Quelltext der Seite Wavelet-Paket-Transformation

Die '''[[Wavelet]]-Paket-Transformation''' ist eine Erweiterung der [[Schnelle Wavelet-Transformation|schnellen Wavelet-Transformation]] (FWT) und dient wie diese in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] der Analyse und Kompression [[Digitales Signal|digitaler Signale]]. In der FWT wird ein zeitdiskretes Eingangssignal mit einer [[Abtastrate]] ''F'' mittels einer Wavelet-Filterbank (z.&nbsp;B. der [[Daubechies-Wavelets]]) in einen [[Tiefpass]]kanal '''L''' und einen [[Bandpass]]kanal '''H''' mit halber Abtastrate ''F/2'' aufgespalten und dieses Vorgehen für den Tiefpasskanal [[Rekursion|rekursiv]] wiederholt. So entstehen im darauffolgenden Schritt aus dem Kanal '''L''' die Kanäle '''LL''' und '''LH''' mit Abtastrate ''F/4'', aus dem Kanal '''LL''' im nächsten Schritt die Kanäle '''LLL''' und '''LLH''' und so weiter.

Bei der Wavelet-Paket-Transformation werden nun auch die Bandpasskanäle aufgespalten, sodass im zweiten Rekursionsschritt nicht nur '''LL''' und '''LH''', sondern auch die Kanäle '''HL''' und '''HH''' entstehen. Im dritten Schritt entstehen so acht Teilkanäle usw. Die Teilkanäle des Ergebnisses und der Zwischenschritte können in einem [[binärer Baum|binären Baum]] angeordnet werden.

[[Datei:Wavelets - WPD.png|360px|zentriert|Paketbaum mit Filter g für den L-Kanal und h für den H-Kanal]]

Diese Transformation kann dazu dienen, aus einer 2-Kanal-DWT wie z.&nbsp;B. den [[Daubechies-Wavelets]] eine ''M''-Kanal-DWT zu erhalten, wobei ''M'' eine Potenz von zwei ist, der Exponent wird Tiefe des Paket-Baums genannt. Dieses Verfahren wird in der Breitbanddatenübertragung als DWT-OFDM bzw. DWPT-OFDM als Alternative zur [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] in der FFT-[[Orthogonales Frequenzmultiplexverfahren|OFDM]] angewandt.

Hat die zugrundeliegende Wavelet-Transformation eine [[Multiskalenanalyse|Skalierungsfunktion]] φ mit Tiefpassfilter <math>a(Z)</math> (L-Kanal) und Bandpassfilter <math>b(Z)</math> (H-Kanal), so ergeben sich die Wavelets der Kanäle zu

:<math>\begin{align}
\psi_\text{L}(x/2) &:= a(S)\phi(x) = \sum_n a_n\phi(x-n) = \phi(x/2)\, ,\\
\psi_\text{H}(x/2) &:= b(S)\phi(x) = \sum_n b_n\phi(x-n) = \psi(x/2)\, ,
\end{align}</math>
wobei <math>S</math> der Operator der Verschiebung (shift) um 1 in Richtung wachsender <math>x</math>-Werte ist, d.&nbsp;h. <math>(Sf)(x)=f(x-1)</math>. Potenzen von <math>S</math> sind dann Verschiebungen um den Exponenten der Potenz, Laurent-Polynome in <math>S</math> entsprechen den jeweiligen Linearkombinationen der verschobenen Funktionen.

Bis hier sind die Funktionen <math>\phi</math> und <math>\psi</math> identisch mit den in der FWT auftretenden. Im zweiten Schritt ergeben sich neue Funktionen
:<math>\begin{align}
\psi_\text{LL}(x/4)&:=a(S^2)a(S)\phi(x)=\phi(x/4),\\
\psi_\text{LH}(x/4)&:=b(S^2)a(S)\phi(x)=\psi(x/4),\\
\psi_\text{HL}(x/4)&:=a(S^2)b(S)\phi(x)\, ,\\
\psi_\text{HH}(x/4)&:=b(S^2)b(S)\phi(x)\, .
\end{align}</math>
Ist das [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Spektrum]] von <math>\phi(x)=\psi_\text{LL}(x)</math> nahezu optimal auf das Basisband <math>\left[0,1/2\right]</math> beschränkt und sind <math>a</math> und <math>b</math> gute frequenzselektive [[Digitales Filter|digitale Filter]] für die sich 1-periodisch wiederholenden [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>\left[-1/4,1/4\right]</math> bzw. <math>\left[1/4,3/4\right]</math>, so wird das Spektrum von <math>\psi(x)=\psi_\text{LH}(x)</math> auf <math>\left[1/2,1\right]</math> konzentriert sein, das von <math>\psi_\text{LH}(x)</math> auf <math>(\left[-1/2,1/2\right]\cup\left[3/2,5/2\right])\cap\left[1,3\right]\cap\left[0,2\right]=\left[3/2,2\right]</math>, das von <math>\psi_\text{HH}(x)</math> auf <math>(\left[1/2,3/2\right]\cup\left[5/2,7/2\right])\cap\left[1,3\right]\cap\left[0,2\right]=\left[1,3/2\right]</math>, d.&nbsp;h. die Frequenzbänder der Kanäle sind in <math>\left[0,2\right]</math>, jedes mit Breite 1/2, in der Reihenfolge LL, LH, HH, HL angeordnet.

Im dritten Schritt dann
:<math>\begin{align}
\psi_\text{LLL}(x/8)&:=a(S^4)a(S^2)a(S)\phi(x)=\phi(x/8),\\
\psi_\text{LLH}(x/8)&:=b(S^4)a(S^2)a(S)\phi(x)=\psi(x/8)\, ,\\
\psi_\text{LHL}(x/8)&:=a(S^4)b(S^2)a(S)\phi(x)\, ,\\
\psi_\text{LHH}(x/8)&:=b(S^4)b(S^2)a(S)\phi(x)\, ,\\
\psi_\text{HLL}(x/8)&:=a(S^4)a(S^2)b(S)\phi(x)\, ,\\
\psi_\text{HLH}(x/8)&:=b(S^4)a(S^2)b(S)\phi(x)\, ,\\
\psi_\text{HHL}(x/8)&:=a(S^4)b(S^2)b(S)\phi(x)\, ,\\
\psi_\text{HHH}(x/8)&:=b(S^4)b(S^2)b(S)\phi(x)\, .
\end{align}</math>
usw.

In der folgenden Grafik wurden die Wavelets der dritten Stufe dargestellt, die sich aus dem Daubechies-12-Tap-Wavelet D12 ergeben, der Übersichtlichkeit halber ganzzahlig verschoben. Daneben die Amplituden der Fourier-Transformierten der einzelnen Wavelets. Man kann aus den Spektren im Amplitudenbereich oberhalb 0,7 die Aufteilung des Frequenzbandes <math>\left[0,4\right]</math> in die acht Teilkanäle der Breite 1/2 mit der Reihenfolge LLL, HLL, HHL, LHL, LHH, HHH, HLH, LLH ablesen. Dies entspricht einer Variante eines [[Gray-Code]]s.
{|
|-
|[[Datei:Daubechies12-packet-functions.png|360px]]
|[[Datei:Daubechies12-packet-spectrum.png|360px]]
|}

== Weblinks ==
* [http://www.mobnets.rwth-aachen.de/pub/WPM_performance_Wiley_final.pdf Wavelet Packet Modulation for Wireless Communications] (PDF, englisch; 677 kB)
* [http://code.google.com/p/jwave/ Implementierung der Wavelet-Paket-Transformation in Java] (englisch; Softwareprojekt)

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Diskrete Transformation]]