Quelltext der Seite Tetraeder

{{Dieser Artikel|erläutert den geometrischen Körper Tetraeder; zu der gleichnamigen Großplastik in Bottrop siehe [[Tetraeder (Bottrop)]].}}
{{Infobox Polyeder
|Name=Tetraeder
|Bild=120px-Tetrahedron-slowturn.gif
|Bildtext=Ein regelmäßiges Tetraeder
|Flächen= 4
|Flächentyp=  4 × [[Datei:Polig 03.svg|20px]]
|Ecken= 4
|Eckentyp=  4 × {3.3.3}
|Kanten= 6
|Schläfli= {3,3}
|Dual= Tetraeder<br/>(zu sich selbst)
|Netz= Tetrahedron flat.svg
|Netztext= Eine von zwei möglichen Netzdarstellungen
}}
Das (auch, vor allem [[Oberdeutsche Dialekte|süddeutsch]], ''der'') '''Tetraeder''' [{{IPA|tetraˈeːdɐ}}] (von {{grcS|τετρα-|tetra-}} „vier“ und {{lang|grc|ἕδρα|hédra}} „Sitz“, „Sessel“, „Gesäß“ bzw. übertragen „Seitenfläche“), auch '''Vierflächner''' oder '''Vierflach''', ist das ''[[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Simplex (Mathematik)|Simplex]]'', ein [[Körper (Geometrie)|Körper]] mit vier [[Dreieck|dreieckigen]] [[Seitenfläche]]n. Es ist das einzige [[Konvexe Menge|konvexe]] [[Polyeder]] ''(Vielflach'', ''Vielflächner)'' mit vier [[Fläche (Mathematik)|Flächen]].

Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit ''Tetraeder'' das regelmäßige Tetraeder mit [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] als [[Seitenfläche]]n, das ein [[platonischer Körper]] ist, gemeint.

Es gibt beim Tetraeder außer der regelmäßigen auch andere [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]], z.&nbsp;B. die des ''[[Disphenoid]]s'', der ''dreiseitigen [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]]'' und der '''Dreieckpyramide'''.<ref>Kurt Peter Müller: ''Raumgeometrie: Raumphänomene – Konstruieren – Berechnen''. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-519-12397-2, S. 81.</ref>

== Regelmäßiges Tetraeder ==
Das '''regelmäßige Tetraeder''' ('''reguläre Tetraeder''') ist einer der fünf [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], genauer ein [[Polyeder]] mit
* 4 [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] als [[Seitenfläche]]n
* 6 gleich langen Kanten und
* 4 Ecken, in denen jeweils drei Seitenflächen zusammentreffen

Das regelmäßige Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit einem [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreieck]] als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]].

=== Symmetrie ===
{{Hauptartikel |Tetraedergruppe}}
<gallery>
Tetrahedron with 2-fold rotational axes RK01.png|3 zweizählige [[Symmetrieachse]]n
Tetrahedron with 3-fold rotational axes RK01.png|4 dreizählige [[Symmetrieachse]]n
Tetrahedron with reflection plane RK01.png|Eine von 6 [[Symmetrieebene]]n
Tetrahedron with 4-fold rotation-reflection axis RK01.png|Eine von 3 vierzähligen [[Drehspiegelung|Drehspiegelachsen]] mit Drehspiegelebene
</gallery>Wegen seiner hohen [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] – alle [[Ecke]]n, Kanten und [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] sind untereinander gleichartig – ist das regelmäßige Tetraeder ein [[Polyeder#Regulär|reguläres Polyeder]]. Es hat

* 4 dreizählige Drehachsen (durch die Ecken und die [[Mittelpunkt]]e der gegenüberliegenden [[Seitenfläche]]n),
* 3 vierzählige [[Drehspiegelung|Drehspiegelachsen]] und damit auch drei zweizählige [[Drehachse]]n bzw. drei [[Symmetrieachse]]n (durch die [[Mittelpunkt]]e gegenüberliegender Kanten) sowie
* 6 [[Symmetrieebene]]n (jeweils durch eine Kante und senkrecht zur gegenüberliegenden Kante).

Insgesamt hat die [[Symmetriegruppe]] des Tetraeders – die '''[[Tetraedergruppe]]''' – 24 Elemente. Sie ist die [[symmetrische Gruppe]] ''S<sub>4</sub>'' (die [[Punktgruppe]] ''T''<sub>''d''</sub> nach [[Schoenflies-Symbolik|Schoenflies]] bzw. {{overline|4}}3m nach [[Hermann-Mauguin-Symbolik|Hermann-Mauguin]]) und bewirkt alle ''4! = 24'' [[Permutation]]en der [[Ecke]]n bzw. der [[Seitenfläche]]n. Sie ist eine [[Untergruppe]] der [[Oktaedergruppe]] oder Würfelgruppe.

Im Einzelnen gehören zur [[Tetraedergruppe]]

* 12 [[Drehung]]en ([[Vorzeichen (Permutation)|gerade]] [[Permutation]]en), nämlich
** die [[identische Abbildung]],
** 8 Drehungen um 120° (4 mögliche [[Drehachse]]n durch jeweils eine [[Ecke]] und den [[Mittelpunkt]] der gegenüberliegenden Dreiecksfläche, 2 Möglichkeiten für den Drehsinn) und
** 3 Drehungen um 180° (Drehachsen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten)

sowie

* 12 ungerade [[Permutation]]en. Diese erhält man, indem man nach jeder der 12 geraden Permutationen noch die [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an einer festen [[Symmetrieebene]] durchführt. 6 davon lassen sich auch als eine reine [[Ebenenspiegelung]] beschreiben, die anderen sechs als [[Drehspiegelung]]en von Drehung um 90° um eine Achse, die durch die [[Mittelpunkt]]e zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, und Spiegelung an der zu dieser Achse senkrechten [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die den Mittelpunkt zwischen den beiden gegenüberliegenden Kanten beinhaltet.

Die geraden [[Permutation]]en bilden eine [[Untergruppe]] der [[Tetraedergruppe]], die so genannte [[A4 (Gruppe)|alternierende Gruppe <math>A_4</math>]] (die [[Punktgruppe]] ''T'' bzw. 23). Manchmal wird der Begriff ''Tetraedergruppe'' auch nur für diese unter Ausschluss der [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] verwendet.

Das Tetraeder ist der einzige [[Platonischer Körper|platonische Körper]], der nicht [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist und bei dem jede [[Ecke]] einer [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] gegenüberliegt.

=== Konstruktion ===
[[Datei:01 Tetraeder-Konstruktion.png|mini|hochkant=1.8|Tetraeder, Konstruktionsskizze]]
[[Euklid]] beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes [[Elemente (Euklid)|''Elemente'']], unter Proposition 13, die Konstruktion des Tetraeders.

{{Zitat
 |Text=Ein Tetraeder einer Kugel mit gegebenem Durchmesser einbeschreiben.
Das Quadrat über dem Durchmesser der Kugel ist dann gleich dem
einundeinhalbfachen Quadrat über der Kante des Tetraeders.
 |Sprache=de
 |Autor=Euklid
 |Quelle=Stoicheia. Buch XIII.13.
 |Übersetzung=Rudolf Haller
 |ref=<ref name="Haller">[http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=12&zoom=auto,-12,20 Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.13., S. 12]</ref>
}}
Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende [[Sphärische Geometrie|sphärischen Darstellung]] nur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten [[Dynamische Geometrie|''Dynamische-Geometrie-Software (DGS)'']].

Gegeben sei eine [[Umkugel]], z.&nbsp;B mit dem Radius gleich <math>1</math> und deren Mittelpunkt <math>O</math>. Beim Bestimmen der <math>x-,\; y-</math> und <math>z-</math>Achsen eines kartesischen [[Koordinatensystem]]s ergeben sich die Punkte <math>A,\; B,\; C</math> und <math>D</math> auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab ist aus einem [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] die Kantenlänge <math>a</math> des Tetraeders zu ermitteln. Hierzu wird zuerst der Umkreisbogen <math>CBD</math> eingezeichnet. Das anschließend konstruierte rechtwinklige Dreieck <math>CEF</math> liefert mit der Kathete <math>|CE|= \tfrac{2}{3}|CD|</math> die Höhe sowie als Hypotenuse die Kantenlänge <math>|CF|= a</math> des Tetraeders.<ref>[http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=24&zoom=auto,-93,32 Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 24]</ref>

Für die eigentliche Konstruktion reichen drei Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises um Mittelpunkt <math>E</math> mit Richtung <math>z-</math>Achse und Radius <math>|EF|</math>. Anschließend wird der erste Eckpunkt <math>G</math> beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur <math>z-</math>Achse und Radius gleich der Kantenlänge <math>|CF|</math> um <math>G</math>, liefert die beiden noch fehlenden Eckpunkte <math>H</math> und <math>I</math>. Nach dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte ist das Tetraeder <math>GHIC</math> fertiggestellt.

=== Weitere Eigenschaften ===
==== Verhältnis zu Oktaeder, Würfel, archimedischen Körpern ====
[[Datei:Duality of tetrahedron.svg|mini|Tetraeder mit [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|dualem]] einbeschriebenen Tetraeder. Die [[Mittelpunkt]]e der [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]] des äußeren Tetraeders sind die Ecken des inneren Tetraeders.]]
Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder (siehe Abbildung). Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|dual]], kurz: ''selbst-dual''. Die Seitenlänge des einbeschriebenen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge.

Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können [[Körper (Geometrie)|Körper]] konstruiert werden, die ebenfalls die [[Tetraedergruppe]] als [[Symmetriegruppe]] haben. So erhält man zum Beispiel
* das [[Abgestumpftes Tetraeder|abgestumpfte Tetraeder]] mit 4 [[Sechseck]]en und 4 [[Dreieck]]en (siehe [[archimedischer Körper]]),
* das [[Oktaeder]] mit 4 + 4 = 8 Dreiecken und 6 [[Ecke]]n (mit höherer [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]]) als Durchschnitt zweier Tetraeder,
* das [[Sterntetraeder]] (ein [[Oktaeder]] mit 8 aufgesetzten Tetraedern) als [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Vereinigungsmenge]] zweier Tetraeder
* den [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] mit 4 + 4 = 8 Ecken (und mit höherer Symmetrie) als [[konvexe Hülle]] dieses [[Sternkörper]]s.

Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.

==== Umgebender Würfel ====
Das Tetraeder kann in einen Würfel ([[Hexaeder]]) so einbeschrieben werden, dass seine [[Ecke]]n zugleich Würfelecken und seine Kanten [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] der Würfelflächen sind (siehe Abbildung). Das [[Volumen]] dieses [[Würfel (Geometrie)|Würfels]] ist das Dreifache des Tetraedervolumens. Die 8 Ecken des Würfels bilden zwei [[disjunkt]]e [[Menge (Mathematik)|Mengen]] von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.
:
{{Siehe auch|Sterntetraeder}}
<div style="float:left;">[[Datei:Sterntetraeder im Würfel.svg|mini|hochkant=1.2|Zwei Tetraeder im [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] haben als [[Vereinigungsmenge]] ein Sterntetraeder.]]</div>
<div style="float:left;">[[Datei:Oktaeder im Tetraeder.svg|mini|hochkant=1.2|Zwei Tetraeder im [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] haben als [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Schnittmenge]] ein [[Oktaeder]].]]</div>
{{Absatz}}

==== Tetraeder umschreibt Oktaeder ====
Wird ein [[Oktaeder]] von einem Tetraeder umschrieben, sind die sechs Ecken des Oktaeders die [[Mittelpunkt]]e der sechs Tetraederkanten und vier der acht Oktaederflächen liegen in den [[Seitenfläche]]n eines der beiden möglichen Tetraeder.<ref>{{Internetquelle |autor=Jürgen Köller |url=http://www.mathematische-basteleien.de/tetraeder.htm#Vom%20Tetraeder%20zu%20anderen%20K%C3%B6rpern |titel=Tetraeder |titelerg=Vom Tetraeder zu anderen Körpern |hrsg=mathematische-basteleien |abruf=2020-09-05}}</ref>

<div style="float:left;">[[Datei:01 Tetraeder-umschreibt Oktaeder.png|mini|hochkant=1.2|Tetraeder umschreibt Oktaeder]]</div>
{{Absatz}}

==== Querschnitt ====
(Siehe hierzu Wall of Fire: Tetrahedron (Video))<ref>{{Internetquelle|url=https://www.pbslearningmedia.org/resource/mgbh.math.g.firetetra/wall-of-fire-tetrahedron/ |titel=Wall of Fire: Tetrahedron (Video)|hrsg=PBS LearnungMedia |abruf=2023-04-03}}</ref>
[[Datei:TetraederCrossSection3Animated.gif|mini|[[Quadratisch]]er Querschnitt durch einen Tetraeder]]
Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein [[Quadrat]] ergibt. Dabei entspricht die Seitenlänge des Quadrats der halben Kantenlänge des Tetraeders. Hierfür wird der Querschnitt so gelegt, dass wie – im Bild 1 dargestellt – die [[Schnittebene]] [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu zwei gegenüberliegenden Kanten und durch die Mitten der vier Kanten verläuft. Die somit entstehenden Teile des Tetraeders sind zueinander [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]].<ref name="Weisstein">{{Internetquelle |autor=Jackson, Frank, Weisstein, Eric W. |url=https://mathworld.wolfram.com/RegularTetrahedron.html |titel=Regular Tetrahedron.|hrsg=MathWorld--A Wolfram Web Resource. |abruf=2023-04-03}}</ref> Liegt die Schnittebene parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, aber nicht in der Mitte der Kanten, ergibt der Querschnitt ein [[Rechteck]] (Bild 2).

Verschiebt man zwei benachbarte Eckpunkte eines virtuellen Quadrats entlang der Tetraederkanten gleich weit, ergibt der Querschnitt ein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]] (Bild 3). Darüber hinaus können zwei gegenüberliegende Eckpunkte dieses Quadrats entlang der Tetraederkanten so gleich weit verschoben werden, dass der Querschnitt ein [[Drachenviereck]] (Bild 4) ergibt.

Liegt die Schnittebene parallel zu einer der vier [[Seitenfläche]]n, ergibt der Querschnitt ein [[gleichseitiges Dreieck]] (Bild 5).

<gallery heights="180" widths="180" perrow="5" caption="Querschnitte durch regelmäßige Tetraeder" >
Tetraeder-Quadrat-2.svg|Bild 1: Quadrat,<br />Teile zueinander kongruent<ref name="Weisstein" />
Tetraeder-Rechteck.svg|Bild 2: Rechteck
Tetraeder-Trapez.svg|Bild 3: Trapez
Tetraeder-Drachenviereck.svg|Bild 4: Drachenviereck
Tetraeder-Dreieck.svg|Bild 5: Gleichseitiges Dreieck
</gallery>

==== Beispiel ====
Die Einbettung des Tetraeders in einen [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die [[Eckpunkt]]e des Würfels an der Basis mit <math>A, B, C</math> und <math>D</math> sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit <math>E, F, G</math> und <math>H</math>, so bilden <math>A, C, F</math> und <math>H</math> sowie <math>B, D, E</math> und <math>G</math> jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z.&nbsp;B. in einem räumlichen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] den Würfel, dessen Ecken die [[Koordinatensystem|Koordinaten]] <math>+1</math> und <math>-1</math> haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken
* <math>A(1,1,-1), C(-1,-1,-1), F(-1,1,1)</math> und <math>H(1,-1,1)</math>.
Die Kanten sind: <math>AC, AF, AH, CF, CH</math> und <math>FH</math>. Die [[Seitenfläche]]n sind die [[Dreieck]]e <math>ACF, ACH, AFH</math> und <math>CFH</math>.

Das zweite Tetraeder hat die Ecken
* <math>B(-1,1,-1), D(1,-1,-1), E(1,1,1)</math> und <math>G(-1,-1,1)</math>.

Die [[dreidimensional]]e [[Schnittmenge]] dieser beiden Tetraeder ist das von den [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] <math>(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0) (0,-1,0), (0,0,1)</math> und <math>(0,0,-1)</math> bestimmte [[Oktaeder]]. Ihre [[Vereinigungsmenge]] ist das [[Sterntetraeder]]. Seine [[konvexe Hülle]] ist daher der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]].

=== Formeln ===
Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Tetraeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

{| class="wikitable"
|-
! colspan="3" style="background:#C0C0FF"| Größen eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{a^3}{12} \cdot \sqrt{2} \approx 0{,}118 \cdot a^3 </math>
|rowspan="14"|
[[Datei:01 Tetraeder-Größen.png|450px]]<br />
:::::&nbsp; ohne Raumwinkel <math>\Omega</math> in den Ecken
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A_O = a^2 \cdot \sqrt{3} \approx 1{,}732 \cdot a^2 </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''[[Umkugel]]radius'''
|<math>r_u = 3 \cdot r_i = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{6} \approx 0{,}612 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''[[Kantenkugel]]radius'''
|<math>r_k = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{2} \approx 0{,}354 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''[[Inkugel]]radius'''
|<math>r_i = \frac{a}{12} \cdot \sqrt{6} \approx 0{,}204 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''[[Pyramide (Geometrie)|Pyramidenhöhe]]'''
|<math>h_p = r_i + r_u = \frac{a}{3} \cdot \sqrt{6} \approx 0{,}816 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Kantenabstand'''
|<math>d = 2 \cdot r_k = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \approx 0{,}707 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Verhältnis von Volumen<br />zu Umkugelvolumen'''
|<math> \frac{V}{V_{UK}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{9 \cdot \pi} \approx 0{,}123 </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Innenwinkel des<br />[[Gleichseitiges Dreieck#Berechnung und Konstruktion|gleichseitigen Dreiecks]]'''
|<math> \alpha = 60^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Winkel zwischen<br />benachbarten Flächen'''
|<math>\beta = \arctan(2\sqrt{2})\approx 70{,}53^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Winkel zwischen<br />Kante und Fläche'''
|<math>\gamma = \arctan \left( \sqrt{2}\right) </math> <math>\approx 54{,}74^\circ\;</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[#Winkel|Tetraederwinkel]]'''
|<math>\tau = 2\gamma = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109{,}47^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Raumwinkel]] in den Ecken'''
|<math>\Omega = 3\arctan(2\sqrt{2})-\pi \approx 0{,}5513\;\mathrm{sr}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]'''
| <math> \Psi = \sqrt [3] {\frac{\pi}{6\sqrt{3}} } \approx 0{,}671 </math>
|}
=== Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten ===
[[Datei:Tetraeder-10-10.svg|mini|hochkant=1.2|Reg. Tetraeder]]
[[Datei:Tetraeder-0-0-90.svg|mini|hochkant=1.4|Regel. Tetraeder: Berechnung von Eigenschaften]]

Ein reguläres Tetraeder besitzt 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen. Ist die Kantenlänge <math>a</math>, so ist die Höhe (=Seitenhalbierende) eines Dreiecks
* <math>h_D=\frac{\sqrt{3}}{2}a</math>
Fasst man das Tetraeder als [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit einem regelmäßigen Dreieck als Grundfläche auf (siehe Bild), so ist die Höhe der Pyramide
* <math>h_P=a\sqrt{\frac 2 3}</math>

==== Punkte des Tetraeders ====
Die Punkte (Ecken) eines regelmäßigen Tetraeders mit der Kantenlänge <math>a</math> lassen sich in kartesischen Koordinaten so beschreiben:
* <math>P_1=(x_1,y_1,z_1)=\left(-\tfrac 1 2 a,0,0\right)</math>
* <math>P_2=(x_2,y_2,z_2)=\left(\tfrac 1 2 a,0,0\right)</math>
* <math>P_3=(x_3,y_3,z_3)=\left(0,h_D,0\right)</math>
* <math>P_4=(x_4,y_4,z_4)=\left(0,\tfrac 1 3 h_D,h_P\right) </math>
Der ''Mittelpunkt'' des Tetraeders ist der [[Geometrischer Schwerpunkt|geometrische Schwerpunkt]]:
:<math>\begin{array}{lll}
M&=&\left(\tfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4},\tfrac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4},\tfrac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)\\
&=&\left(0,\tfrac 1 3 h_D,\tfrac 1 4 h_P\right)
\end{array}</math><br />
Er hat zu den Ecken den gleichen Abstand.

==== In-, Um- und Kantenkugelradien ====
Aus der Zeichnung erkennt man die Radien der Um-, In- und Kantenkugeln:
* <math>r_u=\frac 3 4 h_P= \frac{\sqrt{6}}{4}\; a \approx 0{,}61\; a </math>
* <math>r_i=\frac 1 4 h_P= \frac{1}{2\sqrt{6}}\; a \approx 0{,}20\; a </math>
Die Kantenkugel berührt die Kanten in ihren Mittelpunkten:
* <math>r_k^2=r_i^2+\left(\frac 1 3 h_D\right)^2=\frac 1 8 a^2\ \Longrightarrow \ r_k=\frac{1}{2\sqrt{2}}\; a \approx 0{,}35\;a </math>

==== Winkel ====
Der Winkel zwischen ''zwei Dreiecksebenen'' ergibt sich (siehe Bild) aus
* <math>\tan \beta =\frac{h_P}{(h_D/3)}= 2\sqrt{2}\ \Longrightarrow \ \ \beta\approx 70{,}53^\circ </math>
Der Winkel zwischen einer ''Kante und einer Dreiecksebene'':
* <math>\tan\gamma=\frac{2r_k}{a/2}=\sqrt{2}\ \Longrightarrow \ \ \gamma\approx 54{,}74^\circ</math>
Für den ''Tetraederwinkel'' <math>\tau</math>, unter dem man eine Kante vom Mittelpunkt <math>M</math> aus sieht, gilt
* <math>\tau=2\gamma\approx 109{,}47^\circ</math>
Der Tetraederwinkel spielt in der [[Chemie]] eine wichtige Rolle, beispielsweise bei der [[Geometrie]] des [[Methan]]-Moleküls.

==== Oberfläche, Volumen ====
Die Oberfläche des Tetraeders ist die Summe der 4 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist
<math>A_3=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\;a^2\ </math>. Damit ist die
* ''Oberfläche'' des Tetraeders: <math>\ A_O=\sqrt{3}\; a^2</math>.

Das Volumen des Tetraeders ist das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche <math>A_3</math> und der Höhe <math>h_P</math>:
* ''Volumen'' des Tetraeders <math>\ V=\frac {h_P}{3}A_3=\frac{\sqrt{2}}{12}\;a^3</math>.

==== Raumwinkel in den Ecken ====
[[Datei:01 Tetraeder-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=1|Raumwinkel mit Einheitskugel]]
Der Raumwinkel <math>\Omega</math> in einer Tetraederecke ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten [[Kugeldreieck|sphärischen Dreiecks]], das die Kanten einer Ecke auf der Einheitskugel an dieser Ecke ausstechen. Die Winkel dieses sphärischen Dreiecks sind bei einem regulären Tetraeder alle gleich dem Winkel <math>\beta</math> (siehe oben) zwischen zwei Dreiecksebenen.

Der [[Kugeldreieck|Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks]] mit den Winkeln <math>\psi_1,\psi_2,\psi_3</math> auf der Einheitskugel ist <math>\psi_1+\psi_2+\psi_3-\pi</math>.
[[Datei:Raumw-tetraeder.svg|mini|hochkant=0.5|Raumwinkel]]
Damit ist der Raumwinkel in einer Tetraederecke
* <math>\Omega=3\beta-\pi=3\arctan(2\sqrt{2})-\pi\approx 0{,}5513\;\mathrm{sr}</math>
Der Raumwinkel entspricht der Fläche eines [[Kugelsegment]]s auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel <math>\theta\approx 24{,}2^\circ</math>

=== Netze des regelmäßigen Tetraeders ===
[[Datei:Tetraedro desarrollo.gif|mini|[[Animation]] eines Tetraedernetzes]]
Das Tetraeder hat zwei [[Netz (Geometrie)|Netze]] (siehe Abbildungen)<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Weisstein, Frank Jackson |url=https://mathworld.wolfram.com/RegularTetrahedron.html |titel=Regular Tetrahedron |titelerg=2 Netze, oberhalb Formel (1) |werk=Wolfram MathWorld |hrsg=Wolfram Research, Inc. |abruf=2020-06-19}}</ref> Das heißt, es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, ein hohles Tetraeder durch Aufschneiden von 3 Kanten aufzuklappen und in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] auszubreiten. Die anderen 3 Kanten verbinden jeweils die 4 [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]] des Netzes. Um ein Tetraeder so zu färben, dass keine benachbarten [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] dieselbe Farbe haben, braucht man 4 Farben.
<gallery>
Polyiamond-4-2.svg
Polyiamond-4-3.svg
</gallery>

=== Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen ===
Das Tetraeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten [[Planarer Graph|planaren Graphen]] mit 4 [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]], 6 [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und 4 Gebieten. Dies ist der [[Vollständiger Graph|vollständige Graph]] K<sub>4</sub>. Er ist 3-[[Regulärer Graph|regulär]], d.&nbsp;h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der [[Grad (Graphentheorie)|Grad]] für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue [[Geometrisch|geometrische]] Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Tetraedergraphen entsprechen den Ecken des Tetraeders.

[[Datei:01 Tetraeder mit Färbungen.png|mini|hochkant=1.2|Färbungen veranschaulicht]]
Die [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] des Tetraedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass [[Benachbart|benachbarte]] Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, denn alle Knoten sind benachbart. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe [[Knotenfärbung]]). Außerdem können die [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind (siehe Abbildungen). Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die [[Kantenfärbung]] gleich 3 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Der Tetraedergraph ist [[Dualität (Mathematik)|selbstdual]].

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die [[Fläche (Graphentheorie)|Flächen]] oder Gebiete zu bestimmen, ist der [[Dualer Graph|duale Graph]] hilfreich, der in diesem Fall selbst ein Tetraedergraph mit 4 [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]], 6 [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und 4 Gebieten ist. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des ursprünglichen Tetraedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe [[bijektive Funktion]] und Abbildung oben). Die Knoten des dualen Tetraedergraphen können wie gesagt offensichtlich nur mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Tetraeders oder eine Färbung der Gebiete des Tetraeders nötig.

<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Tetrahedral graph vertex coloring.svg|mini|230px|[[Knotenfärbung]] des Tetraedergraphen]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Tetrahedral graph edge coloring.svg|mini|230px|[[Kantenfärbung]] des Tetraedergraphen]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Tetrahedral graph face coloring.svg|mini|230px|Flächenfärbung des Tetraedergraphen]]</div>
{{Absatz}}

Die 3 aufgeschnittenen [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] jedes [[Netz (Geometrie)|Netzes]] (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken ([[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]]) einen [[Spannbaum]] des Tetraedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige ([[Bijektive Funktion|bijektive]]) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Tetraedernetz ohne das äußere Gebiet als [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] betrachtet, erhält man als [[Dualer Graph|dualen Graphen]] jeweils einem [[Baum (Graphentheorie)|Baum]] mit 4 Knoten und 3 Kanten und dem maximalen [[Knotengrad]] 3. Jede Fläche des Tetraeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommen die 2 [[Graphentheoretisch|graphentheoretischen]] Konstellationen (siehe [[Isomorphie von Graphen]]) jeweils einmal vor.

Der Tetraedergraph besitzt 6 [[Hamiltonkreisproblem|Hamiltonkreise]], aber keine [[Eulerkreisproblem|Eulerkreise]].<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/TetrahedralGraph.html Tetrahedral Graph]</ref>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Tetrahedral graph-Hamilton circle.svg|mini|230px|Tetraedergraph mit einem der 6 Hamiltonkreise]]</div>
{{Absatz}}

=== Raumfüllungen mit regelmäßigen Tetraedern ===
Der [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] kann lückenlos mit [[Platonischer Körper|platonischen Körpern]] oder [[Archimedischer Körper|archimedischen Körpern]] gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen [[Parkettierung]]en werden ''[[Raumfüllung]]'' genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Tetraeder:
<gallery>
HC P1-P3.png|[[Raumfüllung]] mit [[Oktaeder]] und Tetraeder
HC A1-P1.png|Raumfüllung mit [[Tetraederstumpf]] und Tetraeder
HC A5-P2-P1.png|Raumfüllung mit [[Rhombenkuboktaeder]], [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] und Tetraeder
</gallery>

=== Anwendungen ===
Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer [[Parkettierung]] des Raumes ist, tritt es im [[Kubisches Kristallsystem|kubischen Kristallsystem]] auf (siehe oben).

[[Datei:Tetrahedral-angle-3D-balls.png|mini|Molekül mit Tetraederwinkel]]
In der [[Chemie]] spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von [[Atom]]en in [[Chemische Verbindung|Verbindungen]] eine große Rolle. Einfache Molekülgestalten lassen sich mit dem [[VSEPR-Modell]] vorhersagen. So sind die vier [[Wasserstoff]]atome im [[Methan]]molekül tetraedrisch um das [[Kohlenstoff]]atom angeordnet, da so der [[Bindungswinkel]] am größten wird. Auch die Kohlenstoffatome im [[Diamant]]gitter sind tetraedrisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Das Kohlenstoff-Atom befindet sich dann nach dem Orbital-Modell in sp<sup>3</sup>-[[Hybrid-Orbital|Hybridisierung]].

Das Tetraeder war auch für den [[Tetra Pak]] wegen dessen ursprünglicher Form namensgebend.

[[Alexander Graham Bell]] hat mit vielzelligen Kastendrachen (Flugdrachen) experimentiert, deren Einzelzellen die Form eines Tetraeders haben. Diese meist imposanten Drachen werden als „Bell-Tetraeder“ bezeichnet. Meistens werden 4 oder 10 oder 20 Einzelzellen zu einem Verbund zusammengefügt, welcher dann auch wieder die Form eines Tetraeders hat. Es sind aber auch andere Verbundformen möglich.

In vielen [[Pen-&-Paper-Rollenspiel]]en werden Tetraeder als vierseitige Spielwürfel (W4) verwendet.

Weitere technische Anwendungen lehnen sich an die Struktur an, die sich durch die vom Tetraederzentrum in die vier Raumecken weisenden Strecken ergibt:
* [[Tetrapode (Stein)|Tetrapoden]], die an Küsten als Wellenbrecher eingesetzt werden
* sog. [[Krähenfuß|Krähenfüße]], eine Defensivwaffe, die von Polizei und Militär gegen Autos eingesetzt wird, um deren Reifen platzen zu lassen.
<gallery>
   Beton-Tetrapode 2.jpg|Beton-Tetrapode auf [[Helgoland]]
   Diamonds gitter.svg|Elementarzelle des [[Diamantgitter]]s
   Caltrop.jpg|Ein Krähenfuß des [[Office of Strategic Services]]
   CAD 20050108.jpg|[[Raumfachwerk]] aus Tetraedern
   Gerades-Tetraeder-Gerüst.JPG|Gerades Tetraeder-Gerüst um einen [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], Tetrahelix, Boerdijk-Coxeter Helix
</gallery>

== Allgemeines Tetraeder ==
Ein '''Tetraeder''' im allgemeinen Sinn, also ein [[Körper (Geometrie)|Körper]] mit vier [[Seitenfläche]]n, ist immer eine dreiseitige [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]], also mit einem [[Dreieck]] als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier [[Ecke]]n sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache [[Dreidimensional|dreidimensionales]] '''Simplex''' oder 3-[[Simplex (Mathematik)|Simplex]] genannt. Die zweidimensionalen Simplexe sind die Dreiecke.
* Jedes 3-Simplex besitzt eine [[Umkugel]] und eine [[Inkugel]].
* Der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] ist der [[Schnittpunkt]] der Verbindungsstrecken zwischen den [[Ecke]]n und den [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkten]] der gegenüberliegenden Dreiecke und teilt diese im Verhältnis 3:1 ([[Satz von Commandino]]).
* Eine Gerade durch die Mittelpunkte <math>M_1,M_2</math> zweier gegenüberliegender Kanten enthält den Schwerpunkt. Der Schwerpunkt halbiert die Strecke <math>M_1M_2</math> ([[Satz von Commandino|Satz von Reusch]]).
* Jedes 3-Simplex ist die [[Konvexe Menge|konvexe Hülle]] seiner vier Ecken.
* Es ist das einzige bekannte [[Polyeder]] neben dem [[Szilassi-Polyeder]], bei dem alle Seiten zueinander benachbart sind.
* Jedes Tetraeder kann in zwei (volumen)gleiche ähnliche Tetraeder sowie zwei (volumen)gleiche unähnliche Prismen zerteilt werden (Elemente XII, 3).

Im <math>\R^3</math> kann ein Tetraeder auch durch einen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] und den drei [[Vektor]]en zu den angrenzenden Punkten beschrieben werden. Bezeichnet man diese Vektoren mit <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math>, so berechnet sich das [[Volumen]] des Tetraeders mit <math>\textstyle V = \frac{1}{6} \cdot \left| \det \left[\begin{smallmatrix}
        \vec{a} \\
        \vec{b} \\
        \vec{c}
 \end{smallmatrix} \right] \right| = \frac{1}{6} \cdot \left| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \right|</math>, also <math>\frac{1}{6}</math> des Betrags des [[Spatprodukt]]es.

Die Summe der einheitlich nach außen oder innen weisenden [[Normaleneinheitsvektor]]en, die mit dem Inhalt der Fläche multipliziert werden, auf der sie stehen, ist der [[Nullvektor]], denn

:<math>\vec a\times\vec b + \vec b\times\vec c + \vec c\times\vec a + (\vec c-\vec a)\times(\vec b-\vec a) = \vec0</math>

=== Berechnung eines beliebigen Tetraeders ===
Ein Tetraeder besitzt 6 Kanten. Ein [[Dreieck#Berechnung eines beliebigen Dreiecks|Dreieck]] ist durch die Angabe dreier Seitenlängen bestimmt. Jede weitere Kante kann in gewissen Grenzen frei gewählt werden. Liegen also 6 voneinander unabhängige Angaben zur [[Größe (Mathematik)|Größe]] von Kanten oder [[Winkel]]n vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Kanten oder Winkel berechnen.

==== Volumen ====
Die [[Volumenformel des allgemeinen Tetraeders]] wurde von [[Leonhard Euler]] angegeben.<ref name="MM_1">Maximilian Miller: ''Stereometrie.'' 1957, S. 41</ref><ref>Der Titel der Abhandlung ''E 231'' lautet auf Deutsch etwa wie folgt: ''Darlegung einiger kennzeichnender Eigenschaften, mit denen von ebenen Flächen eingeschlossene Körper ausgestattet sind''. In dieser Abhandlung gibt Euler den ersten Beweis der ''Polyederformel'' an, welche er schon in einer früheren Abhandlung (''E&nbsp;230'', abgedruckt unter ''Elementa doctrinae solidorum'', Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4, S. 109–140; vgl. Einleitung zu den ''Commentationes geometricae'') erwähnt, aber noch nicht bewiesen hatte.</ref> Mit dieser Formel kann das [[Volumen]] des allgemeinen Tetraeders mit Hilfe der 6 Kantenlängen des Tetraeders berechnet werden.<ref name="AS_1">Andreas Speiser et al.: ''Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I.'' 1953, S.&nbsp;106–107</ref> Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung für Tetraeder zugrunde wie für [[Dreieck]]e der [[Satz des Heron|Formel von Heron]].

Sind <math> a, b, c </math> die Kantenlängen der [[Dreieck|dreieckigen]] [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] des Tetraeders und <math> a', b', c' </math> die [[Länge (Mathematik)|Längen]] der im [[Raum (Mathematik)|Raum]] gegenüberliegenden Kanten, dann gilt für das [[Volumen]] ''<math>V</math>'' des Tetraeders:

:<math>V = \frac{1}{12} \cdot {\sqrt{a^2 \cdot a'^2 \cdot f_a + b^2 \cdot b'^2 \cdot f_b + c^2 \cdot c'^2 \cdot f_c - \delta}} </math>
mit
:<math>f_a = b^2 + b'^2 + c^2 + c'^2 - a^2 - a'^2</math>
:<math>f_b = a^2 + a'^2 + c^2 + c'^2 - b^2 - b'^2</math>
:<math>f_c = a^2 + a'^2 + b^2 + b'^2 - c^2 - c'^2</math>
:<math>\delta = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot b'^2 \cdot c'^2 + a'^2 \cdot b^2 \cdot c'^2 + a'^2 \cdot b'^2 \cdot c^2</math>

Zur Berechnung des [[Volumen]]s können auch die folgenden [[Gleichung]]en verwendet werden, die auf [[Determinante]]n [[Symmetrische Matrix|symmetrischer Matrizen]] beruhen:<ref name="BRON-SEM-1">I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: ''Taschenbuch der Mathematik.'' 2008, S. 157</ref><ref name="GH">György Hajós: ''Einführung in die Geometrie.'' 1970, S. 383</ref><ref name="AO-GW">Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: ''Geometry by Its History.'' 2012, S. 297</ref>
:<math>
\begin{align}
288 \cdot V^2 &= \det
\begin{pmatrix}
                      0         & c^2          & b^2        & a'^2       & 1       \\
                      c^2       & 0            & a^2        & b'^2       & 1       \\
                      b^2       & a^2          & 0          & c'^2       & 1       \\
                      a'^2      & b'^2         & c'^2       & 0          & 1       \\
                      1         &   1          & 1          & 1          & 0       \\
\end{pmatrix}  \\
              &= \det
\begin{pmatrix}
                     2 \cdot c^2                     & c^2 + b^2 - a^2             & c^2 + a'^2 - b'^2    \\
                     c^2 + b^2 - a^2                 & 2 \cdot b^2                 & b^2 + a'^2 - c'^2    \\
                     c^2 + a'^2 - b'^2               & b^2 + a'^2 - c'^2           & 2 \cdot a'^2         \\
\end{pmatrix}  \\
\end{align}
</math>
Die erste [[Determinante]] wird ''[[Cayley-Menger-Determinante|Cayley–Menger-Determinante]]'' genannt und dient dazu, den [[Flächeninhalt]] von beliebigen [[Dreieck]]en (siehe [[Satz des Heron]]), das [[Volumen]] von beliebigen Tetraedern und allgemein das Volumen eines beliebigen [[Simplex (Mathematik)|Simplex]] im <math> n </math>-dimensionalen [[Raum (Mathematik)|Raum]] zu berechnen.

==== Oberflächeninhalt ====
Der [[Flächeninhalt]] eines [[Dreieck]]s mit gegebenen Seitenlängen kann einzeln berechnet werden. Die Summe der Flächeninhalte der 4 Dreiecke ergibt den Oberflächeninhalt des Tetraeders. Für den Flächeninhalt der dreieckigen [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] mit den Seitenlängen <math> a, b, c </math> zum Beispiel gilt nach dem [[Satz des Heron]]:
:<math>A = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{(a + b + c) \cdot (-a + b + c) \cdot (a - b + c) \cdot (a + b - c)} </math>

==== Höhen ====
Weil jedes Tetraeder eine [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] ist, gilt für das [[Volumen]] <math> V </math>, den [[Flächeninhalt]] <math> A </math> der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] und die entsprechende [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math> h </math> folgende [[Gleichung]]:
:<math>V = \frac{A \cdot h}{3} </math>
:<math>h = \frac{3 \cdot V}{A} </math>

Das [[Volumen]] <math> V </math> und der [[Flächeninhalt]] <math> A </math> können mit den oben genannten Formeln berechnet und dann eingesetzt werden, um die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] zu bestimmen. Die anderen drei Höhen können entsprechend mit Hilfe der Fläche des zur Höhe [[Orthogonalität|orthogonalen]] [[Dreieck]]s berechnet werden.

==== Innenwinkel der Dreiecke ====
Die [[Innenwinkel]] der [[Dreieck]]e bestimmt man mit dem [[Kosinussatz]]. Für den Innenwinkel <math> \alpha </math> der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]], der der Seite <math> a </math> gegenüberliegt, gilt zum Beispiel
:<math>\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}\right)</math>

==== Winkel zwischen benachbarten Flächen ====
Der [[Flächenwinkel]] an der Kante <math> a </math> beträgt
:<math>\beta = \arcsin\left(\frac{3 \cdot a \cdot V}{2 \cdot A_1 \cdot A_2}\right)</math>
Dabei ist <math> V </math> das [[Volumen]] des Tetraeders und <math> A_1 </math> und <math> A_2 </math> die [[Flächeninhalt]]e der zur Kante benachbarten [[Dreieck]]e.

Sind die [[Innenwinkel]] <math> \alpha_{i,j} </math>, <math> \alpha_{i,k} </math>, <math> \alpha_{i,l} </math> an einer [[Ecke]] des Tetraeders gegeben und <math>\beta_{i,j}</math>, <math>\beta_{i,k}</math>, <math>\beta_{i,l}</math> die [[Flächenwinkel]] zwischen benachbarten [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] an dieser Ecke, dann gilt nach dem [[Kosinussatz#Kosinussatz für Kugeldreiecke|Kosinussatz für Kugeldreiecke]] die [[Gleichung]]
:<math>\cos(\alpha_{i,j}) = \cos(\alpha_{i,k}) \cdot \cos(\alpha_{i,l}) + \sin(\alpha_{i,k}) \cdot \sin(\alpha_{i,l}) \cdot \cos(\beta_{i,j})</math>
Daraus folgt
:<math>\beta_{i,j} = \arccos \left(\frac{\cos(\alpha_{i,j}) - \cos(\alpha_{i,k}) \cdot \cos(\alpha_{i,l})}{\sin(\alpha_{i,k}) \cdot \sin(\alpha_{i,l})}\right)</math>
Ebenso erhält man die [[Flächenwinkel]] <math>\beta_{i,k}</math> und <math>\beta_{i,l}</math>.<ref>Stack Exchange: [https://math.stackexchange.com/questions/314970/dihedral-angles-between-tetrahedron-faces-from-triangles-angles-at-the-tip Dihedral angles between tetrahedron faces from triangles' angles at the tip]</ref><ref>{{Cite journal
|title = The Trigonometry of the Tetrahedron
|language= en
|journal = The Mathematical Gazette
|date = 1902-03-01
|pages = 149–158
|volume = 2
|issue = 32
|doi = 10.2307/3603090
|first = G.
|last = Richardson
|url = https://zenodo.org/record/1449743}}</ref>

==== Raumwinkel in den Ecken ====
Für die Berechnung der [[Raumwinkel]] in den [[Ecke]]n des Tetraeders werden die [[Innenwinkel]] <math> \theta_a, \theta_b, \theta_c </math> der drei benachbarten [[Dreieck]]e verwendet:
:<math>\Omega = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\theta_s}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \cdot \tan\left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}\right)</math>
mit
:<math>\theta_s = \frac {\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math>

=== Berechnung aus den Koordinaten ===
Sind die [[Koordinatensystem|Koordinaten]] <math>(x_1, y_1, z_1)</math>, <math>(x_2, y_2, z_2)</math>, <math>(x_3, y_3, z_3)</math>, <math>(x_4, y_4, z_4)</math> der [[Ecke]]n des Tetraeders bekannt, dann sind die Seitenlängen die [[Euklidischer Abstand|euklidischen Abstände]]
:<math>s_{i,j} = \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2}</math>
der Ecken für alle <math>i, j \in \{1, 2, 3, 4\}</math> mit <math>i \neq j</math>.

Sind <math>\vec a = \begin{pmatrix} x_j - x_i \\ y_j - y_i \\ z_j - z_i \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b = \begin{pmatrix} x_k - x_i \\ y_k - y_i \\ z_k - z_i \end{pmatrix}</math> zwei [[Richtungsvektor]]en, die von derselben [[Ecke]] des Tetraeders ausgehen, dann ergibt sich für den [[Innenwinkel]] <math>\alpha</math> an dieser Ecke
:<math>\alpha = \arccos \left(\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}\right)</math>
wobei <math>\vec a \cdot \vec b</math> das [[Skalarprodukt]] und <math>|\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> die [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Längen]] der [[Vektor]]en <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> sind.

Das [[Volumen]] kann mithilfe der [[Determinante]]
:<math>
V = \frac{1}{6} \cdot \det
\begin{pmatrix}
                      x_1        & y_1        & z_1        & 1       \\
                      x_2        & y_2        & z_2        & 1       \\
                      x_3        & y_3        & z_3        & 1       \\
                      x_4        & y_4        & z_4        & 1       \\
\end{pmatrix}
</math>
berechnet werden.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html Tetrahedron]</ref>

== Definition als Menge von Punkten ==
Das [[#Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßige Tetraeder]] kann mithilfe des [[Kantenkugel]]radius <math>r_k = \tfrac{a}{4} \cdot \sqrt{2} </math> als [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] definiert werden. Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als

: <math>\left\{(x_1,x_2,x_3) \in\R^3 \mid x_1 + x_2 + x_3 \leq r_k \ \land \ x_1 - x_2 - x_3 \leq r_k \ \land \ -x_1 + x_2 - x_3 \leq r_k \ \land \ -x_1 - x_2 + x_3 \leq r_k \right\}</math>

Für das Innere des Tetraeders muss in den 4 [[Ungleichung]]en jeweils <math> \leq </math> durch <math> < </math> ersetzt werden und für die Oberfläche muss in 1, 2 oder 3 Ungleichungen <math> \leq </math> durch <math> = </math> ersetzt werden, sodass ein System aus [[Gleichung]]en und Ungleichungen entsteht. Bei 1 Gleichung definiert die Menge eine Seitenfläche, also ein [[gleichseitiges Dreieck]], bei 2 Gleichungen eine Kante und bei 3 Gleichungen eine Ecke des Tetraeders.

Nach dieser Definition ist der [[Mittelpunkt]] des regelmäßigen Tetraeders der [[Koordinatenursprung]] und seine 4 [[Ecke]]n sind 4 alternierende Ecken eines umbeschriebenen [[Würfel (Geometrie)|Würfels]] mit der Seitenlänge <math>2 \cdot r_k </math>, dessen Kanten und [[Seitenfläche]]n [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu den 3 Achsen des [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] verlaufen.

Allgemeiner kann ein regelmäßiges Tetraeder, das eine beliebige Lage im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] hat, mithilfe von [[Vektor]]en definiert werden. Ist <math> \vec m </math> der [[Ortsvektor]] des [[Mittelpunkt]]s und sind <math> \vec{u} </math>, <math> \vec v </math>, <math> \vec w </math> [[Orthogonalität|orthogonale]] Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Tetraeders mit 3 Mittelpunkten von 3 Kanten verbinden, also ein [[Orthogonalsystem]] des [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Vektorraum]]s <math> \mathbb R^3 </math> bilden, dann lässt sich die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[Punkt (Mathematik)|Punkte]] des Tetraeders definieren als die Menge der Vektoren<ref name="Weisstein" />

: <math> \left\{\vec m + t_1 \cdot \vec u + t_2 \cdot \vec v + t_3 \cdot \vec w \in \mathbb R^3 \mid t_1 + t_2 + t_3 \leq r_k \ \land \ t_1 - t_2 - t_3 \leq r_k \ \land \ -t_1 + t_2 - t_3 \leq r_k \ \land \ -t_1 - t_2 + t_3 \leq r_k \right\}</math>

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerungen des Tetraeders in beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>n</math> werden als ''<math>n</math>-dimensionale [[Simplex (Mathematik)|Simplexe]]'' bezeichnet. Das <math>n</math>-dimensionale Simplex hat <math>n+1</math> Ecken und wird von <math>n+1</math> Simplexen der Dimension <math>n-1</math> (als ''Facetten'') begrenzt. Das nulldimensionales Simplex ist ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]], das [[Eindimensional|eindimensionales]] Simplex ist eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], das [[Zweidimensional|zweidimensionales]] Simplex ist ein [[Dreieck]], das [[Dreidimensional|dreidimensionale]] Simplex ist ein Tetraeder. Das [[Vierdimensional|vierdimensionale]] Äquivalent zum Tetraeder, das [[Pentachoron]], hat 5 [[Ecke]]n, 10 Kanten, 10 Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten.

Die [[Koordinatensystem|Koordinaten]] eines regulären <math>n</math>-[[Dimensionalität|dimensionalen]] [[Simplex (Mathematik)|Simplex]] können als [[Menge (Mathematik)|Menge]] im <math>n</math>-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] definiert werden:
:<math>\left\{x \in\R^n \ \Bigg| \ \sum_{i=1}^n x_i=x_1+x_2+\ldots+x_{n+1} \leq 1 \ \land \ \forall i: \ -(n + 1 + \sqrt{n+1}) \cdot x_i + \sum_{i=1}^n x_i \leq 1 \ \right\}</math>

oder auch als [[Menge (Mathematik)|Menge]] im <math>n + 1</math>-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]
: <math>\left\{x \in\R^{n+1} \ \Bigg| \ \sum_{i=1}^{n+1}x_i=x_1+x_2+\ldots+x_{n+1}=1 \ \land \ \forall i: \ x_i\geq 0 \ \right\}</math>
Beispielsweise für <math>n=2</math> ergibt sich hier ein [[gleichseitiges Dreieck]], das von den [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] <math>(1,0,0)</math>, <math>(0,1,0)</math>, <math>(0,0,1)</math> im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Raum (Mathematik)|Raum]] aufgespannt wird.<ref>Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: [https://page.math.tu-berlin.de/~henk/preprints/henk%20richter-gebert%20ziegler&basic%20properties%20of%20convex%20polytopes.pdf Basic properties of convex polytopes]</ref>

== Sierpinski-Tetraeder ==
{{Hauptartikel|Sierpinski-Tetraeder}}
[[Datei:Sierpinski tetrahedron b.gif|mini|Das [[Sierpinski-Tetraeder]]. Die Anzahl der Teil-Tetraeder vervierfacht sich mit jedem [[Iteration]]sschritt, das [[Volumen]] geht gegen 0, der [[Flächeninhalt]] der Oberfläche bleibt [[Konstante Funktion|konstant]]]]
Das Sierpinski-Tetraeder ist die [[Dreidimensional|dreidimensionale]] Verallgemeinerung des [[Sierpinski-Dreieck]]s. Die Startfigur ist ein Tetraeder. Aus dessen Mitte wird in jedem [[Iteration]]sschritt ein [[Oktaeder]] mit halber Kantenlänge herausgeschnitten. Übrig bleiben 4 Tetraeder, aus denen wieder je ein Oktaeder herausgeschnitten wird usw.<ref name="Weisstein" /><ref>Gayla Chandler, Hideki Tsuiki: [http://www.fractalnature.com/sierpinskitetrahedron.html Photographs: Sierpinski Tetrahedron and its Complement]</ref>

Nach dem [[Iteration]]sschritt <math>k</math> sind offensichtlich <math>4^k</math> Teil-Tetraeder mit ''derselben'' Seitenlänge entstanden. Die Anzahl der herausgeschnittenen [[Oktaeder]] mit ''verschiedener'' Seitenlänge beträgt <math>\frac{4^k - 1}{3}</math>.

Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] für dieses Gebilde ist
:<math>D = \frac{\log(4)}{\log(2)} = 2</math>,
obwohl es sich hierbei um eine Figur im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] Raum handelt. Mit einer zunehmenden Zahl von Iterationsschritten geht das [[Volumen]] der Figur gegen 0, der [[Flächeninhalt]] der Oberfläche bleibt jedoch [[Konstante Funktion|konstant]], weil sich die Anzahl der [[Seitenfläche]]n der zueinander deckungsgleichen Teil-Tetraeder mit jedem Iterationsschritt vervierfacht, während sich die Seitenlänge dieser Seitenflächen, die alle [[Deckungsgleich|deckungsgleiche]] [[Dreieck]]e sind, halbiert.

== Siehe auch ==
* [[Reuleaux-Tetraeder]]
* [[Tetraederzahl]]en
* [[Diederwinkel]]
* [[Polyeder]]
* [[Platonischer Körper]]
* [[Tetrapode (Stein)]]

== Literatur ==
* Heinz Schumann: ''Elementare Tetraedergeometrie''. Franzbecker, Hildesheim 2011, ISBN 978-3-88120-521-4

== Weblinks ==
{{Commonscat|Tetrahedron|Tetraeder}}
{{Wiktionary}}
* [http://opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=12&zoom=80,-609,37 Euklid: Stoicheia. Buch XIII.13. Tetraeder einer Kugel ...]
* [http://www.mathematische-basteleien.de/tetraeder.htm ''Tetraeder''.] Mathematische Basteleien

== Einzelnachweise ==
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[[Kategorie:Platonischer Körper]]