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{{Begriffsklärungshinweis}}

Ein '''Tensor''' ist eine [[multilineare Abbildung]], die eine bestimmte Anzahl von [[Vektor]]en auf einen Vektor abbildet und eine [[universelle Eigenschaft]] erfüllt.<ref>Ein ''elementarer'' Tensor (oder ''einfacher'' Tensor) bildet auf einen Zahlenwert (Skalar) ab.</ref> Er ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], das in vielen Bereichen, so auch in der [[Differentialgeometrie]], Anwendung findet und den Begriff der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] erweitert. Der Begriff wurde ursprünglich in der [[Zustand (Quantenmechanik)#Zustände von zusammengesetzten Systemen, Tensorraum |Quantenphysik]] eingeführt und erst später mathematisch präzisiert.

In der Differentialgeometrie und den physikalischen Disziplinen werden meist keine Tensoren im Sinn der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] betrachtet, sondern es werden [[Tensorfeld]]er behandelt, die oft vereinfachend ebenfalls als Tensoren bezeichnet werden. Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums einen Tensor zuordnet. Viele physikalische Feldtheorien handeln von Tensorfeldern. Das prominenteste Beispiel ist die [[allgemeine Relativitätstheorie]]. Das mathematische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Tensorfeldern befasst, heißt [[Tensoranalysis]] und ist ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen.

== Begriffsgeschichte ==
[[Datei:Woldemar-Voigt 1850-1919.jpg|mini|Woldemar Voigt]]
[[Datei:Ricci Curbastro (cropped).jpg|mini|Ricci-Curbastro]]

Das Wort ''Tensor'' (abgeleitet vom Partizip Perfekt von {{laS|tendere|de=spannen}}) wurde in den 1840er Jahren von [[William Rowan Hamilton]] in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner [[Quaternion]]en, also keinen Tensor im modernen Sinn. [[James Clerk Maxwell]] scheint den [[Spannungstensor]], den er aus der [[Elastizitätstheorie]] in die [[Elektrodynamik]] übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.

In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von [[Skalar (Mathematik)|Skalar]], [[Vektor]], [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], wird das Wort ''Tensor'' erstmals von [[Woldemar Voigt (Physiker)|Woldemar Voigt]] in seinem Buch ''Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung'' (Leipzig, 1898) eingeführt.<ref>{{Literatur |Autor=Woldemar Voigt |Titel=Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung |Verlag=Verlag von Veit & Comp. |Ort=Leipzig |Datum=1898 |Umfang=VIII, 243 S. |Online={{Google Buch |BuchID=JpenEAAAQBAJ}}}} Reprint 2021: de Gruyter, Berlin ISBN 978-3-11-243943-2. Voigt schreibt auf S. IV: <cite>Ich habe deshalb, ebenso wie es die Bezeichnung „Vector“ thut, an einen speciellen und charakteristischen Vorgang angeknüpft und für jene zweiseitigen gerichteten Grössen den Namen '''„Tensoren“''' in Vorschlag gebracht.</cite> </ref>

Unter dem Titel ''absolute Differentialgeometrie'' entwickelten [[Gregorio Ricci-Curbastro]] und dessen Schüler [[Tullio Levi-Civita]] um 1890 die Tensorrechnung auf [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]].<ref>M. M. G. Ricci, T. Levi-Civita: ''Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications.'' In: ''Mathematische Annalen.'' 54, 1901, {{ISSN|0025-5831}}, S.&nbsp;125–201, ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0054&DMDID=dmdlog11 online.]''</ref> Einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch ''Calcolo differenziale assoluto'' zugänglich, aus dem sich [[Albert Einstein]] die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff ''Tensoranalysis'' und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die [[einsteinsche Summenkonvention]] ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.

== Arten von Tensoren ==
[[Datei:Epsilontensor.svg|mini|hochkant=1|Das [[Levi-Civita-Symbol]] im Dreidimensionalen repräsentiert einen besonders einfachen dreistufigen Tensor]]

Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man [[Skalar (Mathematik)|Skalare]] als Tensoren vom Typ <math>(0,0)</math>, Spaltenvektoren als Tensoren vom Typ <math>(1,0)</math> und [[Kovektor]]en (bzw. Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ <math>(0,1)</math>. Tensoren höherer Stufe definiert man als [[multilineare Abbildung]]en mit Tensoren geringerer Stufe als Argumenten und Abbildungswerten. So kann etwa ein Tensor vom Typ <math>(1,1)</math> als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als [[bilineare Abbildung]] mit einem Vektor und einem Kovektor als Argumente aufgefasst werden.

Beispielsweise ist der mechanische [[Spannungstensor]] in der Physik ein Tensor zweiter Stufe&nbsp;– eine Zahl (Stärke der [[Spannung (Mechanik)|Spannung]]) oder ein Vektor (eine [[Hauptspannungsrichtung]]) reichen nicht immer zur Beschreibung des Spannungszustandes eines [[Körper (Physik)|Körpers]] aus. Als Tensor vom Typ <math>(0,2)</math> aufgefasst ist er eine lineare Abbildung, die einem Flächenelement (als Vektor) die darauf wirkende Kraft (als Kovektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung, die einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die bei der Verschiebung des Flächenstücks unter dem Einfluss der wirkenden Spannung verrichtet wird.

Bezüglich einer fest gewählten [[Basis (Vektorraum)|Vektorraumbasis]] erhält man die folgenden Darstellungen der verschiedenen Typen von Tensoren:
* Ein Skalar durch eine einzelne Zahl
* Ein Vektor durch einen Spaltenvektor
* Ein Kovektor durch einen Zeilenvektor
* Ein Tensor zweiter Stufe durch eine Matrix
Die Anwendung des Spannungstensors auf ein Flächenelement ist dann z.&nbsp;B. durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben. Die Koordinaten von Tensoren höherer Stufe können entsprechend in ein höherdimensionales Schema angeordnet werden. So können diese Komponenten eines Tensors anders als die eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als ein oder zwei Indizes haben. Ein Beispiel für einen Tensor dritter Stufe, der drei Vektoren des <math>\mathbb R^3</math> als Argumente hat, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funktion der Spalten dieser Matrix. Bezüglich einer [[Orthonormalbasis]] wird er durch das [[Levi-Civita-Symbol]] <math>\varepsilon_{ijk}</math> repräsentiert.

== Ko- und Kontravarianz von Vektoren ==
{{Hauptartikel|Kovarianz (Physik)|Kontravarianz (Physik)}}

Die Begriffe ''ko-'' und ''kontravariant'' beziehen sich auf die [[Koordinatendarstellung]]en von Vektoren, [[Linearform]]en und werden auch, wie später im Artikel beschrieben, auf Tensoren angewandt. Sie beschreiben, wie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich eines Basiswechsels im zugrundeliegenden Vektorraum verhalten.

Legt man in einem <math>n</math>-dimensionalen Vektorraum <math>V</math> eine Basis <math>(e_1, \dotsc, e_n)</math> fest, so kann jeder Vektor <math>v \in V</math> dieses Raumes durch ein Zahlentupel <math>(x^1, \dotsc, x^n)</math> –&nbsp;seine Koordinaten&nbsp;– mittels <math>\textstyle v=\sum_k e_k\,x^k</math> dargestellt werden. Legt man der Koordinatendarstellung eine andere Basis von <math>V</math> zugrunde, so werden sich die Koordinaten (ein und desselben Vektors) bezüglich dieser neuen Basis ändern. Der Übergang zu einer anderen Basis bedingt also eine Transformation der Koordinatendarstellung. Dabei gilt: Ist die neue Basis durch <math>\textstyle e'_j= \sum_k e_k\,A^k{}_j</math> in der alten Basis bestimmt, so ergeben sich die neuen Koordinaten durch Vergleich in
:<math>v=\sum_k e_k\,x^k= \sum_j e'_j\,x'^j = \sum_{j,k} e_k\,A^k{}_j\,x'^j,</math>
also:
:<math>\begin{align}
 x^k    &= \sum_j A^k{}_j\,x'^j\\
 x'\,^j &= \sum_k (A^{-1})^j{}_k\,x^k
\end{align}</math>

Dreht man zum Beispiel eine [[Orthonormalbasis|orthogonale Basis]] in einem dreidimensionalen euklidischen Raum <math>V</math> um <math>30^\circ</math> um die <math>z</math>-Achse, so drehen sich die Koordinatenvektoren im [[Koordinatenraum]] <math>\R^3</math> ebenfalls um die <math>z</math>-Achse, aber in der entgegengesetzten Richtung, also um <math>-30^\circ</math>. Dieses der Basistransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten nennt man ''kontravariant.'' Oft werden Vektoren zur Abkürzung der Notation mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, sodass Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet werden.

Eine Linearform oder ein ''Kovektor'' <math>\alpha\in V^*</math> ist dagegen eine skalarwertige lineare Abbildung <math>\alpha \colon V\to\mathbb K</math> auf dem Vektorraum. Man kann ihr als Koordinaten ihre Werte auf den Basisvektoren, <math>\alpha_k=\alpha(e_k)</math>, zuordnen. Die Koordinatenvektoren einer Linearform transformieren sich wie das Basistupel als
:<math>\alpha'_j = \alpha(e'_j) = \sum_k \alpha(e_k\,A^k{}_j) = \sum_k\alpha_k\,A^k{}_j,</math>
weshalb man dieses Transformationsverhalten ''kovariant'' nennt. Identifiziert man wieder Linearformen mit ihren Koordinatenvektoren, so bezeichnet man auch allgemein Linearformen als kovariant. Hierbei geht, wie bei Vektoren, die zugrundeliegende Basis aus dem Kontext hervor. Man spricht in diesem Kontext auch von Dualvektoren.

Diese Bezeichnungen werden auf Tensoren übertragen. Dies wird im nächsten Abschnitt zur Definition der <math>(r,s)</math>-Tensoren erklärt.

== Definition ==
=== (''r'',''s'')-Tensorraum ===
Im Folgenden sind alle Vektorräume endlichdimensional über dem Körper <math>K</math>. Mit <math>L(E;K)</math> bezeichne man die Menge aller [[Linearform]]en aus dem <math>K</math>-Vektorraum <math>E</math> in den [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> und –&nbsp;allgemeiner&nbsp;– mit <math>L(E_1;E_2)</math> die Menge aller <math>K</math>-linearen Abbildungen eines <math>K</math>-Vektorraums <math>E_1</math> in einen <math>K</math>-Vektorraum <math>E_2</math>. Sind <math>E_1, \dotsc, E_k</math> Vektorräume über <math>K</math>, so werde der Vektorraum der [[Multilinearform]]en <math>E_1 \times E_2 \times \dotsb \times E_k \to K</math> mit <math>L^{k}(E_1, E_2, \dotsc, E_k; K)</math> bezeichnet. Entsprechend bezeichne <math>L^{k}(E_1, E_2, \dotsc, E_k; E)</math> die Menge aller <math>K</math>-[[multilineare Abbildung|multilinearen Abbildung]]en <math>E_1 \times E_2 \times \dotsb \times E_k \to E</math>, hier speziell der <math>k</math>-fach <math>K</math>-linearen Abbildungen. Im Falle von <math>E=K</math> und <math>k=2</math> handelt es sich um [[Bilinearform]]en.

Ist <math>E</math> ein <math>K</math>-[[Vektorraum]], so wird mit <math>E^* := L(E;K)</math> sein [[Dualraum]] bezeichnet. Dann existieren (gemäß [[#Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren|der universellen Eigenschaft]]) [[Tensorprodukt#Natürliche Homomorphismen|kanonische Isomorphismen]]
:<math>
L^{k}(E_1, E_2, \dotsc, E_k; K) \cong (E_1 \otimes E_2 \otimes \dotsc \otimes E_k)^* \cong E_1^* \otimes E_2^* \otimes \dotsb \otimes E_k^*
</math>
und allgemeiner
:<math>
L^{k}(E_1, E_2, \dotsc, E_k; E) \cong L(E_1 \otimes E_2 \otimes \dotsc \otimes E_k; E).
</math>

Der kanonischen Isomorphie <math>E \cong E^{**} = L(E^*; K)</math> eines Vektorraums <math>E</math> mit seinem [[Bidualraum]] <math>E^{**}</math> wegen folgt (durch Ersetzen von <math>E_i</math> durch <math>E_i^*</math> und mithin von <math>E_i^*</math> durch <math>E_i^{**}=E_i</math>), dass <math>L^{k}(E_1^*, E_2^*, \dotsc, E_k^*; K)</math> zum [[Tensorprodukt]] <math>E_1 \otimes E_2 \otimes \dotsb \otimes E_k</math> isomorph ist. (Zur Realisierung des Tensorproduktraums als Raum von Multilinearformen sowie zur kanonischen Identifizierung <math>(E_1 \otimes E_2 \otimes \dotsc \otimes E_k)^* \cong E_1^* \otimes E_2^* \otimes \dotsb \otimes E_k^*</math>, die in diesem Abschnitt noch häufiger genutzt wird, siehe die Abschnitte über die [[#Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren|universelle Eigenschaft]] und über [[#Erweiterung auf mehrere Faktoren: Universelle Eigenschaft für mehrfache Tensorprodukte und Multilinearformen|Tensorprodukte und Multilinearformen]].)

Es gibt [[Tensorprodukt#Natürliche Homomorphismen|natürliche Isomorphismen]] der folgenden Art:
:<math>\begin{align}
L^k(E_1, E_2, \dotsc, E_k; K) &\cong L^m(E_1, \dotsc, E_m; E_{m+1}^*\otimes \dotsb \otimes E_k^*)\\
&\cong L(E_1\otimes \dotsb \otimes E_m; E_{m+1}^*\otimes \dotsb \otimes E_k^*)
\end{align}</math><!--
\cong &L^{k-1}(E_1, \dotsc, E_{k-1}; E_k^*)\\
\cong &L^{k-2}(E_1, \dotsc, E_{k-2}; L(E_{k-1}; E_k^*)\\
\cong &L^{k-2}(E_1, \dotsc, E_{k-2}; E_{k-1}^*\otimes E_k^*)\\
\cong &L^{k-m}(E_1, \dotsc, E_{k-m}; E_{k-m+1}^*\otimes \dotsb \otimes E_k^*)\\
-->

Diesen natürlichen Isomorphismen liegen die Zurückführung <math>n</math>-fach-linearer Abbildungen auf <math>(n-1)</math>-fach-lineare Abbildungen (vgl. [[Currying]] oder [[Schönfinkeln]]) einerseits und die [[#Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren|universelle Eigenschaft]] des [[Tensorprodukt]]s andererseits –&nbsp;mehrfach angewandt&nbsp;– zugrunde:
:<math>\begin{align}
L^k(E_1, \dotsc, E_k; E) &  \cong L^{k-1}(E_1,  \dotsc, E_{k-1}; L(E_k;E))\\
                         &  \cong L^{k-2}(E_1,  \dotsc, E_{k-2}; L(E_{k-1};L(E_k;E)))\\
                         &  \cong L^{k-2}(E_1,  \dotsc, E_{k-2}; L^2(E_{k-1},E_k;E))\\
                         &  \cong L(E_1 \otimes \dotsc \otimes E_{k-2}; L(E_{k-1} \otimes E_k;E))\\
                         &  \;\;\vdots \qquad \cdots\;\cdots\;\cdots\\
                         &  \cong L(E_1 \otimes \dotsc \otimes E_{m}; L(E_{m+1} \otimes \dotsc \otimes E_k;E)) \text{ für } 0 \leq m \leq k\\
\end{align}</math>

Speziell für <math>E = K</math> besteht also der oben behauptete natürliche Isomorphismus
<math display="block">\begin{matrix}
L^k(E_1, \dotsc, E_k; K) &\stackrel{\sim}{\longrightarrow}& L(E_1 \otimes \dotsc \otimes E_{m}; E_{m+1}^* \otimes\dotsc\otimes E_k^*)\\
 \lambda &\longmapsto& \left[\lambda_{(1,\dotsc,m)} \colon v_1\otimes\dotsc\otimes v_m \mapsto \lambda_{(v_1, \dotsc, v_m)} \in (E_{m+1}\otimes\dotsc\otimes E_k)^* \right]\text{ ,}\\
 & & \text{wobei } \left[ \lambda_{(v_1, \dotsc, v_m)} \colon (v_{m+1}\otimes \dotsc\otimes v_k) \mapsto \lambda(v_1, \dotsc, v_k)\right]\\
\end{matrix}</math>
und für die Linearform <math>\lambda_{(1, \dotsc, m)} \in (E_{m+1}\otimes\dotsc\otimes E_k)^*</math> die Identifikation <math>(E_{m+1}\otimes\dotsc\otimes E_k)^* \cong E_{m+1}^*\otimes\dotsc\otimes E_k^*</math> vorgenommen wird. Es genügt hierbei, die Abbildungen auf den [[Tensorprodukt#Elementare Tensoren|elementaren Tensoren]] (siehe auch Abschnitt [[#Tensor als Element des Tensorproduktes|Tensor als Element des Tensorproduktes]]) als einem [[Erzeugendensystem]] über dem Grundkörper <math>K</math> festzulegen. Zu ergänzen ist noch, dass in den Fällen <math>m=0</math> und <math>m=k</math> das leere Tensorprodukt entsteht, das mit dem Grundkörper <math>K</math> zu identifizieren ist. Insbesondere besteht also für <math>K</math>-Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> die Identifikation
:<math>\begin{matrix}
  L(V;W) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V\otimes W^*; K) \cong V^*\otimes W\\
  f      & \longmapsto & (\beta \colon v\otimes \mu \mapsto \mu \circ f (v))\\
\end{matrix}</math>.

'''Definition:''' Für einen fixierten Vektorraum <math>E</math> über einem Körper <math>K</math> mit Dualraum <math>E^*</math> sei <math>T^r_s(E,K)</math> definiert durch
:<math>T^r_s(E,K) := L^{r+s}(E^*, \dotsc, E^*, E, \dotsc, E; K)</math>
mit <math>r</math> Einträgen von <math>E^*</math> und <math>s</math> Einträgen von <math>E</math>. Elemente dieser Menge heißen '''Tensoren''', kontravariant der Stufe <math>r</math> und kovariant der Stufe <math>s</math>. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ <math>(r,s)</math>. Die Summe <math>r+s</math> heißt ''Stufe'' oder ''Rang'' des Tensors.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u.&nbsp;a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S.&nbsp;172–179.</ref><ref>R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u.&nbsp;a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S.&nbsp;338–339.</ref>

Mit den obigen Überlegungen (bei <math>r=m</math> und <math>r+s = k</math> sowie <math>E_i = E</math> für <math>i\in\{1,\dotsc,r\}</math> bzw. <math>E_i = E^*</math> für <math>i\in\{m+1,\dotsc,k\}</math>) ergibt sich insgesamt

:<math>\begin{align}
T^r_s(E,K) & := L^{r+s}(\underbrace{E^*, \dotsc, E^*}_{r\text{ Einträge}}, \underbrace{E, \dotsc, E}_{s\text{ Einträge}}; K)\\
           & \cong L(\underbrace{E^*\otimes\dotsc\otimes E^*}_{r\text{ Faktoren}}; \underbrace{E^*\otimes\dotsc\otimes E^*}_{s\text{ Faktoren}})\\
           & \cong \underbrace{E\otimes\dotsc\otimes E}_{r\text{ Faktoren}} \otimes \underbrace{E^*\otimes\dotsc\otimes E^*}_{s\text{ Faktoren}}
\end{align}</math>

Also realisiert der Vektorraum <math>T_s^r(E, K)</math> der Tensoren vom Typ <math>(r,s) </math> das [[Tensorprodukt]] <math>
\underbrace{E\otimes \dotsb \otimes E}_{r\text{ Faktoren}}
\otimes
\underbrace{E^*\otimes \dotsb \otimes E^*}_{s\text{ Faktoren}}
</math>, nämlich durch die obige kanonische Identifikation

:<math>\begin{matrix}
T_s^r(E,K) = L(\underbrace{E^*,\dotsc,E^*}_{r},\underbrace{E,\dotsc, E}_{s};K)
    & \stackrel{\sim}{\longrightarrow}
    & \underbrace{E\otimes\dotsc\otimes E}_{r} \otimes \underbrace{E^*\otimes\dotsc\otimes E^*}_{s}\\
\end{matrix}</math>.

Diese natürlichen Isomorphismen bedeuten, dass man Tensoren der Stufe <math>r+s>2</math> auch [[Vollständige Induktion#Rekursive oder induktive Definition|induktiv]] als [[multilineare Abbildung]]en zwischen Tensorräumen geringerer Stufe definieren kann. Dabei hat man für einen Tensor eines bestimmten Typs mehrere äquivalente Möglichkeiten.

In der Physik sind die Vektorräume in der Regel nicht identisch, z.&nbsp;B. kann man einen Geschwindigkeitsvektor und einen Kraftvektor nicht addieren. Man kann jedoch die Richtungen miteinander vergleichen, d.&nbsp;h., die Vektorräume bis auf einen [[Skalar (Mathematik)|skalaren Faktor]] miteinander identifizieren. Daher kann die Definition von Tensoren des Typs <math>(r,s)</math> entsprechend angewendet werden. Es sei außerdem erwähnt, dass (dimensionsbehaftete) Skalare in der Physik Elemente aus eindimensionalen Vektorräumen sind und dass Vektorräume mit [[Skalarprodukt]] mit ihrem Dualraum identifiziert werden können. Man arbeitet z.&nbsp;B. mit Kraftvektoren, obwohl Kräfte ohne die Verwendung des Skalarprodukts als Kovektoren anzusehen sind.

=== Äußeres Tensorprodukt ===
Als (äußeres) ''Tensorprodukt'' oder ''Tensormultiplikation'' bezeichnet man eine Verknüpfung <math>\otimes</math> zwischen zwei Tensoren. Sei <math>E</math> ein Vektorraum und seien <math>t_1 \in T_{s_1}^{r_1}(E)</math> und <math>t_2 \in T_{s_2}^{r_2}(E)</math> Tensoren. Das (äußere) Tensorprodukt von <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ist der Tensor <math>t_1 \otimes t_2 \in T_{s_1+s_2}^{r_1+r_2}(E)</math>, der durch
:<math>\left(t_1 \otimes t_2)(\beta^1, \dotsc, \beta^{r_1}, \gamma^1, \dotsc, \gamma^{r_2},f_1, \dotsc, f_{s_1},g_1, \dotsc, g_{s_2}\right) := t_1(\beta^1, \dotsc, \beta^{r_1}, f_1, \dotsc, f_{s_1}) t_2(\gamma^1, \dotsc, \gamma^{r_2},g_1, \dotsc, g_{s_2})</math>
definiert ist. Hierbei sind die <math>\beta^j, \gamma^j \in E^*</math> und die <math>f_j, g_j \in E</math>.

== Beispiele von (''r'',''s'')-Tensoren ==
Im Folgenden seien <math>E</math> und <math>F</math> endlichdimensionale Vektorräume.<!--Die meisten der folgenden Beispiele sind aber auch über unendlichdimensionalen Vektorräumen richtig.-->
* Die Menge der (0,0)-Tensoren ist isomorph mit dem zugrunde liegenden Körper <math>K</math>. Sie ordnen keiner Linearform und keinem Vektor ein Körperelement zu. Deshalb die Bezeichnung als (0,0)-Tensoren.
* (0,1)-Tensoren ordnen keiner Linearform und einem Vektor eine Zahl zu, entsprechen somit den Linearformen <math>L(E,K)=E^*</math> auf <math>E</math>.
* (1,0)-Tensoren ordnen einer Linearform und keinem Vektor eine Zahl zu. Sie sind somit Elemente des bidualen Vektorraums <math>E^{**}</math>. Sie entsprechen bei endlichdimensionalen Vektorräumen den Ausgangsvektorräumen <math>E</math>, da hier <math>T_0^1(E) \cong E^{**} \cong E</math> gilt (siehe [[Isomorphismus]]).
* Eine [[lineare Abbildung]] <math>E\to F</math> zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen kann als Element von <math>E^*\otimes F</math> aufgefasst werden und ist dann ein (1,1)-Tensor.
* Eine [[Bilinearform]] <math>E \times E \to K</math> lässt sich als ein Element von <math>E^* \otimes E^*</math> auffassen, also als ein (0,2)-Tensor. Insbesondere lassen sich also [[Skalarprodukt]]e als (0,2)-Tensoren auffassen.
* Das [[Kronecker-Delta]] <math>\delta</math> ist wieder ein (0,2)-Tensor. Es ist ein Element von <math>E^* \otimes E^*</math> und somit eine multilineare Abbildung <math>\delta \colon E \times E \to K</math>. Multilineare Abbildungen sind durch die Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt. So ist das Kronecker-Delta eindeutig durch
::<math>\delta(e_i,e_j) = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{falls } i=j,\\
0, & \mbox{falls } i \neq j,
\end{matrix}\right.</math>
:bestimmt.
* Die [[Determinante]] von <math>n\times n</math>-Matrizen, aufgefasst als alternierende Multilinearform der Spalten, ist ein (0,n)-Tensor. Bezüglich einer Orthonormalbasis wird er durch das [[Levi-Civita-Symbol]] (den „Epsilontensor“) dargestellt. Speziell in drei reellen Dimensionen ist die Determinante <math>\det\colon \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R</math> ein Tensor dritter Stufe und es gilt <math>\varepsilon_{ijk}=\det(e_i,e_j,e_k)</math> für die Elemente einer Orthonormalbasis. Sowohl das Kronecker-Delta als auch das Levi-Civita-Symbol werden häufig verwendet, um Symmetrieeigenschaften von Tensoren zu untersuchen. Das Kronecker-Delta ist symmetrisch bei Vertauschungen der Indizes, das Levi-Civita-Symbol antisymmetrisch, sodass man mit ihrer Hilfe Tensoren in symmetrische und antisymmetrische Anteile zerlegen kann.
* Ein weiteres Beispiel für einen kovarianten Tensor 2. Stufe ist der [[Trägheitstensor]].
* In der [[Elastizitätstheorie]] verallgemeinert man die [[Hookesches Gesetz#Verallgemeinertes hookesches Gesetz|hookesche Gleichung]] über den Zusammenhang zwischen Kräften und zugehörigen Dehnungen und Verzerrungen in einem elastischen Medium ebenfalls mit Hilfe der Tensorrechnung durch Einführung des [[Verzerrungstensor]]s, der Verzerrungen, Deformationen beschreibt, und des [[Spannungstensor]]s, der die die Deformationen verursachenden Kräfte beschreibt. Siehe dazu auch unter [[Kontinuumsmechanik]] nach.
* Sei <math>(V,g)</math> ein Vektorraum mit [[Skalarprodukt]] <math>g</math>. Wie oben bereits erwähnt, ist das Skalarprodukt <math>g</math> linear in beiden Argumenten, also ein (0,2)-Tensor bzw. ein zweifach kovarianter Tensor. Man spricht auch von einem [[Metrischer Tensor|metrischen Tensor]] oder kurz von einer „Metrik“. Dabei ist zu beachten, dass <math>g</math> selbst keine Metrik im Sinne eines [[Metrischer Raum|metrischen Raums]] ist, aber eine solche erzeugt. Mit <math>g_{i j}</math> werden die Koordinaten der Metrik bezüglich einer Basis des Vektorraums <math>V</math> bezeichnet; <math>v^i</math> und <math>w^j</math> seien die Koordinaten der Vektoren <math>v</math> und <math>w</math> bezüglich derselben Basis. Für die Abbildung zweier Vektoren <math>v</math> und <math>w</math> unter der Metrik <math>g</math> gilt deshalb
::<math>g(v,w) = \sum_{i,j} g_{i j} v^i w^j.</math>
:Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Tensoren lässt sich mittels der Metrik durch
::<math>x_i = \sum_{j} g_{i j} x^j</math>
:bewerkstelligen.
:In der Differentialgeometrie auf [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]] ist diese Metrik zusätzlich eine Funktion des Ortes. Eine tensorwertige Funktion des Ortes wird [[Tensorfeld]] genannt, im Fall des metrischen Tensors speziell riemannsche Metrik.
* In der Theorie der [[Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit|pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten]] wird der Begriff des metrischen Tensors dahingehend verallgemeinert, dass auf die Definitheit des Skalarprodukts verzichtet wird. Wichtigste Anwendung ist die [[Relativitätstheorie]]. In der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] verwendet man statt der [[Euklidische Metrik|euklidischen Metrik]] die uneigentliche Metrik des [[Minkowskiraum]]es. In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] wird ein Tensorfeld mit derselben [[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] wie die Minkowski-Metrik verwendet.

== Basis ==
=== Basis und Dimension ===
Sei <math>E</math> wie oben ein Vektorraum, dann sind die Räume <math>T^{r}_s(E)</math> ebenfalls Vektorräume. Weiterhin sei <math>E</math> nun endlichdimensional mit der [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>\{e_1, \dotsc, e_n\}</math>. Die duale Basis wird mit <math>\{e^1, \dotsc, e^n\}</math> bezeichnet. Der Raum <math>T^{r}_s(E)</math> der Tensoren ist dann ebenfalls endlichdimensional und
:<math>\left\{\left.e_{i_1} \otimes \dotsb \otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1} \otimes \dotsb \otimes e^{j_s}\right|i_1, \dotsc, i_r, j_1, \dotsc, j_s = 1, \dotsc, n\right\}</math>
ist eine Basis dieses Raumes. Das heißt, jedes Element <math>t \in T^{r}_s(E)</math> kann durch
:<math>\sum_{i_1, \dotsc, i_r, j_1, \dotsc, j_s = 1, \dotsc, n} a_{j_1, \dotsc, j_s}^{i_1, \dotsc, i_r} e_{i_1} \otimes \dotsb \otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1} \otimes \dotsb \otimes e^{j_s}</math>
dargestellt werden. Die Dimension dieses Vektorraums ist <math>T_s^r(E) = n^{r+s}</math>. Wie in jedem endlichdimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis operiert.

Da die obige Summendarstellung sehr viel Schreibarbeit mit sich bringt, wird oft die [[einsteinsche Summenkonvention]] verwendet. In diesem Fall schreibt man also
:<math>a_{j_1, \dotsc, j_s}^{i_1, \dotsc, i_r} e_{i_1} \otimes \dotsb \otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1} \otimes \dotsb \otimes e^{j_s}.</math>
Die Koeffizienten <math>a_{j_1, \dotsc, j_s}^{i_1, \dotsc, i_r}</math> werden Komponenten des Tensors bezüglich der Basis <math>\{e^1, \dotsc, e^n\}</math> genannt. Oft identifiziert man die Komponenten des Tensors mit dem Tensor an sich. Siehe dafür unter [[Tensordarstellungen der Physik]] nach.

=== Basiswechsel und Koordinatentransformation ===
Seien <math>\{ e'_{i_1}, \dotsc, e'_{i_n} \}</math> und <math>\{ e_{i_1}, \dotsc, e_{i_n} \}</math> paarweise verschiedene Basen der Vektorräume <math>V_1, \dotsc, V_n</math>. Jeder Vektor, also auch jeder Basisvektor <math>e_{i_l}</math> kann als [[Linearkombination]] der Basisvektoren <math>e'_{i_l}</math> dargestellt werden. Der Basisvektor <math>e_{i_l}</math> werde dargestellt durch

:<math>e_{i_l} = \sum_{j_l} a_{j_l, i_l} e'_{j_l}.</math>

Die Größen <math>a_{j_l, i_l}</math> bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen <math>\{e'_{i_l}\}</math> und <math>\{e_{i_l}\}</math>. Das gilt für alle <math>l=1, \dotsc, n</math>. Dieses Verfahren wird [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] genannt.

Ferner seien <math>T_{{i_1}, \dotsc, {i_n}}</math> die Komponenten des Tensors <math>T</math> bezüglich der Basis <math>\{e_{i_1}, \dotsc, e_{i_n}\}</math>. Dann ergibt sich für das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten die Gleichung

:<math>T'_{{i_1}, \dotsc, {i_n}} = \sum_{j_1} \dots \sum_{j_n} a_{i_1, j_1} \dots a_{i_n, j_n} T_{{j_1}, \dotsc, {j_n}}.</math>

Es wird in der Regel zwischen der Koordinatendarstellung des Tensors <math>T'_{{i_1}, \dotsc, {i_n}}</math> und der Transformationsmatrix <math>a_{j_1, i_1} \dots a_{j_n, i_n}</math> unterschieden. Die Transformationsmatrix <math>a_{j_1, i_1} \dots a_{j_n, i_n} </math> ist zwar eine indizierte Größe, aber kein Tensor. Im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z.&nbsp;B. [[Lorentz-Transformation]]en, die sich auch als „Drehungen“ in einem vierdimensionalen [[Minkowskiraum]] auffassen lassen. Man spricht in diesem Fall auch von [[Vierertensor]]en und [[Vierervektor]]en.

=== Beispiel ===
Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor bezüglich einer Basis dargestellt werden. Beispielsweise kann ein Tensor <math>T</math> mit Rang&nbsp;2 in einem gegebenen Basissystem <math>\mathcal{B}</math> wie folgt als Matrix dargestellt werden:

:<math>T =_\mathcal{B} \begin{pmatrix}
T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1n}\\
T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
T_{n1} & T_{n2} & \cdots & T_{nn}
\end{pmatrix}</math>

Dadurch lässt sich der Wert <math>T(v,w)</math> im Rahmen des entsprechenden Basissystems mit Hilfe der [[Matrixmultiplikation]] berechnen:
:<math>T(v,w) =
\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1n}\\
T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
T_{n1} & T_{n2} & \cdots & T_{nn}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n
\end{pmatrix}</math>

Betrachtet man nun konkret den [[Trägheitstensor]] <math>I</math>, so kann mit ihm bezüglich eines gewählten Koordinatensystems die [[Rotationsenergie]] <math>E_\mathrm{rot}</math> eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] mit der [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec{\omega}</math> wie folgt berechnet werden:

:<math>
E_\mathrm{rot}= \frac{1}{2} \vec{\omega}^T I \vec{\omega} = \frac{1}{2} \omega_\alpha I^\alpha_\beta \omega^\beta
=\frac{1}{2}
\begin{pmatrix} \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
I_{11} & I_{12} & I_{13}\\
I_{21} & I_{22} & I_{23}\\
I_{31} & I_{32} & I_{33}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3
\end{pmatrix}
</math>

== Operationen auf Tensoren ==
Neben dem Tensorprodukt gibt es für (r,s)-Tensoren weitere wichtige Operationen.

=== Inneres Produkt ===
Das innere Produkt eines Vektors <math>v \in E</math> (bzw. eines (Ko-)Vektors <math>\beta \in E^*</math>) mit einem Tensor <math>t \in T^r_s(E;K)</math> ist der <math>(r,s-1)</math> (bzw. <math>(r-1,s)</math>)-Tensor, der durch
:<math>(i_vt)\left(\beta^1, \dotsc, \beta^r, \cdot, v_1, \dotsc, v_{s-1}\right) = t\left(\beta^1, \dotsc, \beta^r, v, v_1, \dotsc, v_{s-1}\right)</math>
bzw. durch
:<math>(i^\beta t)\left(\cdot, \beta^1, \dotsc, \beta^{r-1}, v_1, \dotsc, v_s\right) = t\left(\beta, \beta^1, \dotsc, \beta^{r-1}, v_1, \dotsc, v_s\right)</math>
definiert ist. Dies bedeutet, dass der <math>(r,s)</math>-Tensor <math>t</math> an einem festen Vektor <math>v</math> bzw. festen Kovektor <math>\beta</math> ausgewertet wird.

=== Tensorverjüngung ===
{{Hauptartikel|Tensorverjüngung}}

Gegeben sei ein (r,s)-Tensor sowie <math>1\leq k\leq r</math> und <math>1\leq l\leq s</math>. Die Tensorverjüngung <math>C^k_l</math> bildet den Tensor
:<math>\sum \beta_{i_1} \otimes \dotsb \otimes \beta_{i_k} \otimes \dotsb \otimes \beta_{i_r} \otimes v^{j_1}\otimes \dotsb \otimes v^{j_l} \otimes \dotsb \otimes v^{j_s}</math>
auf den Tensor
:<math>\begin{align}
&C^k_l\left(\sum \beta_{i_1} \otimes \dotsb \otimes \beta_{i_k} \otimes \dotsb \otimes \beta_{i_r} \otimes v^{j_1} \otimes \dotsb \otimes v^{j_l} \otimes \dotsb \otimes v^{j_s}\right)\\
=&\sum \beta_{i_k}(v^{j_l})\cdot(\beta_{i_1}\otimes\dotsb\otimes\beta_{i_{k-1}} \otimes\beta_{i_{k+1}}\otimes\dotsb\otimes\beta_{i_r}\otimes v^{j_1}\otimes\dotsb\otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes\dotsb\otimes v^{j_s})
\end{align}</math>
ab. Dieser Vorgang heißt [[Tensorverjüngung]] oder ''Spurbildung.'' Im Fall von (1,1)-Tensoren entspricht die Tensorverjüngung
:<math>C_1^1\colon V^*\otimes V\to K</math>
unter der Identifizierung <math>V^*\otimes V\cong\mathrm{End}(V)</math> der [[Spur (Mathematik)|Spur]] eines [[Endomorphismus]].

Mit Hilfe der einsteinschen Summenkonvention kann man die Tensorverjüngung sehr kurz darstellen. Seien beispielsweise <math>T_i^j</math> die Koeffizienten (bzw. Koordinaten) des zweistufigen Tensors <math>T</math> bezüglich einer gewählten Basis. Will man diesen (1,1)-Tensor verjüngen, so schreibt man oft anstatt <math>C_1^1 (T)</math> nur die Koeffizienten <math>T_i^i</math>. Die einsteinsche Summenkonvention besagt nun, dass über alle gleichen Indizes summiert wird und somit <math>T_i^i</math> ein Skalar ist, der mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt. Der Ausdruck <math>B_{i}{}^{j}{}_{i}</math> ist hingegen nicht definiert, weil über gleiche Indizes nur dann summiert wird, wenn einer oben und einer unten steht. Hingegen ist also <math>B_{i}{}^{j}{}_{j}</math> ein Tensor erster Stufe.

=== Pull-Back (Rücktransport) ===
{{Hauptartikel|Rücktransport}}
Sei <math>\phi \in L(E,F)</math> eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, die kein Isomorphismus zu sein braucht. Der Rücktransport von <math>\phi</math> sei eine Abbildung <math>\phi^* \in L(T^0_s(F),T^0_s(E))</math>, die durch
:<math>\phi^* t(f_1, \dotsc, f_s) = t(\phi(f_1), \dotsc, \phi(f_s))</math>
definiert ist. Dabei ist <math>t \in T^0_s(F)</math> und <math>f_1, \dotsc, f_s \in E</math>.

=== Push-Forward ===
{{Hauptartikel|Pushforward}}
Sei <math>\phi \colon E \to F</math> ein Vektorraum[[isomorphismus]]. Definiere den Push-Forward von <math>\phi</math> durch <math>\phi_* \in L(T^r_s(E), T^r_s(F))</math> mit
:<math>\phi_* t(\beta^1 \dotsc, \beta^r, f_1, \dotsc, f_s) = t(\phi^*(\beta^1), \dotsc, \phi^*(\beta^r), \phi^{-1}(f_1), \dotsc, \phi^{-1}(f_s)).</math>
Dabei ist <math>t \in T^r_s(E)</math>, <math>\beta^1, \dotsc, \beta^r \in F^*</math> und <math>f_1, \dotsc, f_s\in F</math>. Mit <math>\phi^*(\beta^i)</math> wird der [[Rücktransport]] der Linearform <math>\beta^i</math> notiert. Konkret heißt dies <math>\phi^*(\beta^i(.)) = \beta^i(\phi(.)).</math> Analog zum Rücktransport kann man beim Push-Forward auf die Isomorphie von <math>\phi</math> verzichten und diese Operation nur für <math>(r,0)</math>-Tensoren definieren.

== Tensoralgebra ==
{{Hauptartikel|Tensoralgebra}}

Sei <math>E</math> ein [[Vektorraum]] über einem [[Körpertheorie|Körper]] <math>K</math>. Dann ist durch
:<math>\mathrm T(E)=\bigoplus_{n\geq0}E^{\otimes n}=K\oplus E\oplus(E\otimes E)\oplus(E\otimes E\otimes E)\oplus\dotsb</math>
die sogenannte Tensoralgebra definiert. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das [[Tensorprodukt]] gegeben ist, wird <math>\mathrm T(E)</math> zu einer unitären [[Assoziative Algebra|assoziativen Algebra]].

== Tensorproduktraum ==
{{Hauptartikel|Tensorprodukt}}

In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert, sie werden typischerweise in der [[Algebra]] betrachtet. Diese Definition ist allgemeiner als die der (r,s)-Tensoren, da hier die Tensorräume aus unterschiedlichen Vektorräumen konstruiert werden können.

=== Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren ===
[[Datei:Tensor product.svg|mini|Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes]]

Es seien <math>V</math> und <math>W</math> Vektorräume über dem Körper <math>K</math>. Sind <math>X,Y</math> weitere <math>K</math>-Vektorräume, <math>b \colon V\times W\to X</math> eine beliebige bilineare Abbildung und <math>f \colon X\to Y</math> eine lineare Abbildung, dann ist auch die Verknüpfung <math>(f\circ b)\colon V\times W\to Y</math> eine bilineare Abbildung. Ist also eine bilineare Abbildung gegeben, so kann man daraus auch beliebig viele weitere bilineare Abbildungen konstruieren. Es stellt sich die Frage, ob es eine bilineare Abbildung gibt, aus der auf diese Art, durch Verknüpfung mit linearen Abbildungen, ''alle'' bilinearen Abbildungen auf <math>V\times W</math> (auf eindeutige Weise) konstruiert werden können. Ein solches universelles Objekt, d.&nbsp;h. die bilineare Abbildung samt ihrem Bildraum, wird als Tensorprodukt von <math>V</math> und <math>W</math> bezeichnet.

'''Definition:''' Als Tensorprodukt der Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> wird jeder <math>K</math>-Vektorraum <math>X</math> bezeichnet, zu dem es eine [[bilineare Abbildung]] <math>\phi\colon V\times W\to X</math> gibt, die die folgende [[universelle Eigenschaft]] erfüllt:
:Zu jeder bilinearen Abbildung <math>b\colon V\times W\to Y</math> von <math>V \times W</math> in einen Vektorraum <math>Y</math> existiert genau eine lineare Abbildung <math>b'\colon X\to Y</math>, sodass für alle <math>(v,w) \in V \times W</math> gilt: <math>b(v,w)=b'(\phi(v,w))</math>

Gibt es einen solchen Vektorraum <math>X</math>, so ist er bis auf [[Isomorphie (Mathematik)|Isomorphie]] eindeutig bestimmt. Ist nämlich bereits <math>Y</math> mit der Bilinearform <math>b</math> (als seinem Tensorprodukt <math>\otimes</math>) ein zweiter derartigen Vektorraum <math>X'</math>, so gibt es neben der eindeutig bestimmten linearen Abbildung <math>b'</math> mit der Eigenschaft <math>b = b' \circ \phi</math> auch eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung <math>\phi' \colon Y \to X</math> mit der Eigenschaft <math>\phi = \phi' \circ b</math>, da ja auch <math>(b, Y)</math> die universelle Eigenschaft hat. Also sind beide, <math>\phi</math> und <math>b</math>, Isomorphismen. Man schreibt <math>X=V\otimes W</math> und <math>\phi(v,w)=v\otimes w</math>. Die universelle Eigenschaft kann also als <math>b(v,w) = b'(v\otimes w)</math> geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel [[Tensorprodukt]] verwiesen.

Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes gibt also auf die obige Fragestellung eine bejahende Antwort und lässt sich so formulieren: Die Abbildung
:<math>\begin{matrix}
L(V\otimes W; Y) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L^2(V, W; Y)\\
b' &\longmapsto& b' \circ\phi
\end{matrix}</math>
ist surjektiv (Existenzaussage) und injektiv (Eindeutigkeitsaussage), mithin bijektiv und somit ein Isomorphismus von Vektorräumen. Für den Fall <math>Y=K</math> ergibt sich eine Deutung des Dualraumes des Tensorproduktraumes als Raum der Bilinearformen. Zusammen mit den bereits erwähnten Identifikationen ergibt sich: <math display="block">V^* \otimes W^* \cong (V\otimes W)^* \cong L(V,W;K) \cong L(V;W^*) \cong L(W;V^*)</math>

=== Tensor als Element des Tensorproduktes ===
In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.

Es sei <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]] und es seien <math>V_1, V_2, \dotsc, V_s</math> [[Vektorraum|Vektorräume]] über dem Körper <math>K</math>.

Das ''Tensorprodukt'' <math>V_1 \otimes \dotsb \otimes V_s</math> von <math>V_1, \dotsc, V_s</math> ist ein <math>K</math>-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form
:<math>v_1\otimes\dotsb\otimes v_s,\quad v_i\in V_i,</math>
sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:
* <math>v_1\otimes\dotsb\otimes(v_i'+v_i'')\otimes\dotsb\otimes v_s=(v_1\otimes\dotsb\otimes v_i'\otimes\dotsb\otimes v_s)+(v_1\otimes\dotsb\otimes v_i''\otimes\dotsb\otimes v_s)</math>
* <math>v_1\otimes\dotsb\otimes(\lambda v_i)\otimes\dotsb\otimes v_s
=\lambda(v_1\otimes\dotsb\otimes v_i\otimes\dotsb\otimes v_s),\quad\lambda\in K</math>

Die Tensoren der Form <math>v_1\otimes\dotsb\otimes v_s</math> heißen ''elementar.'' Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Ist <math>\{e_i^{(1)}, \dotsc, e_i^{(d_i)}\}</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V_i</math> (für <math>i=1, \dotsc, s</math>; <math>d_i=\dim V_i</math>), so ist
:<math>\{e_1^{(j_1)}\otimes\dotsb\otimes e_s^{(j_s)}\mid 1\leq i\leq s, 1\leq j_i\leq d_i\}</math>
eine Basis von <math>V_1\otimes\dotsb\otimes V_s.</math> Die Dimension von <math>V_1\otimes\dotsb\otimes V_s</math> ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume <math>V_1, \dotsc, V_s.</math>

=== Erweiterung auf mehrere Faktoren: Universelle Eigenschaft für mehrfache Tensorprodukte und Multilinearformen ===
Die [[#Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren|bisherigen Betrachtungen]] zur [[Universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaft]] lassen sich wie folgt auf mehrere Faktoren ausweiten.

Der [[Dualraum]] von <math>V_1\otimes\dotsb\otimes V_s</math> kann (gemäß der universellen Eigenschaft) mit dem Raum <math>L(V_1, \dotsc, V_s; K)</math> der <math>s</math>-[[Multilinearform]]en identifiziert werden:

* Ist <math>\lambda\colon V_1\otimes\dotsb\otimes V_s\to K</math> eine [[Linearform]] auf <math>V_1\otimes\dotsb\otimes V_s,</math> so ist durch <math>(v_1, \dotsc, v_s)\mapsto\lambda(v_1\otimes\dotsb\otimes v_s)</math> eine <math>s</math>-[[Multilinearform]] gegeben. Es stellt sich die Frage, ob jede <math>s</math>-Multilinearform auf diese Weise konstruiert werden kann. Die bejahende Antwort gibt [[#Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren|die universelle Eigenschaft]] des Tensorproduktes:

* Ist nämlich umgekehrt <math>\mu\colon V_1\times\dotsb\times V_s\to K</math> eine <math>s</math>-Multilinearform, so ist die mit ihr –&nbsp;gemäß der universellen Eigenschaft&nbsp;– korrespondierende Linearform <math>\mu' \in L(V_1\otimes\dotsb\otimes V_s; K)</math> festgelegt, indem sie für die elementaren Tensoren (im Einklang mit der universellen Eigenschaft) definiert und dann linear auf den ganzen Vektorraum <math>V_1\otimes\dotsb\otimes V_s</math> fortgesetzt wird. Für die elementaren Tensoren gilt gemäß der universellen Eigenschaft: <math>\mu'(v_1\otimes \dotsb \otimes v_s) = \mu(v_1, \dotsc, v_s).</math>

Wie oben (im Abschnitt zur [[#Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren|universellen Eigenschaft]]) für den Fall zweier Vektorräume formuliert, gilt nämlich auch für mehrere Faktoren (bis auf Isomorphie) die universelle Eigenschaft. Und diese lässt sich in folgender Weise formulieren und umfasst zugleich die Aussage der beiden obigen Spiegelpunkte:
: '''Definition:''' Es seien <math>V_1, \dotsc, V_s</math> sowie <math>X</math> und <math>Y</math> Vektorräume über dem Körper <math>K</math>. Dann heißt die multilineare Abbildung <math>t \colon V_1 \times \dotsb \times V_s \to X</math> das Tensorprodukt der Vektorräume <math>V_i</math> über <math>K</math>, wenn sie folgende Eigenschaft hat: Zu jeder multilinearen Abbildung <math>\mu \in L(V_1, \dotsc, V_s; Y)</math> gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung <math>\mu' \in L(X; Y)</math> mit der Eigenschaft <math>\mu'(t(v_1, \dotsc, v_s)) = \mu(v_1, \dotsc, v_s)</math> für alle Tupel <math>(v_1, \dotsc, v_s) \in V_1\times\dotsb\times V_s.</math> Man schreibt dann:
<math display="block">t(v_1, \dotsc, v_s) = v_1 \otimes \dotsc \otimes v_s \qquad \text{ und }\qquad X = V_1 \otimes \dotsb \otimes V_s</math>
: Wenn es einen solchen Vektorraum <math>X</math> mit einer solchen multilinearen Abbildung <math>t</math> gibt, dann ist der Vektorraum <math>X</math> aufgrund eben dieser universellen Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Daher wird häufig nur von dem Vektorraum <math>X</math> gesprochen, obwohl genau genommen auch die zugehörige multilineare Abbildung <math>t \colon V_1\times \dotsb \times V_s \to X</math> Bestandteil des Tensorproduktes ist.
Tatsächlich lässt sich für die Kategorie der Vektorräume (genauer: in der Kategorie der multilinearen Abbildungen <math>\psi: V_1 \times \dotsb \times V_s \to [??] </math> auf vorgegebenen Vektorräumen <math>V_i</math> in einen beliebigen Vektorraum) ein solches [[Tensorprodukt]] konstruieren. Es ist durch die universelle Eigenschaft eindeutig bis auf Isomorphie gekennzeichnet.

Wenn also <math>X = V_1 \otimes \dotsb \otimes V_s</math> das (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) Tensorprodukt der Vektorräume <math>V_1, \dotsc, V_s</math> bezeichnet, so etabliert die universelle Eigenschaft einen Isomorphismus von Vektorräumen (Beachte: Der Raum der linearen Abbildungen und der Raum der multilinearen Abbildungen sind in natürlicher Weise Vektorräume):
<math display="block">\begin{matrix}
  L(V_1, \dotsc, V_s; Y) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} &
                           L(X, Y) = L(V_1\otimes\dotsb\otimes V_s; Y)\\
  \lambda & \longmapsto & \lambda' \text{ definiert durch Festlegung auf den elementaren Tensoren}\\
  & & \lambda'\circ t(v_1, \dotsc, v_s) = \lambda'(v_1 \otimes\dotsb\otimes v_s) := \lambda(v_1, \dotsc, v_s)\\
  & & \text{ und }K\text{-lineare Fortsetzung auf den gesamten (Tensor-)Raum } X.
\end{matrix}</math>
Die Surjektivität dieser Abbildung nämlich ist gleichbedeutend mit der Existenzaussage („zu jeder multilinearen Abbildung gibt es“, vgl. zweiten Spiegelpunkt), die Injektivität hingegen mit der Eindeutigkeitsaussage („eine eindeutig bestimmte“). Da die angegebene Abbildung eine lineare Abbildung ist (Homomorphismus von Vektorräumen), ist sie ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man demnach für den Fall <math>Y=K</math> die beiden Vektorräume
:<math>L(V_1\otimes\dotsb\otimes V_s; K) =:
(V_1\otimes\dotsb\otimes V_s)^*
\quad\mathrm{und}\quad V_1^*\otimes\dotsb\otimes V_s^*</math>
in natürlicher Weise miteinander identifizieren, d.&nbsp;h., Elemente von <math>V_1^*\otimes\dotsb\otimes V_s^*</math> entsprechen <math>s</math>-Multilinearformen auf <math>V_1\times\dotsb\times V_s.</math>

=== Invarianten von Tensoren 1. und 2. Stufe ===
Als [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]] eines ein- oder zweistufigen Tensors bezeichnet man Skalare, die sich unter orthogonalen Koordinatentransformationen des Tensors nicht ändern. Für Tensoren erster Stufe führt die Bildung der vom Skalarprodukt induzierten Norm zu einer Invarianten
:<math>I_1=x^j x_j=x'^jx'_j</math>,
wobei hier und im Folgenden wieder die einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Für Tensoren zweiter Stufe im dreidimensionalen euklidischen Raum lassen sich im Allgemeinen sechs irreduzible Invarianten (das heißt Invarianten, die nicht durch andere Invarianten ausgedrückt werden können) finden:
:<math>
  \begin{alignat}{2}
    I_1 &= A_{ii} &&= \mathrm{Spur}\left(A\right)\;,\\
    I_2 &= A_{ij}A_{ji} &&= \mathrm{Spur}\left(A^2\right)\;,\\
    I_3 &= A_{ij}A_{ij} &&= \mathrm{Spur}\left(AA^T\right)\;,\\
    I_4 &= A_{ij}A_{jk}A_{ki} &&= \mathrm{Spur}\left(A^3\right)\;,\\
    I_5 &= A_{ij}A_{jk}A_{ik} &&= \mathrm{Spur}\left(A^2A^T\right)\;,\\
    I_6 &= A_{ij}A_{jk}A_{lk}A_{il} &&= \mathrm{Spur}\left(A^2\left(A^2\right)^T\right)
  \end{alignat}
</math>

Im Falle von symmetrischen Tensoren 2. Stufe (z.&nbsp;B. dem [[Verzerrungstensor]]) fallen die Invarianten <math>I_2=I_3</math> und <math>I_4=I_5</math> zusammen. Außerdem lässt sich <math>I_6</math> über die anderen 3&nbsp;Invarianten darstellen (ist also nicht mehr irreduzibel). Die [[Determinante]] ist auch eine Invariante, sie lässt sich beispielsweise für <math>3\times 3</math>-Matrizen über die irreduziblen Invarianten <math>I_1</math>, <math>I_2</math> und <math>I_4</math> darstellen als<ref>{{Internetquelle |url=https://web.archive.org/web/20171107055217/http://www.mb.uni-siegen.de/fkm/lehre/konti2012_files/skript1-3.pdf |titel=Vorlesungsskript. Tensoralgebra und -Analysis |autor=Kerstin Weinberg |datum=2012-10-24 |abruf=2020-11-27 |format=PDF; 235&nbsp;kB |hrsg=[[Universität Siegen]]}} Archivlink abgerufen am 5. Dezember 2024</ref>
:<math>\mathrm{Det}(A)=\frac{1}{6}I_1^3-\frac{1}{2}I_1I_2+\frac{1}{3}I_4.</math>
Für antisymmetrische Tensoren gilt <math>I_1=0</math>, <math>I_2=-I_3</math>, <math>I_4=-I_5=0</math> und <math>I_6</math> lässt sich wieder auf <math>I_2</math> zurückführen.<ref>{{Literatur |Autor=Heinz Schade, Klaus Neemann |Titel=Tensoranalysis |Auflage=2. überarbeitete |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Datum=2006 |ISBN=3-11-018943-7 |Seiten=277 ff.}}</ref> Somit haben im dreidimensionalen euklidischen Raum symmetrische Tensoren 2.&nbsp;Stufe drei irreduzible Invarianten und antisymmetrische Tensoren 2.&nbsp;Stufe eine irreduzible Invariante.

{{Siehe auch|Hauptinvariante}}

=== Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie ===
Man kann das Tensorprodukt <math>\mathcal{T}^2 V := V \otimes V</math> eines Vektorraumes <math>V</math> mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein [[Automorphismus]] des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten <math>a\otimes b</math> die Faktoren zu vertauschen:
:<math>\Pi_{12}(a \otimes b) := b \otimes a</math>
Da das Quadrat dieser Abbildung die Identität ist, folgt, dass für die Eigenwerte nur die Werte <math>\pm 1</math> in Frage kommen.
* Ein <math>w \in V \otimes V</math>, das <math>\Pi_{12}(w) := w</math> erfüllt, heißt ''symmetrisch.'' Beispiele sind die Elemente
::<math>w = a \odot b := \frac{1}{2}(a \otimes b + b \otimes a)</math>.
::Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit <math>\mathcal{S}^2 V = (1+\Pi_{12})(V \otimes V)</math> bezeichnet.
* Ein <math>w \in V \otimes V</math>, das <math>\Pi_{12}(w) := -w</math> erfüllt, heißt ''antisymmetrisch'' oder ''alternierend.'' Beispiele sind die Elemente
::<math>w = a \wedge b := \frac{1}{2}(a \otimes b - b \otimes a)</math>.
::Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit <math>\Lambda^2 V := (1-\Pi_{12})(V \otimes V)</math> bezeichnet.

Mittels <math>\mathcal{T}^{n+1}V := V \otimes \mathcal{T}^nV</math> können Tensorpotenzen von <math>V</math> beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen <math>j</math> und <math>k</math> auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen:
:<math>\Pi_{jk}=\Pi_{1j}\circ\Pi_{1k}\circ\Pi_{1j}</math>

=== Injektives und projektives Tensorprodukt ===
{{Hauptartikel|Injektives Tensorprodukt|Projektives Tensorprodukt}}

Falls die Vektorräume, die man miteinander tensorieren will, eine [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] besitzen, so ist es wünschenswert, dass ihr Tensorprodukt ebenfalls eine Topologie besitzt. Es gibt natürlich viele Möglichkeiten, eine solche Topologie zu definieren. Das injektive beziehungsweise das projektive Tensorprodukt sind dafür jedoch eine natürliche Wahl.

== Tensoranalysis ==
{{Hauptartikel|Tensoranalysis}}

Ursprünglich wurde der Tensorkalkül nicht in dem modernen hier vorgestellten algebraischen Konzept untersucht, sondern entstand aus Überlegungen zur Differentialgeometrie. Insbesondere [[Gregorio Ricci-Curbastro]] und sein Schüler [[Tullio Levi-Civita]] haben ihn entwickelt. Man nennt den Tensorkalkül daher auch Ricci-Kalkül. [[Albert Einstein]] griff den [[Kalkül]] in seiner [[Relativitätstheorie]] auf, was diesem große Bekanntheit in der Fachwelt einbrachte. Die damaligen Tensoren werden heute als [[Tensorfeld]]er bezeichnet und spielen in der Differentialgeometrie auch heute noch eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu Tensoren sind Tensorfelder differenzierbare Abbildungen, die jedem Punkt des zugrundeliegenden (oft gekrümmten) Raums einen Tensor zuordnen.

== Siehe auch ==
* [[Formelsammlung Tensoralgebra]]
* [[Formelsammlung Tensoranalysis]]
{{Wiktionary}}

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Adalbert Duschek]], August Hochrainer |Titel=Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung: I. Teil: Tensoralgebra |Auflage=Vierte ergänzte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Wien |Datum=1960 |Umfang=V, 171 S. |JahrEA=1946}}

* {{Literatur |Autor=Adalbert Duschek, August Hochrainer |Titel=Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung: II. Teil: Tensoranalysis |Auflage=Zweite ergänzte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Wien |Datum=1961 |Umfang=VI, 334 S. |JahrEA=1950}}

* {{Literatur |Autor=Adalbert Duschek, August Hochrainer |Titel=Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung: III. Teil: Anwendungen in Physik und Technik |Auflage=Erste |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Wien |Datum=1955 |Umfang=VI, 250 S.}}

* Adalbert Duschek: ''Der Tensorbegriff und seine Bedeutung für die Physik.'' Teil 1, 2, 3, Physikalische Blätter 1954, 1955:
** [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19540100902/abstract Teil 1, Geometrische Grundlagen]
** [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19540101002/abstract Teil 2, Tensoralgebra]
** [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19550110502/abstract Teil 3, Tensoranalysis]

* [[André Lichnerowicz]]: ''Einführung in die Tensoranalysis'' (= ''BI Hochschultaschenbuch.'' 77). Bibliographisches Institut, Mannheim u.&nbsp;a. 1966.

* [[Horst Teichmann]]: ''Physikalische Anwendungen der Vektor- und Tensorrechnung'' (= ''BI-Hochschultaschenbücher.'' 39). 3. Auflage. [[Bibliographisches Institut]], Mannheim u.&nbsp;a. 1973, ISBN 3-411-00039-2.

* [[Horst Lippmann (Mathematiker)|Horst Lippmann]]: ''Angewandte Tensorrechnung.'' Springer 1993.

* [[Karin Reich]]: ''Die Entwicklung des Tensorkalküls. Vom absoluten Differentialkalkül zur Relativitätstheorie.'' Birkhäuser 1994 (zur Geschichte).

* [[Theodore Frankel]]: ''The Geometry of Physics. An Introduction.'' Cambridge University Press, Cambridge u.&nbsp;a. 1997, ISBN 0-521-38334-X.

* [[Ralph Abraham (Mathematiker)|Ralph Abraham]], [[Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences.'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u.&nbsp;a. 1998, ISBN 0-387-96790-7.

* [[Theodor Bröcker]]: ''Lineare Algebra und Analytische Geometrie.'' Birkhäuser, Basel 2004, ISBN 3-7643-2178-4, Kap. VII: Tensorrechnung.

* [[Mikhail Itskov]]: ''Tensor algebra and tensor analysis for engineers.'' 3. Auflage. Springer, Heidelberg u.&nbsp;a. 2013, ISBN 978-3-642-30878-9.

== Weblinks ==
* Georg Bernhardt: [https://www.thaleskreis.de/materialien/tensoren.pdf ''Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren.''] PDF, deutsch, 340&nbsp;kB.
* Joseph C. Kolecki: [http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf ''An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering.''] Einführung in die Tensorrechnung für Studenten, PDF, englisch, 328&nbsp;kB, [[NASA]]-Publikation.
* ''[[b:Einführung in die Tensorrechnung|Einführung in die Tensorrechnung.]] (Wikibooks)''

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]