Quelltext der Seite Poisson-Verteilung

{{Infobox Verteilung
| name = Poisson-Verteilung
| type = mass
| pdf_image = [[Datei:Poisson-Verteilung 1 5 9.svg|400px]]<br>Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung für die Parameter <math>\lambda</math> = 1, 5 und 9
| cdf_image = [[File:Poisson cumulative distribution function.svg|Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung für die Parameterwerte <math>\lambda = 1, 5, 9</math> und den ersten zwanzig <math>k</math>-Werten.]]<br>Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung für die Parameter <math>\lambda</math> = 1, 5 und 9
| parameters = <math>\lambda \in \mathbb{R}^+</math>
| support = <math>\mathbb{N}_0</math>
| pdf = <math>\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}</math>
| cdf = <math>e^{-\lambda} \sum_{k = 0}^n \frac{\lambda^k}{k!}</math>
| mean = <math>\lambda</math>
| median = <math>\approx \left\lfloor\lambda + \frac{1}{3} - \frac{1}{50 \lambda}\right\rfloor</math>
| mode = <math>\lceil\lambda\rceil - 1, \lfloor\lambda\rfloor</math>
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| skewness = <math>\frac{1}{\sqrt{\lambda}}</math>
| kurtosis = <math>\frac{1}{\lambda}</math>
| mgf = <math>e^{\lambda \left(e^t - 1\right)}</math>
| fisher = <math>\frac{1}{\lambda}</math>
}}

Die '''Poisson-Verteilung''' (benannt nach dem Mathematiker [[Siméon Denis Poisson]]) ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]], mit der die Anzahl von Ereignissen [[Mathematisches Modell|modelliert]] werden kann, die bei konstanter mittlerer Rate [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|unabhängig voneinander]] in einem festen [[Intervall (Mathematik)|Zeitintervall]] oder räumlichen Gebiet eintreten. Sie ist eine [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariate]] [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]], die einen häufig vorkommenden [[#Beziehung zur Binomialverteilung|Grenzwert der Binomialverteilung]] für unendlich viele Versuche darstellt. Sie lässt sich aber auch aus grundlegenden Prozesseigenschaften axiomatisch herleiten.

Eine [[Zufallsvariable]], deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Poisson-Verteilung ist, heißt '''Poisson-verteilt'''.
Die Zuwächse eines [[Poisson-Prozess]]es sind Poisson-verteilte Zufallsvariablen. Erweiterungen der Poisson-Verteilung wie die [[verallgemeinerte Poisson-Verteilung]] und die [[gemischte Poisson-Verteilung]] werden vor allem im Bereich der [[Versicherungsmathematik]] angewendet.

Die Poisson-Verteilung spielt eine wichtige Rolle bei [[diskret-stabile Verteilung|diskret-stabilen Verteilungen]].

== Definition ==
Die Poisson-Verteilung <math>P_\lambda</math> ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird durch einen [[Reelle Zahl|reellen]] Parameter <math>\lambda > 0</math> bestimmt, der den [[Erwartungswert]] und gleichzeitig die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Verteilung beschreibt. Sie ordnet den [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math> k = 0, 1, 2, \dotsc</math> die Wahrscheinlichkeiten

:<math>P_\lambda (k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda}</math>

zu, wobei <math>\mathrm{e}</math> die [[Eulersche Zahl]] und <math>k!</math> die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] von <math>k</math> bezeichnet. Der Parameter <math>\lambda</math> beschreibt anschaulich die bei einer Beobachtung erwartete Ereignishäufigkeit. Die Poisson-Verteilung gibt dann die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ereignisanzahl <math>k</math> im Einzelfall an, wenn die [[Arithmetisches Mittel|mittlere]] Ereignisrate <math>\lambda</math> bekannt ist.

== Beispiele ==

=== Radioaktivität ===
An einer [[Radioaktivität|radioaktiven]] Probe aus [[Uran]] werden pro Sekunde im Mittel <math>\lambda = 4{,}5</math> Zerfälle gemessen. Da die Zerfallsereignisse approximativ unabhängig voneinander sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall von 1 Sekunde <math>k</math> Zerfallsereignisse gemessen werden, etwa durch die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] einer Poisson-Verteilung gegeben: 
:<math>P_{4{,}5}(k) = \frac{4{,}5^k}{k!} \mathrm{e}^{-{4{,}5}}\;,</math>
Die Werte sind für <math>k = 0,1,\dots,20</math> in folgender Tabelle aufgelistet:
{| class="wikitable" style="text-align:right"
!k
!<math>P_{4{,}5}(k)</math>
|-
| '''0''' || 0,011109
|-
| '''1''' || 0,049990
|-
| '''2''' || 0,112479
|-
| '''3''' || 0,168718
|-
| '''4''' || 0,189808
|-
| '''5''' || 0,170827
|-
| '''6''' || 0,128120
|-
| '''7''' || 0,082363
|-
| '''8''' || 0,046329
|-
| '''9''' || 0,023165
|-
| '''10''' || 0,010424
|-
| '''11''' || 0,004264
|-
| '''12''' || 0,001599
|-
| '''13''' || 0,000554
|-
| '''14''' || 0,000178
|-
| '''15''' || 0,000053
|-
| '''16''' || 0,000015
|-
| '''17''' || 0,000004
|-
| '''18''' || 0,000001
|-
| '''19''' || 0,000000
|-
| '''20''' || 0,000000
|-
| '''Summe'''|| '''1,000000'''
|}

=== Ergebnisse beim Fußball ===
Die Fußballmannschaft von ''SK Rapid Wien'' erzielt im Mittel 1,39 Tore pro Spiel. Die Fußballmannschaft von ''SK Sturm Graz'' hat eine Torquote von 1,61 pro Spiel. Es sollen die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, dass bei einem Match zwischen ''SK Rapid Wien'' und ''SK Sturm Graz'' bestimmte Ergebnisse erzielt werden. Es wird vereinfacht angenommen, dass die Anzahlen der Tore der zwei Mannschaften [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind. Für das Endergebnis <math>k_1 : k_2</math> ergibt sich das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zwei Poisson-Verteilungen <math>P_{\lambda_1}</math> und <math>P_{\lambda_2}</math> mit <math>\lambda_1 = 1{,}39</math> und <math>\lambda_2 = 1{,}61</math>, also
:<math>P_{\lambda_1}(k_1) \cdot P_{\lambda_2}(k_2) = \frac{\lambda_1^{k_1}}{k_1!}\, \mathrm{e}^{-\lambda_1} \cdot \frac{\lambda_2^{k_2}}{k_2!}\, \mathrm{e}^{-\lambda_2} = \frac{1{,}39^{k_1}}{k_1!}\, \mathrm{e}^{-1{,}39} \cdot \frac{1{,}61^{k_2}}{k_2!}\, \mathrm{e}^{-1{,}61}</math>
Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse 0:0, 0:1, 0:2, 0:3, 1:0, 1:1, 1:2, 1:3, 2:0, 2:1, 2:2, 2:3, 3:0, 3:1, 3:2, 3:3 zeigt die folgende Tabelle:
{| class="wikitable" style="text-align:right"
!k<sub>1</sub>:k<sub>2</sub>
!0
!1
!2
!3
|-
!0
|0,0498
|0,0802
|0,0645
|0,0346
|-
!1
|0,0692
|0,1114
|0,0897
|0,0481
|-
!2
|0,0481
|0,0774
|0,0623
|0,0335
|-
!3
|0,0223
|0,0359
|0,0289
|0,0155
|}
Das Ergebnis 1:1 hat mit <math>P_{1{,}39}(1) \cdot P_{1{,}61}(1) \approx 0{,}1114</math> die größte Wahrscheinlichkeit.<ref>Georg Berschneider, René L. Schilling, Technische Universität Dresden: [https://www.motapa.de/open/schilling89.pdf Die Poisson-Verteilung, Fußballtore und das Gesetz der kleinen Zahlen]</ref><ref>Alexander Kager: [https://unipub.uni-graz.at/obvugrhs/download/pdf/2751398 Ist Fußball (un)berechenbar - wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen in der Sekundarstufe II]</ref>

== Eigenschaften ==
=== Rekursionsformel ===
Es gilt die Rekursionsformel
:<math>P_\lambda(k) =  \frac{\lambda}{k} P_\lambda(k-1) </math>
für <math>k=1,2,\dots</math> mit  <math>P_\lambda(0) = \mathrm{e}^{-\lambda}</math>.

=== Verteilungsfunktion ===
Die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_{\lambda}</math> der Poisson-Verteilung ist
:<math>F_{\lambda}(n)=\sum_{k=0}^n P_\lambda (k) =  e^{-\lambda} \sum_{k=0}^n \frac{\lambda^k}{k!} = Q(n+1,\lambda)=p</math>
und gibt die Wahrscheinlichkeit <math>p</math> dafür an, höchstens <math>n</math> Ereignisse zu finden, wo man <math>\lambda</math> im Mittel erwartet. Dabei bezeichnet <math>Q(a,x)</math> die [[Gammafunktion#Unvollständige Gammafunktion|regularisierte Gammafunktion]] der unteren Grenze.

=== Erwartungswert, Varianz, Moment ===
Ist die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> Poisson-verteilt, also <math>X\sim \mathcal{P}(\lambda)</math>, so ist <math>\lambda</math> zugleich [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]], denn es gilt

:<math>\operatorname{E}(X) =\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{k!}\,\mathrm{e}^{-\lambda}
              =  \sum_{k=1}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{k!}\,\mathrm{e}^{-\lambda}
              =  \lambda\, \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
              =  \lambda\, \mathrm{e}^{-\lambda}\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!}}_{e^\lambda}
              = \lambda</math>

sowie

:<math>\begin{align}\operatorname{E}\left(X^2\right) &=\sum_{k=0}^\infty k^2\frac{\lambda^k}{k!}\,\mathrm{e}^{-\lambda}
= \mathrm{e}^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^\infty k\frac{\lambda^k}{(k-1)!} 
= \mathrm{e}^{-\lambda}\,\left ( \sum_{k=1}^\infty (k-1)\frac{\lambda^k}{(k-1)!} + \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!} \right )\\
&= \mathrm{e}^{-\lambda}\,\left ( \sum_{k=2}^\infty (k-1)\frac{\lambda^k}{(k-1)!} + \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!} \right )
 = \mathrm{e}^{-\lambda}\,\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-2)!} + \mathrm{e}^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!}\\
&=\lambda^2\cdot\mathrm{e}^{-\lambda}\,\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda\cdot\mathrm{e}^{-\lambda}\,\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}= \lambda^2+\lambda.
\end{align}</math>
Nach dem [[Verschiebungssatz (Statistik)|Verschiebungssatz]] folgt hiermit
:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left(X^2\right)-(\operatorname{E}(X))^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda.</math>

Auch für das dritte zentrierte Moment gilt <math>\operatorname{E}\left(\left(X-\operatorname{E}(X)\right)^3\right) = \lambda</math>.

=== Median ===
Es liegt die Vermutung nahe, dass der [[Median (Stochastik)|Median]] <math>n_\text{median}</math> nahe bei <math>\lambda</math>
liegt. Eine exakte Formel existiert jedoch nicht, die genauestmögliche Abschätzung ist<ref>Adell, Jodra: ''The median of the poisson distribution''. In: ''Metrika'', 61, 2005, S.&nbsp;337–346, [[doi:10.1007/s001840400350]].</ref>
: <math> \lambda - \ln 2 \le n_\text{median}< \lambda + \frac{1}{3}. </math>

=== Variationskoeffizient ===
Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man sofort den [[Variationskoeffizient]]en
: <math>\operatorname{VarK}(X) = \frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}</math>.

=== Schiefe und Wölbung ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ergibt sich zu
: <math>\operatorname{v}(X) = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}</math>.
Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als
: <math>\beta_2 =3+\frac{1}{\lambda}</math>.
und der [[Wölbung (Statistik)#Exzess|Exzess]] als
: <math>\gamma =\frac{1}{\lambda}</math>.

=== Höhere Momente ===
Das <math>k</math>-te [[Moment (Stochastik)|Moment]] lässt sich als Polynom von Grad <math>k</math> in <math> \lambda </math> angeben und ist das <math>k</math>-te [[Bell-Polynom|vollständige Bell-Polynom]] <math> B_k </math>, ausgewertet an den <math>k</math> Stellen <math> \lambda </math>:<ref>A. Papoulis: ''Poisson Process and Shot Noise''. In: ''Probability, Random Variables, and Stochastic Processes''. 2. Aufl. McGraw-Hill, New York 1984, S.&nbsp;554–576.</ref>
: <math>m_k=B_k(\lambda, \dots, \lambda) </math>.

=== Kumulanten ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] der Poisson-Verteilung ist
: <math> g_X(t)=\lambda(e^t-1) </math>.

Damit sind alle [[Kumulante]]n gleich <math> \kappa_i=\lambda  </math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
: <math>\phi_{X}(s) = \sum_{k=0}^\infty\mathrm{e}^{\mathrm{i}ks}\frac{\lambda^k}{k!}\,\mathrm{e}^{-\lambda}
               = \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty\frac{\left(\lambda\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}s}\right)^k}{k!}
               = \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}s}}
               = \mathrm{e}^{\lambda\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}s}-1\right)}</math>.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Für die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] erhält man
: <math>m_{X}(s) = \mathrm{e}^{\lambda(s-1)}</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der Poisson-Verteilung ist
: <math>M_{X}(s) = \mathrm{e}^{\lambda(\mathrm{e}^{s}-1)}.</math>

=== Reproduktivität ===
Die Poisson-Verteilung ist [[Reproduktivität|reproduktiv]], d.&nbsp;h., die Summe <math>X_1+X_2+ \dotsb +X_n</math> [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängiger]] Poisson-verteilter Zufallsvariablen <math>X_1, X_2,  \dotsc, X_n</math> mit den Parametern <math>\lambda_1,\lambda_2, \dotsc, \lambda_n</math> ist wieder Poisson-verteilt mit dem Parameter <math>\lambda_1 + \lambda_2 + \dotsb + \lambda_n</math>. Für die [[Faltung (Stochastik)|Faltung]] gilt also
:<math> \operatorname{Poi}(\lambda_1)*\operatorname{Poi}(\lambda_2)=\operatorname{Poi}(\lambda_1+ \lambda_2) </math>

Somit bilden die Poisson-Verteilungen eine [[Faltungshalbgruppe]].
Dieses Ergebnis folgt unmittelbar aus der [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristischen Funktion]] der Poisson-Verteilung und der Tatsache, dass die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der charakteristischen Funktionen ist.

Die Poisson-Verteilung ist also auch [[Unendliche Teilbarkeit|unendlich teilbar]].
Nach einem Satz des [[Sowjetunion|sowjetischen]] Mathematikers
[[Dmitri Abramowitsch Raikow]] gilt auch die Umkehrung: Ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> die Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>X_2</math>, dann sind die Summanden <math>X_1</math> und <math>X_2</math> ebenfalls Poisson-verteilt. Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable lässt sich also nur in Poisson-verteilte unabhängige Summanden zerlegen. Dieser Satz ist ein Analogon zu dem [[Satz von Cramér (Normalverteilung)|Satz von Cramér]] für die Normalverteilung.

=== Ausdünnung ===
Häufig kommen stochastische Experimente vor, bei denen die Ereignisse eigentlich Poisson-verteilt sind, aber die Zählung nur erfolgt, wenn noch eine zusätzliche Bedingung erfüllt ist. Beispielsweise könnte die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, Poisson-verteilt sein, aber aus jedem Ei schlüpft nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine Larve. Ein Beobachter dieser Poisson-verteilten Zufallsvariable mit Parameter <math> \lambda </math> zählt jedes Ereignis also nur mit einer Wahrscheinlichkeit <math>p < 1</math> (unabhängig voneinander).

Alternativ könnte aber auch ein Fehler bei der Zählung dazu führen, dass das Ereignis nicht registriert wird. Wenn also ursprünglich <math>n</math> Ereignisse vorliegen, werden entsprechend der Binomial-Verteilung <math>B_{n,p}(r)</math> nur <math>r</math> Ereignisse gezählt. In diesem Fall ist der wahre Wert <math>n</math> unbekannt und variiert zwischen dem gemessenen Wert <math>r</math> (alle vorhandenen Ereignisse gesehen) und unendlich (es gab mehr Ereignisse, als gesehen wurden). Die Wahrscheinlichkeit eines Messwertes <math>r</math> findet man dann mittels des Produktes der Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Messung <math>B_{n,p}(r)</math> und der ursprünglichen Poisson-Verteilung <math> P_\lambda(n) </math>, summiert über alle möglichen Werte <math>n</math>:
: <math>\sum\limits_{n=r}^\infty B_{n,p}(r) P_\lambda(n) = P_{p\lambda}(r)</math>.
Die gefundenen Werte <math>r</math> bei Nachweiswahrscheinlichkeit <math>p</math> sind also wieder Poisson-verteilt. Die Nachweiswahrscheinlichkeit <math>p</math> reduziert den Parameter <math> \lambda </math> der ursprünglichen Poisson-Verteilung zu <math> p\lambda </math>. Dies bezeichnet man auch als Ausdünnung der Poisson-Verteilung.

=== Berechnung ===
Die Berechnung von <math>P_\lambda (k)</math> kann folgendermaßen rekursiv erfolgen. Zuerst bestimmt man <math>P_\lambda (0)=\mathrm{e}^{-\lambda}</math>, dann ergeben sich nacheinander <math>P_\lambda(k)=\tfrac{\lambda}{k}\cdot P_\lambda (k-1), (k=1,2,3,\dotsc)</math>. Mit wachsendem <math>k</math> werden dabei die Wahrscheinlichkeiten größer, solange <math>k<\lambda</math> ist. Wird <math>k>\lambda</math>, schrumpfen sie. Der [[Modus (Stochastik)|Modus]], also der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit, beträgt <math>k_\mathrm{Modus} =\lfloor \lambda \rfloor</math>, wenn <math>\lambda</math> nicht ganzzahlig ist, anderenfalls gibt es zwei benachbarte <math>k_\text{Modus} = \lambda,\lambda -1</math> (siehe Diagramm rechts oben).

Falls die Berechnung von <math> \frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda}</math> wegen zu großer Werte von <math>\lambda</math> und <math>k</math> Probleme bereitet, dann kann folgende mit der [[Stirlingformel]] erhaltene Näherung weiterhelfen:
:<math>\frac{\mathrm{e}^{k(1+\ln(\lambda/k))-\lambda}}{\sqrt{2\pi(k+1/6)}} .</math>

Poisson-verteilte [[Zufallszahl]]en werden üblicherweise mit Hilfe der [[Inversionsmethode]] erzeugt.

== Parameterschätzung ==
=== Maximum-Likelihood-Schätzer ===
Aus einer Stichprobe von <math>N</math> Beobachtungen <math>n_i \in \{0,1,2,\dotsc\}</math> für <math>i = 1,\dotsc,N</math> soll der Parameter <math>\lambda</math> der Poisson-verteilten Grundgesamtheit geschätzt werden. Der [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood]]-Schätzer ist gegeben durch das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]]

:<math>\hat{\lambda}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N n_i</math>.

Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist ein [[Erwartungstreue|erwartungstreuer]], [[Effizienz (Statistik)|effizienter]] und [[Suffiziente Statistik|suffizienter]] Schätzer für den Parameter <math>\lambda</math>.

=== Konfidenzintervall ===
Das [[Konfidenzintervall]] für  <math>\lambda</math> erhält man aus der Beziehung zwischen Poisson- und [[Chi-Quadrat-Verteilung]]. Liegt ein Stichprobenwert <math>n</math> vor, dann ist ein Konfidenzintervall für <math>\lambda</math> zum Konfidenzniveau <math>1-\alpha</math> gegeben durch

:<math>\tfrac 12\chi^{2}(\alpha/2; 2n) \le \lambda \le \tfrac 12 \chi^{2}(1-\alpha/2; 2n+2)</math>,

wobei  <math>\chi^{2}(p;i)</math> die [[Quantilfunktion]] der Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>i</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]] bezeichnet.

=== Prognoseintervall ===
Das [[Prognoseintervall]] hat die Aufgabe, vor dem Ziehen einer Stichprobe einen Bereich vorherzusagen, in dem man die Realisierung einer [[Schätzfunktion]] mit hoher Wahrscheinlichkeit findet.
Die Anzahl <math>n_\text{up}</math> Poisson-verteilter Ereignisse, die mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit <math>p < 1</math> nicht überschritten wird, lässt sich aus der [[Umkehrfunktion|Inversion]] der [[#Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] berechnen:
:<math>n_\text{up} = F_{\lambda}^{-1}(p).</math>
Dabei lässt sich wieder <math>F_{\lambda}(n)=p</math> durch die regularisierte Gammafunktion <math>Q(n+1,\lambda)=p</math> ausdrücken. Eine elementare Form der Inversion der Verteilungsfunktion <math>F_{\lambda}</math> oder der Gammafunktion ist nicht bekannt. Gute Dienste leistet in diesem Fall eine zweispaltige <math>(n,F_{\lambda}(n)=p)</math> Wertetabelle, die leicht mit der oben im Abschnitt Verteilungsfunktion angegebenen Summe berechenbar ist und zeigt, welche Wahrscheinlichkeiten bestimmten Werten von <math>n</math> zugeordnet sind.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Binomialverteilung ===
{{Hauptartikel|Poisson-Approximation}}

Ebenso wie die [[Binomialverteilung]] sagt die Poisson-Verteilung das zu erwartende Ergebnis einer Serie von [[Bernoulli-Experiment]]en voraus. Letzteres sind [[Zufallsexperiment]]e, die nur zwei mögliche Ergebnisse kennen (zum Beispiel „Erfolg“ und „Misserfolg“), also einen [[Dichotomie|dichotomen]] [[Wahrscheinlichkeitsraum|Ereignisraum]] besitzen. Wird das zeitliche oder räumliche Beobachtungsintervall immer weiter unterteilt, erhöht sich damit die Zahl der Versuche <math>( n \to \infty )</math>. Die fortschreitende Unterteilung bedingt eine Abnahme der Erfolgswahrscheinlichkeit <math>( p \to 0 )</math> derart, dass das Produkt <math>n \cdot p</math> gegen einen endlichen Grenzwert <math>\lambda</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Dementsprechend nähert sich die binomiale Wahrscheinlichkeitsverteilung der mathematisch etwas einfacheren Poisson-Verteilung an.

Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung herleiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr kleinen Anteilen der interessierenden Merkmale und sehr großem Stichprobenumfang: <math>n\rightarrow\infty</math> und <math>p\rightarrow 0</math> unter der Nebenbedingung, dass das Produkt <math>np=\lambda</math> einen Wert annimmt, der weder null noch unendlich ist. <math>\lambda</math> ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert.

Aus der [[Poisson-Approximation]] folgt, dass der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle <math>k</math> der [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] <math>n\to\infty</math> einer [[Binomialverteilung]] mit <math>p=\tfrac{\lambda}{n}</math> an der Stelle <math>k</math> ist:

:<math>\begin{align}
\lim_{n\to\infty}B(k\mid p,n) &= \lim_{n\to\infty} \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \\ 
 & =\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\
 & =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\lambda^{k}}{k!}\right)\left(\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\
 & =\frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\ldots\cdot\frac{n-k+1}{n}\right)\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\
 & =\frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot1\cdot\mathrm{e}^{-\lambda}\cdot1 \\
 & =\frac{\lambda^{k}\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}
\end{align}</math>

Sowohl die Poisson-Verteilung als auch die Binomialverteilung sind Spezialfälle der [[Panjer-Verteilung]].

=== Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung ===
Auch die [[verallgemeinerte Binomialverteilung]] kann für große Stichproben und kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten mittels der [[Poisson-Approximation]] angenähert werden.

=== Beziehung zur Normalverteilung ===
[[Datei:Poisson normal approxiamtion.svg|mini|Die Poisson-Wahrscheinlichkeiten für λ&nbsp;=&nbsp;30 werden durch eine Normalverteilungsdichte angenähert]]
Die Poisson-Verteilung <math>P_{\lambda}</math> hat für kleine Werte von <math>\lambda</math> eine stark asymmetrische Gestalt. Für größer werdendes <math>\lambda</math> wird <math>P_{\lambda}</math> symmetrischer und ähnelt ab etwa <math>\lambda=30</math> einer gaußschen [[Normalverteilung]] mit <math>\mu=\lambda</math> und <math>\sigma^2=\lambda</math>:

:<math>P_{\lambda}(k) \approx \frac {1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right).</math>

=== Beziehung zur Erlang-Verteilung ===
* In einem [[Poisson-Prozess]] genügt die zufällige Anzahl der Ereignisse in einem festgelegten Intervall der Poisson-Verteilung <math>P_{\lambda}</math>. Der zufällige Abstand (Strecke oder Zeit) bis zum Eintreffen des <math>n</math>-ten Ereignisses sowie der Abstand zwischen den Ereignissen <math>m</math> und <math>m+n</math> sind hingegen <math>\operatorname{Erl}(g,n)</math>-[[Erlang-Verteilung|Erlang-verteilt]]. Man sagt auch, dass die Poisson-Verteilung und die Erlang-Verteilung zueinander [[A-priori-Verteilung|konjugierte]] Verteilungen sind. Im Fall <math>n=1</math> geht diese Erlang-Verteilung in eine [[Exponentialverteilung]] über (<math>\operatorname{Erl}(g,1)=\operatorname{Exp}(g)</math>). Dabei bezeichnet <math>g</math> die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. <math>g\, \mathrm{e}^{-g x}</math> ist dann die Verteilungsdichte des Abstands <math>x</math>, der bis zum Eintreffen des nächsten Ereignisses vergehen wird, wie auch des Abstandes zwischen zwei aufeinanderfolgen Ereignissen.
* Für die Verteilungsfunktionen der [[Erlang-Verteilung]] und der Poisson-Verteilung gilt
:<math>F_{\text{Erlang}}(n+1) + F_{\text{Poisson}}(n) = 1</math>.

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
Die Verteilungsfunktionen der Poisson-Verteilung <math>F_{\lambda}</math> und der [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit <math>m</math> Freiheitsgraden <math>F_m</math> hängen auf folgende Weise zusammen:

Die Wahrscheinlichkeit, <math>n</math> oder mehr Ereignisse in einem Intervall zu finden, innerhalb dessen man im Mittel <math>\lambda</math> Ereignisse erwartet, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von <math>\chi_{2n}^2\leq 2\lambda</math> ist. Es gilt also

:<math>1-F_{\lambda}(n-1)=F_{2n}(2\lambda)</math>.

Dies folgt aus <math>1 - Q(n, \lambda ) = P(n, \lambda )</math> mit <math>P</math> und <math>Q</math> als regularisierte [[Gammafunktion#Unvollständige Gammafunktion|Gammafunktionen]].

=== Beziehung zur Skellam-Verteilung ===
Dagegen ist die Differenz <math>X_1-X_2</math> zweier [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängiger]] Poisson-verteilter Zufallsvariablen <math>X_1</math> und <math>X_2</math> mit den Parametern <math>\lambda_1</math> und <math>\lambda_2</math> nicht wieder Poisson-verteilt, sondern [[Skellam-Verteilung|Skellam-verteilt]].<ref>J. G. Skellam: ''The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations''. In: ''Journal of the Royal Statistical Society'', Series A, 109 (3), 1946, S. 296, {{JSTOR|2981372}}.</ref> Es gilt:

: <math>
  P_{\lambda_1,\lambda_2}(X_1-X_2=k)= \mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)}
  \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^{k/2}I_{k}(2\sqrt{\lambda_1\lambda_2})
</math>,

wobei <math> I_k(z) </math> die [[Bessel-Funktion#Modifizierte Bessel-Funktionen: Iν, Kν|modifizierte Bessel-Funktion]] bezeichnet.

== Weitere Poisson-Verteilungen ==
Einige weitere Verteilungen tragen teilweise den Namen „Poisson“ und sind Verallgemeinerungen der hier beschriebenen Poisson-Verteilung:
* Die '''positive Poisson-Verteilung''' ist eine bei Eins nach unten gestuzte Poissonverteilung  mit den Einzelwahrscheinlichkeiten
::<math>P_\lambda(k) = \frac{1}{\mathrm{e}^\lambda - 1} \frac{\lambda^k}{k!},\quad k \in \N\;.</math><ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1|Fundstelle=''Poisson-Verteilung'', S. 301}}</ref>
* Die [[verallgemeinerte Poisson-Verteilung]] ist eine diskrete Verteilung mit zwei Formparametern. Setzt man einen von ihnen gleich Null, ergibt sich wieder die gewöhnliche Poisson-Verteilung.
* Die [[gemischte Poisson-Verteilung]] kombiniert die Poisson-Verteilung mit einer weiteren [[Wahrscheinlichkeitsdichte]].
* Die [[Poisson-Gamma-Verteilung]] entsteht bei Kombination mit der Gamma-Verteilung. Sie entspricht der [[Negative Binomialverteilung|negativen Binomialverteilung]].
* Eine weitere Verallgemeinerung ist die [[zusammengesetzte Poisson-Verteilung]]. Sie entsteht, wenn man eine Summe [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen]] bildet und die Anzahl der Summanden Poisson-verteilt ist. Im Gegensatz zu den meisten Verteilungen ist bei dieser Verteilung nicht festgelegt, ob sie stetig oder diskret ist. Sind die aufsummierten Zufallsvariablen [[Logarithmische Verteilung|logarithmisch verteilt]], so erhält man die [[negative Binomialverteilung]] und als einen Spezialfall davon auch die [[geometrische Verteilung]].

== Freie Poisson-Verteilung ==
{{Hauptartikel|Freie Poisson-Verteilung}}
In der [[Freie Wahrscheinlichkeitstheorie|freien Wahrscheinlichkeitstheorie]] gibt es ein freies Analogon zur Poisson-Verteilung, die
[[freie Poisson-Verteilung]]. Sie wird in [[Analogismus|Analogie]] zu einem entsprechenden [[Grenzwertsätze der Stochastik|Grenzwertsatz]] für die Poisson-Verteilung als der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] der [[Iteration|iterierten]] [[Freie Faltung|freien Faltung]] <math>
\left( \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)\delta_0 + \frac{\lambda}{N}\delta_\alpha\right)^{\boxplus N}</math> für <math>N \to \infty</math> definiert.

== Zweidimensionale Poisson-Verteilung ==
Die zweidimensionale Poisson-Verteilung, auch bivariate Poisson-Verteilung<ref>Kazutomu Kawamura: ''The structure of bivariate Poisson distribution''. In: ''Kodai Mathematical Seminar Reports'', Volume 25, Number 2, 1973, S. 246–256, [[doi:10.2996/kmj/1138846776]]</ref> wird definiert durch

: <math>
P(X_1=k_1,X_2=k_2)
=  \exp\left(-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3\right) \frac{\lambda_1^{k_1}}{k_1!} \frac{\lambda_2^{k_2}}{k_2!} \sum_{k=0}^{\min(k_1,k_2)} \binom{k_1}{k} \binom{k_2}{k} k! \left( \frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2}\right)^k
</math>

Die Randverteilungen sind Poisson-verteilt mit den Parametern <math>\lambda_1 + \lambda_3</math> und <math>\lambda_2 + \lambda_3</math> und es gilt <math>\operatorname{Cov}(X_1,X_2)=\lambda_3</math>. Die Differenz ist Skellam-verteilt mit den Parametern <math>\lambda_1</math> und <math>\lambda_2</math>.

Dies bedeutet, dass man relativ einfach Abhängigkeiten zwischen Poisson-verteilten Zufallsvariablen einführen kann, wenn man die Mittelwerte der Randverteilungen sowie die Kovarianz kennt oder schätzen kann. Man kann dann die bivariate Poisson-Verteilung <math>X_1,X_2</math> einfach erzeugen, indem man drei unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen <math>Y_1,Y_2,Y_3</math> definiert mit Parametern <math>\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3</math> und dann <math>X_1 = Y_1 + Y_3,X_2 = Y_2 + Y_3</math> setzt.

Analog kann die multivariate Poisson-Verteilung<ref>Kazutomu Kawamura: ''The structure of multivariate Poisson distribution''. In: ''Kodai Mathematical Seminar Reports'', Volume 25, Number 2, 1973, S. 333–345, [[doi:10.2996/kmj/1138036064]]</ref> definiert werden.

== Anwendungsbeispiele ==

=== „Seltene“ Ereignisse ===
Das klassische Beispiel stammt von [[Ladislaus von Bortkewitsch]], der bei der Untersuchung der Anzahlen der Todesfälle durch Hufschlag in den einzelnen [[Kavallerie]]-Einheiten der preußischen Armee pro Jahr belegen konnte, dass diese Anzahlen gut durch eine Poisson-Verteilung beschrieben werden können.<ref>Ladislaus von Bortkewitsch: ''Das Gesetz der kleinen Zahlen.'' Leipzig 1898 ([http://www.archive.org/details/dasgesetzderkle01bortgoog archive.org])</ref>

Allgemein müssen für die einzelnen Zählereignisse (im Beispiel die einzelnen Todesfälle durch Hufschläge) die folgenden Bedingungen gelten, damit die Anzahl Poisson-verteilt ist:<ref>{{Webarchiv |url=http://mars.wiwi.hu-berlin.de/mediawiki/mmstat_de/index.php/Verteilungsmodelle_-_STAT-Poisson-Verteilung |wayback=20150920033111 |text=Poisson-Verteilung }} Humboldt-Universität Berlin</ref>
# Einzelereignisse: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse in einem kurzen Zeitraum auftreten, ist vernachlässigbar.
# Proportionalität: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis in einem kurzen Zeitraum zu beobachten, ist proportional zur Länge des Zeitraums.
# Homogenität: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis in einem kurzen Zeitraum zu beobachten, ist unabhängig von der Lage des Zeitraums.
# Unabhängigkeit: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis in einem kurzen Zeitraum zu beobachten, ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in anderen, nicht-überlappenden Zeiträumen.
Alternativ kann man diese Bedingungen auch damit erklären, dass die Wartezeit zwischen zwei Ereignissen [[Exponentialverteilung|exponentialverteilt]] ist. Da diese [[Gedächtnislosigkeit|gedächtnislos]] ist, treten die Ereignisse quasi zufällig und unabhängig voneinander ein.

Es ist in jedem Einzelfall zu prüfen, ob die Bedingungen vorliegen, aber typische Beispiele sind:
* Anzahl der [[Druckfehler]] auf einer Buchseite
* Anzahl der ankommenden Gespräche pro Stunde in einer Telefonzentrale
* Anzahl der [[Radioaktivität|radioaktiven Zerfälle]] einer Substanz in einem gegebenen Zeitintervall (vorausgesetzt, dass die Zerfallsrate nicht merklich abnimmt, die Messdauer also klein im Vergleich zur [[Halbwertszeit]] ist)
* Anzahl der [[Blitz]]einschläge pro [[Hektar|ha]] und Jahr
* Anzahl der aufgetretenen [[Impfschaden|Impfschäden]] pro Jahr
* der [[V-Waffen|V-Waffen-Beschuss von London]]<ref>R. D. Clarke: [https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-the-institute-of-actuaries/article/an-application-of-the-poisson-distribution/F75111847FDA534103BD4941BD96A78E ''An application of the Poisson distribution''.] In: ''Journal of the Institute of Actuaries.'' Volume 73, Number 3, 1946, S. 481, [[doi:10.1017/S0020268100035435]].</ref>

Nach dem [[Satz von Palm-Chintschin]] konvergieren sogar allgemeine [[Erneuerungsprozess]]e unter relativ milden Bedingungen gegen einen [[Poisson-Prozess]], d.&nbsp;h., auch hier ergibt sich für die Anzahl der Ereignisse wieder die Poisson-Verteilung. Das bedeutet, dass die oben angegebenen Bedingungen noch erheblich abgeschwächt werden können.

=== Ankünfte von Kunden ===
In [[Warteschlange]]nsystemen kommen Kunden oder Aufträge im System an, um bedient zu werden. In der [[Warteschlangentheorie]] werden die unterschiedlichen Modelle in der [[Kendall-Notation]] beschrieben. Dabei werden häufig insb. die Anzahl der Kunden, die in einem gewissen Zeitintervall ankommen, mit einer Poisson-Verteilung modelliert (abgekürzt durch ''M'' für exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten). Diese Modellbildung ist sehr attraktiv, da sich unter dieser Annahme oft einfache analytische Lösungen ergeben.<ref>Donald Gross, Carl M. Harris: ''Fundamentals of Queuing Theory''. Wiley & Sons, New York 1994.</ref>

Häufig kann diese Annahme auch näherungsweise gerechtfertigt werden, hier soll an einem Beispiel illustriert werden, was diese Annahme bedeutet: Ein Kaufhaus wird beispielsweise an einem Samstag durchschnittlich alle zehn Sekunden von einem Kunden betreten. Werden nun im Takt von einer Minute die Personen gezählt, die neu dazu kamen, so würde man im Mittel sechs Personen erwarten, die das Kaufhaus pro Minute betreten. Die Wahl der Länge des Intervalls liegt beim Beobachter. Würde man eine Stunde als Beobachtungsintervall wählen, ergäbe sich <math>\lambda = 6 \cdot 60 = 360</math>, bei einem Intervall von einer Sekunde wäre <math>\lambda = 1 / 10 = 0{,}1</math>. Die relative Schwankung der Kundenanzahl (<math>\sqrt{\lambda} /  \lambda</math>) nimmt mit größer werdendem Intervall und folglich größer werdendem <math>\lambda</math> ab. Das längere Intervall erlaubt also über die längere Mittelung eine im Prinzip präzisere Beobachtung, ist aber mit mehr Aufwand verbunden und kann innerhalb des Intervalls auftretende Veränderung der Bedingungen (z.&nbsp;B. Ankunft eines Busses mit einkaufswilligen Touristen) nicht erfassen.

Unter folgenden Randbedingungen könnte eine Poisson-Verteilung vorliegen:
# Die Kunden müssen einzeln ankommen. In der Realität kommen aber häufig Personengruppen gemeinsam an.
# Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde ankommt, könnte proportional zur Länge des Beobachtungszeitraums sein.
# Es gibt sicherlich über den Tag verteilt Stoßzeiten mit erhöhtem Kundenaufkommen, aber auch Flauten.
# Die Kundenankünfte in verschiedenen Zeiträumen sind nicht notwendigerweise unabhängig. Z.&nbsp;B. bei Überfüllung des Kaufhauses könnten Kunden abgeschreckt werden.

In diesem Beispiel ist die Annahme der Poisson-Verteilung nur schwer zu rechtfertigen, daher gibt es Warteschlangenmodelle z.&nbsp;B. mit Gruppenankünften, endlichen Warteschlangen oder anderen Ankunftsverteilungen, um diesen Ankunftsprozess realistischer zu modellieren. Glücklicherweise sind einige wichtige Kennzahlen, wie z.&nbsp;B. nach [[Littles Gesetz]] die durchschnittliche Anzahl von Kunden im System, nicht von der konkreten Verteilung abhängig, d.&nbsp;h., auch wenn Annahmen verletzt sind, gilt dasselbe Ergebnis.<ref>[[Rolf Schassberger]]: ''Warteschlangen''. Springer Verlag, Wien, 1973, ISBN 3-211-81074-9</ref>

=== Ball-Fächer-Modell ===
Im Gebiet [[Abzählende Kombinatorik]] besteht eine Standard-Aufgabe darin, Bälle oder Kugeln auf Fächer zu verteilen und abzuzählen, wie viele Möglichkeiten es gibt. Ordnet man die <math>N</math> Bälle den <math>n</math> Fächern zufällig zu, so erhält man für die Anzahl der Bälle in einem festen Fach eine [[Binomialverteilung]] mit <math>p=1/n</math>. Eine Anwendung ist z.&nbsp;B. die Verteilung von Rosinen auf einem Kuchen, mit dem Ziel, dass jedes Stück eine Mindestanzahl von Rosinen enthält.
[[Datei:Ricepoissor7rp.jpg|mini|Zufällig auf dem Boden verstreute Reiskörner]]
Das Bild rechts zeigt einen Ausschnitt eines Fußbodens mit quadratischen Fliesen, auf dem Reiskörner zufällig verstreut wurden. Die <math>n=49</math> Felder enthalten je <math>k=0,\dotsc,5</math> Reiskörner, und insgesamt befinden sich <math>N=66</math> Reiskörner im betrachteten Ausschnitt. Man kann die Wahrscheinlichkeiten jetzt direkt über die [[Binomialverteilung]] bestimmen, aber es sind auch die Voraussetzungen der [[Poisson-Approximation]] erfüllt.

Der Vergleich zwischen Experiment und berechneter Poisson-Verteilung <math>P(X=k)</math>, wobei
<math>\lambda = N/n = 66/49 = 1{,}35</math> Reiskörner/Quadrate ist, zeigt intuitiv eine gute Übereinstimmung. Statistisch könnte man die [[Anpassungsgüte]] mit einem [[Anpassungstest]] überprüfen.

[[Datei:Poisson-rice-counting-DE.png|mini|Verteilung des Beispiels, gezählt (blau) und nach Poisson (rot)]]
{| class="wikitable"
|-
|align="right" | <math>k</math>
| gezählt
| <math>P(X=k)\cdot49</math>
|-----
|align="right"|
0
|align="right"|
15
|align="right"|
12,7
|----
|align="right"|
1
|align="right"|
15
|align="right"|
17,2
|----
|align="right"|
2
|align="right"|
11
|align="right"|
11,6
|----
|align="right"|
3
|align="right"|
5
|align="right"|
5,2
|----
|align="right"|
4
|align="right"|
1
|align="right"|
1,7
|----
|align="right"|
5
|align="right"|
2
|align="right"|
0,5
|}

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Feld leer bleibt, ist etwa 26 %:

:<math>P(X=0)=\frac{1{,}35^0}{0!}\,\mathrm{e}^{-1{,}35} \approx 0{,}26.</math>

=== Sportergebnisse ===
In vielen Sportarten geht es in einem Wettbewerb darum, innerhalb eines bestimmten Zeitraums mehr zählende Ereignisse zu erwirken als der Gegner. Der Physiker [[Metin Tolan]] hat in seinem Buch zum Fußballspiel die Anwendbarkeit der Poisson-Verteilung im Sport ausführlich untersucht.<ref>Metin Tolan: ''Manchmal gewinnt der Bessere: die Physik des Fußballspiels'', Piper, 2011</ref>

Die (zeitliche) Konstanz der Ereigniswahrscheinlichkeit – eine hinreichende Voraussetzung für die Anwendung der Poisson-Statistik (siehe oben unter [[#„Seltene“ Ereignisse|Poissonsche Annahmen]]) – ist bei Sportergebnissen in der Regel höchstens näherungsweise gegeben. Aber ist man nur an dem reinen Zählwert, z.&nbsp;B. der Torzahl einer Mannschaft, interessiert, so ergibt sich auch bei zeitabhängiger Torrate eine Poisson-Verteilung.<ref>[[Alessandro Birolini]]:'' Reliability Engineering'', Springer, 2014, insb. A7.8.2</ref> Schwieriger zu rechtfertigen ist die oft getroffene Annahme, dass die Tor- oder Punktzahlen zweier Mannschaften unabhängig sind. Kann man diese Annahme nicht statistisch ausreichend begründen, z.&nbsp;B. durch Hypothesen- oder Anpassungstest auf Übereinstimmung der Daten mit der Poisson-Verteilung, so kann man beispielsweise zur bivariaten Poisson-Verteilung übergehen und durch Schätzung der [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] eine Abhängigkeit einführen.

Tolan argumentiert, dass man die Torzahl einer Mannschaft in einem [[Fußball]]spiel in guter Näherung als Poisson-verteilt annehmen darf.<ref>Holger Dambeck: [http://www.spektrum.de/pdf/sdw-10-06-s068-pdf/1031900?file ''Ist Fußball ein Glücksspiel?''] In: ''[[Spektrum der Wissenschaft]]'', Juni 2010, S. 68–70, wird als unsicherer Download blockiert, festgestellt am 15. September 2024</ref> In seinem Ansatz berücksichtigt er zur Schätzung allerdings nur die durchschnittliche Anzahl von Toren pro Spiel und Mannschaft, d.&nbsp;h., er betrachtet beispielsweise nicht die Spielstärke der gegnerischen Mannschaft. Er hat auch nachgewiesen, dass über 70 % der Varianz der Punkteverteilung in der [[Fußball-Bundesliga]] durch Zufall erklärt werden können. Dies belegt auch aus stochastischer Sicht, warum Fußball spannend ist.

Für das [[DFB-Pokal 2014/15#Finale|Finale im DFB-Pokal 2015]] hätte Tolan z.&nbsp;B. auf Grundlage der abgelaufenen [[Fußball-Bundesliga 2014/15|Bundesliga-Saison]] für den [[VfL Wolfsburg]] 2,12 Tore und für [[Borussia Dortmund]] 1,38 Tore geschätzt. Andreas Heuer geht einen Schritt weiter und definiert die Spielstärke einer Mannschaft als die mittlere Tordifferenz einer Mannschaft beim Spiel gegen einen durchschnittlichen Gegner auf neutralem Platz.<ref>Andreas Heuer: ''Der perfekte Tipp.'' Wiley-VCH, 2012.</ref> Ebenfalls mit den Daten aus der abgelaufenen Bundesliga-Saison hätte man für den VfL Wolfsburg eine mittlere Tordifferenz von 1 und für Borussia Dortmund von 0,15 geschätzt. Um zu einer Spielprognose zu kommen, muss man nach Heuer noch die mittlere Anzahl der Tore pro Spiel berücksichtigen. Für diese beiden Mannschaften wäre das 2,92, und Heuer würde für den VfL Wolfsburg 1,885 Tore und für Borussia Dortmund 1,035 Tore schätzen. Für Saisonprognosen berücksichtigt Heuer in seinem kompletten Modell noch weitere Parameter wie die Heimstärke, den Marktwert oder das Abschneiden der Mannschaften in den Vorsaisons. Das Endspiel endete in der Praxis dann mit drei Toren für Wolfsburg und einem Tor für Dortmund.

=== Zwei-Drittel-Gesetz beim Roulette ===
Die Poisson-Verteilung ergibt eine gute [[Zwei-Drittel-Gesetz|Schätzung]], wie viele verschiedene Nummern bei 37 [[Roulette]]-Spielen getroffen werden.

== Literatur ==
* [[Alessandro Birolini]]: ''Reliability Engineering''. 7. Auflage., Springer, 2013, ISBN 978-3-642-39534-5
* Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang: ''Introduction to Probability''. Chapman&Hall, 2014, ISBN 978-1-4665-7557-8
* Catherine Forbes, Merran Evans: ''Statistical Distributions''. 4. Auflage. Wiley, 2011, ISBN 978-0-470-39063-4
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1|Fundstelle=''Poisson-Verteilung'', S. 301}}

== Weblinks ==
{{Wikisource|Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile|suffix=Originalveröffentlichung|lang=fr}}
{{Wikibooks|Statistik: Poissonverteilung|Poissonverteilung (für Anfänger)}}
* {{EoM
| Autor = A.V. Prokhorov
| Titel = Poisson distribution
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Poisson_distribution
| id = 
}}
* {{MathWorld
| id = PoissonDistribution
| title = Poisson Distribution
| author = 
}}
* [https://application.wiley-vch.de/books/sample/3527713255_c13.pdf Allgemeinverständliche Erklärungen und Beispiele]
* [https://statologie.de/poisson-verteilung-rechner/ online-Rechner]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Siméon Denis Poisson als Namensgeber]]