Quelltext der Seite Sargent-Regel

In der [[Kernphysik]] liefert die '''Sargent Regel''' (auch <math>Q^5</math>-Regel) einen Zusammenhang zwischen der beim [[Beta-Zerfall]] maximal freiwerdenden Energie <math>Q</math> und der Zerfallskonstanten <math>\Gamma</math>. Für manche Nuklide gibt es aufgrund von [[Auswahlregel]]n große Abweichungen von der Sargent-Regel. Sie wurde benannt nach ihrem Entdecker, dem kanadischen Atomphysiker [[Bernice Weldon Sargent]].

== Empirische Entdeckung ==
In den 1930er Jahren beschäftigte sich Sargent mit dem Emissionsspektrum des Beta-Zerfalls verschiedener Stoffe. Dabei fand er heraus, dass die Zerfallskonstante <math>\Gamma</math> proportional zur fünften Potenz der maximalen kinetischen Energie des Elektrons ist:
<br />
:<math>\Gamma \sim Q^5.</math>
Die theoretische Erklärung wurde später von [[Enrico Fermi]] gefunden.

== Herleitung durch Enrico Fermi ==
Den Ausgangspunkt für die theoretische Herleitung liefert [[Fermis Goldene Regel]] in Kombination mit [[V-A-Theorie|Fermis Theorie]] der [[Schwache Wechselwirkung|Schwachen Wechselwirkung]].

=== Fermis Goldene Regel ===
:<math>\Gamma_{N\rarr P} = \frac{2\pi}{\hbar} |\mathcal{M}_{N\rarr P} |^2 \int\limits_{M_\mathrm ec^2}^Q \mathrm dE \frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dE}</math>
mit der [[reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] <math>\hbar</math>, dem Übergangsmatrixelement bzw. die [[S-Matrix|Wahrscheinlichkeitsamplitude]] <math>\mathcal{M}_{N\rarr P}</math> für den schwachen Zerfall eines [[Neutron]]s in ein [[Proton]] und dem [[Zustandsdichte|Phasenraumfaktor]] <math>\rho</math>. Die [[Elektron]]enmasse <math>M_\mathrm e</math> multipliziert mit der [[Lichtgeschwindigkeit|Vakuumlichtgeschwindigkeit]] stellt die untere Integrationsgrenze dar. Die obere Integrationsgrenze <math>Q</math> gewährleistet, dass das gesamte Spektrum berücksichtigt wird.

=== Übergangsmatrixelement ''ℳ<sub>N → P</sub>'' ===
Es gibt zwei mögliche Übergänge für den Beta-Zerfall, den Fermi-Übergang, der aus dem Vektoranteil der schwachen Wechselwirkung stammt und den Gamow-Teller-Übergang, der seinen Ursprung in der Axialvektorkopplung hat.

<br />

:<math>
       |\mathcal{M}_{N\rarr P} |^2 = (g_\mathrm V^2+3g_\mathrm A^2)/V^2
</math>
<br /> 

Beim Axialübergang fallen alle [[Spin]]-Freiheitsgrade ins Gewicht. Das wird durch den Faktor 3 vor der Axialkopplung <math>g_\mathrm A^2</math> berücksichtigt.
Bei der Vektorkopplung <math>g_\mathrm V^2</math> hingegen sind die Spin-Freiheitsgrade nicht relevant, da es sich um einen reinen Vektor ohne Axial-Anteil handelt (Drehimpulse sind [[Axialvektor]]en).
<math>V</math> ist das Volumen des [[Ortsraum]]s, in dem der Zerfall stattfindet.

=== Phasenraum und Zustandsdichte ===
Wegen der großen Masse des [[Atomkern|Kerns]], kann dieser aus den kinematischen Betrachtungen näherungsweise ausgeschlossen werden. Der Endzustand wird dann durch einen Zwei-Teilchen-[[Phasenraum]] (Elektron und Anti-[[Neutrino]]) beschrieben. 
Ein Element des Phasenraumes hat das Volumen 
<math>\mathrm d^3x_\mathrm e \mathrm d^3x_{\nu}\mathrm d^3p_\mathrm e\mathrm d^3p_{\nu}/(2\pi \hbar)^6.</math>
Die Integrale über den Ortsraum können direkt ausgeführt werden und liefern zusammen einen Faktor <math>V^2</math>. 
Um die Integrale im [[Impulsraum]] auszuführen, werden noch die [[Dispersionsrelation]]en für das Elektron und das Neutrino ([[Neutrinooszillation|wird hier als masselos angenommen]]) benötigt:
:<math> p_\mathrm e^2\mathrm dp_\mathrm e=\frac{1}{c^3}E_\mathrm e\sqrt{E_\mathrm e^2-M_\mathrm e^2c^4}\mathrm dE_\mathrm e,</math>
:<math> p_{\nu}^\mathrm 2\mathrm dp_{\nu}=\frac{1}{c^3}E_{\nu}^2\mathrm dE_{\nu}.</math>

Durch eine [[Normierung]] auf die Ruheenergie des Elektrons kann die Phasenraumintegration auf die Form

:<math>\int\limits_{M_\mathrm ec^2}^Q\mathrm dE\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dE}=V^2\frac{M_\mathrm e^5c^4}{4\pi^4\hbar}f(\mathcal{E}_0)</math>
mit <math>\mathcal{E}_0=Q/M_\mathrm ec^2~~~~</math>  und  <math>~~~~f(\mathcal{E}_0)=\int\limits_1^{\mathcal{E}_0}\mathrm d\mathcal{E}\,\mathcal{E}\sqrt{\mathcal{E}^2-1}(\mathcal{E}_0-\mathcal{E})^2</math>

gebracht werden.
Berücksichtigt man noch den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten und der [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]] so erhält man zusammen mit dem Matrixelement <math>\mathcal{M}_{N\rarr P}</math>
:<math>\frac{1}{\tau}=\frac{M_\mathrm e^5c^4}{2\pi^3\hbar^7}(g_\mathrm V^2+3g_\mathrm A^2)\cdot f(\mathcal{E}_0).</math>

=== Sargent-Regel ===
Für große Energie (<math>Q \gg M_\mathrm ec^2</math>) gilt näherungsweise
:<math> f(\mathcal{E}_0)\approx \frac{\mathcal{E}_0^5}{30}</math>
und damit 
:<math> \frac{1}{\tau}=\frac{1}{\hbar^7c^6}\cdot (g_\mathrm V^2+3g_\mathrm A^2)\cdot \frac{Q^5}{60\pi^3}.</math>

== Literatur ==
* ''Teilchen und Kerne'', Povh, Rith, Scholz, Zetsche, 8. Auflage: Seiten 232ff., 2009

[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Radioaktivität]]