|}
Zwei Winkel heißen ''Supplementwinkel'' (auch: ''Supplementärwinkel''), ''Supplement'' oder ''Ergänzungswinkel'', wenn sie sich zu 180° ergänzen.

==== Nebenwinkel ====
Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als ''Nebenwinkel''.
: Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
Sie sind also Supplementwinkel.

==== Scheitelwinkel oder Gegenwinkel ====
[[Datei:Vertical angles.svg|mini|hochkant=0.45|class=skin-invert-image|Scheitelwinkel]]
Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als ''Scheitelwinkel'' oder ''Gegenwinkel''.
: Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch [[Spiegelung (Geometrie)|Punktspiegelung]] am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

==== Stufenwinkel oder F-Winkel ====
{{Hauptartikel|Stufenwinkelsatz}}
[[Datei:Corresponding angles.svg|mini|hochkant=0.45|class=skin-invert-image|Stufen- oder F-Winkel]]
Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so heißen die Winkel, die auf derselben Seite von <math>g</math> und auf einander entsprechenden Seiten von <math>h</math> bzw.&nbsp;<math>h'</math> liegen, ''Stufen-'' oder ''F-Winkel''.<ref name="Fritzsche">{{Internetquelle |autor=Klaus Fritzsche |url=http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/geo/ge_k0.pdf#page=3&zoom=90,-90,20 |titel=Grundlagen der Schulgeometrie |hrsg=Universität Wuppertal, Fachbereich&nbsp;C |seiten=2 |datum=2010 |format=PDF |abruf=2020-05-22}}</ref>
Für den Fall, dass die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel sind, gilt:
: Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass die [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] auf derselben Seite von <math>g</math> und auf einander entsprechenden Seiten von <math>h</math> und <math>h'</math> gleich groß sind, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

==== Wechselwinkel oder Z-Winkel ====
[[Datei:Alternate angles.svg|mini|hochkant=0.45|class=skin-invert-image|Wechsel- oder Z-Winkel]]
Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von <math>g</math> und entgegengesetzten Seiten von <math>h</math> bzw.&nbsp;<math>h'</math> liegen, ''Wechsel-'' oder ''Z-Winkel''.<ref name="Fritzsche" /> Für den Fall, dass die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel sind, gilt:

: Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von <math>g</math> und unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> bzw.&nbsp;<math>h'</math> gleich groß sind, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

==== Nachbarwinkel oder E-Winkel ====
[[Datei:Neighbor angles.png|mini|hochkant=0.45|Nachbar- oder E-Winkel]]
Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei weitere parallele Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so bezeichnet man die Winkel, die auf derselben Seite von <math>g</math>, aber auf unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> und <math>h'</math> liegen, als ''Nachbar-'' oder ''E-Winkel''.<ref name="Fritzsche" />
: Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°.

Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel, die auf derselben Seite von <math>g</math>, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> und <math>h'</math> liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem [[Parallelenaxiom]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Die oben genannten Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

==== Normalwinkel ====
{| style="float:right;clear:right;"
|[[Datei:Pairwise perpendicular angles 1.png|mini|hochkant=0.55|Normalwinkel a)]]
|[[Datei:Pairwise perpendicular angles 2.png|mini|hochkant=0.55|Normalwinkel b)]]
|}
Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen werden Normalwinkel genannt. Sie sind gleich groß oder ergänzen sich zu 180°.<ref>{{Internetquelle |autor= |url=https://matheprojekt.ph-tirol.at/sites/matheprojekt/files/05_winkelpaare_info_mit_bewegung_m6.pdf#page=2&zoom=auto,-17,802 |titel=Winkelpaare, Normalwinkel |hrsg=Pädagogische Hochschule Tirol, Österreich |seiten=2 |abruf=2021-08-05}}</ref> Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

=== Winkel nach Dimensionen ===

==== Zweidimensionale Winkel ====
Der einfachste Fall für Winkel sind die in diesem Artikel ausführlich beschriebenen Winkel in der [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]]. Sie sind meistens die intuitive und umgangssprachliche Vorstellung, wenn von ''Winkeln'' die Rede ist.

==== Dreidimensionale Winkel ====
Im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] existieren ebenfalls Winkel, die der klassischen Vorstellung von Winkeln entsprechen. Das können zum Beispiel die [[Innenwinkel]] der [[Seitenfläche]]n ([[Polygon]]e) von [[Polyeder]]n sein.
{{Hauptartikel|Diederwinkel}}[[Datei:Dihedral angle.svg|mini|class=skin-invert-image|Diederwinkel zwischen zwei Flächen. Die Strecken, die den Winkel einschließen, entstehen, wenn diese Flächen [[Orthogonalität|orthogonal]] von einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] geschnitten werden.]]Dazu kommen die Neigungswinkel zwischen zwei [[Flächeninhalt|Flächen]] oder [[Halbebene]]n, die ''Diederwinkel'', ''Flächenwinkel'' oder ''Torsionswinkel''. Diese Begriffe hängen vom fachlichen Kontext ab. Diederwinkel werden von zwei Flächen begrenzt, die jeweils von drei [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] aufgespannt werden. Wenn diese Flächen [[Orthogonalität|orthogonal]] von einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] geschnitten werden, entstehen zwei Strecken, die einen Winkel im herkömmlichen Sinn einschließen. Auch der Winkel zwischen zwei nicht parallelen Ebenen kann als Diederwinkel verstanden werden. Wenn diese zwei Ebenen [[Orthogonalität|orthogonal]] von einer dritten Ebene geschnitten werden, entstehen zwei [[Gerade]]n, die zwei Scheitelwinkel im herkömmlichen Sinn einschließen. Diederwinkel werden ebenfalls in Gradmaß oder [[Bogenmaß]] angegeben und können maximal 360° oder <math>2 \cdot \pi</math> betragen.{{Hauptartikel|Raumwinkel}}Der Raumwinkel ist das [[Dreidimensional|dreidimensionale]] Gegenstück zum [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] für die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Raum (Mathematik)|Raum]], der z.&nbsp;B.&nbsp;im Inneren eines gegebenen [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]- oder [[Pyramide (Geometrie)|Pyramidenmantels]] liegt.

Der Raumwinkel wird zur Verdeutlichung meist in der Einheit [[Steradiant]] (sr) angegeben. Dies entspricht dem [[Bogenmaß]] mit der Einheit [[Radiant (Einheit)|Radiant]] (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1&nbsp;sr umschließt auf einer [[Kugel]] mit dem [[Radius]] 1&nbsp;m eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] von 1&nbsp;m². Da der [[Flächeninhalt]] einer ganzen [[Kugeloberfläche]] <math>A=4\pi r^2</math> ist, ist der zugehörige volle Raumwinkel
:<math>\Omega = 4 \cdot \pi \ \mathrm{sr}  \approx 12{,}56637 \ \mathrm{sr}</math>.
<gallery heights="200" widths="200">
Datei:Solid Angle.png|Kanonischer Raumwinkel
Datei:SolidAngle Pyramid.png|Raumwinkel einer [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]]
Datei:01 Tetraeder-Raumwinkel.svg|class=skin-invert-image|Raumwinkel eines [[Tetraeder]]s
</gallery>

=== Winkel nach Geometrien ===
Üblicherweise werden Winkel im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] betrachtet. Diese Art von [[Geometrie]] wird ''[[euklidische Geometrie]]'' genannt.

Es können jedoch auch Winkel auf der [[Kugeloberfläche]] betrachtet und berechnet werden. Dann gelten andere [[Satz (Mathematik)|Sätze]] und [[Gleichung]]en für die Winkel und [[Länge (Mathematik)|Längen]]. Für die Berechnung der Winkel eines [[Kugeldreieck]]s ist zum Beispiel der [[Sinussatz#Sinussatz für Kugeldreiecke|Sinussatz für Kugeldreiecke]] und der [[Kosinussatz#Kosinussatz für Kugeldreiecke|Kosinussatz für Kugeldreiecke]] wichtig. Weitere Sätze sind unter ''[[Sphärische Trigonometrie#Kugeldreieck|Sphärische Trigonometrie – Kugeldreieck]]'' zu finden.

In einem [[hyperbolischer Raum]] gelten ebenfalls andere [[Satz (Mathematik)|Sätze]] und Gleichungen für die betrachteten Winkel und [[Länge (Mathematik)|Längen]]. Diese Art von [[Geometrie]] wird ''[[hyperbolische Geometrie]]'' genannt.
<gallery heights="200" widths="200">
Datei:Spherical triangle 3d.png|Kugeldreieck mit Winkeln
Datei:Dreieck im hyperbolischen Raum.svg|class=skin-invert-image|Dreieck mit Winkeln im [[Hyperbolischer Raum|hyperbolischen Raum]]
</gallery>

== Berechnung von Winkeln ==

=== Winkel im Dreieck ===

==== Rechtwinkliges Dreieck ====
[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck.svg|mini|class=skin-invert-image|Ein [[rechtwinkliges Dreieck]] hat zwei spitze Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>.]]
Wenn im [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] einer der spitzen Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> gegeben ist, ist der andere eindeutig bestimmt, denn es gilt <math>\alpha + \beta = 90^\circ</math>.

Sind zwei der drei Seitenlängen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> bekannt, dann können die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> mithilfe einer inversen Winkelfunktion ([[Arkusfunktion]]) berechnet werden. Es gilt
:<math>\alpha = \arcsin \left(\frac{a}{c}\right) = \arccos \left(\frac{b}{c}\right) = \arctan \left(\frac{a}{b}\right) = \arccot \left(\frac{b}{a}\right) = \arcsec \left(\frac{c}{b}\right) = \arccsc \left(\frac{c}{a}\right)</math>,
:<math>\beta = \arcsin \left(\frac{b}{c}\right) = \arccos \left(\frac{a}{c}\right) = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arccot \left(\frac{a}{b}\right) = \arcsec \left(\frac{c}{a}\right) = \arccsc \left(\frac{c}{b}\right)</math>.

==== Allgemeines Dreieck ====
[[Datei:Dreieck.svg|mini|class=skin-invert-image|Ein [[Dreieck]] mit den [[Innenwinkel]]n <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math>]]
Wenn im allgemeinen [[Dreieck]] zwei der drei [[Innenwinkel]] <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> gegeben sind, ist der dritte eindeutig bestimmt, denn es gilt <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math>.

Sind zwei Seitenlängen und ein gegenüberliegender Winkel gegeben, dann kann der andere gegenüberliegende Winkel mithilfe des [[Sinussatz]]es berechnet werden. Es gilt zum Beispiel <math>\sin\alpha = \tfrac{a\, \cdot\, \sin \beta}{b}.</math> Anwenden der [[Umkehrfunktion]] des Sinus ([[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus]]) auf beiden Seiten der [[Gleichung]] ergibt zunächst die beiden Werte
:<math>\alpha_1 = \arcsin\frac{a\sin\beta}{b} \leq 90^\circ,\qquad</math><math>\alpha_2 = 180^\circ - \alpha_1 \geq 90^\circ.</math>
* Fall <math>a \leq b.</math> Dann gilt auch <math>\alpha \leq \beta < 180^\circ - \alpha,</math> folglich <math>\alpha < 90^\circ,</math> und so ist nur <math>\alpha = \alpha_1</math> geometrisch möglich.
* Fall <math>a > b.</math> Dann sind die beiden Werte <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> tatsächlich für <math>\alpha</math> möglich (ev. fallen beide mit <math>90^\circ</math> zusammen). Denn eine geometrische Konstruktion führt entweder auf zwei Dreiecke mit verschiedenen <math>\alpha</math>-Winkeln oder auf ein einziges mit <math>\alpha = 90^\circ</math> (vgl. Zeichnung mit <math>a > c</math> nach dem [[Kongruenzsatz#Beweise|Beweis des SSW-Kongruenzsatzes]]).

Sind alle drei Seitenlängen gegeben, dann können die Winkel mithilfe des [[Kosinussatz]]es berechnet werden. Es gilt zum Beispiel <math>\cos \alpha = \tfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}.</math> Anwenden der [[Umkehrfunktion]] des Kosinus ([[Arkuskosinus]]) auf beiden Seiten der [[Gleichung]] ergibt
:<math>\alpha = \arccos{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}\,.</math>

Sind die [[Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] der drei [[Ecke]]n <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> eines [[Dreieck]]s gegeben, dann können die [[Innenwinkel]] als Winkel zwischen zwei [[Vektor]]en berechnet werden. Sind <math>\vec{b} = \overrightarrow{AB}</math> und <math>\vec{c} = \overrightarrow{AC}</math> die von <math>A</math> ausgehenden Vektoren, dann ergibt sich der Innenwinkel
:<math>\alpha = \arccos \frac{\vec b \cdot \vec c}{|\vec b| |\vec c|}\,.</math>
Dabei ist <math>\vec b \cdot \vec c</math> das [[Skalarprodukt]] und <math>|\vec b| |\vec c|</math> das Produkt der [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Längen der Vektoren]].

==== Kugeldreieck ====
{{Hauptartikel|Kugeldreieck}}
Zur Berechnung der Winkel im Kugeldreieck kann entsprechend der [[Sinussatz#Sinussatz für Kugeldreiecke|Sinussatz für Kugeldreiecke]] und der [[Kosinussatz#Kosinussatz für Kugeldreiecke|Kosinussatz für Kugeldreiecke]] verwendet werden, indem die [[Gleichung]] durch Anwenden von [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus]] oder [[Arkuskosinus]] nach dem gesuchten Winkel aufgelöst wird.

=== Winkel im Tetraeder ===
[[Datei:01 Tetraeder-Größen.png|mini|Ein [[regelmäßiges Tetraeder]] mit dem [[Innenwinkel]] <math>\alpha = 60^\circ</math>, dem [[Tetraederwinkel]] <math>\tau = \arccos \left(-\frac{1}{3} \right)\approx 109^\circ\; 28^\prime \; 16^{\prime\prime}</math>, dem Diederwinkel <math>\beta = \arccos \left(\frac{1}{3} \right) \approx 70^\circ\; 31^\prime \; 44^{\prime\prime}</math> und dem Winkel <math>\gamma = \arctan \left(\sqrt{2}\right) \approx 54^\circ\; 44^\prime \; 8^{\prime\prime} </math> zwischen Kante und Fläche]]
{{Siehe auch|Tetraeder#Berechnung_des_regelmäßigen_Tetraeders|titel1=Tetraeder – Berechnung des regelmäßigen Tetraeders}}
{{Siehe auch|Tetraeder#Berechnung_eines_beliebigen_Tetraeders|titel1=Tetraeder – Berechnung eines beliebigen Tetraeders}}
Im [[Tetraeder#Allgemeines Tetraeder|allgemeinen Tetraeder]] kommen [[Zweidimensional|zweidimensionale]] Winkel vor, zum Beispiel als [[Innenwinkel]] der [[Dreieck|dreieckigen]] [[Seitenfläche]]n. Außerdem hat ein Tetraeder Diederwinkel zwischen benachbarten Seitenflächen und Raumwinkel in den [[Ecke]]n. Das [[Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßige Tetraeder]] und seine Winkel sind ein Spezialfall des allgemeinen Tetraeders.

=== Neigungswinkel einer Geraden ===
Ist eine [[Gerade]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit <math>ax + by = c </math> in [[Koordinatenform]] gegeben, dann gilt für den Neigungswinkel <math>\alpha</math> dieser Geraden:

:<math>\tan \alpha = \frac{a}{b}</math>.

Das folgt aus der Definition des [[Tangens und Kotangens|Tangens]]. Anwenden der [[Umkehrfunktion]] des Tangens ([[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]]) auf beiden Seiten der [[Gleichung]] ergibt

:<math>\alpha = \arctan \frac{a}{b}</math>.

Für den Spezialfall <math>b = 0</math> verläuft die Gerade senkrecht und diese [[Gleichung]]en sind nicht definiert. Die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\tan \alpha</math> ([[Tangens und Kotangens|Tangens]]) hat [[Polstelle]]n bei <math>\alpha = 90^\circ</math> und <math>\alpha = -90^\circ</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.mathopenref.com/arctan.html |titel=The trigonometry arctan() function - inverse tangent - math word definition - Math Open Reference |abruf=2023-02-16}}</ref>

=== Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ===
Sind die zwei sich schneidenden [[Gerade]]n <math>g_1 = \{\mathbf{p_1} + \lambda \mathbf{r_1} \mid \lambda \in \R\}</math> und <math>g_2 = \{\mathbf{p_2} + \lambda \mathbf{r_2} \mid \lambda \in \R\}</math> mit den [[Ortsvektor]]en <math>\mathbf{p_1}</math> und <math>\mathbf{p_2}</math> und den ''[[Linear unabhängig|linear unabhängigen]]'' [[Richtungsvektor]]en <math>\mathbf{r_1}</math> und <math>\mathbf{r_2}</math> gegeben, dann ist der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] <math>\theta</math> zwischen diesen Geraden der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:

:<math>\theta = \arccos \frac{\mathbf{r_1} \cdot \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_1}| |\mathbf{r_2}|}</math>.

Die [[Gerade]]n sind [[Orthogonalität|orthogonal]] zueinander, wenn der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] ein [[rechter Winkel]] ist, also <math>\theta = 90^\circ</math>. Das ist genau dann der Fall, wenn das [[Skalarprodukt]] der [[Richtungsvektor]]en gleich 0 ist, also <math>\mathbf{r_1} \cdot \mathbf{r_2} = 0</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.w3spoint.com/ |titel=Tutorials List |sprache=en |abruf=2023-02-16}}</ref>

Sind zwei [[Gerade]]n in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit <math>a_1x + b_1y = c_1 </math> und <math>a_2x + b_2y = c_2 </math> in [[Koordinatenform]] gegeben, dann ist der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] <math>\theta</math> die Differenz der Neigungswinkel <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> der Geraden:

:<math>\theta = \alpha_1 - \alpha_2</math>.

Anwenden des [[Tangens und Kotangens#Additionstheoreme|Additionstheorems]] für den [[Tangens und Kotangens|Tangens]] ergibt

:<math>\tan \theta = \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \frac{\tan \alpha_1 - \tan \alpha_2}{1 + \tan \alpha_1 \tan \alpha_2}</math>.

Wegen <math>\tan \alpha_1 = \tfrac{a_1}{b_1}</math> und <math>\tan \alpha_2 = \tfrac{a_2}{b_2}</math> folgt daraus

:<math>\frac{\tan \alpha_1 - \tan \alpha_2}{1 + \tan \alpha_1 \tan \alpha_2} = \frac{\frac{a_1}{b_1} - \frac{a_2}{b_2}}{1 + \frac{a_1a_2}{b_1b_2}} = \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2}</math>.

Insgesamt ergibt sich

:<math>\tan \theta = \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2}</math>.

Anwenden der [[Umkehrfunktion]] des Tangens ([[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]]) auf beiden Seiten der [[Gleichung]] ergibt

:<math>\theta = \arctan \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2}</math>.

Die [[Gerade]]n sind genau dann [[Orthogonalität|orthogonal]] zueinander, wenn der [[Nenner]] gleich 0 ist, also <math>a_1a_2 + b_1b_2 = 0</math>. Für diese Spezialfälle, nämlich für <math>\theta = 90^\circ</math> und <math>\theta = -90^\circ</math>, sind die genannten [[Gleichung]]en nicht definiert. Die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\tan \theta</math> ([[Tangens und Kotangens|Tangens]]) hat [[Polstelle]]n bei <math>\theta = 90^\circ</math> und <math>\theta = -90^\circ</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.emathzone.com/tutorials/geometry/angle-of-intersection-of-two-lines.html |titel=Angle of Intersection of Two Lines {{!}} eMathZone |datum=2015-01-28 |sprache=en-US |abruf=2023-02-16}}</ref>

=== Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene ===
{{Siehe auch|Schnittwinkel_(Geometrie)#Schnittwinkel_einer_Kurve_mit_einer_Fläche|titel1=Schnittwinkel (Geometrie) – Schnittwinkel einer Kurve mit einer Fläche}}
Der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] <math>\alpha</math> zwischen einer [[Gerade]] mit dem [[Richtungsvektor]] <math>\vec{x}</math> und einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit dem [[Normalenvektor]] <math>\vec{n}</math> ist gegeben durch
:<math>\sin \alpha = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{x} |}{| \vec{n} | | \vec{x} |}.</math>

<gallery mode="packed" heights="230">
Schnittwinkel_ebene_gerade.png|Schnittwinkel <math>\alpha</math>, Gerade <math>g</math>, Ebene <math>E</math>, Projektionsgerade <math>p</math> <math>\begin{align}&\, \gamma=\beta=90^\circ-\alpha \\ \Rightarrow \, &\sin(\alpha) =\sin(90^\circ -\gamma) = \cos(\gamma) = \frac{  |n \cdot x|}{|n||x|}\end{align}</math>
Schnitt_ebenen2.png|Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen: <math>\alpha=\beta=\gamma</math>
</gallery>

=== Schnittwinkel zweier Ebenen ===
{{Siehe auch|Schnittwinkel_(Geometrie)#Schnittwinkel_zweier_Flächen|titel1=Schnittwinkel (Geometrie) – Schnittwinkel zweier Flächen}}
Der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] <math>\alpha</math> zwischen zwei [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] mit den [[Normalenvektor]]en <math>\vec{n}</math> und <math>\vec{m}</math> ist entsprechend
:<math>\cos \alpha = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{m}|}{| \vec{n} | | \vec{m} |}</math>.

== Winkelkonstruktion ==
Einige Winkel kann man allein [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|mit Zirkel und Lineal konstruieren]]. Dazu gehören der 90-Grad-, 60-Grad-, 72-Grad- und 54-Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen.

Die Winkel <math>0^\circ<\alpha\leq180^\circ</math> sind in Dezimalgrad als Näherungskonstruktion mithilfe des [[Strahlensatz#Formulierung der Strahlensätze|dritten Strahlensatzes]] in Kombination mit Zahlengeraden konstruierbar.

=== Konstruktion des 90-Grad-Winkels (rechten Winkels) ===
{{Hauptartikel|Rechter Winkel}}
Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Geraden.

==== Vorgegebener Schnittpunkt auf der Geraden (Errichten der Senkrechten) ====
# Zeichne einen [[Kreis]] um den vorgegebenen Punkt <math>S</math> mit beliebigem Radius. Dieser Kreis schneidet die Gerade (rot) in den zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Zeichne um diese beiden Punkte jeweils gleiche Kreisbögen mit einem Radius der größer als der Radius <math>|\overline{AS}|</math>, aber kleiner als der Durchmesser <math>|\overline{AB}|</math> des Kreises um <math>S</math> ist.
# Ziehe eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte dieser Kreisbögen. Die so gezeichnete Gerade (grün) schneidet die Gerade (rot) im rechten Winkel, und zwar genau im Punkt <math>S</math>.
<div style="float:left;">[[Datei:Konstruktion Senkrechte 1.svg|mini|hochkant=1|class=skin-invert-image|Vorgegebener Schnittpunkt auf der Geraden]]</div>
<div style="float:left;">[[Datei:Konstruktion Senkrechte 2.svg|mini|hochkant=1|class=skin-invert-image|Vorgegebener Schnittpunkt außerhalb der Geraden]]</div>
{{Absatz}}

==== Vorgegebener Schnittpunkt außerhalb der Geraden (Fällen des Lotes) ====
# Zeichne einen Kreisbogen um den vorgegebenen Punkt <math>S</math> mit einem Radius, der größer ist als der Abstand des Punktes <math>S</math> von der Geraden. Dieser Kreisbogen schneidet die Gerade (rot) in den zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Zeichne um diese beiden Punkte jeweils gleiche Kreisbögen mit einem Radius der gleich dem Abstand <math>|\overline{AS}|</math> ist.
# Ziehe eine Gerade durch den vorgegebenen Punkt <math>S</math> und den soeben erzeugten Schnittpunkt der Kreisbögen. Die so gezeichnete Gerade (grün) schneidet die Gerade (rot) im rechten Winkel, und zwar genau im Punkt <math>S</math>.

==== Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte ====
[[Datei:DivideAStraightLine.svg|mini|hochkant=1|class=skin-invert-image|Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte]]
Die dazu folgende Beschreibung dient auch der sogenannten ''Konstruktion ohne vorgegebenen Schnittpunkt'', bei der man die Position der zwei Punkte <math>A</math> und <math>B</math> auf einer Geraden beliebig bestimmt.  
 
Die gegebene (bzw. beliebig bestimmte) Strecke <math>\overline{AB}</math> wird halbiert, indem deren Endpunkte <math>A</math> und <math>B</math> als Mittelpunkte zweier gleicher Kreisbögen gewählt werden und abschließend eine Gerade durch die zwei gemeinsamen Kreuzungspunkte <math>P</math> und <math>Q</math> gezogen wird. Der dadurch erzeugte Schnittpunkt <math>M</math> liefert somit die gesuchte Mitte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

==== Hinweise ====
Man muss die Kreise nicht vollständig zeichnen. Es reicht, wenn die Schnittpunkte erkennbar sind. Prinzipiell wird die Konstruktion umso genauer, je größer der Abstand der beiden Schnittpunkte voneinander ist. Denn mit größerem Abstand werden die Auswirkungen von solchen Fehlern kleiner, die dadurch entstehen, dass die neugezeichnete Gerade oder auch schon die gezeichneten Schnittpunkte nicht genau mit den idealen Schnittpunkten übereinstimmen. Andererseits wird die genaue Erkennbarkeit der Schnittpunkte geringer, je flacher sich die Kreise schneiden, was umso mehr der Fall ist, je weiter die Kreisradien von einem Idealradius entfernt sind, bei dem sich die Kreise senkrecht schneiden.

=== Konstruktion eines 60-Grad-Winkels ===
==== Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt ====
# Ziehe einen Kreis auf der Geraden <math>g_1</math> um den gegebenen Punkt <math>P</math> (Bild 1). Es ergeben sich die zwei Schnittpunkte <math>A</math> und <math>B</math>.
# Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius z.&nbsp;B.&nbsp;um den Schnittpunkt <math>B</math> (alternativ um <math>A</math>) und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden <math>g_1</math> als Schnittpunkt <math>C</math>.
# Zeichne eine Gerade <math>g_2</math> durch den Punkt <math>P</math> und den Schnittpunkt <math>C</math>. Somit schneidet die Gerade <math>g_2</math> im Scheitelpunkt <math>P</math> die Gerade <math>g_1</math> im Winkel von 60°.
<gallery mode="packed" heights="250">
01-Winkel 60° auf Gerade.svg|class=skin-invert-image|Bild 1: Antragen eines 60°-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt
60 degree construction 2.svg|class=skin-invert-image|Bild 2: Antragen eines 60°-Winkels durch einen Punkt außerhalb der Geraden
</gallery>

==== Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden ====
# Fälle das Lot vom gegebenen Punkt <math>P</math> auf die Gerade <math>g</math> (Bild 2). Du erhältst die Hilfspunkte <math>A</math> und <math>B</math> sowie den Gegenpunkt <math>C</math>. Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt <math>M</math>.
# Ziehe einen Kreis (<math>k_1</math>) um den Fußpunkt durch den gegebenen Punkt.
# Ziehe mit gleichem Radius einen [[Kreisbogen]] (<math>k_2</math>) um den Gegenpunkt <math>C</math>, du bekommst die Punkte <math>D</math> und <math>E</math>, deren Verbindungsgerade die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{CM}</math> ist.
# Zeichne das gleichseitige Dreieck <math>PDE</math>. Die an <math>P</math> anliegenden Seiten schneiden die Gerade auf gewünschte Weise.
[[Datei:01-Winkel 60° auf Gerade -2.svg|mini|hochkant=1|class=skin-invert-image|Bild 3: Antragen eines 60°-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden, auch möglich mithilfe eines sogenannten ''kollabierenden Zirkels'']]
Die nebenstehende Abbildung (Bild 3) zeigt eine alternative Vorgehensweise, die neben dem gegebenen Punkt <math>P</math> und der gegebenen Geraden <math>g_1</math> nur vier Kreise mit gleichem Radius und die Gerade <math>g_2</math> für die Lösung benötigt. Im Verlauf der Konstruktion werden für das Ziehen eines Kreises stets zwei Punkte genutzt. Der Abstand der beiden Punkte ist gleich dem Kreisradius, aufgrund dessen könnte auch ein sogenannter euklidischer oder [[kollabierender Zirkel]] eingesetzt werden.

# Ziehe einen Kreis mit einem beliebigen Radius um <math>P</math>, es ergibt den Schnittpunkt <math>A</math> auf der Geraden <math>g_1</math>.
# Ziehe den zweiten Kreis um Punkt <math>A</math> durch <math>P</math> sowie den dritten Kreis um den soeben erzeugten Punkt <math>B</math> auf <math>g_1</math> durch <math>A</math>, er schneidet den Kreis um <math>P</math> in <math>C</math>. Die Abstände von den Punkten <math>P</math> und <math>C</math> zu der Geraden <math>g_1</math> sind gleich.
# Schließlich ziehe den vierten Kreis um <math>C</math> durch <math>P</math>, der den Kreis um <math>P</math> in <math>D</math> schneidet, und zeichne die Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>D</math>. Sie schneidet die Gerade <math>g_1</math> im [[Scheitelpunkt]] <math>E</math> und liefert somit den Winkel <math>AED</math> mit der gesuchten Winkelweite 60°.

=== Konstruktion eines 45-Grad-Winkels ===
==== Antragen eines 45-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt ====
Eine der kürzesten Lösungen wird mit der [[Winkel#Konstruktion des 90-Grad-Winkels (rechten Winkels)|Konstruktion des 90-Grad-Winkels]] als Basis (Bild 4) erreicht.
# Bestimme den Punkt <math>P</math> beliebig auf der Geraden <math>g_1,</math> ziehe einen Kreis mit dem  Radius <math>|AP|</math> um <math>A</math> und markiere den Schnittpunkt <math>B</math> auf der Geraden <math>g_1.</math>
# Ziehe den Kreisbogen mit Radius <math>|BP|</math> um <math>B.</math>
# Ziehe den Kreisbogen mit gleichem Radius um <math>P</math> und markiere den Schnittpunkt der beiden mit <math>C.</math>
# Verbinde den Punkt <math>A</math> mit <math>C</math>, <math>D</math> ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um <math>A.</math>.
# Die abschließende Halbgerade <math>g_2</math>, ab dem Punkt <math>P</math> durch <math>D</math>, liefert den Winkel <math>APD</math> mit der gesuchten Winkelweite <math>45^\circ.</math>
<gallery mode="packed" heights="250" class=skin-invert-image>
01 Winkel 45° auf Gerade-1.1.svg|Bild 4: Antragen eines 45°-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt, auch möglich mithilfe eines ''kollabierenden Zirkels''
01 Winkel 45° auf Gerade-4.svg|Bild 5: Antragen eines 45°-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden, auch möglich mithilfe eines ''kollabierenden Zirkels''
</gallery>

==== Antragen eines 45-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden ====
# Ziehe einen Kreis um den gegebenen Punkt <math>P</math> mit dem beliebigen Radius <math>|PA|</math> und markiere den Schnittpunkt <math>B</math> auf <math>g_1</math>.
# Ziehe den zweiten Kreis mit gleichem Radius um <math>A</math> und markiere den Schnittpunkt <math>C</math> auf <math>g_1</math>.
# Um den Punkt <math>C</math> folgt der dritte Kreis mit gleichem Radius; <math>D</math> ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um <math>P</math>.
# Der vierte Kreis mit gleichem Radius hat den Mittelpunkt <math>D</math>; <math>E</math> ist der Schnittpunkt mit <math>g_1</math>.
# Ziehe den fünften und letzten Kreis mit gleichem Radius um <math>E</math>; <math>F</math> ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um <math>C</math>.
# Verbinde den Punkt <math>D</math> mit <math>F</math>; <math>G</math> ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um <math>D</math>.
# Die abschließende Halbgerade <math>g_2</math>, ab dem Punkt <math>P</math> durch <math>G</math>, liefert den Winkel <math>CHG</math> mit der gesuchten Winkelweite <math>45^\circ</math>.

=== Konstruktion eines 30-Grad-Winkels ===
Der erste Gedanke ist vielleicht, die Konstruktionen des 60-Grad-Winkels zu verwenden, um den 30-Grad-Winkel durch einfache Halbierung des 60-Grad-Winkels zu erreichen. Die ersten beiden im Folgenden beschriebenen Vorgehensweisen zeigen aber, es geht auch mit weniger Konstruktionsschritten.

==== Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt ====
# Bestimme den Punkt <math>A</math> beliebig auf der Geraden <math>g_1</math> und ziehe einen Kreis um <math>A</math> durch den gegebenen Punkt <math>P</math> (siehe Bild 6). Es ergibt sich der Schnittpunkt <math>B</math>.
# Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius um <math>B</math> und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden <math>g_1</math> als Schnittpunkt <math>C</math>.
# Zeichne eine Gerade <math>g_2</math> durch den Punkt <math>P</math> und den Schnittpunkt <math>C</math>. Somit schneidet die Gerade <math>g_2</math> im Scheitelpunkt <math>P</math> die Gerade <math>g_1</math> im Winkel von 30°.
[[Datei:01 Winkel 30° auf Gerade.svg|mini|links|hochkant=1.4|class=skin-invert-image|Bild 6: Antragen eines 30°-Winkels an eine Gerade <math>g_1</math> in einem gegebenen Scheitelpunkt <math>P</math>]]
{{Absatz}}

==== Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden ====
# Fälle das Lot vom gegebenen Punkt <math>P</math> auf die Gerade <math>g_1</math> folgendermaßen (siehe Bild 7): Mit einem beliebigen Radius um <math>P</math> ergeben sich die Hilfspunkte <math>A</math> und <math>B</math>, zwei kleine Kreisbögen mit dem Radius <math>\overline{AP}</math> um <math>A</math> bzw.&nbsp;<math>B</math> schneiden sich im Gegenpunkt <math>C</math>. Die Verbindung <math>P</math> mit <math>C</math> liefert den Fußpunkt <math>D.</math>
# Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius <math>\overline{CD}</math> um den Gegenpunkt <math>C</math> und einen mit gleichem Radius um den Fußpunkt <math>D</math>, dabei ergibt sich der Punkt <math>E.</math>
# Verbinde den Punkt <math>P</math> mit <math>E</math>, dabei ergibt sich der Punkt <math>F</math> und am Scheitel <math>P</math> der Winkel 30°.
# Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius <math>\overline{FP}</math> um den Punkt <math>F,</math> Schnittpunkt mit <math>g_1</math> ist <math>G</math>.
# Ziehe einen Halbkreis mit dem Radius <math>\overline{GF}</math> um den Punkt <math>G</math>, Schnittpunkt mit <math>g_1</math> ist <math>H</math>. Die abschließende Gerade <math>g_2</math> durch <math>H</math> und <math>P</math> liefert am Scheitel <math>H</math> den Winkel <math>FHP</math> mit der Winkelweite 30°.
<gallery mode="packed" heights="250" class=skin-invert-image>
01 Winkel 30° auf Gerade-2.svg|Bild 7: Antragen eines 30°-Winkels durch einen Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g_1</math>
01 Winkel 30° auf Gerade-3.svg|Bild 8: Antragen eines 30°-Winkels an eine Gerade <math>g_1</math> durch einen Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g_1</math>, auch möglich mithilfe eines ''kollabierenden Zirkels''
</gallery>
Die Darstellung im Bild 8 zeigt eine alternative Vorgehensweise. Sie benötigt für die Lösung, neben dem gegebenen Punkt <math>P</math> und der gegebenen Geraden <math>g_1</math>, nur fünf Kreise mit gleichem Radius und die Gerade <math>g_2</math>. Die Konstruktion ist eine Weiterführung der Konstruktion des [[Winkel#Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden|60-Grad-Winkels (Bild 3)]]. Dafür bedarf es nur noch des fünften Kreises, gezogen um Punkt <math>D</math> durch <math>P</math>, und schließlich der Geraden <math>g_2</math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>E</math>. Die Gerade <math>g_2</math> schneidet die Gerade <math>g_1</math> im Scheitelpunkt <math>F</math> und liefert somit den Winkel <math>AFP</math> mit der gesuchten Winkelweite 30°.

=== Konstruktion eines 72-, 54- oder 18-Grad-Winkels ===
Die etwas exotischere Konstruktion dieser drei Winkel findet man im regelmäßigen [[Fünfeck#Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis|Fünfeck]].
[[Datei:01-Winkel im 5-Eck.svg|mini|links|hochkant=1.5|class=skin-invert-image|Winkel 72°, 54° und 18° im Fünfeck, <math>\overline{EF} = \overline{EC}</math>, <math>\overline{BH} = \overline{CG}</math>]]
{{Absatz}}

=== Addition und Subtraktion von Winkeln ===
[[Datei:01-Winkel addieren-subtrahieren.svg|mini|hochkant=0.9|class=skin-invert-image|Winkelweite <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math>]]
Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv, sprich geometrisch, addieren und subtrahieren. Mit anderen Worten, möchte man z.&nbsp;B.&nbsp;(siehe drei Bilder) einen Winkel um die Größe eines anderen vermehren bzw.&nbsp;vermindern, so zeichnet man zunächst um die [[Scheitelpunkt]]e der Winkel jeweils einen für beide Winkel gleich großen Kreisbogen, der beide Schenkel des jeweiligen Winkels schneidet oder berührt.

; Winkel addieren
Zuerst wird der Kreisbogen <math>ABC_1</math> des ersten Winkels <math>BAC_1</math> über <math>C_1</math> hinaus verlängert, damit darauf auch der zweite Winkel <math>BAC_2</math> genügend Platz findet. Nun nimmt man die Winkelweite <math>\alpha_2</math> am Abstand <math>|BC_2|</math> in den Zirkel und überträgt sie damit, ab dem Schnittpunkt <math>C_1</math>, auf den verlängerten Kreisbogen. Es ergibt sich der Schnittpunkt <math>C_3</math>. Abschließend wird der neue Winkelschenkel <math>\overline{AC_3}</math> eingezeichnet.

Der somit durch geometrische Addition erzeugte Summenwinkel <math>BAC_3</math> hat die Winkelweite <math>\alpha_1 + \alpha_2</math>.
<gallery mode="packed" heights="250" class=skin-invert-image>
01-Winkel addieren W1+W2.svg|Addition, Winkelweiten <math>\alpha_1+\alpha_2</math>
01-Winkel subtrahieren W2-W1.svg|Subtraktion, Winkelweiten <math>\alpha_2-\alpha_1</math>
</gallery>
; Winkel subtrahieren
Um den kleineren Winkel <math>BAC_1</math> vom größeren Winkel <math>BAC_2</math> zu subtrahieren (Bild: ''Winkelweite <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math>''), nimmt man die Winkelweite <math>\alpha_1</math> am Abstand <math>|BC_1|</math> in den Zirkel und überträgt sie damit, ab dem Schnittpunkt <math>C_2</math>, auf den Kreisbogen <math>ABC_2</math>. Es ergibt sich der Schnittpunkt <math>C_3</math>. Abschließend wird der neue Winkelschenkel <math>\overline{AC_3}</math> eingezeichnet.

Der somit durch geometrische Subtraktion erzeugte Differenzwinkel <math>BAC_3</math> hat die Winkelweite <math>\alpha_2 - \alpha_1</math>.

=== Winkelteilungen ===
==== Winkelhalbierung ====
[[Datei:01-Winkel halbieren.svg|mini|hochkant=1|class=skin-invert-image|Winkelhalbierende (rot)]]
Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleich große Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die [[Winkelhalbierende]]. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist gleich weit von den Schenkeln entfernt.

: '''Konstruktion'''

Der zuerst gezeichnete Kreisbogen um den Scheitelpunkt <math>A</math>, mit einem beliebigen Radius, schneidet die Schenkel des Winkels in <math>B</math> bzw.&nbsp;<math>C</math>. Nun wird, entweder mit der gleichen (siehe Bild) oder mit geänderter Zirkelöffnung, um die Schnittpunkte <math>B</math> und <math>C</math> jeweils ein gleich großer Kreisbogen geschlagen. Abschließend zieht man ab dem Scheitelpunkt <math>A</math>, durch den zuletzt entstandenen Schnittpunkt <math>D</math>, eine Halbgerade und erhält somit die Winkelhalbierende.

==== Dreiteilung ====
{{Hauptartikel|Dreiteilung des Winkels}}
[[Datei:01 Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach-1.svg|mini|hochkant=1.6|class=skin-invert-image|[[Dreiteilung des Winkels#Teilung mit einem rechtwinkligen dreieckigen Lineal|Dreiteilung des Winkels nach Bieberbach]]]]
Die allgemeine Dreiteilung des Winkels ist mit euklidischen Werkzeugen nicht möglich. Jedoch liegen (Hand-)Zeichengeräte (z.&nbsp;B.&nbsp;[[Geodreieck]]) für diese Aufgabe vor. Was allerdings auch möglich ist, sind Näherungskonstruktionen mit geringen Winkelfehlern.

==== Beliebige Teilung ====
Die beliebige Teilung erfordert ein Hilfsmittel, mit dem ein Winkel proportional auf eine Strecke abgebildet werden kann und umgekehrt, beispielsweise eine Schablone, mit einer als [[Archimedische Spirale]] oder [[Quadratrix des Hippias]] geformten Kante. Damit lässt sich eine Winkelteilung in eine Streckenteilung überführen. Anwendung findet man in der Konstruktion bestimmter [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßiger Polygone]], die allein mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar sind, wie z.&nbsp;B.&nbsp;des [[Elfeck#Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel|Elfecks]].

=== Folgerung (allgemeine Winkelkonstruktionen) und große Winkeltabelle ===
[[Datei:01 Dreiteilung des Winkels-Teilbarkeit.svg|mini|hochkant=1.6|class=skin-invert-image|Beispiele für konstruierbare Winkel mit Basis 3°:<br />Für den Winkel 9° und 3° bedarf es lediglich der Konstruktion des Winkels 30° und der des regelmäßigen [[Fünfeck]]s.]]
Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw.&nbsp;[[Subtraktion|Differenzen]]), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw.&nbsp;Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen. Den Winkel von 3° erhält man z.&nbsp;B.&nbsp;durch folgende Vorgehensweise: <math>72^\circ/2\rightarrow36^\circ/2\rightarrow18^\circ-15^\circ=3^\circ</math>. Generell lassen sich alle Winkel konstruieren, deren Sinus (und damit auch deren [[Kosinus]]) durch einen mathematischen Ausdruck dargestellt werden kann, der nur aus ganzen Zahlen, Grundrechenarten und Quadratwurzeln besteht. Das gilt z.&nbsp;B.&nbsp;für ganzzahlige Winkel (Gradmaß), die ein Vielfaches von 3° sind:<ref>{{Internetquelle |url=https://kilchb.de/cosinuswerte.php |titel=Cos/Sin: Joachim Mohr Mathematik Musik Pascal Delphi |abruf=2023-02-16}}</ref>
* <math>\sin( 0^\circ) = \cos(90^\circ) = 0</math>
* <math>\sin( 3^\circ) = \cos(87^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)-2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin( 6^\circ) = \cos(84^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}+1\right)\right)</math>
* <math>\sin( 9^\circ) = \cos(81^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)-2 \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(12^\circ) = \cos(78^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)\right)</math>
* <math>\sin(15^\circ) = \cos(75^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot        \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right)</math>
* <math>\sin(18^\circ) = \cos(72^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot \left( \sqrt{5}-1\right)</math>
* <math>\sin(21^\circ) = \cos(69^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(24^\circ) = \cos(66^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)\right)</math>
* <math>\sin(27^\circ) = \cos(63^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}</math>
* <math>\sin(33^\circ) = \cos(57^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(36^\circ) = \cos(54^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot        \sqrt{2} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}</math>
* <math>\sin(39^\circ) = \cos(51^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)-2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(42^\circ) = \cos(48^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}-1\right)\right)</math>
* <math>\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{1}{2}  \cdot        \sqrt{2}</math>
* <math>\sin(48^\circ) = \cos(42^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)\right)</math>
* <math>\sin(51^\circ) = \cos(39^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(54^\circ) = \cos(36^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot \left( \sqrt{5}+1\right)</math>
* <math>\sin(57^\circ) = \cos(33^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(60^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{1}{2}  \cdot   \sqrt{3}</math>
* <math>\sin(63^\circ) = \cos(27^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(66^\circ) = \cos(24^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}+\left(\sqrt{5}+1\right)\right)</math>
* <math>\sin(69^\circ) = \cos(21^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot   \sqrt{2} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}</math>
* <math>\sin(75^\circ) = \cos(15^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot   \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right)</math>
* <math>\sin(78^\circ) = \cos(12^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}+\left(\sqrt{5}-1\right)\right)</math>
* <math>\sin(81^\circ) = \cos( 9^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(84^\circ) = \cos( 6^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)\right)</math>
* <math>\sin(87^\circ) = \cos( 3^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)</math>
* <math>\sin(90^\circ) = \cos( 0^\circ) = 1</math>

Die Winkelhalbierung kann durch Substitution der Halbwinkelformeln
: <math>\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}</math> und <math>\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}</math>
ausgedrückt werden. Das Antragen eines Winkels an einen anderen kann durch Substitution der Additionstheoreme
: <math> \sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \; \cos \beta \pm \cos \alpha \; \sin \beta</math> und <math>\cos ( \alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \; \cos \beta \mp \sin \alpha \; \sin \beta </math>
ausgedrückt werden.

Darüber hinaus hat der Kosinus des Zentriwinkel des [[Siebzehneck#Eigenschaften|17-Ecks]] noch den Wert:

: <math>\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17 - \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right) \ \approx 0{,}93247222940435580457</math>,

woraus sich seine Konstruierbarkeit ergibt.

== Winkelmessung ==
{{Hauptartikel|Winkelmessung}}

Bei der Winkelmessung wird mit Hilfe technischer Einrichtungen ermittelt, in welchem Winkel zwei Geraden oder zwei sonstige Richtungen zueinander stehen.

== Kreiswinkel ==
{{Hauptartikel|Kreiswinkel}}Am Kreis liegen verschiedene besondere Winkel, die in der klassischen zweidimensionalen [[Geometrie]] wichtig sind, vor, zum Beispiel der [[Umfangswinkel]], [[Mittelpunktswinkel]] und der [[Sehnentangentenwinkel]]. Wichtige Sätze über diese Winkel sind der [[Kreiswinkelsatz]], [[Umfangswinkelsatz]] und Sehnentangentenwinkelsatz.
[[Datei:Kreiswinkel.svg|zentriert|mini|hochkant=3|class=skin-invert-image|Umfangswinkel, Mittelpunktswinkel und Sehnentangentenwinkel]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Angles (geometry)|Winkel}}
* [[:Datei:01-Strahlensatz Anwendung Winkel.svg|class=skin-invert-image|Näherungskonstruktion eines Winkels in Dezimalgrad mittels des dritten Strahlensatzes]]
* [http://www.mathematik-wissen.de/winkel.htm Winkel für Schüler erklärt.] mathematik-wissen.de

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Winkel| ]]