Quelltext der Seite Sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie

'''Sechsdimensionale holomorphe [[Chern-Simons-Theorie]]''' (auch '''D = 6 holomorphe Chern-Simons-Theorie''', kurz '''D = 6 HCS'''), alternativ auch nur '''holomorphe Chern-Simons-Theorie''', ist im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]] eine [[Eichtheorie]] über einer dreidimensionalen [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeit]] (also mit sechs reellen [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]]). Dabei stammt die Benennung von der Verwendung einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen]] Analogie der [[Chern-Simons-Form|Chern-Simons-3-Form]] in der [[Wirkung (Physik)|Wirkung]], kombiniert mit einer holomorphen (0,3)-Form mithilfe des [[Dachprodukt]]es. Eine Wirkung nur mit einer einzigen Chern-Simons-Formen ist nicht möglich, da diese nur in ungeraden Dimensionen existieren. Benannt ist die Theorie nach [[Shiing-Shen Chern]] und [[James Simons]], welche die zugrundeliegenden Chern-Simons-Formen erstmals im Jahr 1974 beschrieben.<ref name=":18">{{cite journal |vauthors=[[Shiing-Shen Chern]] und [[James Simons]] |title=Characteristic forms and geometric invariants |journal=World Scientific Series in 20th Century Mathematics |language=en |volume=4 |pages=363–384 |date=1996-09 |doi=10.1142/9789812812834_0026}}</ref>

== Formulierung ==
Sei <math>G</math> eine [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfache]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexe]] [[Lie-Gruppe]] mit [[Lie-Algebra]] <math>\mathfrak{g}</math>. Sei <math>E\twoheadrightarrow B</math> ein <math>G</math>-[[Hauptfaserbündel]] mit einer dreidimensionalen [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeit]] <math>B</math> (womit auch <math>E</math> eine komplexe Mannigfaltigkeit ist). Sei <math>\operatorname{Ad}(E)
:=E\times_G\mathfrak{g}\twoheadrightarrow B</math> das adjungierte Vektorbündel. Sei <math>\overline{A}\in\Omega^{(0,1)}(B,\operatorname{Ad}(E))</math> ein komplexer [[Zusammenhang (Prinzipalbündel)|Zusammenhang]] und <math>\Omega\in\Omega^{(3,0)}(B,\operatorname{Ad}(E))</math>.

Die holomorphe Chern-Simons-3-Form ist gegeben durch:<ref name="bittleston skinner">{{cite journal |last1=Bittleston |first1=Roland |last2=Skinner |first2=David |title=Twistors, the ASD Yang-Mills equations and 4d Chern-Simons theory |journal=Journal of High Energy Physics |language=en |issue=2 |volume=2023 |page=227 |date=2023-02-22 |arxiv=2011.04638 |doi=10.1007/JHEP02(2023)227 |bibcode=2023JHEP...02..227B |s2cid=226281535}}</ref>

: <math>\operatorname{HCS}(\overline{A})
:=\operatorname{tr}\left(
\overline{A}\wedge\overline{\partial}\overline{A}
+\frac{2}{3}\overline{A}\wedge\overline{A}\wedge\overline{A}
\right)
\in\Omega^{(0,3)}(B).</math>

Dabei ist die [[Spur (Mathematik)|Spur]] <math>\operatorname{tr}</math> eine <math>G</math>-invariante (definiert mithilfe der [[Adjungierte Darstellung|adjungierten Darstellung]]) [[Bilinearform]] auf der Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math>, welche dafür sorgt, dass die Differentialformen keine Koeffizienten mehr in dieser annehmen. Da die Lie-Gruppe <math>G</math> und demnach auch die Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> einfach sind, ist diese Bilinearform proportional zur [[Killing-Form]]. Oft wird daher einfach direkt diese verwendet. (Im Falle einer Matrizengruppe <math>G</math> und einer Matrizenalgebra <math>\mathfrak{g}</math> kann dabei einfach die gewöhnliche Spur <math>\operatorname{tr}</math> von [[Quadratische Matrix|quadratischen Matrizen]] genommen werden.) Die [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] der sechsdimensionalen holomorphen Chern-Simons-Theorie ist gegeben durch:<ref name="bittleston skinner" />

: <math>S(\overline{A})
:=-\frac{i}{2\pi}\int_B\Omega\wedge\operatorname{HCS}(\overline{A}).</math>

Dabei ist <math>\Omega\wedge\operatorname{HCS}(\overline{A})
\in\Omega^{(3,3)}(B)</math> wie für die [[Integration von Differentialformen|Integration]] über <math>B</math> notwendig.

== Verbindungen ==
[[Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie]] (D = 4 CS) ergibt sich durch Symmetriereduktion aus der sechsdimensionalen holomorphen Chern-Simons-Theorie über dem Twistor-Raum, der Eigenbezeichnung des dritten [[Komplexer projektiver Raum|komplexen projektiven Raumes]] <math>\mathbb{C}P^3</math>. Ebenfalls daraus ableiten lassen sich die [[Antiselbstduale Yang-Mills-Gleichungen|antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen]] (ASDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen, wobei beide zur Beschreibung von integrierbaren Systemen benutzt werden können. Im hinteren Fall ist dies als Ward-Vermutung bekannt. Beide Wege aus D = 6 HCS über D = 4 CS und ASDYM führen auf das gleiche Resultat.<ref name="bittleston skinner" />

== Siehe auch ==

* [[Unendlichdimensionale Chern-Simons-Theorie]]

== Weblinks ==

* [[nlab:D=6+Chern-Simons+theory|D=6 Chern-Simons theory]] und [[nlab:holomorphic+Chern-Simons+theory|holomorphic Chern-Simons theory]] auf [[𝑛Lab|''n''Lab]] ([[Englische Sprache|englisch]])

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]