Quelltext der Seite Sylow-Sätze

Die '''Sylow-Sätze''' (nach [[Peter Ludwig Mejdell Sylow|Ludwig Sylow]]) sind drei mathematische [[Satz (Mathematik)|Sätze]] aus der [[Gruppentheorie]], einem Teilgebiet der [[Algebra]]. Sie erlauben es, Aussagen über [[Untergruppe]]n von [[Endliche Gruppe|endlichen Gruppen]] zu treffen und auch einige [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] endlicher [[Gruppenordnung|Ordnung]] zu klassifizieren.

Im Gegensatz zu endlichen [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppen]] kann man bei beliebigen endlichen Gruppen im Allgemeinen nichts über die Existenz und Anzahl von Untergruppen aussagen. Man weiß lediglich aus dem [[Satz von Lagrange]], dass jede Untergruppe einer Gruppe <math>G</math> eine [[Gruppenordnung|Ordnung]] hat, die Teiler der Ordnung von <math>G</math> ist. Die Sylowsätze liefern hier zusätzliche Aussagen, erlauben allerdings auch keine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen. Diese vollzieht sich über die Klassifikation der [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]].

Neben [[Ludwig Sylow]] (1872) gaben unter anderem [[Eugen Netto]] und [[Alfredo Capelli]] Beweise.

== Die Sätze ==
Sei im Folgenden <math>G</math> eine endliche Gruppe der Ordnung <math> |G|=p^rm </math>, wobei <math>p</math> eine Primzahl und <math>m</math> eine zu <math>p</math> teilerfremde natürliche Zahl seien. Eine maximale [[p-Gruppe|<math>p</math>-Untergruppe]] von <math>G</math> wird <math>p</math>''-Sylowuntergruppe'' genannt.

# Für alle <math>0\leq s\leq r</math> besitzt <math> G </math> eine Untergruppe der Ordnung <math>p^s</math>. Insbesondere haben die maximalen <math>p</math>-Untergruppen von <math>G</math> die Ordnung <math>p^r</math>.
# Sei <math>P<G</math> eine <math>p</math>-Sylowuntergruppe. Dann enthält <math>P</math> von jeder Untergruppe <math>U<G</math>, die [[p-Gruppe]] ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein <math>g \in G</math> mit <math>gUg^{-1} \subseteq P</math>.
# Die Anzahl der <math>p</math>-Sylowuntergruppen ist ein Teiler von <math>m</math> und von der Form <math>1+kp</math> mit <math>k \in \N_0</math>.

=== Folgerungen ===
* [[Satz von Cauchy (Gruppentheorie)|Satz von Cauchy]]: Ist <math>G</math> eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl <math>p</math> geteilt wird, so gibt es in <math>G</math> ein Element der Ordnung <math>p</math>. Der Satz von Cauchy (1845) war der Ausgangspunkt von Sylow für seine Sätze, die diesen Satz von Cauchy erweiterten.
* Je zwei <math>p</math>-Sylowgruppen einer Gruppe <math>G</math> sind konjugiert und damit isomorph.
* Sei <math>G</math> eine Gruppe und <math>P<G</math> eine <math>p</math>-Sylowuntergruppe. Dann ist <math>P</math> genau dann [[Normalteiler]] von <math>G</math>, wenn <math>P</math> die einzige <math>p</math>-Sylowuntergruppe von <math>G</math> ist.
* Sei <math>G</math> eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl <math>p</math> geteilt wird. Ist <math>G</math> abelsch, so gibt es nur eine <math>p</math>-Sylowuntergruppe in <math>G</math>.

== Beispiele ==
=== Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch ===
Sei <math>G</math> eine Gruppe der Ordnung <math> |G|=15=3 \cdot 5 </math>. Bezeichnet man mit <math>s_3</math> die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von <math>G</math> und mit <math>s_5</math> die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von <math>G</math>, so gilt:
# <math> s_3 \equiv 1 \;\operatorname{mod}\; 3</math> und <math>s_3 \mid 5 </math>, also muss <math> s_3=1 </math> gelten.
# <math> s_5 \equiv 1 \;\operatorname{mod}\; 5</math> und <math>s_5 \mid 3 </math>, also muss <math> s_5=1 </math> gelten.

Also sind die 3-Sylowuntergruppe <math>G_3</math> und die 5-Sylowuntergruppe <math>G_5</math> Normalteiler von G.
Als ''p''-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen ist ihr Durchschnitt <math>\{e\}</math>, wobei <math>e \in G</math> das neutrale Element von <math>G</math> bezeichnet. Daher ist ihr [[Komplexprodukt]] direkt, das heißt <math>G_3\cdot G_5\simeq G_3\times G_5</math> (s. [[Normalteiler#direktes Produkt|Komplementäre Normalteiler und direktes Produkt]]). Da das direkte Produkt die Ordnung 15 hat, muss <math> G \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}</math> sein, und mit dem [[Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]]
folgt <math> G \simeq \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} </math>.

=== Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162 ===
Sei <math>|G| = 162= 2\cdot 3^4 </math>. Nach den Sylow-Sätzen existiert eine Untergruppe der Ordnung <math>3^4=81</math> (nämlich eine 3-Sylowgruppe). Diese ist von Index 2, also normal. <math>G</math> ist folglich nicht einfach.

Alternativ gilt <math> s_3 \equiv 1 \;\operatorname{mod}\; 3</math> und <math>s_3 \mid 2 </math>, sodass <math> s_3=1 </math> und damit die 3-Sylowgruppe ein nicht-trivialer Normalteiler von <math>G</math> ist. Folglich kann <math>G</math> nicht einfach sein.

== Literatur ==
* Ludwig Sylow: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0005 ''Théorèmes sur les groupes de substitutions''.] In: ''Mathematische Annalen'', Band 5, 1872, S. 584–594
* Kurt Meyberg: ''Algebra – Teil 1''. Hanser, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 69–77
* Michael Holz: ''Repetitorium der Algebra''. Binomi, 2005, ISBN 3-923923-44-9, S. 251–263

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Sylow-Sätze|Beweis der Sylow-Sätze}}

{{SORTIERUNG:SylowSatze}}
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Theorie endlicher Gruppen]]