Quelltext der Seite Sexagesimalsystem

Das '''Sexagesimalsystem''' (auch '''Hexagesimalsystem''' oder '''Sechziger-System''') ist ein [[Zahlensystem]] zur Basis&nbsp;60 ({{laS|sexagesimus|de=der Sechzigste}}). Seine größte Bedeutung bekam es in der Zeit der [[Babylonien|babylonischen]] Hochkultur, in der die [[Astronomie]] samt der dazu erforderlichen Messtechnik und [[Babylonische Mathematik|Mathematik]] gepflegt wurde.

Die Sechziger-Teilung hat sich in der Art, in der [[Winkel]]einheiten unterteilt werden, bis in die Gegenwart erhalten. Ein [[Grad (Winkel)|Grad]] hat 60&nbsp;[[Winkelminute]]n und eine Minute hat 60&nbsp;[[Winkelsekunde|Sekunden]]. Auch in der [[Zeitmessung]] ist diese Unterteilung noch üblich. Eine [[Stunde]] hat 60&nbsp;[[Minute]]n und eine Minute 60&nbsp;[[Sekunde]]n. Im Spätmittelalter haben einige Mathematiker für ihre Berechnungen die Sekunden in [[Tertie (Zeiteinheit)|Tertien]] weiter unterteilt. Dies hat sich jedoch nicht durchgesetzt.

== Herkunft ==
Erstmalige Nachweise eines schriftlichen sexagesimalen Rechensystems, das jedoch noch ein [[Additionssystem]] war, reichen in die Zeit der [[Sumer]]er um 3300 v.&nbsp;Chr. zurück. Im weiteren Verlauf wurde in der [[Babylonische Mathematik#Ältere Babylonische Mathematik (2000–1600 v. Chr.)|babylonischen Mathematik ab ca. 2000 v.&nbsp;Chr.]] ein sexagesimales [[Stellenwertsystem]] verwendet. Die Hauptquellen zur Mathematik stammen aus der Zeit 1900 v.&nbsp;Chr. bis 1600 v.&nbsp;Chr., die ältesten Tabellentexte sind jedoch noch aus neusumerischer Zeit. Die [[Alexander der Große|nachalexandrinische]] Zeit zeigt unter den [[Seleukiden]] zunehmend [[Griechen|griechische]] Einflüsse, die eine [[Synergie]] mit den babylonischen Kenntnissen eingingen, um später die gesammelten Erfahrungen der [[Sumerer]], Akkader, [[Assyrer]] und Babylonier vollends nach Griechenland zu exportieren. Arabische Astronomen benutzten in ihren Sternenkarten und -tabellen die Schreibweise des berühmten griechischen Astronomen [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] (um 100–170), die auf sexagesimalen Brüchen basierte. Auch frühe europäische Mathematiker wie [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] (1170–1240) benutzten solche Brüche, wenn sie nicht mit ganzen Zahlen operieren konnten.

Ein [[Motivation|Motiv]] für die Einführung eines Sexagesimalsystems sehen viele Historiker in der [[Astronomie]], da die babylonischen Jahre 12&nbsp;Monate zu 30&nbsp;Tagen umfassten, es gab aber auch etwa alle drei Jahre einen zusätzlichen 13.&nbsp;[[Schaltmonat]].<ref>J. P. McEvoy: ''Sonnenfinsternis.'' Berlin-Verlag, 2001, S.&nbsp;43. K. Vogel: ''Teil II'', S. 22 f.</ref> Weitere Hinweise finden sich in der frühen Zählung der Mondmonate, die bis in das Jahr 35&#8239;000 v. Chr. nachgewiesen werden können ''(Kalender-Stöckchen).'' In der Republik [[Tschechien]] wurde der Speichenknochen eines jungen Wolfes von etwa 30&#8239;000 v.&nbsp;Chr. entdeckt, der eine Reihe von insgesamt 55 Einkerbungen aufweist, wobei die 9., die 30. und die 31. Kerbe von oben rund doppelt so lang sind wie die anderen Kerben.<ref>K. Vogel: ''Vorgriechische Mathematik. Teil I: Vorgeschichte und Ägypten.'' Schroedel, Hannover, und Schöningh, Paderborn 1958. S. 16, Abb. 11.</ref> Weil die [[Lunation|mittlere Periode der Mondphasen]] 29,53&nbsp;Tage beträgt, könnten die Markierungen mit den [[Mondphase]]n in Verbindung stehen.

Andere Wissenschaftler sehen als Grund für die Wahl der Zahl&nbsp;60 als Basis des Rechensystems die Absicht, möglichst viele der beim praktischen Zählen und Messen (Handel) auftretenden Teile einfach ausdrücken bzw. berechnen zu können.<ref>K. Vogel: ''Teil II'', S. 23.</ref> Ein Indiz dafür ist, dass die 60 mit 12 Teilern zu den [[Hochzusammengesetzte Zahl|hochzusammengesetzten Zahlen]] (Nr.&nbsp;9&nbsp;in {{OEIS|A002182}}) gehört.

== Das Sexagesimalsystem der Sumerer ==
=== Die Zahlzeichen ===
[[Datei:Sexagesimal-1b-sumeris.jpg|mini|Zahlenzeichen der Sumerer]]
Die Sumerer verwendeten vor den [[keilschrift]]lichen Zeichen für die Zahlen 1 und 60 jeweils unterschiedlich große Halb[[ellipse]]n und für die Zahlen 10 und 3600 = 60<sup>2</sup> jeweils unterschiedlich große [[Kreis (Geometrie)|Kreise]], die mit [[Zylinder (Geometrie)|zylinderförmigen]] [[Griffel]]n in Tontafeln gedrückt wurden. Aus diesen Zeichen wurden noch die Zeichen für 600 = 10{{·}}60 und {{FormatNum|36000|de}} = 10{{·}}60<sup>2</sup> entsprechend kombiniert. Daneben gab es auch noch ein anderes System mit einer dezimalen Stufung 1, 10 und 100, sowie ein drittes System in [[akkad]]ischer Zeit. Bis zur spätsumerischen Zeit veränderten die einzelnen Zeichen zwar ihre Form, behielten jedoch ihren individuellen Charakter und bildeten ein [[Additionssystem]] ähnlich den [[Römische Zahlschrift|römischen Zahlen]].

=== Die Zahlennamen ===
Bei den Sumerern<ref name="Ifrah 69">{{Literatur |Autor=Ifrah |Titel=Universalgeschichte der Zahlen |Auflage=2. |Verlag=Campus |Ort=Frankfurt am Main und New York |Datum=1997 |ISBN=3-593-34192-1 |Kapitel=Das Sexagesimalsystem |Seiten=69 ff. |JahrEA=1991}}</ref> trug die&nbsp;60 den Namen ''gesch''.

* 120: gesch-min (60&nbsp;×&nbsp;2)
* 180: gesch-esch (60&nbsp;×&nbsp;3)
* 240: gesch-limmu (60&nbsp;×&nbsp;4)
* 300: gesch-iá (60&nbsp;×&nbsp;5)
* 360: gesch-asch (60&nbsp;×&nbsp;6)
* 420: gesch-imin (60&nbsp;×&nbsp;7)
* 480: gesch-ussu (60&nbsp;×&nbsp;8)
* 540: gesch-ilummu (60&nbsp;×&nbsp;9)
* 600: gesch-u (60&nbsp;×&nbsp;10)
* Nun zählten die Sumerer nicht in 60er-Schritten (''gesch''-Schritten) weiter, sondern in 600er-Schritten (''gesch-u''-Schritten), und zwar sechsmal 600, also bis 3600, das ''schàr'' genannt wurde.
* Die 3600 wurden dann wieder zehnmal gesteigert bis schàr-u (3600&nbsp;×&nbsp;10) {{FormatNum|36000|de}}.
* Die {{FormatNum|36000|de}} wurden sechsmal gezählt bis {{FormatNum|216000|de}} ''schàr-gal'', wörtlich ''das große 3600'' (also 60&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;×&nbsp;60).
* Die {{FormatNum|216000|de}} wurde zehnmal gezählt bis {{FormatNum|2160000|de}} schàr-gal-u (=(60&nbsp;×60&nbsp;×&nbsp;60)&nbsp;×&nbsp;10)
* Das schàr-gal-u wurde zunächst fünfmal vervielfacht. Die sechste Vielfache {{FormatNum|12960000|de}}, also 60&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;×&nbsp;60, erhielt wieder einen eigenen Namen, und zwar schàr-gal-shu-nu-tag (dem großen schàr übergeordnete Einheit).

Die Namen der Zahlen 10 bis 60 haben eine [[Dezimalsystem|dezimale]] (30 = ''uschu'' = ''esch-u'' = 3&nbsp;×&nbsp;10), und teilweise sogar [[Vigesimalsystem|vigesimale]] Struktur (40 = ''nischmin'' = ''nisch-min'' = 20&nbsp;×&nbsp;2).<ref name="Ifrah 71">Thureau-Thangin nannte 1932 das eine {{"|vigesimale Insel innerhalb des sumerischen Zahlensystems}}. {{Literatur |Autor=Ifrah |Titel=Universalgeschichte der Zahlen |Auflage=2. |Datum= |Seiten=71 |Übersetzer=Alexander von Platen}}</ref>

== Das Sexagesimalsystem der Babylonier ==
=== Struktur ===
Im späteren babylonischen Sexagesimalsystem hat sich eine [[Zahlschrift]] entwickelt, die ein Additionssystem verwendet, dem noch ein [[Stellenwertsystem]] mit der Basis&nbsp;60 überlagert wird. Letzteres ist allerdings noch nicht so weit ausgebildet, dass es heutigen Anforderungen entspricht. Die Zahlenwerte von 1&nbsp;bis&nbsp;59 werden unter Verwendung einer Hilfsbasis&nbsp;10 kumulativ zusammengesetzt aus nur zwei [[Ziffer]]n<ref>Rik Verhulst; ''Im Banne der Mathematik: Die kulturellen Aspekte der Mathematik in Zivilisation, Kunst und Natur.'' Springer, 2019, S.&nbsp;194.</ref>
: nämlich [[Datei:Babylonian digit 1.svg]] für eins (maximal neunmal) und [[Datei:Babylonian digit 10.svg]] für zehn (maximal fünfmal).
Eigentlich wären für ein Sexagesimalsystem 60&nbsp;Zahlenwerte nötig, aber ein Leerzeichen und auch eine Null fehlen.

Im babylonischen System können diese 59&nbsp;Zahlzeichen wie Ziffern im Sinne des heutigen Stellenwertsystems betrachtet und zur Darstellung höherwertiger Zahlen nebeneinander geschrieben werden. Jedes der 59&nbsp;Zeichen belegt jeweils eine [[Stellenwertsystem#Stelle und Stellenwert|Stelle]]. Es erhält einen Wert, der sich aus dem Produkt von Zeichenwert und [[Stellenwertsystem#Stelle und Stellenwert|Stellenwert]] ergibt, so wie das vom [[Dezimalsystem]] bekannt ist.<ref>K. Vogel: ''Teil II'', S. 18 f.</ref>

{{Siehe auch|Babylonische Mathematik}}

=== Die Zahlzeichen ===
Die Zahlzeichen werden in [[Keilschrift]] geschrieben. Einige Beispiele sollen das Sexagesimalsystem erklären.
[[Datei:Babylonian numerals.svg|mini|Die Zahlzeichen der Babylonier]]
{{Doppeltes Bild||"AHM" Babylonian 1.jpg|81|"AHM" Babylonian 10.jpg|126|Eine andere Schreibweise der Ziffern der Babylonier: links mit dem Ziffernwert eins, rechts zehn}}

* Zahlzeichen gemäß Additionssystem und entsprechende Schreibweise mit [[Dezimalziffer]]n:
:{| style="text-align:center;"
| &nbsp; || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9
|-
| &nbsp;
| [[Datei:Babylonian digit 1.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 2.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 3.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 4 alternative.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 5.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 6.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 7 alternative.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 8.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 9.svg]]
|-
| 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19
|-
| [[Datei:Babylonian digit 10.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 11.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 12.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 13.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 14 alternative.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 15.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 16.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 17 alternative.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 18.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 19.svg]]
|-
| 20 || 30 || 40 || 50
|-
| [[Datei:Babylonian digit 20.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 30.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 40.svg]]
| [[Datei:Babylonian digit 50.svg]]
|}
* Damit zusammengesetzte Zahlzeichen gemäß Stellenwertsystem:
: [[Datei:Babylonian digit 1.svg]][[Datei:Babylonian digit 2.svg]] = 62
: [[Datei:Babylonian digit 2.svg]][[Datei:Babylonian digit 2.svg]] = 122
: [[Datei:Babylonian digit 2.svg]][[Datei:Babylonian digit 9.svg]] = 129
: [[Datei:Babylonian digit 2.svg]][[Datei:Babylonian digit 11.svg]] = 131
: [[Datei:БСЭ1. Математика 2.jpg|250px]]

Die Zahlzeichen für die Werte 1 bis 59 setzten sich aus den zwei Keilschrift-Ziffern zusammen in der erforderlichen Anzahl von Wiederholungen. Für das Zeichen einer Sexadezimalzahl ab dem Wert größer als&nbsp;60 werden zwei oder mehr dieser Zahlzeichen nebeneinander geschrieben. Insofern ist die Anzahl der möglichen Zahlzeichen nicht begrenzt. Ein Problem aus heutiger Sicht ist der Wert 60, bei dem es keinen Wert auf einer „[[Einerstelle]]“ gibt; diese Stelle war unbelegt, und dafür konnte nichts geschrieben werden.

Das führt in der Umkehrung auf ein Problem beim Lesen dieser zusammengesetzten Zahlzeichen. Denn der jeweilige Stellenwert eines Zahlzeichens ist nicht eindeutig, wenn sich eine Stelle in heutiger Sicht zu null ergibt, damit in babylonischer Konvention leer bleibt und fehlt. Ob und wo eine Stelle fehlt, kann sich nur aus dem Zusammenhang ergeben.
:Beispiel: Das Zahlzeichen [[Datei:Babylonian digit 30.svg]] konnte 30 bedeuten oder 30{{·}}60 oder 30/60 usw.

Später wurde bei einer fehlenden Stelle eine Lücke gelassen, ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. kam ein ''Leerzeichen'' ohne Wert als weiteres Zeichen auf. Mit diesem Leerzeichen wurde aber nicht gerechnet, und es kam auch nicht als eigenständiges Zahlzeichen vor, es hatte also nicht die Bedeutung einer Ziffer mit dem Wert [[null]]. Diese Bedeutung des Leerzeichens ist eine spätere Erfindung [[Brahmagupta|indischer Gelehrter]].

Will man heutzutage Sexagesimalzahlen wiedergegeben, so werden einzelne Sexagesimal-Zahlzeichen als [[Dezimalzahl]]en geschrieben und dazwischen ein Komma gesetzt. Die ganzzahligen Sexagesimalstellen werden von den gebrochenen durch ein Semikolon abgetrennt, und bei fehlenden Stellen bzw. Leerzeichen schreibt man eine „0“ (was dann jedoch Interpretation ist).
:Beispiele: 30,0 = 30{{·}}60+0 und 0;30 = 0+30/60.

=== Die Rechentechnik ===
==== Addieren und Subtrahieren ====
Durch das Stellenwertsystem konnte, wie bei unserem [[Dezimalsystem]], die vorangehende Stelle um jeweils 1 erweitert oder reduziert werden. Durch die Form der Keile war das Sexagesimalsystem leichter, da nur die Keile zusammengesetzt werden mussten. Als Fachausdrücke für die [[Addition]] und die [[Subtraktion]] wurden „Vermehren“ bzw. „Wegziehen“ verwendet (die mathematischen Symbole + und − führte erst [[Johannes Widmann (Mathematiker)|Johannes Widmann]] im 15. Jahrhundert n.&nbsp;Chr. ein). Eine ''negative'' Differenz zweier Zahlen drückte man mit „Subtrahend geht darüber hinaus“ aus. Das Addieren und Subtrahieren funktioniert ebenso wie heute im Dezimalsystem.

Beispiel einer Addition:

:<math>\begin{array}{rr}
    59&\\
 +\ 11&\\
 +\ 20&\\
 \hline
  1{,}30&(= 90),
\end{array}</math>

: [[Datei:Babylonian digit 1.svg]][[Datei:Babylonian digit 30.svg]] in Schreibweise des Sexagesimalsystems. Die 1 vor dem Komma gibt den Wert 1·60 an, zu dem die Zahl 30 nach dem Komma addiert wird.

Beispiel einer Subtraktion:

:<math>\begin{array}{rl}
    4{,}40&(= 280)\\
 -\ 1{,}40&(= 100)\\
 -\ 1{,}50&(= 110)\\
 \hline
    1{,}10&(= 70),
\end{array}</math>

:: [[Datei:Babylonian digit 1.svg]][[Datei:Babylonian digit 10.svg]] in Schreibweise des Sexagesimalsystems. Die 4 und die 1 vor dem Komma geben die Werte 4·60 sowie 1·60 an, dazu wird jeweils die Zahl 40, 50 bzw. 10 nach dem Komma addiert.

==== Multiplizieren ====
Auch bei der Multiplikation wurde wie im Dezimalsystem verfahren. Während man aber im Dezimalsystem das kleine [[Einmaleins]] von 1·1 bis 9·9 im Kopf haben muss, hätten die Babylonier das Einmaleins von 1·1 bis 59·59 auswendig können müssen. Zur Erleichterung wurden ''Multiplikationstabellen'' verwendet, von denen man benötigte Produkte ablesen konnte: Jede Zeile einer Multiplikationstabelle begann mit der gleichen ''Kopfzahl,'' z.&nbsp;B. 2, es folgte der Ausdruck „mal“ und der Multiplikator, z.&nbsp;B. 1, und schließlich das Ergebnis, z.&nbsp;B. 2. Die Multiplikatoren gingen dabei von 1 bis 20 und danach kamen noch 30, 40 und 50.

Weil im Sexagesimalsystem 60 in 10er Schritten gestuft wurde (siehe oben unter Zahlzeichen) und im allgemeinen, täglichen Leben Dezimalzahlen viel in Gebrauch waren, wurden auch zu Kopfzahlen wie z.&nbsp;B. 1,40 = 100 und 16,40 = 1000 Multiplikationstabellen angelegt. Ein weiterer Grund ist das Zusammenwirken mit den Werten aus Reziprokentabellen (siehe unten unter Division). Wurden andere Werte benötigt, setzte man die Zahlen zusammen.

Die Kopfzahlen:

{| class="wikitable" style="border:0; border-width:0; background:white"
|- class="hintergrundfarbe5"
|'''Sexagesimal'''
| || <math>1{,}15</math> ||<math>1{,}20</math>           ||<math>1{,}30</math> ||<math>1{,}40</math>           ||<math>2</math> ||<math>2{,}13{,}20</math>      ||<math>2{,}15</math> ||<math>2{,}24</math> ||<math>2{,}30</math> ||<math>3</math> ||<math>3{,}20</math>           ||<math>3{,}45</math> ||<math>4</math> 
|-
|'''Dezimal'''
| || <math>1{,}25</math> ||<math>1{,}\overline{3}</math> ||<math>1{,}5</math>  ||<math>1{,}\overline{6}</math> ||<math>2</math> ||<math>2{,}\overline{2}</math> ||<math>2{,}25</math> ||<math>2{,}4</math>  ||<math>2{,}5</math>  ||<math>3</math> ||<math>3{,}\overline{3}</math> ||<math>3{,}75</math> ||<math>4</math> 
|-
|'''Bruch'''
| || {{Bruch|1|1|4}} ||{{Bruch|1|1|3}} ||{{Bruch|1|1|2}}  ||{{Bruch|1|2|3}} || 2 ||{{Bruch|2|2|9}} ||{{Bruch|2|1|4}} ||{{Bruch|2|2|5}}  ||{{Bruch|2|1|2}}  ||3 ||{{Bruch|3|1|3}} ||{{Bruch|3|3|4}} ||4
|-
| colspan="15" height="1px" style="border:0; border-width:0;" |
|- class="hintergrundfarbe5"
|'''Sexagesimal'''
|<math>4{,}30</math> ||<math>5</math> ||<math>6</math> ||<math>6{,}40</math>           ||<math>7</math> ||<math>7{,}12</math> ||<math>7{,}30</math> ||<math>8</math> || <math>8{,}20</math>           ||<math>9</math> ||<math>10</math> ||<math>12</math> ||<math>12{,}30</math> ||<math>15</math> 
|-
|'''Dezimal'''
|<math>4{,}5</math>  ||<math>5</math> ||<math>6</math> ||<math>6{,}\overline{6}</math> ||<math>7</math> ||<math>7{,}2</math>  ||<math>7{,}5</math>  ||<math>8</math> || <math>8{,}\overline{3}</math> ||<math>9</math> ||<math>10</math> ||<math>12</math> ||<math>12{,}5</math>  ||<math>15</math> 
|-
|'''Bruch'''
|  {{Bruch|4|1|2}} ||5 ||6  ||{{Bruch|6|2|3}} ||7 ||{{Bruch|7|1|5}} ||{{Bruch|7|1|2}}  ||8  ||{{Bruch|8|1|3}} ||9 ||10 || 12 ||{{Bruch|12|1|2}} || 15
|-
| colspan="15" height="1px" style="border:0; border-width:0;" |
|- class="hintergrundfarbe5"
|'''Sexagesimal'''
|<math>16</math> ||<math>16{,}40</math>           ||<math>18</math> ||<math>20</math> ||<math>22{,}30</math> ||<math>24</math> ||<math>25</math>  ||<math>30</math> ||<math>36</math> ||<math>40</math> ||<math>44{,}26{,}40</math>       ||<math>45</math> ||<math>48</math> ||<math>50</math>
|-
|'''Dezimal'''
|<math>16</math> ||<math>16{,}\overline{6}</math> ||<math>18</math> ||<math>20</math> ||<math>22{,}5</math>  ||<math>24</math> ||<math>25</math>  ||<math>30</math> ||<math>36</math> ||<math>40</math> ||<math>44{,}\overline{4}</math>  ||<math>45</math> ||<math>48</math> ||<math>50</math>
|-
|'''Bruch'''
| 16 || {{Bruch|16|2|3}} || 18 || 20 || {{Bruch|22|1|2}} || 24 || 25 || 30 || 36 || 40 || {{Bruch|44|4|9}} || 45 || 48 || 50
|}

Beispiel einer Multiplikation:

:<math>29 \cdot 1{,}12 = 29 \cdot 1{,}0 + 20 \cdot 0{,}12 + 9 \cdot 0{,}12 = 29{,}00 + 4{,}00 + 1{,}48 = 34{,}48</math>.

==== Dividieren ====
Die Babylonier dividierten eine Zahl <math>a</math> durch eine Zahl <math>n</math>, indem sie <math>a</math> ''mit dem [[Kehrwert]]'' von <math>n</math> ''multiplizierten:''

:<math>a : n = a \cdot \frac{1}{n}</math>.

Den Kehrwert einer Zahl <math>n</math> konnte man in einer Multiplikationstabelle mit der Kopfzahl <math>n</math> finden, falls <math>n</math> eine [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] von 60 teilte. Stand dort als Ergebnis [[Datei:Babylonian digit 1.svg]], d.&nbsp;h. eine Potenz von 60, dann war der zugehörige Multiplikator <math>m</math> der gesuchte Kehrwert (<math>m</math> und <math>\frac{m}{60^l}</math> haben im babylonischen Sexagesimalsystem die gleiche Darstellung):

:<math>n \cdot m = 60^l</math>, also <math>\frac{m}{60^l} = \frac{1}{n}</math>.

Die Kehrwerte (Reziproke) von natürlichen Zahlen stellte man zur Erleichterung wieder in ''Reziprokentabellen'' zusammen. Man schrieb in solchen Tabellen bei Werten, die in einer Multiplikationstabelle keinen Kehrwert hatten, „ist nicht“ an Stelle des Kehrwertes. Für diese ''irregulären'' Zahlen, die [[Primfaktoren]] ≥ 7 besitzen, wurden wie für [[irrationale Zahl]]en Näherungswerte verwendet.

Die hauptsächlich verwendete Reziprokentabelle enthält die folgenden Zahlenpaare:

{| class="wikitable center"
|- class="hintergrundfarbe8"
! n !! 1/n!! n !! 1/n !! n !! 1/n !! n !! 1/n !! n !! 1/n !! n !! 1/n !! n !! 1/n !! n !! 1/n !! n !! 1/n !! n !! 1/n
|-
|'''2''' ||  30 || '''3''' ||  20 || '''4''' || 15 || '''5''' || 12 || '''6''' || 10 || '''8''' || 7,30 || '''9''' || 6,40 || '''10''' || 6 || '''12''' || 5 || '''15''' || 4
|-
|'''16''' || 3,45 || '''18''' || 3,20 || '''20''' || 3 || '''24''' || 2,30 || '''25''' || 2,24 || '''27''' || 2,13,20 || '''30''' || 2 || '''32''' || 1,52,30 || '''36''' || 1,40 || '''40''' || 1,30
|-
|'''45''' || 1,20 || '''48''' || 1,15 || '''50''' || 1,12 || '''54''' || 1,6,40 || '''60''' || 1 || '''1,4''' || 56,15 || '''1,12''' || 50 || '''1,15''' || 48 || '''1,20''' || 45 || '''1,21''' || 44,26,40
|-
|}

Aus einer Reziprokentabelle lässt sich viel ablesen, u.&nbsp;a. <math>\frac{1}{3} = 0;20</math> oder <math>\frac{1}{3{,}0} = \frac{1}{180} = 0;0{,}20</math> oder <math>1 : 0;3 = 60 : 3 = 20</math>, aber auch umgekehrt ist <math>\frac{1}{20} = 0;3</math> usw.

Beispiele von Divisionen:

:<math>4 : 3 = 4 \cdot \frac{1}{3} = 4 \cdot 0;20 = 1;20</math>.
:<math>0;12 : 25 = 0;12 \cdot \frac{1}{25} = 0;12 \cdot 0;2,24 = 0;0,28,48</math>.

==== Wurzelberechnung ====
Der antike griechische Mathematiker und Ingenieur [[Heron von Alexandria]] verwandte in seinen ''Metrica'' zur Wurzelberechnung die schon im alt[[babylon]]ischen Reich bekannte Methode<ref>K. Vogel, ''Teil II'', S. 34 f.</ref>

:<math> \sqrt{a^2 \pm b} \approx a \pm\frac{b}{2a}</math>.

<math>a</math> entnahm man dazu aus einer ''Quadratzahltabelle.'' Für die (irrationale) Quadratwurzel von 2 ergibt sich so:

:<math>\sqrt{2} = \sqrt{ 1;20^{2} + 0;13,20} \approx 1;20 + 0;5 = 1;25</math>,

d.&nbsp;h.

:<math>\sqrt{2} = \sqrt{ \left(\frac{4}{3}\right)^{2} + \frac{2}{9}} \approx \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12} \approx 1{,}41666667</math>.

Auf einer babylonischen Tontafel (Yale Babylonian Collection 7289) findet sich aber auch noch ein besserer [[Näherungswert]] auf der Diagonalen eines Quadrates:

:<math>\sqrt{2} \approx 1;24,51,10 \left(= \frac{305470}{216000} \approx 1{,}41421296\right)</math>.

Wegen

:<math>1;25 > \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} > \frac{2}{1;25} \approx 1;24,42,21 (\approx 1{,}41176389)</math>,

liegt zwischen 1;25 und 1;24,42,21 deren [[arithmetisches Mittel]]

:<math> (1;25 + 1;24,42,21) \cdot 0;30 \approx 1;24,51,10</math>

näher bei

:<math>\sqrt{2} \approx 1{,}41421356</math>.

Nun werden die Seitenlänge des Quadrats auf der Tontafel mit 30 und die Länge der Diagonalen mit 42,25,35 angegeben, was sich als folgende Rechnung deuten lässt:

:<math>0;30 \cdot 1;24,51,10 = 0;42,25,35</math>.

Das Beispiel zeigt, dass die Babylonier [[algebra]]ische und [[Geometrie|geometrische]] Kenntnisse hatten (hier könnte der „[[Satz des Pythagoras]]“ benutzt worden sein).

== Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern ==
Im gewohnten Dezimalsystem (Zehner-System) zählt man mit den zehn ''Fingern'' (2&nbsp;×&nbsp;5) beider Hände. In einigen Gegenden der Welt existierte aber ein Zählen mit Hilfe der ''Fingerglieder'', das einhändig zur Zahl zwölf ''([[Duodezimalsystem|duodezimal]])'', zweihändig aber zur Zahl 60 führte.<ref name="Ifrah 2">{{Literatur |Autor=Georges Ifrah |Titel=Universalgeschichte der Zahlen |Auflage=Lizenzausgabe Zweitausendundeins |Verlag=Campus |Ort=Frankfurt am Main |Datum=1993 |ISBN=3-86150-704-8 |Kapitel=Das Sexagesimalsystem |Seiten=69–75 u. 90–92 |Originaltitel=Histoire universelle des chiffres |Originalsprache=fr |Übersetzer=Alexander von Platen}}</ref> Trotzdem ist hier zu beachten, dass das zweihändige Zählen mit Fingergliedern nach dem Prinzip 5&nbsp;×&nbsp;12 funktioniert und nicht wie das Sexagesimale Zahlensystem nach dem Prinzip 6&nbsp;×&nbsp;10.

=== Einhändiges Zählen bis 12 ===
[[Datei:Duodezimales Fingerzählen (eine Hand).jpg|mini|Einhändiges Zählen bis 12]]
''Grundprinzip:'' '''4&nbsp;×&nbsp;3'''&nbsp;=&nbsp;12

Gezählt wird mit dem Daumen als Zeiger und den Fingergliedern der gleichen Hand als Zählobjekt.

* Das einhändige Zählen beginnt, indem man für das erste Objekt mit dem Daumen die Spitze, also das obere Fingerglied, des kleinen Fingers der gleichen Hand berührt.
* Für das zweite Objekt wird mit dem Daumen das mittlere Fingerglied des kleinen Fingers berührt; so zählt man mit dem Daumen glied- und fingerweise weiter.
* Drei → unteres Glied des kleinen Fingers
* Vier → oberes Glied des Ringfingers
* Fünf → mittleres Glied des Ringfingers
* Sechs → unteres Glied des Ringfingers
* Sieben → oberes Glied des Mittelfingers
* Acht → mittleres Glied des Mittelfingers
* Neun → unteres Glied des Mittelfingers
* Zehn → oberes Glied des Zeigefingers
* Elf → mittleres Glied des Zeigefingers
* Zwölf → unteres Glied des Zeigefingers

Mit anderen Worten: vier Finger mit je 3 Fingergliedern ergibt 12.

=== Zweihändiges Zählen bis 60 ===
''Grundprinzip:'' '''5&nbsp;×&nbsp;12'''&nbsp;=&nbsp;60

Nachdem mit Hilfe des Daumens als Zeiger mit den jeweils drei Fingergliedern der restlichen vier Finger der gleichen Hand (4&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;12) das erste Dutzend abgezählt ist, ist die Zählkapazität einer Hand zunächst erschöpft.

* Die zweite Hand war bis jetzt zur Faust geballt. Um sich zu merken, dass ''ein Dutzend'' gezählt wurde, streckt man nun einen Finger, z.&nbsp;B. den Daumen aus.
* Nun zählt man weiter, indem man mit der ersten Hand wieder bei ''eins'' beginnt. Bei ''zwölf'' angekommen, ist das zweite Dutzend voll.
* Um sich zu merken, dass ''zwei Dutzend'' gezählt wurden, streckt man nun den nächsten Finger der zweiten Hand, z.&nbsp;B. nach dem Daumen den Zeigefinger aus.
* Mit den fünf Fingern der zweiten Hand kann man so fünfmal ein Dutzend der ersten Hand abzählen, also 5&nbsp;×&nbsp;12&nbsp;=&nbsp;60.
* (Nun kann man noch einmal mit der ersten Hand das nächste Dutzend zählen, also mit zwei Händen bis&nbsp;72 (5&nbsp;×&nbsp;12&nbsp;+&nbsp;12), also 60 gemerkt an der zweiten Hand plus 12 an der ersten Hand.)

Dieses Fingerzählsystem existiert noch in Teilen der [[Türkei]], des [[Irak]], in [[Indien]] und [[Indochina]].

Es kann auch bis 12&nbsp;×&nbsp;12&nbsp;=&nbsp;144 (ein [[Gros]]) bzw. 156 (12&nbsp;×&nbsp;12&nbsp;+&nbsp;12) gezählt werden, indem mit der zweiten Hand ebenfalls das Zählen mit Fingergliedern betrieben wird.

=== Zweihändiges Zählen mit zweitem Helfer bis 3600 ===
''Grundprinzip:'' '''10&nbsp;×&nbsp;60'''&nbsp;=&nbsp;600; bzw. '''60&nbsp;×&nbsp;60'''&nbsp;=&nbsp;3600

Beim Zählen einer größeren Menge kann auf ein Hilfsmittel zurückgegriffen werden, etwa Stöcke, Steine, Striche oder die zehn Finger eines Helfers. Jeweils fünf Dutzend, also 60, werden mit einem der Hilfsmittel gemerkt. Mit den zehn Fingern eines menschlichen Helfers kann bis 10&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;=&nbsp;600 gezählt werden, bzw. wenn der Helfer ebenfalls das 60er-Fingerzählsystem anwendet, dann sogar bis 60&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;=&nbsp;3600 und mit den anderen Hilfsmitteln auch noch weiter.

== Literatur ==

* Robert Kaplan: ''Die Geschichte der Null.'' Gebundene Ausgabe: Campus Verlag, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-593-36427-1.
** Taschenbuchausgabe: Piper Verlag, München 2003, ISBN 3-492-23918-8.
* Richard Mankiewicz: ''Zeitreise der Mathematik – Vom Ursprung der Zahlen bis zur Chaostheorie.'' VGS Verlagsgesellschaft, Köln 2000, ISBN 3-8025-1440-8.
* [[Kurt Vogel (Mathematikhistoriker)|Kurt Vogel]]: ''Vorgriechische Mathematik. Teil II: Die Mathematik der Babylonier.'' Schroedel, Hannover und Schöningh, Paderborn 1959.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* Christoph Grandt: [http://www.christoph-grandt.com/BABYLON.pdf ''Das Babylonische Sexagesimalsystem''.] (PDF; 215&nbsp;kB)

== Einzelnachweise ==
<references />

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[[Kategorie:Zahlensystem]]
[[Kategorie:Babylonien]]