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Als '''Tiefpass''' bezeichnet man in der [[Elektronik]] solche [[Filter (Elektronik)|Filter]], die Signalanteile mit [[Frequenz]]en unterhalb ihrer [[Grenzfrequenz]] annähernd ungeschwächt passieren lassen, Anteile mit höheren Frequenzen dagegen dämpfen. Entsprechende Filterfunktionen können auch in anderen Bereichen, wie zum Beispiel [[Mechanik]], [[Akustik]] oder [[Hydraulik]], vorkommen. Sie werden dort meist jedoch nicht so genannt. Auch jede Art von mechanischer [[Trägheit]] wirkt sich tiefpassbildend aus. Mit der Abschwächung verbunden ist eine Zeitverzögerung, durch die sich bei [[Sinus und Kosinus|sinusförmigem]] Signalverlauf der [[Phasenwinkel]] verschiebt.
[[Datei:Low-pass filter.svg|mini|hochkant=0.9| Tiefpassfilter: [[Schaltzeichen]]]]

== Anwendung ==
Tiefpassfilter in der Elektronik sind oft ''passive'' analoge Tiefpässe, die aus [[Widerstand (Bauelement)|Widerständen]], [[Spule (Elektrotechnik)|Spulen]] und [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensatoren]] bestehen. Mit zusätzlichen aktiven Bauelementen, wie [[Operationsverstärker]]n oder [[Transistor]]en, können ''aktive'' analoge Tiefpässe realisiert werden.

Bei der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] werden zeitdiskrete Tiefpassfilter in Filterstrukturen wie dem [[FIR-Filter|FIR-]] oder [[IIR-Filter]] realisiert. Dies erfolgt mit [[Digitaltechnik|digitalen Schaltungen]] wie [[FPGA]]s oder mittels sequentieller [[Computerprogramm]]e.

Tiefpässe für hohe Leistungen für [[Hochfrequenz]] und die [[Elektrische Energietechnik]] werden aus Kondensatoren und Spulen aufgebaut. Man findet sie an den Lastausgängen von [[Frequenzumrichter]]n, [[Klasse-D-Verstärker]]n, [[Schaltnetzteil]]en und in [[Netzfilter]]n.

Tiefpassfilter in der Audiotechnik werden auch als ''Höhensperre'', ''Höhenfilter'', ''Treble-Cut-Filter'', ''High-Cut-Filter'', oder ''[[Rauschfilter]]'' bezeichnet. Diese in der [[Tontechnik]] gebräuchlichen Begriffe weisen darauf hin, dass ein solches Filter, zum Beispiel in einem [[Equalizer]], die „Höhen“ des [[Signal]]s oder hohe Frequenzen enthaltendes Rauschen abschwächt; siehe auch [[Entzerrung (Tontechnik)]]. LC-Tiefpässe sind den [[Subwoofer|Tieftonlautsprechern]] in Lautsprecherboxen vorgeschaltet.

Tiefpasseigenschaften kommen auch in der [[Mechanik]] (Schwingungsdämpfung), [[Akustik]] (die Schallausbreitung tiefer Frequenzen ist verlustärmer), [[Optik]] (Kantenfilter), [[Hydraulik]] oder der Lichtausbreitung in der Atmosphäre vor, werden dort jedoch nicht so genannt.

In der [[Messtechnik]] wird der Tiefpass auch als [[Gleichwert|arithmetischer Mittelwertbilder]] bezeichnet, z.&nbsp;B. verhält sich ein [[Drehspulmesswerk]] derartig. Bei der Erzeugung einer variablen Gleichspannung mittels [[Pulsdauermodulation|PDM-Demodulation]] ist ein nachgeschalteter Tiefpass erforderlich, um die PDM-Frequenz zu unterdrücken.

Ein [[idealer Tiefpass]] weist eine nicht [[kausal]]e Übertragungsfunktion auf und ist daher nicht realisierbar. Er gilt lediglich in der Filtertheorie als vereinfachtes Modell. Reale Tiefpässe können sich nur möglichst gut der Eigenschaft eines idealen Tiefpasses annähern.

== Darstellung ==
Der allgemeine mathematische Ansatz für einen Filter führt auf eine [[Differentialgleichung]]. Speziell für sinusförmige Größen lässt sich die Lösung durch die Verwendung [[komplexwertig]]er Größen vereinfachen, siehe [[komplexe Wechselstromrechnung]].

Auch der [[Frequenzgang|Frequenz-]] und Phasengang beschreibt vollwertig das Verhalten eines Filters. Diese Verläufe stellt man durch das komplexe Spannungsverhältnis <u>''H''</u> = <u>''U''</u><sub>a </sub>/<u>''U''</u><sub>e </sub> ( bzw. durch das Verstärkungsmaß <u>''A''</u>(w) = 20 log<sub>10 </sub> |<u>''H''</u>(w)| ) und den Phasenverschiebungswinkel ''φ'' zwischen <u>''U''</u><sub>a</sub> und <u>''U''</u><sub>e</sub> in einem [[Bode-Diagramm]] oder mittels einer [[Ortskurve (Systemtheorie)|Ortskurve]] dar.

== Tiefpass 1. Ordnung ==
[[Datei:Series RC capacitor voltage.svg|mini|Spannung V<sub>C</sub> an der Kapazität als Funktion der Zeit bei sprunghafter Änderung der Eingangsspannung]]

=== Beschreibung ===
[[Datei:Bodediagramm Tiefpass.svg|mini|Frequenzgang eines passiven Tiefpasses 1.&nbsp;Ordnung bei sinusförmiger Eingangsspannung, dargestellt als Bode-Diagramm, <br /><math>A</math> = Spannungsverhältnis <math>U_a/U_e</math>, <br /><math>\varphi</math> = Phasenverschiebungswinkel, <br />bestimmt für <math>RC= 0{,}1\,\mathrm s</math>]]

Im einfachsten Fall besteht ein Tiefpass aus einer [[Widerstand (Bauelement)|Widerstand]]-[[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensator]]-Kombination ([[RC-Glied]]) und stellt einen [[Butterworth-Filter]] mit 1. Ordnung in folgender Anordnung dar:

[[Datei:Tiefpass.svg|zentriert|220 px|Einfacher RC-Tiefpass (Tiefpass 1. Ordnung)]]

Dabei wird vorausgesetzt, dass die [[Quellimpedanz]] von ''U''<sub>e</sub> null beträgt und die [[Lastimpedanz]] bei ''U''<sub>a</sub> unendlich hoch ist.

Einer sprunghaften Änderung der Eingangsspannung ''U''<sub>e</sub> folgt die Ausgangsspannung ''U''<sub>a</sub> um dieselbe Sprunghöhe, aber verzögert im Verlauf einer [[Exponentialfunktion]] mit einer [[Zeitkonstante]] ''τ = RC''.

Einer sinusförmigen Eingangsspannung mit der Frequenz ''f'' folgt am Ausgang wegen der linear anzunehmenden Eigenschaften der Bauelemente wieder eine sinusförmige, aber gemäß der [[Spannungsteilerregel]] frequenzabhängig abgeschwächte Spannung
:<math>U_a = U_e \cdot \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{ R^2+X_C^2}} = \frac {U_e} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} = \frac {U_e} {\sqrt{ 1 + (\frac f f_c)^2}}</math>
mit<br />
<math>U_a\ </math>, <math>U_e\ </math> Beträge der Aus- bzw. Eingangsspannung<br />
<math>|X_C| = \frac1{\omega C}</math> Betrag des [[Blindwiderstand]]s des Kondensators<br />
<math>\omega = 2 \pi f</math> [[Kreisfrequenz]].

[[Datei:Ortskurve Tiefpass.svg|mini|Tiefpass: Ortskurve]]
In logarithmischer Darstellung über der Frequenz (Bode-Diagramm) hat das Teilungsverhältnis zwei [[Asymptote]]n. Es geht bei niedrigen Frequenzen gegen&nbsp;1 und für Gleichspannung (Frequenz ''f''&nbsp;=&nbsp;0) wird <math>U_a = U_e\ </math>. Zu hohen Frequenzen nimmt es mit 6&nbsp;dB/Oktave bzw. 20&nbsp;dB/Dekade ab.

Unter der [[Grenzfrequenz]] ''f''<sub>c</sub> (cutoff frequency) versteht man diejenige Frequenz, bei der sich die Asymptoten schneiden. Hier ist
:<math> U_a = U_e/\sqrt2\approx U_e \cdot 0{,}707 </math>
Das heißt, ''U''<sub>a</sub> ist gegenüber ''U''<sub>e</sub> um 3 [[Dezibel|dB]] abgeschwächt.

Die Phasenlage der Ausgangsspannung ist gegenüber der Eingangsspannung stets verzögert, die Phasenverschiebung beträgt bei der Grenzfrequenz −45°.

Die Grenzfrequenz beträgt

:<math>f_c=\frac 1{2 \pi R C}</math>

Weicht die Frequenz um mehr als eine Zehnerpotenz von der Grenzfrequenz ab (nach oben oder unten), so kann die Kurve mit einer relativen [[Messabweichung|Abweichung]] von weniger als 0,5 % durch die jeweilige Asymptote ersetzt werden.

=== Aktiver Tiefpass 1. Ordnung ===

[[Datei:Aktiver Tiefpass.png|mini|Aktiver invertierender Tiefpass 1. Ordnung]]
Mit Operationsverstärkern können aktive Tiefpässe realisiert werden. Diese haben den Vorteil, dass der Frequenzgang auch bei einer am Ausgang angeschlossenen Last erhalten bleibt. Auch können sie so dimensioniert werden, dass sie auch die Quelle nur minimal belasten, sodass diese eine Impedanz größer null haben kann. Der Betrag der Ausgangsspannung dieses Tiefpasses ist
:<math>U_a = -U_e \cdot \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R_2^2}}\ </math>

Bei der Grenzfrequenz  <math>f_c=1/(2 \pi R_2 C)</math> ist die Verstärkung entsprechend auf das <math>\sqrt \tfrac 1 2</math>-fache der Gleichspannungsverstärkung abgefallen, die (abgesehen von der Vorzeichenumkehr) <math>R_2/R_1</math> beträgt.

==== Herleitung der Formel ====
In der Darstellung der Wechselgrößen durch komplexe Größen gilt für das Spannungsverhältnis laut [[Spannungsteiler]]regel:
:<math>
\underline H= \frac {\underline {U_a}}{\underline {U_e}} = \frac{\underline {Z_c}}{\underline {Z_c} + R} = \frac{\frac1{\mathrm j \omega C}}{\frac1{\mathrm j\omega C} + R}= \frac1{1 + \mathrm j\omega CR}
\quad </math>

mit <math>\underline {Z_c} = \frac1{\mathrm j\omega C}</math> = Widerstandsoperator bzw. [[Elektrische Impedanz|Impedanz]] des Kondensators.

Mit einer Hilfsgröße
:<math>
\underline z = x + \mathrm j y = 1 +\mathrm j\omega CR</math>
:<math>
\underline z = z\,\mathrm e^{\mathrm j\varphi}\quad \Rightarrow \quad z = \sqrt{x^2 + y^2} \quad \text{und} \quad \varphi = \arctan\left(\frac yx\right)</math>
:<math>
\underline z = \sqrt{1 + (\omega CR)^2} \cdot \mathrm e^{\mathrm j \cdot \arctan(\omega CR)}</math>
erhält man
:<math>
\underline {H} =\frac1{\underline z} =\frac1{\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} \cdot \mathrm e^{-\mathrm j \cdot \arctan{(\omega CR)}}</math>

Diese Gleichung stellt die Ortskurve für die komplexe Spannungs-Übertragungsfunktion dar.

==== Folgerungen ====
Daraus leiten sich ab:
;Beträge
Bei Übergang auf Beträge und Blindwiderstand (reelle Größen) ergibt sich die oben angegebene Formel
:<math>\begin{align}
H & =\frac1{\sqrt{1 + (\omega CR)^2}}=\frac1{\sqrt{(\omega C)^2 ((\frac 1{\omega C})^2 + R^2)}} = \frac{(\frac1{\omega C})} {\sqrt{ \left((\frac 1{\omega C})^2 + R^2\right)}}\\
 & =\frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R^2}}
\end{align}</math>

;Augenblickswerte
Die Zeitfunktion für die sinusförmige Schwingung erhält man aus dem Imaginärteil der trigonometrischen Form  des rotierenden komplexen Zeigers:
: <math>
\underline {H}(t) = {H} \cdot {e^{{\mathrm j} \cdot ({{\omega}{t} + {\varphi}})}}</math>

: <math>
\operatorname{Im}(\underline {H}(t))= {H} \cdot \sin({\omega}t + {\varphi})</math>

Für die Zeitfunktion folgt dann:
:<math>
\ {H(t)} = \frac1{\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} \cdot \sin{(\omega t+{\varphi})
} </math>

mit
<math> {\varphi}</math> dem Nullphasenwinkel

;Amplitudengang
:<math>
H(\omega) = \frac {\hat u_a}{\hat u_e} = \frac1{\sqrt{1+(\omega CR)^2}} </math>

;Phasengang
:<math>
\varphi(\omega) = -\arctan({\omega}{C}{R})</math>

== Tiefpass 2. Ordnung ==
Einen Tiefpass zweiter Ordnung erhält man, indem man zu ''R'' eine [[Induktivität]] ''L'' in Reihe schaltet, da deren [[Blindwiderstand]] ''X''<sub>L</sub> ebenfalls eine – und zwar zum Kondensator-Blindwiderstand ''X''<sub>C</sub> gegenläufige – Frequenzabhängigkeit besitzt. Dabei wird ''R'' so groß gewählt, dass keine oder nur eine geringe [[Spannungsüberhöhung]] des Frequenzgangs entsteht.
[[Datei:LCR-Tiefpass.svg|mini|Passiver Tiefpass 2. Ordnung]]
Die [[Übertragungsfunktion]] eines solchen Tiefpasses ist
:<math>\frac{\underline U_a}{\underline U_e}=\underline H(\omega)=\frac{\underline{Z_2}}{\underline Z_1+ \underline Z_2} </math>

mit

:<math>\underline Z_1=R+\mathrm jX_L, \quad \underline Z_2 = -\mathrm jX_C, \quad X_L=\omega\cdot L, \quad X_C=\frac1{\omega\cdot C}</math>.
:
In Real- und Imaginärteil getrennt:

:<math>\begin{align}
\underline H(\omega) &= \frac{X_C}{X_C-X_L+\mathrm jR}\\\\

&= \frac{X_C^2-X_C\cdot X_L}{(X_C-X_L)^2+R^2}-\mathrm j\frac{R\cdot X_C}{(X_C-X_L)^2+R^2}
\end{align}
</math>

Damit fällt die Ausgangsspannung ''U''<sub>a</sub> oberhalb von ''f''<sub>c</sub> schneller (bei R=0 mit 12&nbsp;dB/Oktave bzw. 40&nbsp;dB/Dekade) ab, da nun nicht nur |''X''<sub>C</sub>| kleiner, sondern zugleich |''X''<sub>L</sub>| größer wird.

Für solche LC-Tiefpässe werden im Niederfrequenzbereich große Induktivitäten gebraucht (bis zu mehreren [[Henry (Einheit)|Henry]]). Diese haben schlechte elektrische Eigenschaften und/oder besitzen recht große geometrische Abmessungen. Oft setzt man einen [[Magnetkern]] ein, um die Abmessungen und Verluste zu verringern.
LC-Tiefpässe kommen zum Beispiel bei [[Stromrichter]]n, in [[Netzfilter]]n, in [[Frequenzweiche]]n für [[Hochfrequenz]] oder bei [[Lautsprecherweiche]]n zum Einsatz. In der Signalverarbeitung werden solche Filter höherer Ordnung durch Operationsverstärker-Schaltungen realisiert. Diese Filter werden dann als aktive Tiefpässe (bzw. aktive Filter) bezeichnet und sind nach ihren Erfindern auch als [[Sallen-Key-Filter]] bekannt.

Bei Anwendungen, bei denen eine hohe Effizienz erforderlich ist, wird man kein ''R'' einsetzen, um Wärmeverluste zu vermeiden. Die Spannungsüberhöhung ist dann entweder erwünscht, man nimmt sie in Kauf oder sie wird durch eine endliche Lastimpedanz des Filters vermieden. So verwendet man bei [[Sendeanlage]]n oft den ähnlich aussehenden [[Pi-Filter]], um [[Oberschwingung]]en, die beispielsweise durch den C-Betrieb der [[Senderöhre]] entstehen, auf ein zulässiges Maß zu dämpfen.
Die Werte der Bauelemente können überdies dabei so gewählt werden, dass das Filter als [[Resonanztransformator]] wirkt und eine [[Leistungsanpassung]] zwischen der Sender-Ausgangsimpedanz einerseits und dem Antennenkabel bzw. der Antenne andererseits herstellt.

== Tiefpass höherer Ordnung ==
[[Datei:Durchlasskurve TP SW.png|mini|hochkant=1.5|Mit einem [[Netzwerkanalysator]] gemessener Frequenzgang und [[Smith-Diagramm]] eines Tiefpassfilters]]
Durch das Hintereinanderschalten von mehreren Tiefpässen kann man dessen Ordnung erhöhen. Beispielsweise bilden zwei hintereinandergeschaltete Tiefpässe 2.&nbsp;Ordnung einen Tiefpass 4.&nbsp;Ordnung.
Die Dämpfung ändert sich dabei oberhalb der Grenzfrequenz mit 4·20&nbsp;dB/Dekade = 80&nbsp;dB/Dekade, was einer [[Flankensteilheit]] von 24&nbsp;dB/Oktave entspricht.

Zwei zusammengeschaltete Tiefpässe mit gleicher [[Grenzfrequenz]] ergeben aber keinen Tiefpass höherer Ordnung derselben Grenzfrequenz. Für die Dimensionierung eines Tiefpasses mit gewünschter Grenzfrequenz stehen spezielle Formeln und Tabellen zur Verfügung. <!-- Hier fehlt ein Verweis -->

Zusätzlich tritt das Problem auf, dass ein Tiefpass in einer Kette vom Ausgangswiderstand des vorgeschalteten und dem Eingangswiderstand des nachgeschalteten Tiefpasses beeinflusst wird. Diesem Effekt kann mit [[Impedanzwandler]]n entgegengewirkt werden.

Allgemein werden für ein Filter n-ter Ordnung n speichernde Elemente (also Kondensatoren oder Spulen) benötigt.

Die Dämpfung eines Tiefpasses n-ter Ordnung nimmt oberhalb der Grenzfrequenz mit n·20&nbsp;dB/Dekade zu.

== Emphasis und Deemphasis ==
Bei der statischen Frequenzgangveränderung, der [[Emphasis]] und der [[Deemphasis]] wird anstatt der Grenzfrequenz üblicherweise die [[Zeitkonstante]] angegeben.

== Siehe auch ==
* [[Hochpass]]
* [[RC-Glied]]

== Literatur ==
* Ulrich Tietze, Christoph Schenk und Eberhard Gamm: ''Halbleiter-Schaltungstechnik.'' Springer-Verlag, 2002, 12. Auflage, ISBN 3-540-42849-6.

== Weblinks ==
* [http://www.elektronikinfo.de/strom/kondensatoranwendung.htm Verwendung von Kondensatoren in RC-Filter]
* [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-RCglied.htm RC-Filter und Grenzfrequenz – Tiefpass und Hochpass]
* {{TIBAV |10866 |Linktext=Tief- und Hochpass |Herausgeber=IWF |Jahr=2004 |DOI=10.3203/IWF/C-14821 }}

[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]
[[Kategorie:Elektrische Schaltung]]