Quelltext der Seite Rangfunktion (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Eine '''Rangfunktion''' wird zur Repräsentation von [[Unsicherheit]] verwendet, sie drückt den Grad der Überraschung aus, der mit dem Eintritt des [[Ereignis]]ses verbunden wird bzw. den Glaubensgrad. 

Ein Rang 0 bedeutet ''keine Überraschung'', Rang 1 ''ein wenig überraschend'', Rang 2 ''ziemlich überraschend'' usw. Der Rang <math>\infty</math> bedeutet ''derart überraschend, dass es unmöglich ist''.

Es handelt sich hierbei um einen Ansatz alternativ zur konventionellen Repräsentation mit Hilfe der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]].

== Beispiel ==

Der Wurf einer Münze könnte durch eine Rangfunktion mit

:<math>\kappa(\mbox{Kopf}) = \kappa(\mbox{Zahl}) = 0, \kappa(\mbox{Rand}) = 3</math>

modelliert werden.

== Definition ==

Eine Rangfunktion <math>\kappa</math> ist eine [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]
 
:<math>\kappa \colon 2^W \to \mathbf{N}^*</math>, 

wobei 

:<math>\mathbf{N}^* = \mathbf{N} \cup \{ \infty \}</math>

von einer Teilmenge einer Menge W von [[mögliche Welt|möglichen Welten]] in die um [[Unendlich]] ergänzten [[natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] (einschließlich 0), mit folgenden Eigenschaften:

* (Rk 1):
:<math>\kappa(\empty) = \infty</math>
* (Rk 2):
:<math>\kappa(W) = 0</math>
* (Rk 3):
:<math>\kappa(U \cup V) = \min(\kappa(U), \kappa(V))</math>, falls <math>U</math> und <math>V</math> [[disjunkt]] sind

Damit auch bei unendlichen Mengen der Rang durch die [[einelementige Menge|einelementigen Mengen]] (''Singletons'') bestimmt ist, 

:<math>\kappa(U) = \min_{u \in U} \kappa(u)</math>,

was dann zur Einhaltung von (Rk 2) wenigstens ein Element aus <math>W</math> mit Rang 0 verlangt,
fordert man die Verschärfung

* (Rk 3+): 
:<math>\kappa(\bigcup_{i \in I} U_i) = \min \{ \kappa(U_i) | i \in I \} </math> für beliebige Indexmengen <math>I</math> und [[paarweise disjunkt]]e indizierte Mengen <math>U_i</math>

Ein Gegenbeispiel wäre für <math>W = \mathbf{N}</math> eine Rangfunktion, welche jeder unendlichen Teilmenge den Rang 0 und jeder endlichen Teilmenge den Rang <math>\infty</math> zuordnet. Es würde (Rk 1) bis (Rk 3) erfüllen.

== Geschichte ==

Rangfunktionen wurden erstmals von [[Wolfgang Spohn]] unter dem Namen ''ordinale Konditionalfunktionen'' definiert. Sie konnten dort sogar [[Ordinalzahlen]] als Werte annehmen ''(ordinale Rangfunktion).'' Die Interpretation als Grad der Überraschung stammt von [[G. L. S. Shackle]]. Der Name ''ranking functions'' stammt von [[Judea Pearl]].

== Literatur ==
* Halpern, Joseph Y.: ''Reasoning about Uncertainty'', The MIT Press (2003) ISBN 0-262-08320-5 (hc) und (2005) ISBN 0-262-58259-7 (pb)
* Spohn, Wolfgang: ''Ordinal Conditional Functions. A Dynamic Theory of Epistemic States'', in W.L. Harper, B. Skyrms (eds.), ''Causation in Decision, Belief Change, and Statistics'', vol. II, Kluwer, Dordrecht 1988, pp. 105–134 [http://www.uni-konstanz.de/FuF/Philo/Philosophie/Mitarbeiter/spohn_abstracts.shtml#abstract15 abstract]

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[[Kategorie:Spieltheorie]]
[[Kategorie:Stochastik]]