Quelltext der Seite Plastische Zahl

Die '''Plastische Zahl''' <math>\rho</math> (auch '''Plastikzahl''') ist eine [[mathematische Konstante]]. Sie ist die eindeutige [[Reelle Zahl|reelle]] Lösung der [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]]
:<math>x^3-x-1=0</math>
Es gilt<ref name="MathWorld">[[Eric Weisstein|Eric W. Weisstein]]: ''[https://mathworld.wolfram.com/PlasticConstant.html Plastic Constant]'', In: ''[[MathWorld]]''</ref>
:<math>\rho = \frac{\sqrt[3]{108 + 12\sqrt{69}} + \sqrt[3]{108 - 12\sqrt{69}}}{6} = \frac{2}{3}\sqrt{3}\cosh\left[\frac{1}{3}\operatorname{arcosh}\left(\frac{3}{2}\sqrt{3}\right)\right]</math>
Als Dezimalzahl beginnt die Plastische Zahl mit '''1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 …''' ({{OEIS|A060006}}).
Die Definition der Plastischen Zahl geht auf den niederländischen Architekten [[Hans van der Laan]] zurück<ref>''[https://www.emis.de/journals/NNJ/conferences/N2002-Padovan.html Richard Padovan presents the plastic number]'', ''{{lang|en|Nexus Network Journal}}''</ref>. Die Bezeichnung ''Plastikzahl'' ist irreführend und entspricht nicht der Intention van der Laans, denn nicht das Material ''Plastik'', sondern die räumliche Ausdehnung (in der Architektur) war bestimmend für die Namensgebung ''„plastisch“''<ref>Dom H. van der Laan: ''Der Architektonische Raum.'' Leiden 1992.</ref>.

== Eigenschaften ==

=== Imaginäre Lösungen der genannten kubischen Gleichung ===
Die beiden [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Lösungen von
:<math>x^3-x-1=0</math>
sind
:<math>\left(-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}2i\right)\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}\sqrt{\tfrac{23}{3}}}+\left(-\tfrac12\mp\tfrac{\sqrt3}2i\right)\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}\sqrt{\tfrac{23}{3}}}\approx -0{,}6626 \pm 0{,}5623 i</math>
und lassen sich ebenfalls durch die Plastische Zahl <math>\rho</math> ausdrücken:
:<math>- \frac{1}{2}\rho \pm \frac{i}{2}\sqrt{3\rho^2 - 4}</math>
Da das Produkt der drei Lösungen der kubischen Gleichung gleich 1 ist, ist der [[Betragsfunktion|Betragswert]] der komplexen Lösungen gleich&nbsp; <math>\rho^{-1/2} \approx 0{,}86883696183</math>&nbsp; ({{OEIS|A191909}}).

=== Padovan-Folge ===
Die Plastische Zahl ist der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] der Quotienten aufeinander folgender Glieder der [[Padovan-Folge]]<ref name="MathWorld" />:
:<math>\rho = \lim_{n \to \infty}\frac{P_n}{P_{n-1}}</math>

=== Elliptische Lambdafunktion ===
Für folgende Gleichung aus vollständigen [[Elliptisches Integral|elliptischen Integralen]] erster Art lässt sich die Lösung vereinfacht mit der Plastischen Zahl darstellen:

: <math>K(\sqrt{1-x^2})/K(x) = \sqrt{23} </math>
: <math>x = \lambda^*(23) = \frac{1}{16\sqrt{2}}(5+\sqrt{23})\left[\frac{2}{3}+\frac{1}{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{100-12\sqrt{69}}-\frac{1}{6}(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}\right]^4 = </math>
: <math>= \frac{1}{16\sqrt{2}}(5+\sqrt{23})[\rho^2-(9\rho^2-2\rho-6)/\sqrt{23}]^4 = \sin\left[\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{1}{8}\rho^{-12}\right)\right] </math>
Dieser Wert ist der [[Elliptische Lambda-Funktion|elliptische Lambda-Funktionswert]] von 23.

Aus diesem Resultat folgt:
: <math>\lambda^{*}\left(\frac{1}{23}\right) = \cos\left[\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{1}{8}\rho^{-12}\right)\right] </math>
:<math>\lambda^{*}(92) = \tan\left[\frac{1}{4}\arcsin\left(\frac{1}{8}\rho^{-12}\right)\right]^2 </math>
:<math>\lambda^{*}\left(\frac{4}{23}\right) = \tan\left[\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\arcsin\left(\frac{1}{8}\rho^{-12}\right)\right]^2 </math>

=== Bringsches Radikal ===
Die Plastische Zahl selbst kann auch mit dem [[Bringsches Radikal|Bringschen Radikal]] dargestellt werden, einem bekannten Lösungsverfahren für [[Gleichung fünften Grades|Gleichungen fünften Grades]] mit quintischem, linearem und absolutem Glied:

: <math>\rho^3 - \rho - 1 = 0</math>
:<math>(\rho^2 - \rho + 1)(\rho^3 - \rho - 1) = 0</math>
:<math>\rho^5 - \rho^4 - 1 = 0</math>
:<math>(1/\rho)^5 + (1/\rho) - 1 = 0</math>
:<math>\rho = \frac{1}{BR(1)}</math>
Denn grundsätzlich gilt für das Bringsche Radikal:
: <math>BR(x^5 + x) = x</math>

== Geschichte ==
[[Datei:Interieur bovenkerk, zicht op de middenbeuk met koorbanken voor de monniken - Mamelis - 20536587 - RCE.jpg|mini|Für die Proportionen der 1967 errichteten Kirche der [[Abtei St. Benediktusberg (Vaals)|Abtei St. Benediktusberg]] nutzte [[Hans van der Laan]] die Plastische Zahl.]]

Der niederländische Architekt und Benediktinermönch Dom Hans van der Laan gab 1928 der Zahl den Namen „Plastische Zahl“ ({{nlS|het plastische getal}}). Bereits 1924, vier Jahre vorher, hatte der französische Ingenieur [[Gérard Cordonnier]] die Zahl entdeckt und sie als „die strahlende Zahl“ ({{frS|le nombre radiant}}) bezeichnet. Im Gegensatz zu Bezeichnungen wie [[Goldener Schnitt]] oder [[Silberner Schnitt]] war es nicht die Absicht van der Laans auf das Material [[Kunststoff]] zu verweisen, sondern vielmehr auf ein [[Plastik (Kunst)|dreidimensionales Werk der bildenden Kunst]].<ref name="Padovan2002">{{Internetquelle
 | url = https://www.nexusjournal.com/the-nexus-conferences/nexus-2002/148-n2002-padovan.html
 | titel = Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number
 | autor = Richard Padovan 
 | werk =  Nexus IV: Architecture and Mathematics
 | seiten = 181–193 | hrsg=Kim Williams, Jose Francisco Rodrigues | datum=2002 |sprache=en |abruf=2023-10-10}}</ref><ref name="Shannon2006">{{Literatur
 | Autor = A. G. Shannon, P. G. Anderson, A. F. Horadam
 | Titel = Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers
 | Sammelwerk = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
 | Band = 37 | Nummer = 7 | Datum = 2006 | Seiten = 825–831
 | DOI = 10.1080/00207390600712554
 }}
</ref> Laut [[Richard Padovan]] ist dies durch die charakteristischen Verhältnisse der Zahl, {{Bruch|3|4}} und {{Bruch|1|7}}, begründet, den ungefähren Grenzen der menschlichen Wahrnehmung bezüglich des Größenverhältnisses von zwei dreidimensionalen Objekten. Van der Laan nutzte die Plastische Zahl für die Proportionen der 1967 errichteten Kirche der [[Abtei St. Benediktusberg (Vaals)|Abtei St. Benediktusberg]].<ref name="Padovan2002" />

[[Midhat J. Gazalé]]<ref>{{Literatur |Titel=Gnomon: From Pharaohs to Fractals |Autor=Midhat J. Gazalé |Datum=1999-04-19 |Verlag=Princeton University Press |ISBN=9780691005140 |Ort=Princeton, N.J. |Seiten=135–150 |Kapitel=Chapter VII: The Silver Number}}</ref> und später [[Martin Gardner]]<ref>{{Literatur|Autor=[[Martin Gardner]] |Titel=A Gardner's Workout |Datum=2001 |Kapitel=16 |Seiten=121–128}}</ref> verwendeten die Bezeichnung „Silberne Zahl“ ({{enS|silver number}}), doch der [[Silberner Schnitt|Silberne Schnitt]] verwendet eine andere Zahl, nämlich <math>1 + \sqrt{2}</math>.

Martin Gardner machte den Vorschlag, <math>\rho^2</math> als „hohes Phi“ ({{enS|high phi}}) zu bezeichnen und [[Donald Knuth]] entwarf sogar ein besonderes typografisches Zeichen für diese Bezeichnung, eine Variante des griechischen Buchstabens [[phi]] (&phi;) mit erhöhtem Kreis, die an den georgischen Buchstaben [[ფ|P̕ar]] (Ⴔ) erinnert.<ref>{{Literatur|Titel=Six challenging dissection tasks|Sammelwerk=Quantum|Datum=1994|Nummer=Mai–Juni|Band=5|Seiten=26–27|Online=https://static.nsta.org/pdfs/QuantumV4N5.pdf}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Proportionalität]]
[[Kategorie:Theoretische Biologie]]
[[Kategorie:Architekturtheorie]]
[[Kategorie:Design]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Technik der Malerei]]
[[Kategorie:Besondere Zahl]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Plastic ratio|Plastische Zahl|s}}