Quelltext der Seite Punktgruppe

Eine '''Punktgruppe''' ist ein spezieller Typus einer [[Symmetriegruppe]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]], der die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle [[Symmetrieoperation]]en der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des [[Neumannsches Prinzip| Neumannschen Prinzips]] bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der [[Darstellungstheorie]] gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen:
* in der [[Kristallographie]], wo die 32 kristallographischen Punktgruppen auch '''Kristallklassen''' genannt und inzwischen hauptsächlich mit Hilfe der [[Hermann-Mauguin-Symbolik]] bezeichnet werden,
* in der [[Molekülphysik]], wo die Punktgruppen mit Hilfe der [[Schoenflies-Symbolik|Schoenflies-Notation]] bezeichnet werden.

== Mathematische Grundlagen ==
Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben ([[Symmetriegruppe]]). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei
* gerade Bewegungen, welche die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] erhalten und
* ungerade Bewegungen, welche die Orientierung umkehren, z.&nbsp;B. Spiegelungen an Ebenen.

In den Punktgruppen des dreidimensionalen, [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraums]] sind Symmetrieoperationen möglich, die mindestens einen [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] besitzen:
* [[Identische Abbildung|Identität]]
* [[Punktspiegelung]] an einem Inversionszentrum
* [[Spiegelung (Geometrie)#Ebenenspiegelung|Ebenenspiegelung]]
* [[Drehung]] um eine [[Drehachse]]
sowie die Kopplung aus Drehung und Punktspiegelung:
* [[Drehspiegelung|Drehinversion]].
Die [[Parallelverschiebung|Translation]], die [[Schraubung]] und die [[Gleitspiegelung]] können ''nicht'' Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht [[Kommutativgesetz|kommutative]]) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ist.

Es gibt
* kontinuierliche Punktgruppen. Sie werden auch [[Curie-Gruppe]]n genannt und bestehen aus
** den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und
** den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen);
* diskrete Punktgruppen. Sie lassen sich einteilen in:
** diskrete Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer [[Rotationsachse #Symmetrieachsen|Zähligkeit]] größer zwei. Sie können mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein, dabei gibt es folgende Möglichkeiten:
::{|class="wikitable"
|-
! Gruppe !! Gruppensymbol  (Schönflies) !! Erläuterung
|-
| rowspan=3| [[Drehgruppe]]
| C<sub>n</sub> || Eine n-zählige Drehachse
|-
| C<sub>nv</sub> || 1 C<sub>n</sub>-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v:&nbsp;vertikale Spiegelebene)
|-
|C<sub>nh</sub> ||  1 C<sub>n</sub>-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht zu dieser Achse (h:&nbsp;horizontale Spiegelebene)
|-
|  rowspan=3| [[Diedergruppe]]
| D<sub>n</sub> || 1 C<sub>n</sub>-Achse + n C<sub>2</sub>-Achsen senkrecht dazu
|-
| D<sub>nd</sub> || 1 D<sub>n</sub>-Achse + n Spiegelebenen, die die D<sub>n</sub>-Achse und eine Winkelhalbierende der C<sub>2</sub>-Achsen enthalten (d:&nbsp;diagonale Spiegelebene)
|-
| D<sub>nh</sub> || 1 D<sub>n</sub>-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
|-
| [[Drehspiegelgruppe]]
| S<sub>n</sub> || 1 n-zählige Drehspiegelachse
|}
::Für einzelne dieser Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:
::* <math>C_S \equiv C_{1v} \equiv C_{1h} \equiv S_1</math> (<math>S =</math> Spiegelung)
::* <math>C_i \equiv S_2</math> (<math>i =</math> Inversion, d. h. Punktspiegelung)
:* diskrete Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie entsprechen den Symmetriegruppen der [[Platonischer Körper|platonischen Körper]]:
:** Die [[Tetraedergruppe]]n: <math>T, T_d, T_h</math>. Dabei entspricht <math>T_d</math> der vollen Symmetrie eines [[Tetraeder]]s.
:** Die [[Oktaedergruppe]]n: <math>O, O_h</math>. Dabei entspricht <math>O_h</math> der vollen Symmetrie eines [[Oktaeder]]s bzw. [[Hexaeder]]s.
:** Die [[Ikosaedergruppe]]n: <math>I, I_h</math>. Dabei entspricht <math>I_h</math> der vollen Symmetrie eines [[Ikosaeder]]s bzw. [[Dodekaeder]]s.

== Punktgruppen in der Kristallographie ==
Die vollständige mögliche Symmetrie einer [[Kristallstruktur]] wird mit den 230 [[Kristallographie|kristallographischen]] [[Raumgruppe]]n beschrieben. Hier kommen zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen auch [[Parallelverschiebung|Translation]]en in Form von [[Schraubung]]en und [[Gleitspiegelung]]en als Symmetrieoperationen vor.

Dagegen genügen zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen [[Einkristall]]s die Punktgruppen, da es sich bei [[Kristall]]en stets um [[Konvexes Polyeder|konvexe Polyeder]] handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind. Streicht man also in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen durch entsprechende Drehachsen sowie die Gleitspiegelebenen durch entsprechende Spiegelebenen, so erhält man die geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls.

Als Kristallklassen bzw. kristallographische Punktgruppen kommen daher nur diejenigen dreidimensionalen Punktgruppen in Frage, deren Symmetrien mit einem dreidimensional unendlich ausgedehnten (Kristall-)Gitter vereinbar sind. Dies ist bei den Punktgruppen der Fall, die ausschließlich 1-, 2-, 3-, 4- und/oder 6-zählige [[Rotationsachse#Symmetrieachsen|Drehachsen]] (d.&nbsp;h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60°) und/oder [[Drehspiegelgruppe|Drehinversionsachsen]] (d.&nbsp;h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60° mit jeweils daran gekoppelter [[Punktspiegelung]]; die 2-zählige Drehinversionsachse {{Oberstrich|2}} führt dabei zum selben Ergebnis wie eine [[Ebenenspiegelung]], weshalb für diese das Symbol ''m'' für eine Spiegelebene verwendet wird) enthalten. Folgende 32 Punktgruppen erfüllen die vorgenannten Bedingungen:

=== Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen) ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe5"
! colspan=5 | Punktgruppe (Kristallklasse){{FN|1}}
! rowspan=4 | [[Lauegruppe|Laue&shy;gruppe]]
! rowspan=4 | [[Kristallsystem|Kri&shy;stall&shy;sys&shy;tem]]
! rowspan=4 | [[Kristallfamilie|Kri&shy;stall&shy;fa&shy;mi&shy;lie]]
! rowspan=4 | Zuge&shy;hörige [[Raumgruppe|Raum&shy;gruppen]] (Nr.) 
! colspan=4 | Physikalische Eigenschaften{{FN|2}}
! rowspan=4 | Beispiele
|- class="hintergrundfarbe5"
! rowspan=3 | Nr.
! rowspan=3 style="text-align:left" | Name
! colspan=3 | Symbol
! rowspan=3 | [[Chiralität (Chemie)|En&shy;an&shy;tio&shy;mor&shy;phie]]
! rowspan=3 | [[Optische Aktivität|Op&shy;ti&shy;sche Ak&shy;ti&shy;vi&shy;tät]]
! rowspan=3 | [[Pyroelektrizität|Py&shy;ro&shy;elekt&shy;ri&shy;zität]]
! rowspan=3 | [[Piezoelektrizität|Pi&shy;ezo&shy;elekt&shy;ri&shy;zität]]; [[Frequenzverdopplung|SHG-Effekt]]
|- class="hintergrundfarbe5"
! rowspan=2 | [[Schoenflies-Symbolik|Schoen&shy;flies]]
! colspan=2 | [[Hermann-Mauguin-Symbolik|Hermann-Mauguin]]
|- class="hintergrundfarbe5"
! Lang
! Kurz
|-
| style="background:#F0F0C0" | 1
| style="background:#F0F0C0" align="left" | trik&shy;lin-pe&shy;di&shy;al
| style="background:#F0F0C0" | ''C''<sub>1</sub>
| colspan=2 style="background:#F0F0C0" | 1
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" | {{Oberstrich|1}}
| colspan=2 rowspan=2 | [[Triklines Kristallsystem|tri&shy;klin]]
| {{Raumgruppe|1}}&nbsp;(1)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | [''uvw'']
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Abelsonit]]<br />[[Axinit]]
|-
| style="background:#87CEFA" | 2
| style="background:#87CEFA" align="left" | tr&shy;iklin-pi&shy;na&shy;ko&shy;idal
| style="background:#87CEFA" | ''C<sub>i</sub>'' (''S''<sub>2</sub>)
| colspan=2 style="background:#87CEFA" | {{Oberstrich|1}}
| {{Raumgruppe|2}}&nbsp;(2)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Albit]]<br />[[Anorthit]]
|-
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" | 3
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" align="left" | monoklin-sphenoidisch
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" | ''C''<sub>2</sub>
| style="background:#F0F0C0" | 121
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" | 2
| rowspan=6 style="background:#87CEFA" | 2/''m''
| colspan=2 rowspan=6 | [[Monoklines Kristallsystem|mo&shy;no&shy;klin]]
| rowspan=2 | {{Raumgruppe|3}}&nbsp;(3), {{Raumgruppe|4}}&nbsp;(4), {{Raumgruppe|5}}&nbsp;(5)
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | [010]
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 | [[Uranophan]]<br />[[Halotrichit]]
|-
| style="background:#F0F0C0" | 112
| class="hintergrundfarbe9" | [001]
|-
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | 4
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" align="left" | mo&shy;no&shy;klin-do&shy;ma&shy;tisch
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | ''C<sub>s</sub>'' (''C''<sub>1''h''</sub>)
| style="background:#CCCC99" | 1''m''1
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | ''m''
| rowspan=2 | {{Raumgruppe|6}}&nbsp;(6), {{Raumgruppe|7}}&nbsp;(7), {{Raumgruppe|8}}&nbsp;(8), {{Raumgruppe|9}}&nbsp;(9)
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | [''u''0''w'']
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 | [[Soda (Mineral)|Soda]]<br />[[Skolezit]]
|-
| style="background:#CCCC99" | 11''m''
| class="hintergrundfarbe9" | [''uv''0]
|-
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" | 5
| rowspan=2 align="left" style="background:#87CEFA" | mo&shy;no&shy;klin-pris&shy;ma&shy;tisch
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" | ''C''<sub>2''h''</sub>
| style="background:#87CEFA" | 12/''m''1
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" | 2/''m''
| rowspan=2 | {{Raumgruppe|10}}&nbsp;(10), {{Raumgruppe|11}}&nbsp;(11), {{Raumgruppe|12}}&nbsp;(12), {{Raumgruppe|13}}&nbsp;(13), {{Raumgruppe|14}}&nbsp;(14), {{Raumgruppe|15}}&nbsp;(15)
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 | [[Gips]]<br />[[Kryolith]]
|-
| style="background:#87CEFA" | 112/''m''
|-
| style="background:#F0F0C0" | 6
| style="background:#F0F0C0" align="left" | orthorhombisch-disphenoidisch
| style="background:#F0F0C0" | ''D''<sub>2</sub> (''V'')
| colspan=2 style="background:#F0F0C0" | 222
| rowspan=3 style="background:#87CEFA" | ''mmm''
| colspan=2 rowspan=3 | [[Orthorhombisches Kristallsystem|or&shy;tho&shy;rhom&shy;bisch]]
| {{Raumgruppe|16}}&nbsp;(16), {{Raumgruppe|17}}&nbsp;(17), {{Raumgruppe|18}}&nbsp;(18), {{Raumgruppe|19}}&nbsp;(19), {{Raumgruppe|20}}&nbsp;(20), {{Raumgruppe|21}}&nbsp;(21), {{Raumgruppe|22}}&nbsp;(22), {{Raumgruppe|23}}&nbsp;(23), {{Raumgruppe|24}}&nbsp;(24)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Austinit]]<br />[[Epsomit]]
|-
| style="background:#F0E68C" | 7
| style="background:#F0E68C" align="left" | orthorhombisch-pyramidal
| style="background:#F0E68C" | ''C''<sub>2''v''</sub>
| colspan=2 style="background:#F0E68C" | ''mm''2
| {{Raumgruppe|25}}&nbsp;(25), {{Raumgruppe|26}}&nbsp;(26), {{Raumgruppe|27}}&nbsp;(27), {{Raumgruppe|28}}&nbsp;(28), {{Raumgruppe|29}}&nbsp;(29), {{Raumgruppe|30}}&nbsp;(30), {{Raumgruppe|31}}&nbsp;(31), {{Raumgruppe|32}}&nbsp;(32), {{Raumgruppe|33}}&nbsp;(33), {{Raumgruppe|34}}&nbsp;(34), {{Raumgruppe|35}}&nbsp;(35), {{Raumgruppe|36}}&nbsp;(36), {{Raumgruppe|37}}&nbsp;(37), {{Raumgruppe|38}}&nbsp;(38), {{Raumgruppe|39}}&nbsp;(39), {{Raumgruppe|40}}&nbsp;(40), {{Raumgruppe|41}}&nbsp;(41), {{Raumgruppe|42}}&nbsp;(42), {{Raumgruppe|43}}&nbsp;(43), {{Raumgruppe|44}}&nbsp;(44), {{Raumgruppe|45}}&nbsp;(45), {{Raumgruppe|46}}&nbsp;(46)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | [001]
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Hemimorphit]]<br />[[Struvit]]
|-
| style="background:#87CEFA" | 8
| style="background:#87CEFA" align="left" | orthorhombisch-dipyramidal
| style="background:#87CEFA" | ''D''<sub>2''h''</sub> (''V''<sub>''h''</sub>)
| style="background:#87CEFA" | 2/''m''2/''m''2/''m''
| style="background:#87CEFA" | ''mmm''
| {{Raumgruppe|47}}&nbsp;(47), {{Raumgruppe|48}}&nbsp;(48), {{Raumgruppe|49}}&nbsp;(49), {{Raumgruppe|50}}&nbsp;(50), {{Raumgruppe|51}}&nbsp;(51), {{Raumgruppe|52}}&nbsp;(52), {{Raumgruppe|53}}&nbsp;(53), {{Raumgruppe|54}}&nbsp;(54), {{Raumgruppe|55}}&nbsp;(55), {{Raumgruppe|56}}&nbsp;(56), {{Raumgruppe|57}}&nbsp;(57), {{Raumgruppe|58}}&nbsp;(58), {{Raumgruppe|59}}&nbsp;(59), {{Raumgruppe|60}}&nbsp;(60), {{Raumgruppe|61}}&nbsp;(61), {{Raumgruppe|62}}&nbsp;(62), {{Raumgruppe|63}}&nbsp;(63), {{Raumgruppe|64}}&nbsp;(64), {{Raumgruppe|65}}&nbsp;(65), {{Raumgruppe|66}}&nbsp;(66), {{Raumgruppe|67}}&nbsp;(67), {{Raumgruppe|68}}&nbsp;(68), {{Raumgruppe|69}}&nbsp;(69), {{Raumgruppe|70}}&nbsp;(70), {{Raumgruppe|71}}&nbsp;(71), {{Raumgruppe|72}}&nbsp;(72), {{Raumgruppe|73}}&nbsp;(73), {{Raumgruppe|74}}&nbsp;(74)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Topas]]<br />[[Anhydrit]]
|-
| style="background:#FFFF66" | 9
| style="background:#FFFF66" align="left" | tetragonal-pyramidal
| style="background:#FFFF66" | ''C''<sub>4</sub>
| colspan=2 style="background:#FFFF66" | 4
| rowspan="3" style="background:#D0F0FF" | 4/''m''
| colspan=2 rowspan="8" | [[Tetragonales Kristallsystem|te&shy;tra&shy;go&shy;nal]]
| {{Raumgruppe|75}}&nbsp;(75), {{Raumgruppe|76}}&nbsp;(76), {{Raumgruppe|77}}&nbsp;(77), {{Raumgruppe|78}}&nbsp;(78), {{Raumgruppe|79}}&nbsp;(79), {{Raumgruppe|80}}&nbsp;(80)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | [001]
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Piypit]]<br />[[Pinnoit]]
|-
| style="background:#FFDD00" | 10
| style="background:#FFDD00" align="left" | tetragonal-disphenoidisch
| style="background:#FFDD00" | ''S''<sub>4</sub>
| colspan=2 style="background:#FFDD00" | {{Oberstrich|4}}
| {{Raumgruppe|81}}&nbsp;(82), {{Raumgruppe|82}}&nbsp;(82)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Schreibersit]]<br />[[Cahnit]]
|-
| style="background:#D0F0FF" | 11
| style="background:#D0F0FF" align="left" | tetragonal-dipyramidal
| style="background:#D0F0FF" | ''C''<sub>4''h''</sub>
| colspan=2 style="background:#D0F0FF" | 4/''m''
| {{Raumgruppe|83}}&nbsp;(83), {{Raumgruppe|84}}&nbsp;(84), {{Raumgruppe|85}}&nbsp;(85), {{Raumgruppe|86}}&nbsp;(86), {{Raumgruppe|87}}&nbsp;(87), {{Raumgruppe|88}}&nbsp;(88)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Scheelit]]<br />[[Baotit]]
|-
| style="background:#F0F0C0" | 12
| style="background:#F0F0C0" align="left" | tetragonal-trapezoedrisch
| style="background:#F0F0C0" | ''D''<sub>4</sub>
| colspan=2 style="background:#F0F0C0" | 422
| rowspan="5" style="background:#87CEFA" | 4/''mmm''
| {{Raumgruppe|89}}&nbsp;(89), {{Raumgruppe|90}}&nbsp;(90), {{Raumgruppe|91}}&nbsp;(91), {{Raumgruppe|92}}&nbsp;(92), {{Raumgruppe|93}}&nbsp;(93), {{Raumgruppe|94}}&nbsp;(94), {{Raumgruppe|95}}&nbsp;(95), {{Raumgruppe|96}}&nbsp;(96), {{Raumgruppe|97}}&nbsp;(97), {{Raumgruppe|98}}&nbsp;(98)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Cristobalit]]<br />[[Maucherit]]
|-
| style="background:#F0E68C" | 13
| style="background:#F0E68C" align="left" | ditetragonal-pyramidal
| style="background:#F0E68C" | ''C''<sub>4''v''</sub>
| colspan=2 style="background:#F0E68C" | 4''mm''
| {{Raumgruppe|99}}&nbsp;(99), {{Raumgruppe|100}}&nbsp;(100), {{Raumgruppe|101}}&nbsp;(101), {{Raumgruppe|102}}&nbsp;(102), {{Raumgruppe|103}}&nbsp;(103), {{Raumgruppe|104}}&nbsp;(104), {{Raumgruppe|105}}&nbsp;(105), {{Raumgruppe|106}}&nbsp;(106), {{Raumgruppe|107}}&nbsp;(107), {{Raumgruppe|108}}&nbsp;(108), {{Raumgruppe|109}}&nbsp;(109), {{Raumgruppe|110}}&nbsp;(110)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | [001]
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Lenait]]<br />[[Diaboleit]]
|-
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | 14
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" align="left" | tetragonal-skalenoedrisch
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | ''D''<sub>2''d''</sub> (''V''<sub>''d''</sub>)
| style="background:#CCCC99" | {{Oberstrich|4}}2''m''
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | {{Oberstrich|4}}2''m''
| {{Raumgruppe|111}}&nbsp;(111), {{Raumgruppe|112}}&nbsp;(112), {{Raumgruppe|113}}&nbsp;(113), {{Raumgruppe|114}}&nbsp;(114) 
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 | [[Chalkopyrit]]<br />[[Stannit]]
|-
| style="background:#CCCC99" | {{Oberstrich|4}}''m''2
| {{Raumgruppe|115}}&nbsp;(115), {{Raumgruppe|116}}&nbsp;(116), {{Raumgruppe|117}}&nbsp;(117), {{Raumgruppe|118}}&nbsp;(118), {{Raumgruppe|119}}&nbsp;(119), {{Raumgruppe|120}}&nbsp;(120), {{Raumgruppe|121}}&nbsp;(121), {{Raumgruppe|122}}&nbsp;(122)
|-
| style="background:#87CEFA" | 15
| style="background:#87CEFA" align="left" | ditetragonal-dipyramidal
| style="background:#87CEFA" | ''D''<sub>4''h''</sub>
| style="background:#87CEFA" | 4/''m''2/''m''2/''m''
| style="background:#87CEFA" | 4/''mmm''
| {{Raumgruppe|123}}&nbsp;(123), {{Raumgruppe|124}}&nbsp;(124), {{Raumgruppe|125}}&nbsp;(125), {{Raumgruppe|126}}&nbsp;(126), {{Raumgruppe|127}}&nbsp;(127), {{Raumgruppe|128}}&nbsp;(128), {{Raumgruppe|129}}&nbsp;(129), {{Raumgruppe|130}}&nbsp;(130), {{Raumgruppe|131}}&nbsp;(131), {{Raumgruppe|132}}&nbsp;(132), {{Raumgruppe|133}}&nbsp;(133), {{Raumgruppe|134}}&nbsp;(134), {{Raumgruppe|135}}&nbsp;(135), {{Raumgruppe|136}}&nbsp;(136), {{Raumgruppe|137}}&nbsp;(137), {{Raumgruppe|138}}&nbsp;(138), {{Raumgruppe|139}}&nbsp;(139), {{Raumgruppe|140}}&nbsp;(140), {{Raumgruppe|141}}&nbsp;(141), {{Raumgruppe|142}}&nbsp;(142)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Rutil]]<br />[[Zirkon]]
|-
| style="background:#FFFF66" | 16
| style="background:#FFFF66" align="left" | trigonal-pyramidal
| style="background:#FFFF66" | ''C''<sub>3</sub>
| colspan=2 style="background:#FFFF66" | 3
| rowspan=2 style="background:#D0F0FF" | {{Oberstrich|3}}
| rowspan=8 | [[Trigonales Kristallsystem|tri&shy;go&shy;nal]]
| rowspan=16 | [[Kristallfamilie#Zusammenhang zwischen Kristallfamilie, Kristallsystem und Gitter-System|he&shy;xa&shy;go&shy;nal]]
| {{Raumgruppe|143}}&nbsp;(143), {{Raumgruppe|144}}&nbsp;(144), {{Raumgruppe|145}}&nbsp;(145), {{Raumgruppe|146}}&nbsp;(146)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | [001]
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Carlinit]]<br />[[Aqualith]]
|-
| style="background:#D0F0FF" | 17
| style="background:#D0F0FF" align="left" | rhomboedrisch
| style="background:#D0F0FF" |  ''C''<sub>3''i''</sub> (''S''<sub>6</sub>)
| colspan=2 style="background:#D0F0FF" |  {{Oberstrich|3}}
| {{Raumgruppe|147}}&nbsp;(147), {{Raumgruppe|148}}&nbsp;(148)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Dolomit (Mineral)|Dolomit]]<br />[[Dioptas]]
|-
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" | 18
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" align="left" | trigonal-trapezoedrisch
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" | ''D''<sub>3</sub>
| style="background:#F0F0C0" | 321
| rowspan=2 style="background:#F0F0C0" | 32
| rowspan=6 style="background:#87CEFA" | {{Oberstrich|3}}''m''
| {{Raumgruppe|150}}&nbsp;(150), {{Raumgruppe|152}}&nbsp;(152), {{Raumgruppe|154}}&nbsp;(154), {{Raumgruppe|155}}&nbsp;(155)
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 | [[Quarz]]<br />[[Tellur]]
|-
| style="background:#F0F0C0" | 312
| {{Raumgruppe|149}}&nbsp;(149), {{Raumgruppe|151}}&nbsp;(151), {{Raumgruppe|153}}&nbsp;(153)
|-
| rowspan=2 style="background:#F0E68C" | 19
| rowspan=2 style="background:#F0E68C" align="left" | ditrigonal-pyramidal
| rowspan=2 style="background:#F0E68C" | ''C''<sub>3''v''</sub>
| style="background:#F0E68C" style="background:#F0E68C" | 3''m''1
| rowspan=2 style="background:#F0E68C" | 3''m''
| {{Raumgruppe|156}}&nbsp;(156), {{Raumgruppe|158}}&nbsp;(158), {{Raumgruppe|160}}&nbsp;(160), {{Raumgruppe|161}}&nbsp;(161)
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | [001]
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 | [[Turmalingruppe|Turmalin]]<br />[[Pyrargyrit]]
|-
| style="background:#F0E68C" | 31''m''
| {{Raumgruppe|157}}&nbsp;(157), {{Raumgruppe|159}}&nbsp;(159)
|-
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" | 20
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" align="left" | ditrigonal-skalenoedrisch
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" | ''D''<sub>3''d''</sub>
| style="background:#87CEFA" | {{Oberstrich|3}}12/''m''
| rowspan=2 style="background:#87CEFA" | {{Oberstrich|3}}''m''
| {{Raumgruppe|162}}&nbsp;(162), {{Raumgruppe|163}}&nbsp;(163)
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 | [[Calcit]]<br />[[Korund]]
|-
| style="background:#87CEFA" | {{Oberstrich|3}}2/''m''1
| {{Raumgruppe|164}}&nbsp;(164), {{Raumgruppe|165}}&nbsp;(165), {{Raumgruppe|166}}&nbsp;(166), {{Raumgruppe|167}}&nbsp;(167)
|-
| style="background:#FFFF66" | 21
| style="background:#FFFF66" align="left" | hexagonal-pyramidal
| style="background:#FFFF66" | ''C''<sub>6</sub>
| colspan=2 style="background:#FFFF66" | 6
| rowspan="3" style="background:#D0F0FF" | 6/''m''
| rowspan="8" | [[Hexagonales Kristallsystem|he&shy;xa&shy;go&shy;nal]]
| {{Raumgruppe|168}}&nbsp;(168), {{Raumgruppe|169}}&nbsp;(169), {{Raumgruppe|170}}&nbsp;(170), {{Raumgruppe|171}}&nbsp;(171), {{Raumgruppe|172}}&nbsp;(172), {{Raumgruppe|173}}&nbsp;(173)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | [001]
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Nephelin]]<br />[[Zinkenit]]
|-
| style="background:#FFDD00" | 22
| style="background:#FFDD00" align="left" | trigonal-dipyramidal
| style="background:#FFDD00" | ''C''<sub>3''h''</sub>
| colspan=2 style="background:#FFDD00" | {{Oberstrich|6}}
| {{Raumgruppe|174}}&nbsp;(174)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Penfieldit]]<br />[[Laurelit]]
|-
| style="background:#D0F0FF" | 23
| style="background:#D0F0FF" align="left" | hexagonal-dipyramidal
| style="background:#D0F0FF" |  ''C''<sub>6''h''</sub>
| colspan=2 style="background:#D0F0FF" | 6/''m''
| {{Raumgruppe|175}}&nbsp;(175), {{Raumgruppe|176}}&nbsp;(176)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Apatit]]<br />[[Zemannit]]
|-
| style="background:#F0F0C0" | 24
| style="background:#F0F0C0" align="left" | hexagonal-trapezoedrisch
| style="background:#F0F0C0" | ''D''<sub>6</sub>
| colspan=2 style="background:#F0F0C0" | 622
| rowspan=5 style="background:#87CEFA" | 6/''mmm''
| {{Raumgruppe|177}}&nbsp;(177), {{Raumgruppe|178}}&nbsp;(178), {{Raumgruppe|179}}&nbsp;(179), {{Raumgruppe|180}}&nbsp;(180), {{Raumgruppe|181}}&nbsp;(181), {{Raumgruppe|182}}&nbsp;(182)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Quarz#Modifikationen|Hochquarz]]<br />[[Pseudorutil]]
|-
| style="background:#F0E68C" | 25
| style="background:#F0E68C" align="left" | dihexagonal-pyramidal
| style="background:#F0E68C" | ''C''<sub>6''v''</sub>
| colspan=2 style="background:#F0E68C" | 6''mm''
| {{Raumgruppe|183}}&nbsp;(183), {{Raumgruppe|184}}&nbsp;(184), {{Raumgruppe|185}}&nbsp;(185), {{Raumgruppe|186}}&nbsp;(186)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | [001]
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Wurtzit]]<br />[[Zinkit]]
|-
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | 26
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" align="left" | ditrigonal-dipyramidal
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | ''D''<sub>3''h''</sub>
| style="background:#CCCC99" | {{Oberstrich|6}}''m''2
| rowspan=2 style="background:#CCCC99" | {{Oberstrich|6}}''m''2
| {{Raumgruppe|187}}&nbsp;(187), {{Raumgruppe|188}}&nbsp;(188)
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe7" | –
| rowspan=2 class="hintergrundfarbe9" | +
| rowspan=2 | [[Bastnäsit]]<br />[[Benitoit]]
|-
| style="background:#CCCC99" | {{Oberstrich|6}}2''m''
| {{Raumgruppe|189}}&nbsp;(189), {{Raumgruppe|190}}&nbsp;(190)
|-
| style="background:#87CEFA" | 27
| style="background:#87CEFA" align="left" | dihexagonal-dipyramidal
| style="background:#87CEFA" | ''D''<sub>6''h''</sub>
| style="background:#87CEFA" | 6/''m''2/''m''2/''m''
| style="background:#87CEFA" | 6/''mmm''
| {{Raumgruppe|191}}&nbsp;(191), {{Raumgruppe|192}}&nbsp;(192), {{Raumgruppe|193}}&nbsp;(193), {{Raumgruppe|194}}&nbsp;(194)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Graphit]]<br />[[Magnesium]]
|-
| style="background:#FFFF66" | 28
| style="background:#FFFF66" align="left" | tetraedrisch-pentagondodekaedrisch
| style="background:#FFFF66" | ''T''
| colspan=2 style="background:#FFFF66" | 23
| rowspan="2" style="background:#D0F0FF" | ''m''{{Oberstrich|3}}
| colspan=2 rowspan="5" | [[Kubisches Kristallsystem|ku&shy;bisch]]
| {{Raumgruppe|195}}&nbsp;(195), {{Raumgruppe|196}}&nbsp;(196), {{Raumgruppe|197}}&nbsp;(197), {{Raumgruppe|198}}&nbsp;(198), {{Raumgruppe|199}}&nbsp;(199)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Ullmannit]]<br />[[Natriumbromat]]
|-
| style="background:#D0F0FF" | 29
| style="background:#D0F0FF" align="left" | disdodekaedrisch
| style="background:#D0F0FF" |  ''T''<sub>''h''</sub>
| style="background:#D0F0FF" |  2/''m''{{Oberstrich|3}}
| style="background:#D0F0FF" |  ''m''{{Oberstrich|3}}
| {{Raumgruppe|200}}&nbsp;(200), {{Raumgruppe|201}}&nbsp;(201), {{Raumgruppe|202}}&nbsp;(202), {{Raumgruppe|203}}&nbsp;(203), {{Raumgruppe|204}}&nbsp;(204), {{Raumgruppe|205}}&nbsp;(205), {{Raumgruppe|206}}&nbsp;(206)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Pyrit]]<br />[[Alaune#Kalialaun|Kalialaun]]
|-
| style="background:#F0F0C0" | 30
| style="background:#F0F0C0" align="left" | pen&shy;ta&shy;gon-i&shy;ko&shy;si&shy;te&shy;tra&shy;e&shy;drisch
| style="background:#F0F0C0" | ''O''
| colspan=2 style="background:#F0F0C0" | 432
| rowspan=3 style="background:#87CEFA" | ''m''{{Oberstrich|3}}''m''
| {{Raumgruppe|207}}&nbsp;(207), {{Raumgruppe|208}}&nbsp;(208), {{Raumgruppe|209}}&nbsp;(209), {{Raumgruppe|210}}&nbsp;(210), {{Raumgruppe|211}}&nbsp;(211), {{Raumgruppe|212}}&nbsp;(212), {{Raumgruppe|213}}&nbsp;(213), {{Raumgruppe|214}}&nbsp;(214)
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe9" | +
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
|[[Maghemit]]<br />[[Ye’elimit]]
|-
| style="background:#CCCC99" | 31
| style="background:#CCCC99" align="left" | he&shy;xa&shy;kis&shy;te&shy;tra&shy;ed&shy;risch
| style="background:#CCCC99" | ''T''<sub>''d''</sub>
| colspan=2 style="background:#CCCC99" | {{Oberstrich|4}}3''m''
| {{Raumgruppe|215}}&nbsp;(215), {{Raumgruppe|216}}&nbsp;(216), {{Raumgruppe|217}}&nbsp;(217), {{Raumgruppe|218}}&nbsp;(218), {{Raumgruppe|219}}&nbsp;(219), {{Raumgruppe|220}}&nbsp;(220)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe9" | +
| [[Sphalerit]]<br />[[Sodalith]]
|-
| style="background:#87CEFA" | 32
| style="background:#87CEFA" align="left" | he&shy;xa&shy;kis&shy;ok&shy;ta&shy;e&shy;drisch
| style="background:#87CEFA" |  ''O''<sub>''h''</sub>
| style="background:#87CEFA" | 4/''m''{{Oberstrich|3}}2/''m''
| style="background:#87CEFA" | ''m''{{Oberstrich|3}}''m''
| {{Raumgruppe|221}}&nbsp;(221), {{Raumgruppe|222}}&nbsp;(222), {{Raumgruppe|223}}&nbsp;(223), {{Raumgruppe|224}}&nbsp;(224), {{Raumgruppe|225}}&nbsp;(225), {{Raumgruppe|226}}&nbsp;(226), {{Raumgruppe|227}}&nbsp;(227), {{Raumgruppe|228}}&nbsp;(228), {{Raumgruppe|229}}&nbsp;(229), {{Raumgruppe|230}}&nbsp;(230)
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| class="hintergrundfarbe7" | –
| [[Diamant]]<br />[[Kupfer]]
|- class="hintergrundfarbe5"
| colspan="14" align="left" |
<small>{{FNZ|1|Die Hintergrundfarbe zeigt die [[Holoedrie|Holoedrie und Meroedrie(n)]] der jeweiligen Kristallsysteme an.
:Holoedrie:
:{{Farbindex|87CEFA|Die Punktgruppe stimmt mit der Punktgruppe des Gitters überein}}
:Hemiedrien:
:{{Farbindex|D0F0FF|Paramorphie: Wegfall der [[Ebenenspiegelung|Spiegelebene]] parallel zur Hauptachse}}
:{{Farbindex|F0E68C|Hemimorphie: Wegfall der Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse}}
:{{Farbindex|F0F0C0|[[Chiralität (Chemie)|Enantiomorphie]]: Wegfall aller Spiegelebenen und [[Punktspiegelung|Inversionszentren]]}}
:{{Farbindex|CCCC99|Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige [[Drehspiegelgruppe|Drehinversionsachsen]]}}
: Tetartoedrien:
:{{Farbindex|FFFF66|Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen [[Drehung|Drehachsen]]. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktkruppen ebenfalls enantiomorph}}
:{{Farbindex|FFDD00|Tetartoedrie 2. Art: Untergruppe der Hemiedrie 2. Art; Wegfall aller Spiegelebenen ''und'' 2-zähligen Drehachsen}}
}}
<br />
{{FNZ|2|Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet:
:{{Farbindex|B9FFC5|Aufgrund der Symmetrie erlaubt und vorhanden}}
:{{Farbindex|FFCBCB|Aufgrund der Symmetrie verboten und ''nicht'' vorhanden}}
:Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden. Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.
}}</small>
|}

=== Anmerkungen ===
Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen <math>T</math> einer Raumgruppe <math>R</math> bilden einen [[Normalteiler]] von <math>R</math>. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur  [[Faktorgruppe]] <math>R/T</math> [[isomorph]] ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, d.&nbsp;h. seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der [[Brillouinzone]] wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden [[Wellenvektor]]s beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle; dagegen kommen sowohl bei Molekülen als auch bei [[Festkörper]]n in den [[Quasikristall]]en solche Drehachsen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs ''Kristall'' war das Verbot als für Kristalle universell gültig angenommen worden.<ref name="Shechtman">
{{Internetquelle | url=http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/press.html | titel=The Nobel Prize in Chemistry 2011 | werk=Nobelprize.org | zugriff=2011-10-21 | sprache=en }}</ref>

Das [[Beugungsbild]] von Kristallen bei [[Kristallstrukturanalyse|Strukturanalysen]] mithilfe der [[Röntgenbeugung]] enthält gemäß dem [[Friedelsches Gesetz|Friedelschen Gesetz]] in Abwesenheit [[Lauegruppe #Ausnutzung anomaler Streuung|anomaler Streuung]] immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32&nbsp;Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 [[Zentralsymmetrie|zentrosymmetrisch]]en kristallographischen Punktgruppen, die auch als [[Lauegruppe]]n bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

== Punktgruppen in der Molekülphysik ==
{| class="wikitable centered"
|+ Punktgruppen und [[Molekülsymmetrie]]
|-----
! [[Arthur Schoenflies|Schoenflies]]
! [[Hermann-Mauguin-Symbolik|Hermann-Mauguin]]
! Symmetrieelemente
! Molekülbeispiele
|-----
| colspan="4" | '''Punktgruppen geringer Symmetrie'''
|-----
| C<sub>1</sub>
| <math>1\ </math>
| I/E = C<sub>1</sub>
| CHFClBr, SOBrCl
|-----
| C<sub>s</sub> ≡ S<sub>1</sub>
| <math>m\ </math>
| σ ≡ S<sub>1</sub>
| BFClBr, SOCl<sub>2</sub>
|-----
| C<sub>i</sub> ≡ S<sub>2</sub>
| <math>\bar{1}</math>
| i ≡ S<sub>2</sub>
| 1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-[[Weinsäure]]
|-----
| colspan="4" | '''[[Spezielle orthogonale Gruppe|ebene Drehgruppen SO(2)]]'''
|-----
| C<sub>2</sub>
| <math>2\ </math>
| C<sub>2</sub>
| [[Wasserstoffperoxid|H<sub>2</sub>O<sub>2</sub>]], [[Dischwefeldichlorid|S<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub>]]
|-----
| C<sub>3</sub>
| <math>3\ </math>
| C<sub>3</sub>
| [[Triphenylmethan]], N(GeH<sub>3</sub>)<sub>3</sub>
|-----
| C<sub>4</sub>
| <math>4\ </math>
| C<sub>4</sub>
| 
|-----
| C<sub>5</sub>
| <math>5\ </math>
| C<sub>5</sub>
| [[15-Krone-5]]
|-----
| C<sub>6</sub>
| <math>6\ </math>
| C<sub>6</sub>
| α-Cyclodextrin
|-----
| colspan="4" | '''[[Spezielle orthogonale Gruppe|Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen]]'''
|-----
| C<sub>2v</sub> ≡ D<sub>1h</sub>
| <math>2mm\ </math>
| C<sub>2</sub>, 2σ<sub>v</sub>
| [[Wasser|H<sub>2</sub>O]], [[Sulfurylchlorid|SO<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub>]], o-/m-[[Dichlorbenzole|Dichlorbenzol]]
|-----
| C<sub>3v</sub>
| <math>3m\ </math>
| C<sub>3</sub>, 3σ<sub>v</sub>
| [[Ammoniak|NH<sub>3</sub>]], [[Chloroform|CHCl<sub>3</sub>]], [[Methylchlorid|CH<sub>3</sub>Cl]], [[Phosphoroxychlorid|POCl<sub>3</sub>]]
|-----
| C<sub>4v</sub>
| <math>4mm\ </math>
| C<sub>4</sub>, 4σ<sub>v</sub>
| SF<sub>5</sub>Cl, XeOF<sub>4</sub>
|-----
| C<sub>5v</sub>
| -
| C<sub>5</sub>, 5σ<sub>v</sub>
| [[Corannulen]], C<sub>5</sub>H<sub>5</sub>In
|-----
| C<sub>6v</sub>
| <math>6mm\ </math>
| C<sub>6</sub>, 6σ<sub>v</sub>
| Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
|-----
| C<sub>∞v</sub>
| -
| C<sub>∞</sub>, ∞σ<sub>v</sub>
| lineare Moleküle wie [[Cyanwasserstoff|HCN]], COS
|-----
| colspan="4" | '''[[Spezielle orthogonale Gruppe|Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen]]'''
|-----
| C<sub>2h</sub> ≡ D<sub>1d</sub> ≡ S<sub>2v</sub>
| <math>2/m\ </math>
| C<sub>2</sub>, σ<sub>h</sub>, i
| [[Oxalsäure]], ''trans''-Buten
|-----
| C<sub>3h</sub> ≡ S<sub>3</sub>
| <math>3/m\ </math>
| C<sub>3</sub>, σ<sub>h</sub>
| [[Borsäure]]
|-----
| C<sub>4h</sub>
| <math>4/m\ </math>
| C<sub>4</sub>, σ<sub>h</sub>, i
| Polycycloalkan C<sub>12</sub>H<sub>20</sub>
|-----
| C<sub>6h</sub>
| <math>6/m\ </math>
| C<sub>6</sub>, σ<sub>h</sub>, i
| Hexa-2-propenyl-benzol
|-----
| colspan="4" | '''[[Drehspiegelgruppe]]n'''
|-----
| S<sub>4</sub>
| <math>\bar{4}</math>
| S<sub>4</sub>
| 12-Krone-4, [[Tetraphenylmethan]], Si(OCH<sub>3</sub>)<sub>4</sub>  
|-----
| S<sub>6</sub> ≡ C<sub>3i</sub>
| <math>\bar{3}</math>
| S<sub>6</sub>
| 18-Krone-6, Hexacyclopropylethan
|-----
| colspan="4" | '''[[Diedergruppe]]n'''
|-----
| D<sub>2</sub> ≡ S<sub>1v</sub>
| <math>222\ </math>
| 3C<sub>2</sub>
| [[Twistan]]
|-----
| D<sub>3</sub>
| <math>32\ </math>
| C<sub>3</sub>, 3C<sub>2</sub>
| Tris-chelatkomplexe
|-----
| D<sub>4</sub>
| <math>422\ </math>
| C<sub>4</sub>, 4C<sub>2</sub>
| -
|-----
| D<sub>6</sub>
| <math>622\ </math>
| C<sub>6</sub>, 6C<sub>2</sub>
| Hexaphenylbenzol
|-----
| colspan="4" | '''Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen'''
|-----
| D<sub>2h</sub>
| <math>mmm\ </math>
| S<sub>2</sub>, 3C<sub>2</sub>, 2σ<sub>v</sub>, σ<sub>h</sub>, i
| [[Ethen]], p-[[Dichlorbenzol]]
|-----
| D<sub>3h</sub>
| <math>\bar{6}2m</math>
| S<sub>3</sub>, C<sub>3</sub>, 3C<sub>2</sub>, 3σ<sub>v</sub>, σ<sub>h</sub>
| [[Bortrifluorid|BF<sub>3</sub>]], [[Phosphorpentachlorid|PCl<sub>5</sub>]]
|-----
| D<sub>4h</sub>
| <math>4/mmm\ </math>
| S<sub>4</sub>, C<sub>4</sub>, 4C<sub>2</sub>, 4σ<sub>v</sub>, σ<sub>h</sub>, i
| [[Xenontetrafluorid|XeF<sub>4</sub>]]
|-----
| D<sub>5h</sub>
| -
| S<sub>5</sub>, C<sub>5</sub>, 5C<sub>2</sub>, 5σ<sub>v</sub>, σ<sub>h</sub>
| [[Iodheptafluorid|IF<sub>7</sub>]]
|-----
| D<sub>6h</sub>
| <math>6/mmm\ </math>
| S<sub>6</sub>, C<sub>6</sub>, 6C<sub>2</sub>, 6σ<sub>v</sub>, σ<sub>h</sub>, i
| [[Benzol]]
|-----
| D<sub>∞h</sub>
| -
| S<sub>2</sub>, C<sub>∞</sub>, ∞C<sub>2,</sub> ∞σ<sub>v</sub>, σ<sub>h</sub>, i
| lineare Moleküle wie [[Kohlendioxid]], [[Ethin]]
|-----
| colspan="4" | '''Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen'''
|-----
| D<sub>2d</sub> ≡ S<sub>4v</sub>
| <math>\bar{4}2m\ </math>
| S<sub>4</sub>, 2C<sub>2</sub>, 2σ<sub>d</sub>
| [[Propadien]], [[Cyclooctatetraen]], B<sub>2</sub>Cl<sub>4</sub>
|-----
| D<sub>3d</sub> ≡ S<sub>6v</sub>
| <math>\bar{3}m\ </math>
| S<sub>6</sub>, C<sub>3</sub>, 3C<sub>2</sub>, 3σ<sub>d</sub>, i
| [[Cyclohexan]]
|-----
| D<sub>4d</sub> ≡ S<sub>8v</sub>
| -
| S<sub>8</sub>, C<sub>4</sub>, 4C<sub>2</sub>, 4σ<sub>d</sub>
| Cyclo-[[Schwefel]] (S<sub>8</sub>)
|-----
| D<sub>5d</sub> ≡ S<sub>10v</sub>
| -
| S<sub>10</sub>, C<sub>5</sub>, 5C<sub>2</sub>, 5σ<sub>d</sub>
| [[Ferrocen]]
|-----
| colspan="4" | '''[[Tetraeder]]gruppen'''
|-----
| T
| <math>23\ </math>
| 4C<sub>3</sub>, 3C<sub>2</sub>
| Pt(PF<sub>3</sub>)<sub>4</sub>
|-----
| T<sub>h</sub>
| <math>m3</math>
| 4S<sub>6</sub>, 4C<sub>3</sub>, 3C<sub>2</sub>, 3σ<sub>h</sub>, i
| Fe(C<sub>6</sub>H<sub>5</sub>)<sub>6</sub>
|-----
| T<sub>d</sub>
| <math>\bar{4}3m</math>
| 3S<sub>4</sub>, 4C<sub>3</sub>, 3C<sub>2</sub>, 6σ<sub>d</sub>
| [[Methan|CH<sub>4</sub>]], [[Phosphor|P<sub>4</sub>]], [[Adamantan]]
|-----
| colspan="4" | '''[[Oktaedergruppe]]n'''
|-----
| O
| <math>432\ </math>
| 3C<sub>4</sub>, 4C<sub>3</sub>, 6C<sub>2</sub>
| -
|-----
| O<sub>h</sub>
| <math>m3m\ </math>
| 4S<sub>6</sub>, 3S<sub>4</sub>, 3C<sub>4</sub>, 4C<sub>3</sub>, 6C<sub>2</sub>, 3σ<sub>h</sub>, 6σ<sub>d</sub>, i
| [[Schwefelhexafluorid|SF<sub>6</sub>]], [[Cuban]]
|-----
| colspan="4" | '''[[Ikosaedergruppe]]n'''
|-----
| I
| -
| 12S<sub>10</sub>, 10S<sub>6</sub>, 6C<sub>5</sub>, 10C<sub>3</sub>, 15C<sub>2</sub>
| -
|-----
| I<sub>h</sub>
| -
| 12S<sub>10</sub>, 10S<sub>6</sub>, 6C<sub>5</sub>, 10C<sub>3</sub>, 15C<sub>2</sub>, 15σ<sub>v</sub>, i
| [[Fullerene|Fulleren-C60]], [[Fulleren-C20]] ([[Pentagondodekaeder]])
|-----
| colspan="4" | '''[[Drehgruppe|räumliche Drehgruppen SO(3)]]'''
|-----
| K<sub>h</sub>
| -
| ∞C<sub>∞</sub>, ∞σ, i
| einatomige Teilchen wie [[Helium]], Elementarteilchen
|}

== Anwendungen ==
Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle [[Materialeigenschaft]]en durch einen entsprechenden [[Tensor]] beschrieben.

Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors bzw. der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:
# In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.
# Die [[Elastizitätsmodul #Beziehungen elastischer Konstanten|elastischen Konstanten]] sind ein Tensor 4.&nbsp;Stufe, der im Allgemeinen 3<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;81&nbsp;Komponenten hat. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten:
::* C<sub>1111</sub> (= C<sub>2222</sub> = C<sub>3333</sub>)
::* C<sub>1122</sub> (= C<sub>2233</sub> = C<sub>1133</sub>) und
::* C<sub>1212</sub> (= C<sub>1313</sub> = C<sub>2323</sub>);
::alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und [[Festkörperphysik]] kann man aus der Symmetrie des Moleküls bzw. Kristalls die Anzahl der [[Infrarotspektroskopie|infrarot-]] und [[Raman-Spektroskopie|raman-]]<nowiki></nowiki>aktiven [[Moden]] und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen [[Frequenz]]en zu den jeweiligen Moden ist mit [[Gruppentheorie|gruppentheoretischen]] Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die [[Bindungsenergie]]n zwischen den Atomen berechnen.

== Literatur ==
;Kristallographie
* {{Literatur|Hrsg=[[Joachim Bohm (Kristallograph)|Joachim Bohm]], Detlef Klimm, Manfred Mühlberg, Björn Winkler|Titel=[[Will Kleber]]: Einführung in die Kristallographie|Auflage=20|Verlag=[[Walter de Gruyter (Verlag)|De Gruyter]]|Ort=Berlin/Boston|Datum=2021|ISBN=978-3-11-046023-0|Seiten=56-82}}
* {{Literatur|Autor=[[Theo Hahn]], Helmut Klapper|Titel=Crystallographic and noncrystallographic point groups|Hrsg=Mois I. Aroyo|Sammelwerk=[[International Tables for Crystallography]]|Band=Volume A: Space-group symmetry|Auflage=6|Verlag=[[John Wiley & Sons| Wiley]]|Ort=New York|Datum=2016|ISBN=9780470974230|Seiten=720–737}}
* {{Literatur|Autor=Frank Hoffmann|Titel=Faszination Kristalle und Symmetrie – Einführung in die Kristallographie|Auflage=1|Verlag=[[Springer Spektrum]]|Ort=Berlin|Datum=2016|ISBN=978-3-658-09581-9|Seiten=108–127}}
<br />
;Molekülphysik
* {{Literatur
 | Autor= [[Wolfgang Demtröder]]
 | Titel= Molekülphysik
 | Auflage= 
 | Verlag= Oldenbourg
 | Ort= München
 | Jahr= 2003
 | ISBN= 3-486-24974-6
}}
* J. Michael Hollas: ''Die Symmetrie von Molekülen'', Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Point groups}}
* [http://reference.iucr.org/dictionary/Point_group Definition der Punktgruppe] (IUCr, engl.)
* [http://reference.iucr.org/dictionary/Geometric_crystal_class Geometrische Kristallklasse] (IUCr, engl.)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|GND=4176373-7|TYP=s}}

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Kristallographie]]
[[Kategorie:Physikalische Chemie]]