Quelltext der Seite Rechter Winkel

[[Datei:Ángulo recto.svg|mini|Ein rechter Winkel]]
Ein '''rechter Winkel''', kurz auch '''Rechter''', ist ein [[Winkel]] von 90° und damit der vierte Teil eines [[Vollwinkel]]s zu 360°. Zwei [[Gerade]]n oder [[Strecke (Geometrie)|Strecken]], die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, werden als '''rechtwinklig''', senkrecht oder [[Orthogonalität|orthogonal]] bezeichnet. Rechte Winkel treten in vielen [[Geometrische Figur|geometrischen Figuren]] und Konstruktionen auf und werden in Zeichnungen durch einen kleinen [[Kreis|Viertelkreis]] mit Punkt oder durch ein kleines [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] gekennzeichnet. Der rechte Winkel war neben dem Vollwinkel zeitweise eine [[gesetzliche Einheit]] in Deutschland und in der Schweiz.

== Definition ==
[[Datei:Perpendicular-coloured.svg|mini|Zwei rechte Winkel]]
Sowohl [[Euklid]] in seinem Werk ''[[Euklids Elemente|Die Elemente]]'' (ca. 300 v. Chr.), als auch [[David Hilbert]] in seinem [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie|Axiomensystem der euklidischen Geometrie]] (1899) definieren einen rechten Winkel als einen Winkel, der [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] zu seinem [[Winkel#Nebenwinkel|Nebenwinkel]] ist:

{{Zitat
 |Text=Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der gleichen Nebenwinkel ein Rechter
 |Autor=Euklid
 |Quelle=Die Elemente: I.10; deutsche Übersetzung von [[Clemens Thaer]]
 |ref=<ref>{{Literatur |Hrsg=Clemens Thaer |Titel=Die Elemente von Euklid |Reihe=[[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften]] |BandReihe=235 |Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft |Ort=Leipzig |Datum=1933}}</ref>}}

Das Adjektiv „recht“ meint hierbei nicht [[rechts]], sondern recht im Sinne von aufrecht ({{laS|rectus}}).<ref name="tropfke" /> Alternativ dazu wird spätestens seit dem 16. Jahrhundert ein rechter Winkel auch als ein Winkel, zu dem ein [[Kreis|Viertelkreis]] gehört, definiert.<ref name="tropfke">{{Literatur |Autor=[[Johannes Tropfke]] |Titel=Geschichte der Elementarmathematik |Band=Band 4: ''Ebene Geometrie'' |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=1940 |ISBN=3-11-162150-2 |Seiten=66 |Kommentar=Nachdruck |JahrEA=1903}}</ref> Beide Definitionen sind zueinander äquivalent, denn zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einen [[Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]], dem ein [[Halbkreis]] entspricht.

== Beispiele ==
[[Datei:3D coordinate system.svg|mini|Je zwei Koordinatenachsen im kartesischen Koordinatensystem bilden miteinander einen rechten Winkel]]

In der Ebene bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

* die [[Koordinatenachse]]n eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]]
* zwei benachbarte [[Polygon|Seiten]] eines [[Rechteck]]s
* die beiden [[Kathete]]n eines [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]]
* die beiden [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] eines [[Drachenviereck]]s
* die beiden [[Halbachsen der Ellipse|Halbachsen einer Ellipse]]
* die Verbindungslinien eines Punkts auf einem [[Halbkreis]] mit den Endpunkten des [[Durchmesser]]s ([[Satz des Thales]])

Im Raum bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

* je zwei der Koordinatenachsen eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems
* zwei benachbarte [[Polyeder|Kanten]] eines [[Quader]]s
* je zwei der drei [[Raumdiagonale]]n eines [[Oktaeder]]s
* zwei zueinander [[Orthogonalität|orthogonale]] [[Vektor]]en
* das [[Lot (Mathematik)|Lot]] auf eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit jeder [[Gerade]] der Ebene durch den Lotfußpunkt

In einem [[Orthogonales Polygon|orthogonalen Polygon]] oder einem [[Orthogonales Polyeder|orthogonalen Polyeder]] bilden alle benachbarten Kanten rechte Winkel.

== Bestimmung rechter Winkel ==
[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck einfach.svg|mini|In einem rechtwinkligen Dreieck gilt <math>a^2 + b^2 = c^2</math>]]
[[Datei:Linear Function Graph Orthogonal.svg|mini|Die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden sich in einem rechten Winkel, wenn das Produkt der Steigungen <math> -1</math> ergibt]]

=== Zwischen Strecken ===

Zwei [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] <math>[ AC ]</math> und <math>[ BC ]</math> bilden nach dem [[Satz des Pythagoras]] genau dann einen rechten Winkel, wenn für die Längen der Strecken

: <math>| AC |^2 + | BC |^2 = | AB |^2</math>

gilt. Die ganzzahligen Lösungen dieser [[Gleichung]] heißen [[Pythagoreisches Tripel|pythagoreische Tripel]]. So bilden zwei Strecken, die sich in einem Punkt treffen und deren Längen <math>3</math> bzw. <math>4</math> Einheiten betragen, genau dann miteinander einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsstrecke der beiden Endpunkte <math>5</math> Einheiten lang ist, denn

: <math>3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2</math>. Die [[Harpedonapten]] (Seilspanner) im alten Ägypten verwendeten dies zur Konstruktion des rechten Winkels.<ref>Hans-Joachim Schönknecht: ''Mythos – Wissenschaft – Philosophie: Zur Entstehung der okzidentalen Rationalität in der griechischen Antike Band 1-3''; 2.4.1 Von der Praxis der ''Feldmessung'' zur mathematischen ''Geometrie'', Tectum Wissenschaftsverlag, 2017, S. 98 ff. ({{Google Buch |BuchID=DZR4DwAAQBAJ |Seite=98}}), abgerufen am 14. Mai 2020</ref>

=== Zwischen Funktionsgraphen ===

Die [[Funktionsgraph|Graphen]] zweier [[Lineare Funktion|linearer Funktionen]] <math>f(x) = m_1 x + b_1</math> und <math>g(x) = m_2 x + b_2</math> schneiden sich genau dann in einem rechten Winkel, wenn für das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] der [[Steigung]]en

: <math>m_1 \cdot m_2 = -1</math>

gilt. Beispielsweise schneiden sich die Graphen der beiden linearen Funktionen <math>f(x)=-2x+5</math> und <math>g(x)=\tfrac{1}{2}x+2</math> rechtwinklig, denn

: <math>m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot \tfrac{1}{2} = -1</math>.

Allgemeiner schneiden sich die Graphen zweier [[Differenzierbarkeit|differenzierbarer Funktionen]] <math>f</math> und <math>g</math> genau dann in einem rechten Winkel, wenn am Schnittpunkt <math>\bar x</math> das Produkt der [[Differentialrechnung|Ableitungen]] (der [[Tangente]]nsteigungen)

: <math>f'(\bar x) \cdot g'(\bar x) = -1</math>

ergibt. So schneiden sich beispielsweise die Graphen der Funktionen <math>f(x)=\tfrac12 (x^2 + 1)</math> und <math>g(x)=\tfrac 1x</math> an der Stelle <math>\bar x=1</math> rechtwinklig, denn <math>f(\bar{x}) = g(\bar{x})</math> und

: <math>f'(\bar{x}) \cdot g'(\bar{x})=\bar{x} \cdot (-\tfrac1{\bar{x}^2}) = 1 \cdot (-1) = -1</math>.

=== Zwischen Kurven ===

Zwei sich schneidende Geraden bilden in einem kartesischen Koordinatensystem genau dann einen rechten Winkel, wenn für das [[Skalarprodukt]] der [[Richtungsvektor]]en <math>\vec r</math> und <math>\vec s</math> der beiden Geraden

: <math>\vec r \cdot \vec s = 0</math>

gilt. So stehen beispielsweise zwei Geraden mit den Richtungsvektoren <math>\vec r = (2,1)</math> und <math>\vec s = (1,-2)</math> aufeinander senkrecht, da

: <math>\vec r \cdot \vec s = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0</math>

ist. Allgemeiner bilden zwei sich schneidende differenzierbare [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] miteinander einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt ihrer [[Tangentialvektor]]en am Schnittpunkt verschwindet.

== Trigonometrie ==
[[Datei:Trigonometric functions de.svg|mini|Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Für einen rechten Winkel ist der Wert der horizontalen Achse <math>\pi/2 \approx 1{,}57</math>.]]

Für die [[Trigonometrie|trigonometrischen]] Funktionen [[Sinus und Kosinus]], [[Tangens und Kotangens]] sowie [[Sekans und Kosekans]] eines rechten Winkels <math>\alpha</math> gilt:

* <math>\sin \alpha = \csc \alpha = 1</math>
* <math>\cos \alpha = \cot \alpha = 0</math>
* <math>\tan \alpha</math> und <math>\sec \alpha</math> sind nicht definiert

== Einheiten ==
Ein rechter Winkel entspricht in den verschiedenen [[Winkelmaß]]en:
* 1 Rechter = 90° = 90 [[Grad (Winkel)|Grad]]
* 1 Rechter = <math>\pi</math>/2 [[Radiant (Einheit)|rad]] im [[Bogenmaß]] ([[Internationales Einheitensystem|SI-Einheit]])
* 1 Rechter = 100<sup>g</sup> = 100 [[gon]] = 100 [[Neugrad]]
* 1 Rechter = 8" = 8 [[Nautischer Strich|nautische Strich]]
* 1 Rechter = 1600¯ = 1600 mil = 1600 [[Artilleristischer Strich|artilleristische Strich]]
* 1 Rechter = 6<sup>h</sup> = 360<sup>m</sup> = 21600<sup>s</sup> im [[Zeitmaß (Winkel)|Stundenmaß]]

Vom 5. Juli 1970 bis zum 29. November 1973 war neben dem [[Vollwinkel]] (360 Grad) auch der rechte Winkel mit dem Einheitenzeichen <sup>∟</sup> in Deutschland eine [[Einheiten- und Zeitgesetz|gesetzliche Einheit]].<ref>{{BGBl|1970 I S. 981, 982}}, {{BGBl|1973 I S. 1761}}</ref> Bis zum 31. Dezember 1996 war der rechte Winkel in der Schweiz gesetzliche Einheit.

== Konstruktion zeichnerisch ==
Hilfsmittel zum Zeichnen von rechtwinkligen Linien sind beispielsweise in der Schule ein [[mathematisches Papier]] oder ein [[Geodreieck]]. Zur [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]] siehe [[Lot (Mathematik)]]. Beim [[Technisches Zeichnen|technischen Zeichnen]] am [[Reißbrett]] wird ein [[Zeichenkopf]] mit [[Zeichenschiene]]n eingesetzt. Im [[Metallverarbeitung|metall-]] und [[Holzverarbeitung|holzverarbeitenden]] Handwerk wird zur Abmessung rechter Winkel ein [[Winkel (Werkzeug)|Winkelmaß]] oder eine [[Lehre (Technik)|Lehre]] verwendet.
<gallery mode="packed" heights="300">
 01-Rechter Winkel Animation.gif|Konstruktion eines rechten Winkels in einem Punkt <math>P</math> einer Gerade <math>g</math> mit Zirkel und Lineal
 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.gif|Konstruktion eines rechten Winkels in einem Punkt <math>P</math> (<math>M</math> frei wählbar) einer Halbgeraden <math>h</math>, bei eingeschränkten Platzverhältnissen, mit Hilfe des [[Satz des Thales|Thaleskreises]], Animation
</gallery>

In der Praxis erhält man so natürlich immer nur Näherungen an das geometrische Konzept des rechten Winkels.

<gallery>
   Konstruktion einer Senkrechten mit dem Geodreieck.gif|Zeichnen rechter Winkel mit dem Geodreieck
   Haarwinkel 3.jpg|Zwei [[Haarlineal|Haarwinkel]]
   Bundesarchiv Bild 183-09422-0001, Ingenieur am Reissbrett zeichnend.jpg|Ingenieur am Reißbrett
   Trysquare.jpg|Ein [[Anschlagwinkel]]
</gallery>

== Konstruktion praktisch ==
[[Datei:Dreieck rechtwinklig 1.svg|mini|Kleinster Tripel: <math>(3, 4, 5)</math>]]

Zur Konstruktion rechter Winkel über längere Distanzen hinweg wurden im Laufe der Zeit verschiedene mechanische Hilfsmittel entwickelt.
Die einfachste Art, einen rechten Winkel zu konstruieren, erfolgt mit einer Schnur, an der 12 gleiche Abstände markiert sind ([[Zwölfknotenschnur|12-Knoten-Schnur]]). Diese spannt man zu einem Dreieck mit den Kantenlängen <math>(3, 4, 5)</math>. Zwischen den zwei kurzen Seiten ([[Kathete]]n) liegt der rechte Winkel (genau 90°). Diese Methode wurde schon im alten Ägypten und im Mittelalter in der [[Architektur|Baukunst]] benutzt. Wenn man beispielsweise mit einer [[Schlauchwaage]] eine waagrechte Linie konstruieren kann, kann man so eine senkrechte Linie konstruieren. Oder wenn man mit dem [[Senkblei]] eine senkrechte Linie konstruieren kann, kann man so eine waagrechte Linie konstruieren. Das zugrundeliegende Prinzip heißt [[pythagoreisches Tripel]].

In der [[Römische Bautechnik|römischen Bautechnik]] wurde bei der [[Limitation (Vermessung)|Limitation]] von Siedlungen eine [[Groma]] zur [[Absteckung]] rechter Winkel verwendet, in neuerer Zeit kam hierfür eine [[Kreuzscheibe]] zum Einsatz. In der [[Geodäsie]] kommt bei [[Katastervermessung]]en mit dem [[Orthogonalverfahren]] ein [[Doppelpentagonprisma|Winkelprisma]] oder ein [[Theodolit]] zum Einsatz.

Heute sind diese Geräte weitgehend durch [[Elektrooptische Entfernungsmessung|elektro-optische Entfernungsmesser]], wie beispielsweise [[Tachymeter (Geodäsie)|Tachymeter]], abgelöst worden.

== Kennzeichnung und Kodierung ==
{{Doppeltes Bild|rechts|Right angle dot.svg|110|Right angle.svg|110|Kennzeichnung eines rechten Winkels im deutsch- und im englischsprachigen Raum||}}

Zur Kennzeichnung rechter Winkel in Zeichnungen wird im deutschsprachigen Raum sowie einer Reihe weiterer europäischer Länder ein beide Schenkel des Winkels verbindender Viertelkreis mit einem Punkt darin verwendet. Gelegentlich wird der Punkt auch weggelassen. Im englischsprachigen Raum wird zur Kennzeichnung ein beide Schenkel des Winkels verbindender und mit ihnen ein kleines Quadrat (bzw. bei schräger Darstellung [[Parallelogramm]]) bildender zweiter rechter Winkel eingezeichnet.

Im [[Zeichensatz]] werden rechte Winkel folgendermaßen definiert und kodiert:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ [[Zeichenkodierung]]sstandard [[Unicode]]<br />und [[Internet]]-Dokumentenformat [[Hypertext Markup Language|HTML]]
|- class="hintergrundfarbe6"
! rowspan="2"| Zeichen
! colspan="2"| Unicode
! rowspan="2"| Name
! colspan="3"| HTML
|- class="hintergrundfarbe6"
!Position
!Bezeichnung
!hexadezimal
!dezimal
!benannt
|-
|∟
|U+221F
|style="text-align:left"| {{Kapitälchen|right angle}}
|style="text-align:left"| Rechter Winkel
|&amp;#x221F;
|&amp;#8735;
| –
|-
|⦜
|U+299C
|style="text-align:left"| {{Kapitälchen|right angle variant with square}}
|style="text-align:left"| Variante eines rechten Winkels mit Quadrat
|&amp;#x299C;
| –
| –
|-
|⦝
|U+299D
|style="text-align:left"| {{Kapitälchen|measured right angle with dot}}
|style="text-align:left"| Gemessener rechter Winkel mit Punkt
|&amp;#x299D;
| –
| –
|-
|⊾
|U+22BE
|style="text-align:left"| {{Kapitälchen|right angle with arc}}
|style="text-align:left"| Rechter Winkel mit Bogen
|&amp;#x22BE;
|&amp;#8894;
| –
|}

Das Zeichen ∟ für den rechten Winkel wurde erstmals von dem griechischen Mathematiker [[Pappos]] im 4. Jh. n. Chr. verwendet.<ref>{{Literatur |Autor=Florian Cajori |Titel=A History of Mathematical Notations |Band=Volume 1 |Verlag=Cosimo |Datum=2013 |ISBN=978-1-60206-685-4 |Seiten=401}}</ref>

== Historisches ==
[[Datei:Şanlıurfa Müzesi Göbeklitepe D Tapınağı.jpg|mini|Pfeilersteine mit rechten Winkeln aus [[Göbekli Tepe]] (um 9000 v. Chr.) im [[Archäologisches Museum Şanlıurfa|Archäologischen Museum Şanlıurfa]]]]
Rechte Winkel sind – wie der [[Kreis]], die [[Gerade]] etc. – Abstraktionen des menschlichen Geistes in seiner permanenten Auseinandersetzung mit der Natur und seinen eigenen Bedürfnissen.<ref>{{Internetquelle |autor=Matthias Fürderer |url=http://www.math.unibas.ch/~walser/Stud_Arbeiten/Geschichte/Fuerderer/Fuerderer.pdf |titel=Die Kulturgeschichte des Rechten Winkels |hrsg=Fachhochschule Nordwestschweiz, Pädagogische Hochschule |datum=2008-04-04 |format=PDF; 811&nbsp;kB |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20100331193102/http://www.math.unibas.ch/~walser/Stud_Arbeiten/Geschichte/Fuerderer/Fuerderer.pdf |archiv-datum=2010-03-31 |abruf=2008-10-10}}Die Kulturgeschichte des Rechten Winkels. (PDF; 811 kB) (Nicht mehr online verfügbar.) Fachhochschule Nordwestschweiz, Pädagogische Hochschule, 4. April 2008, archiviert vom Original am 31. März 2010</ref> Sie kommen in der belebten Natur nicht vor und sind auch in der unbelebten sichtbaren Natur äußerst selten. Wahrscheinlich realisierte der Mensch den rechten Winkel erstmals in kleinen geometrischen Zeichnungen der [[Höhlenmalerei]] sowie beim Bau von Hütten. Bei letzteren entwickelten sie sich zwischen waagerechtem Boden und aufrecht stehenden Stangen sowie zwischen senkrecht stehenden Pfosten und horizontaler Geflechtfüllung. Später erscheinen sie auch in der [[Flechtkunst|Flecht-]] und [[Weben|Webkunst]] (z.&nbsp;B. bei [[Matte (Unterleger)|Matten]] und [[Stoff (Textilie)|Stoffen]]).

Dieses einmal gefundene Grundmuster schützte vor Wind und war blickdicht; es wurde immer weiter verfeinert und so entstanden Jahrtausende später die ersten [[Lehmbau|Lehm-]] und Steinbauten mit rechtwinkligen Zugängen sowie Ecken und Ornamenten. Waren die etwa 10- bis 12.000 Jahre alten Bauten von [[Göbekli Tepe]] noch rund, so zeigen die Kanten der dortigen großen Pfeiler eindeutig rechte Winkel; die unmittelbar nebeneinander gebauten Häuser von [[Catalhöyük]] in [[Anatolien]] (um 7000 v. Chr.) haben hingegen bereits allesamt ein rechtwinkliges Grundmuster. Bei den [[Megalithkultur|Megalithbauten]] der [[Jungsteinzeit]] (um 3500 v. Chr.) sind exakt rechtwinklige Konstruktionen eher selten, doch spielen sie in z.&nbsp;B. [[Stonehenge]] und bei einigen [[Dolmen]] durchaus eine bedeutende Rolle. Einen großen Aufschwung nahm der rechte Winkel im Bereich der Architektur durch die Herstellung von [[Lehmziegel]]n und später von [[Mauerziegel|Ziegelsteinen]].

Während Ägypter, Griechen, Römer und selbst die [[mesoamerika]]nischen Kulturen den Rechten Winkel in der Baukunst häufig verwenden, tritt er in der [[Keramik]] sowie in einzelnen Phasen der indisch-asiatischen sowie der europäischen Baukunst ([[Gotik]], [[Barock]]) oder bei einzelnen Architekten der [[Postmoderne]] (z.&nbsp;B. [[Frank Gehry]] oder [[Friedensreich Hundertwasser]]) in den Hintergrund.

In der [[Möbel]]kunst (Sitzgelegenheiten, Tische etc.) sowie in der [[Ornamentik]] kommen rechte Winkel seit der Antike in vielfältiger Weise zum Einsatz (z. B. [[Fischgrätmuster]], [[Schachbrettmuster]], [[Mäander (Ornamentik)|Mäander]], [[Zick-Zack-Muster]]). Selbst die diversen [[Kreuz (Symbol)|Kreuzformen]] basieren auf dem Rechten Winkel.

== Siehe auch ==
* [[Schnurgerüst]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Right angles|Rechte Winkel}}
* {{MathWorld|id=RightAngle|title=Right Angle}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4827508-6}}

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]
[[Kategorie:Winkel]]

[[ca:Angle#Angles notables]]