Quelltext der Seite Restriktion und Erweiterung der Skalare

Die '''Restriktion der Skalare''' und die '''Erweiterung der Skalare''' sind zwei Methoden aus der [[Abstrakte Algebra|Algebra]], die es ermöglichen, den [[Ring (Algebra)|Ring]] eines [[Modul (Mathematik)|Moduls]] zu ändern, das heißt ein <math>B</math>-Modul wird in ein <math>S</math>-Modul mittels eines [[Ringhomomorphismus]] <math>f:S\to B</math> transformiert und aus einem <math>S</math>-Modul wird ein <math>B</math>-Modul.

Aus [[Kategorientheorie|kategorientheoretischer]] Sicht handelt sich um einen links- und [[Adjunktion (Kategorientheorie)|rechtsadjungierten]] [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] zwischen den Kategorien der <math>S</math>-Moduln und <math>B</math>-Moduln.

In der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] wird oft die [[Weil-Restriktion]] als ''Restriktion der Skalare'' bezeichnet.
== Definition ==
Betrachte einen Ringhomomorphismus <math>f:S\to B</math>.
=== Restriktion der Skalare ===
Sei <math>M</math> ein (linkes) <math>B</math>-Modul. Dann ist <math>M</math> auch ein <math>S</math>-Modul durch die Wirkung <math>\varphi:S\times M\to M</math>
:<math>\varphi:(s,m)\mapsto s\cdot m :=f(s)m.</math>

Man sagt, der <math>S</math>-Modul entstand durch '''Restriktion der Skalare'''. Wiederum definiert <math>f</math> die Struktur eines <math>S</math>-Moduls auf <math>B</math> mit<ref>{{Literatur |Autor=Michael Francis Atiyah und Ian G. Macdonald |Hrsg=CRC Press |Titel=Introduction To Commutative Algebra |Datum= |Seiten=27}}</ref>
:<math>b\cdot s :=bf(s)</math>.

==== Als Funktor ====
Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der <math>S</math>-Moduln und <math>B</math>-Moduln
:<math>\operatorname{Res}^S_B:\operatorname{Mod}_S\to \operatorname{Mod}_B</math>
wird ''Restriktion der Skalare'' genannt.

=== Erweiterung der Skalare ===
Sei <math>M</math> nun ein <math>S</math>-Modul. Da <math>B</math> auch ein <math>S</math>-Modul ist, ist auch das [[Tensorprodukt]]
:<math>M_{B}:=B\otimes_S M</math>
ein <math>S</math>-Modul. <math>M_{B}</math> ist aber auch ein <math>B</math>-Modul durch die Wirkung <math>\vartheta:B\times M_{B}\to M_B</math>
:<math>\vartheta:(b,b'\otimes x)\mapsto b(b'\otimes x)=bb'\otimes x.</math>

Man sagt, der <math>M_B</math>-Modul entstand durch '''Erweiterung der Skalare'''.<ref>{{Literatur |Autor=Michael Francis Atiyah und Ian G. Macdonald |Hrsg=CRC Press |Titel=Introduction To Commutative Algebra |Datum= |Seiten=28}}</ref>

==== Als Funktor ====
Anders gesagt, der Funktor zwischen den Kategorien der <math>B</math>-Moduln und <math>S</math>-Moduln
:<math>\mathcal{E}=(\cdot)\otimes_B S:\operatorname{Mod}_B\to \operatorname{Mod}_S</math>
wird ''Erweiterung der Skalare'' genannt.<ref>{{Internetquelle |autor=nLab authors |url=https://ncatlab.org/nlab/show/restriction+of+scalars |titel=restriction of scalars |datum=2022 |abruf=2022-10-14}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]