Quelltext der Seite Planck-Konstante

{{Infobox Physikalische Konstante
| Name          = Planck-Konstante
| Formelzeichen = <math>h</math>
| Art           = [[Wirkung (Physik)|Wirkung]], [[Drehimpuls]]
| WertSI        = {{ZahlExp|6,62607015|−34|post=J s}}<br />=&nbsp;{{ZahlExp|4,1356676969|−15|suffix=…|post=eV·s}}<!-- eV ist zwarnicht SI aber zur Verwendung mit SI zugelassen  -->
| WertCgs       = {{ZahlExp|6,62607015|−27|post=erg s}}
| Genauigkeit   = 0 (exakt)
| WertPlanck    = <math>2\pi</math><ref>Aus dem in natürlichen Einheiten geltenden <math>\hbar=1</math> folgt <math>h=2\pi</math>.</ref>
| Formel        = 
| Anmerkung     = Der Wert dient zur Definition der SI-Einheiten.<ref name="CGPM-26-1" />
}}

[[Datei:Max Planck Wirkungsquantums 20050815.jpg|mini|hochkant|Gedenktafel – [[Humboldt-Universität zu Berlin]]]]
Die '''Planck-Konstante''' oder das '''Plancksche Wirkungsquantum''' <math>h</math> ist eine fundamentale [[Physikalische Konstante|Naturkonstante]] in der [[Quantenphysik]]. Sie ist das Verhältnis von [[Energie]] (<math>E</math>) und [[Frequenz]] (<math>f</math>) eines [[Photon]]s, entsprechend der Formel <math>E = h \cdot f</math>. Die gleiche Beziehung gilt allgemein zwischen der Energie eines [[Teilchen]]s oder [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] und der Frequenz seiner [[Quantenmechanik#Stationäre Zustände|quantenmechanischen Phase]].
Die Planck-Konstante verknüpft Eigenschaften, die vorher in der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] entweder nur Teilchen oder nur [[Welle]]n zugeschrieben wurden. Damit ist sie die Basis des [[Welle-Teilchen-Dualismus]] der [[Moderne Physik|modernen Physik]].

[[Max Planck]] entdeckte diese Konstante in den Jahren 1899<ref name="Planck1899" /> und 1900<ref name="Bonitz" /><ref name="Sturm" /> und gab ihr den Namen „elementares Wirkungsquantum“, weil sie bei „elementaren Schwingungsvorgängen“ eine entscheidende Rolle spielt und die gleiche [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] wie die physikalische Größe [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] hat.<ref name="Planck1906" /><ref name="Planck1943" /> Außerhalb des deutschen Sprachraums ist die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ nicht üblich.

Planck betrachtete<ref name="Planck1899" /> diese neu entdeckte Konstante neben der [[Gravitationskonstante]] und der [[Lichtgeschwindigkeit]] als die dritte der [[Physikalische Konstante|fundamentalen Naturkonstanten]] der Physik. Zusammen bilden diese Konstanten die Grundlage des [[Natürliche Einheiten|natürlichen Einheitensystems]] der [[Planck-Einheiten]].

== Definition ==
Die Planck-Konstante <math>h</math> ist für jedes physikalische System, das [[Harmonischer Oszillator|harmonisch schwingen]] kann, das stets gleiche Verhältnis des kleinstmöglichen Energieumsatzes zur Schwingungsfrequenz. Größere Energieumsätze sind nur möglich, wenn sie ganzzahlige Vielfache dieses kleinsten Energiebetrages sind. Diese [[Quantelung]] der Energie ist allerdings so fein, dass sie sich in makroskopischen Systemen praktisch nicht bemerkbar macht. Auch Planck gelang die Entdeckung nur auf indirekte Weise.

Darüber hinaus gilt für jedes physikalische System, dass <math>h</math> das Verhältnis seines gesamten Energieinhalts zur Frequenz seiner [[Quantenmechanik#Stationäre Zustände|quantenmechanischen Phase]] ist.

Die Planck-Konstante hat die [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] von [[Energie]] mal [[Zeit]], die ''[[Wirkung (Physik)|Wirkung]]'' genannt wird. Die Wirkung selbst ist allerdings nicht [[Quantelung|gequantelt]], wie man irrtümlich aus der Bezeichnung als Wirkungsquantum ableiten könnte und wie es in der [[Bohr-sommerfeldsches Atommodell#Bohr-Sommerfeld-Quantisierung|Bohr-Sommerfeld-Quantisierung]] auch zeitweilig angenommen worden war.

Die Planck-Konstante  erhält ihre universelle Bedeutung durch ihr Auftreten in den Grundgleichungen der Quantenphysik ([[Schrödinger-Gleichung]], [[Heisenbergsche Bewegungsgleichung]], [[Dirac-Gleichung]]).

== Einige allgemeingültige Folgen ==
* Jede [[harmonische Schwingung]] (mit Frequenz <math>f</math>, Kreisfrequenz <math>\omega = 2 \pi f</math>) kann Energie nur in diskreten Beträgen aufnehmen oder abgeben, die ganzzahlige Vielfache des '''Schwingungsquants''' <math>\Delta E = h f \equiv \hbar \omega</math> sind.
* Jedes physikalische System kann seinen [[Drehimpuls]] <math>J</math> (genauer: die Projektion des Drehimpulsvektors <math>\vec J</math> auf eine beliebige Gerade) nur um ganzzahlige Vielfache von <math>\hbar \equiv \tfrac{h}{2\pi}</math> ändern.
* Jedem physikalischen System mit [[Impuls]] <math>p</math> ist eine [[Materiewelle]] mit der Wellenlänge <math>\lambda = \tfrac{h}{p}</math> zugeordnet.
* Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie <math>E</math> und Kreisfrequenz <math>\omega</math> seiner [[Quantenmechanik#Stationäre Zustände|quantenmechanischen Phase]] die Gleichung <math>E = \hbar \omega</math>.
* Je zwei Variablen eines physikalischen Systems, die zueinander kanonisch konjugiert sind (z.&nbsp;B. Ort <math>x</math> und Impuls <math>p</math> eines Teilchens, oder [[Generalisierte Koordinate|verallgemeinerter Ort]] und [[Generalisierter Impuls|verallgemeinerter Impuls]], z.&nbsp;B. Drehwinkel und Drehimpuls), erfüllen eine [[Heisenbergsche Unschärferelation|Unschärferelation]], der zufolge sie in keinem Zustand des Systems beide gleichzeitig wohldefinierte Werte besitzen können. Vielmehr gilt für die Streuungen (genauer: [[Standardabweichung]]en) <math>\sigma_x,\, \sigma_p</math> der gleichzeitigen Messwerte beider Variablen: <math>\sigma_x\cdot\sigma_p\ge\tfrac{\hbar}{2}</math>.

== {{Anker|Werte}} Wert und Zeichen ==

=== Im Internationalen Einheitensystem (SI) ===
Die Planck-Konstante gehört zu den Naturkonstanten, denen im [[Internationales Einheitensystem|Internationale Einheitensystem (SI)]] seit der [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Revision von 2019]] ein fester Wert zugewiesen ist und die nun ihrerseits zur Definition von Einheiten wie dem [[Kilogramm]] dienen.<ref name="CGPM-26-1" /> Deshalb hat es im SI einen exakten Wert, der auf
:<math>h=6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js}</math>
festgelegt ist. In der Einheit [[Elektronenvolt]] durch [[Hertz (Einheit)|Hertz]] hat ''h'' den – ebenfalls exakten – Wert:<ref name="codaatahevhz" />
:<math>h=\frac{6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}\,\frac\mathrm{eV}\mathrm{Hz}=4{,}135\,667\,696\,92\ldots\cdot 10^{-15}\;\mathrm{eV\,s}\,</math>.

Bis zur SI-Reform am 20. Mai 2019 war ''h'' auf Grundlage der damals gültigen Einheiten für Kilogramm, Meter und Sekunde experimentell zu bestimmen und war demgemäß mit einer Messunsicherheit behaftet. Der letzte Wert betrug<ref name="codata2014-all-seite1" /> 6,626&nbsp;070&nbsp;040(81)&nbsp;·&nbsp;10<sup>−34</sup>&nbsp;Js,
wobei die eingeklammerte Zahl die [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Unsicherheit]] angibt und sich auf die beiden letzten angegebenen Dezimalziffern bezieht.

=== {{Anker|Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum|Dirac-Konstante}} Reduzierte Planck-Konstante  ===
{{Infobox Physikalische Konstante
| Name          = reduzierte Planck-Konstante,<br />Dirac-Konstante
| Formelzeichen = <math>\hbar</math> („h-quer“)
| Art           = [[Drehimpuls]], [[Wirkung (Physik)|Wirkung]]
| WertSI        = {{ZahlExp|1,054571817|−34|suffix=…|post=J s}}<br />=&nbsp;{{ZahlExp|6,582119569|−16|suffix=…|post=eV·s}}<!-- eV ist zwarnicht SI aber zur Verwendung mit SI zugelassen  -->
| WertCgs       = {{ZahlExp|1,054571817|−27|suffix=…|post=erg s}}
| Genauigkeit   = (exakt)
| WertPlanck    = 1
| Formel        = <math>\hbar=\tfrac h {2\pi}</math>
| Anmerkung     = 
}}
Der Quotient <math display="inline">\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> (gesprochen: „h-quer“) wird als die '''reduzierte Planck-Konstante''' bezeichnet. Diese Konstante kommt in vielen Gleichungen vor, zum Beispiel wenn anstelle der [[Frequenz]] <math>f</math> die [[Kreisfrequenz]] <math>\omega = 2 \pi f</math> verwendet wird, bei der Quantelung des Drehimpulses oder bei der Formulierung der [[Unschärferelation]]. Die reduzierte Planck-Konstante  wird manchmal auch nach [[Paul Dirac]] als '''Dirac-Konstante'''<ref name="Dirac_1926" /> bezeichnet.

Oft wird das Produkt <math>\hbar c</math> mit der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> benötigt, das wegen seiner Dimension ''Energie mal Länge'' einen universellen Zusammenhang zwischen Energie- und Längenskala ausdrückt.<ref>J. Bleck-Neuhaus: ''Elementare Teilchen.'' 2.&nbsp;Auflage, Springer Verlag 2013, ISBN 978-3-642-32578-6, Seite&nbsp;43–45.</ref> In den in der [[Kernphysik]] üblichen Einheiten [[Elektronenvolt #Dezimale Vielfache|MeV]] und [[Femtometer|fm]] gilt:<ref name="codatahbarmevfm" />

:<math>\hbar c = 197{,}326\,9804 \ldots \mathrm{MeV\,fm}\;.</math>

Da <math>c</math> ebenfalls exakt definiert ist, ist auch das Produkt <math>\hbar c</math> exakt.

=== Zeichen ===
Im [[Unicode]] liegen die Symbole für die Planck-Konstante  und für die reduzierte Planck-Konstante  auf Position U+210E ('''ℎ''')<ref name="UnicodeAnm" /> bzw. U+210F ('''ℏ''').

== Historisches zur Entdeckung und Rezeption ==

=== Wärmestrahlung I (Planck 1899) ===
[[Max Planck]] war 1899 auf eine neue Naturkonstante gestoßen, als er auf der Basis der [[Statistische Physik|Statistischen Physik]] eine thermodynamische Beschreibung der Wärmestrahlung ''[[Schwarzkörper|schwarzer Körper]],'' auch [[Hohlraumstrahlung]] genannt, entwickelte. Nach dem [[Kirchhoffsches Strahlungsgesetz|Kirchhoffschen Gesetz]] sollten das Spektrum der Wärmestrahlung und dessen Temperaturabhängigkeit, wie sie etwa an Holzkohle beim Übergang von Rotglut zu Weißglut sichtbar ist, für alle ideal schwarzen Körper exakt gleich sein, völlig unabhängig von ihrer sonstigen Beschaffenheit. Die Berechnung des Spektrums galt daher als ein herausragendes ungelöstes Problem der theoretischen Physik.

Die Messwerte zeigen im hochfrequenten (d.&nbsp;h. kurzwelligen) Bereich des Spektrums eine charakteristische Abnahme der Intensität zu höheren Frequenzen hin. Diese lässt sich gut durch einen Exponentialfaktor <math>\mathrm e^{-af/T}</math> wiedergeben (<math>f</math> Frequenz, <math>T</math> Temperatur, <math>a</math> ein fester Parameter, siehe [[Wiensches Strahlungsgesetz]]), diese Formel aber widerspricht jeder theoretischen Herleitung aus der klassischen Physik. Planck konnte jedoch eine neuartige theoretische Herleitung angeben.<ref name="Planck1899" /> Dazu analysierte er das thermische Gleichgewicht zwischen den Wänden eines Hohlraums und den elektromagnetischen Wellen in seinem Innern. Die Wände modellierte er als Ansammlung emittierender und absorbierender Oszillatoren und wählte für deren [[Entropie]] eine neuartige geeignete Formel mit zwei freien Parametern <math>a</math> und <math>b</math>. Diesen Parametern kam aufgrund der allgemeingültigen Ableitung nun eine universelle Bedeutung zu. <math>a</math> erwies sich als der oben im Wienschen Strahlungsgesetz genannte Parameter, <math>b</math> als Produkt von <math>a</math> mit der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_{\mathrm{B}}</math>. Für <math>b</math>, das später in <math>h</math> umbenannt wurde, gab Planck den Wert <math>b=6{,}885\cdot10^{-27}\,\mathrm{erg\,s}</math> an, der nur um 4 % vom heutigen Wert für <math>h</math> abweicht. Planck erkannte auch, dass diese neuen Konstanten zusammen mit der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit ein System von ''universellen'' Naturkonstanten bilden, aus denen sich auch für Länge, Masse, Zeit und Temperatur universelle Einheiten bilden lassen, die [[Planck-Einheiten]].

=== Wärmestrahlung II (Planck 1900) ===
Neue Messungen widersprachen dem Wienschen Strahlungsgesetz und damit auch der von Planck gefundenen Deutung. Sie zeigten, dass im niederfrequenten (d.&nbsp;h. langwelligen, infraroten) Teil der Wärmestrahlung die Intensität zu größeren Frequenzen hin zunächst ''zunimmt,'' bevor sie dem Wienschen Strahlungsgesetz gemäß wieder abnimmt. Diese Zunahme entsprach gut dem [[Rayleigh-Jeans-Gesetz]], wie es ohne weitere Annahmen aus der klassischen Elektrodynamik und dem [[Gleichverteilungssatz]] der statistischen Mechanik abgeleitet worden war. Allerdings sagte dieses Gesetz auch eine unbegrenzte Zunahme der Intensität bei weiter steigender Frequenz voraus, was als [[Ultraviolettkatastrophe]] bezeichnet wurde und den älteren Messungen im hochfrequenten Teil des Spektrums (s.&nbsp;o.) widersprach. Planck fand (wörtlich) „eine glücklich erratene interpolierende Formel“, die nun mit allen (auch erst danach neu angestellten) Messungen hervorragend übereinstimmte. Theoretisch herleiten konnte er dieses als [[Plancksches Strahlungsgesetz]] bezeichnete Ergebnis nur, indem er versuchsweise den Exponentialfaktor des Wienschen Gesetzes wie den aus der kinetischen Gastheorie bekannten Boltzmann-Faktor <math>\mathrm e^{-\tfrac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}} T}}</math> interpretierte und darin für <math>\Delta E</math> die je nach Frequenz <math>f</math> verschiedenen diskreten Energiestufen <math>\Delta E = h f</math> ansetzte. Verschiedentlich findet sich die unbelegte Aussage, Planck habe den Buchstaben <math>h</math> von ''Hilfsgröße'' abgeleitet<ref>{{cite journal
 | author  = Arne Schirrmacher
 | date    = 2025
 | title   = h wie Hilfsgröße und Heureka auf Helgoland?
 | language= Deutsch
 | journal = Physik Journal
 | volume  = 2025
 | issue   = 24
 | pages   = 26–31
 | doi     =
 | url     = https://pro-physik.de/zeitschriften/physik-journal/2025-1/
}}
</ref>. Der Vergleich mit der Wienschen Formel zeigte, dass es sich bei <math>h</math> gerade um das erwähnte Produkt <math>b=a k_{\mathrm{B}}</math> handelt.<ref name="Planck1900" />

Damit schrieb Planck den Oszillatoren die neue Eigenschaft zu, dass sie ihre Energie nur auf ''[[diskret#In Wissenschaft und Technik|diskrete]]'' Weise in endlichen Schritten der Größe <math>\Delta E = h f</math> ändern könnten. Er führte damit erstmals eine ''Quantelung'' einer scheinbar kontinuierlich variierbaren Größe ein, eine Vorstellung, die der Physik damals, als auch die ''Atomhypothese'' teilweise noch heftig angefeindet wurde, völlig fremd war.<ref name="Planck1920">“[…] here was something entirely new, never before heard of, which seemed called upon to basically revise all our physical thinking, built as this was, since the establishment of the infinitesimal calculus by Leibniz and Newton, upon the acceptance of the continuity of all causative connections.”<br />„[…] hier war etwas völlig Neues, noch nie vorher Gehörtes, das berufen zu sein schien, unser ganzes physikalisches Denken, welches seit der Einführung der Infinitesimalrechnung durch Leibniz und Newton auf der Annahme der Kontinuität aller kausalen Zusammenhänge beruht, grundlegend zu revidieren.“ Max Planck, [https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1918/planck/lecture/ Nobelpreisvortrag], 2. Juni 1920</ref> Doch alle Versuche, eine theoretische Herleitung ohne die Annahme diskreter Energieumsätze zu finden, schlugen fehl. Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter des Energieaustausches zunächst nicht für eine Eigenschaft der vermeintlich gut verstandenen Lichtwellen, sondern schrieb ihn ausschließlich den Emissions- und Absorptionsprozessen im Material der Hohlraumwände zu. Mit großer Verspätung wurde ihm 1918 für die Entdeckung der Quantisierung der [[Nobelpreis für Physik|Nobelpreis]] zuerkannt.

=== ''h'' und die Lichtquanten ===
[[Albert Einstein]] analysierte 1905 den [[Photoelektrischer Effekt|photoelektrischen Effekt]], der ebenfalls mit der klassischen Physik unvereinbar ist. Einstein war einer der wenigen Physiker, die die fundamentale Bedeutung von Plancks Arbeit früh erkannten und nutzten. Er konnte den photoelektrischen Effekt mit Hilfe der [[Quantenhypothese|Lichtquantenhypothese]] erklären, der zufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht, im Gegensatz zu Plancks damaliger Ansicht, die [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetische Strahlung]] selbst aus teilchenartigen Objekten, den Lichtquanten, deren Energie je nach Frequenz&nbsp;<math>f</math> der Lichtwelle durch die Gleichung <math>E = h f</math> gegeben ist.<ref name="Einstein1905" /> Später wurde diese Gleichung die ''Einsteinsche Gleichung'' für das Lichtquant genannt. Damit erkannte Einstein erstmals den [[Welle-Teilchen-Dualismus]], ein neues Problem für die Physik. Nicht zuletzt deshalb brauchte auch diese Analyse Jahre, um sich durchzusetzen. 1921 brachte sie Einstein den Nobelpreis ein.
{{Siehe auch|Photoelektrischer Effekt#Bestimmung von h und der Austrittsarbeit|titel1=Bestimmung von h mit dem photoelektrischen Effekt}}

=== ''h'' und die spezifische Wärme fester Körper ===
Die Quantisierung der Schwingungsenergie war für [[Albert Einstein]] 1907 auch der Schlüssel zur Erklärung eines weiteren unverstandenen Phänomens, das sich in der Abnahme der [[Spezifische Wärme|spezifischen Wärme]] fester Körper zu niedrigen Temperaturen hin zeigt. Bei höheren Temperaturen hingegen stimmten die Messwerte meist gut mit dem von [[Dulong-Petit]] nach der klassischen Physik vorhergesagten Wert überein. Einstein nahm an, dass die Wärmeenergie im festen Körper in Form von Schwingungen der Atome um ihre Ruhelage vorliegt, und dass auch diese rein mechanische Art von Schwingungen nur in Energiestufen <math>\Delta E = h f</math> angeregt werden kann. Da die im thermischen Gleichgewicht zwischen den einzelnen Atomen fluktuierenden Energiemengen von der Größenordnung <math>k_{\mathrm{B}} T</math> sind, ergab sich die Möglichkeit, zwischen „hohen“ Temperaturen (<math>k_{\mathrm{B}} T \gg h f</math>) und „tiefen“ Temperaturen (<math>k_{\mathrm{B}} T \ll h f</math>) zu unterscheiden. Dann hat die Quantelung bei hohen Temperaturen keine sichtbaren Auswirkungen, während sie bei tiefen Temperaturen die Aufnahme von Wärmeenergie behindert. Die Formel, die Einstein aus dieser Vorstellung heraus ableiten konnte, passte (nach geeigneter Festlegung von <math>f</math> für jeden Festkörper) ausgezeichnet zu den damaligen gemessenen Daten. Trotzdem wurde lange weiter bezweifelt, dass die '''Plancksche Konstante''' nicht nur für elektromagnetische Wellen, sondern auch im Bereich der Mechanik wichtig sein könnte.

=== ''h'' und die Phasenraumzelle ===
Viele Gesetze der Thermodynamik, z.&nbsp;B. zur spezifischen Wärme von Gasen und Festkörpern, aber auch zum irreversiblen Anwachsen der Entropie und zur Form des dadurch erreichten Gleichgewichtszustands, hatten zum Ende des 19. Jahrhunderts durch die [[Statistische Mechanik]] (vor allem durch [[Ludwig Boltzmann]] und [[Josiah Willard Gibbs]]) eine mechanische Deutung erfahren. Die statistische Mechanik gründet in der Annahme der ungeordneten Bewegung extrem vieler Atome oder Moleküle und ermittelt mit statistischen Methoden die wahrscheinlichsten Werte von makroskopisch messbaren Größen (wie Dichte, Druck usw.), um den Gleichgewichtszustand zu charakterisieren. Dazu muss zunächst die Gesamtmenge ''aller'' möglichen Zustände ''aller'' Teilchen mathematisch erfasst werden in einem Zustands- oder ''[[Phasenraum]].'' Legt man einen bestimmten makroskopischen Zustand fest, dann bilden alle Teilchenzustände, in denen das System diesen makroskopischen Zustand zeigt, im Phasenraum ein Teilvolumen. Aus der Größe jedes solchen Teilvolumens wird ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der betreffende makroskopische Zustand vorkommen wird. Mathematisch ist also ein Volumenintegral zu bilden, und dazu braucht man vorübergehend und als Hilfsgröße die Definition eines Volumenelements, auch ''[[Phasenraumzelle]]'' genannt. Im Endergebnis aber soll die Phasenraumzelle in der Gleichung nicht mehr auftauchen. Wenn möglich, lässt man ihre Größe in der erhaltenen Formel gegen Null schrumpfen (wie differentielle Größen generell in der [[Infinitesimalrechnung]]), wenn nicht, sieht man sie als unerwünschten Parameter an (der z.&nbsp;B. eine unbekannte additive Konstante bestimmt) und versucht, nur solche Schlussfolgerungen zu betrachten, die von der Phasenraumzelle unabhängig sind (z.&nbsp;B. Differenzen, in denen sich die Konstante weghebt). Berechnet man auf diese Weise die Entropie eines Gases, heißt die Konstante ''[[Ideales Gas#Entropiekonstante|Entropiekonstante]].'' [[Otto Sackur]] bemerkte 1913 zu seiner Überraschung, dass man der Phasenraumzelle eine ''bestimmte'' Größe geben muss, damit diese Entropiekonstante mit den Messwerten übereinstimmt. Die Phasenraumzelle (pro Teilchen und pro Raumdimension seiner Bewegung) muss gerade die Größe <math>h</math> haben. Seiner Veröffentlichung<ref name="Sackur" /> gab er den Titel ''Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums'' und Max Planck nannte es von „fundamentaler Bedeutung“, wenn sich die gewagte Hypothese bewahrheiten sollte, dass dies Ergebnis unabhängig von der Art des Gases gilt.<ref name="Planck1913" /> Dies war der Fall.

Fundamental an diesem Ergebnis ist insbesondere, dass sich hier ein tiefer Grund für das Phänomen der Quantisierung zu zeigen beginnt, der in vollem Umfang allerdings erst Jahre später mit der Quantenstatistik der Strahlung klar wurde. Eine Phasenraumzelle kann man nämlich auch für Schwingungen definieren, und dann ergibt sich aus der Einsteinschen Formel <math>E = h f</math>, dass die Phasenraumzelle für das Lichtquant ebenfalls die Größe <math>h</math> hat: Die für die Größe der Phasenraumzelle maßgebliche physikalische Größe ist hier die ''[[Wirkung (Physik)|Wirkung]],'' bei einer Schwingung ist die Wirkung das Produkt aus Energie <math>E</math> und Periode <math>T=\tfrac{1}{f}</math>, also folgt <math>E T = h</math>.

=== ''h'' und der Aufbau der Atome ===
Die klassische Physik muss bei der Erklärung der Stabilität und Größe der Atome versagen. Denn wenn sie ein stabiles System bestimmter Größe erklären könnte, wäre ein z.&nbsp;B. halb so großes Atom dann nach denselben Gesetzen auch stabil und genau so gut möglich. Anders ausgedrückt: Die Grundformeln der klassischen Physik enthalten nicht genügend verschiedene Naturkonstanten, als dass man aus ihnen allein eine Formel für eine bestimmte Länge gewinnen könnte. Die Planck-Konstante kann diese Lücke schließen, wie schon Planck selber 1899 bemerkte, als er erstmals die Planckschen Einheiten vorstellte (s.&nbsp;o.). Doch weil die Planck-Konstante nach damals überwiegender Meinung nicht in die Mechanik eingeführt werden sollte, kam der erste Versuch, sie zur Erklärung des Atomradius zu nutzen, erst 1910 durch [[Arthur Erich Haas]] zustande und wurde dann sogar z.&nbsp;T. lächerlich gemacht.<ref name="Jammer" /> Haas nahm an, ein Elektron kreise im Feld einer positiven Ladung <math>+e</math>, und er setzte die Umlauffrequenz <math>f</math> und die Bindungsenergie <math>E</math> dieses Systems ins Verhältnis <math>E=hf</math>. Daraus ergibt sich ein Radius im Bereich der aus der Chemie und der kinetischen Gastheorie bekannten Atomradien.

[[Arnold Sommerfeld]] griff 1911 diese Sichtweise auf und empfahl, ''h'' als eine neue grundlegende Naturkonstante zu betrachten, die auch im Atombau wichtig sein könnte, statt weiter zu versuchen, sie aus den Gesetzen anderer Gebiete der Physik herzuleiten. Dazu stellte er versuchsweise die Quantisierungsregel auf, nach der bei jedem Prozess das Wirkungsintegral ein ganzzahliges Vielfaches der Planck-Konstante sein müsse. Demnach wäre also die Wirkung selbst eine gequantelte Größe. In diesem Sinne bemerkte [[John William Nicholson]], dass die Planck-Konstante auch direkt die Größe eines Drehimpulses angibt und schlug 1912 erstmals die weitreichende Deutung vor, dass ''h'' die kleinstmögliche Änderung des Drehimpulses des Atoms bestimmt. Sein eigenes Atommodell mit mehreren Elektronen, die sich gegenseitig auf ihren Bahnen stabilisieren sollen, blieb allerdings erfolglos.

Mehr Erfolg hatte 1913 Niels Bohr, der in seinem [[Bohrsches Atommodell|Atommodell]] wie Haas vom Bild eines Elektrons im Coulomb-Feld ausging, aber erstmals auch gebundene Zustände höherer Energie annahm und, vor allem, die Emission von Lichtquanten beim ''[[Quantensprung]]'' von einer zur anderen Bahn einführte. Für die Auswahl der erlaubten Bahnen wählte Bohr eine neue, kaum zu begründende ''Quantenbedingung'' (<math>E= \tfrac{n}{2}hf</math> mit der neuen ''Hauptquantenzahl'' <math>n= 1, 2, 3, \dotsc</math>). Die Übereinstimmung mit den Wellenlängen, die in den Spektren von Systemen mit nur einem Elektron (Wasserstoff und ionisiertes Helium) gemessen worden waren, machte das Modell schnell berühmt. Die tragende Rolle der Planck-Konstante beim inneren Aufbau der Atome war bewiesen. Bohr bemerkte auch, dass die Kreisbahnen zu den verschiedenen Hauptquantenzahlen <math>n</math> genauso durch die Bedingung definiert werden könnten, dass der Drehimpuls des Elektrons den Wert <math>L=nh/2 \pi</math> hat. Er hielt aber die Möglichkeit, seine Quantenbedingung durch diese (1912 von Nicholson vorgeschlagene) Drehimpulsquantelung zu begründen, lediglich für einen Weg der Veranschaulichung.

Der von Bohr erreichte Fortschritt machte sein Atommodell für die folgenden 13 Jahre zum maßgeblichen Ausgangspunkt der weiteren Entwicklungen, obwohl weitere ähnlich große Fortschritte dann ausblieben. Insbesondere schlugen die Versuche fehl, Atome mit mehreren Elektronen zu verstehen.

=== ''h'' und die Materiewellen ===
Der Erfolg des [[Bohrsches Atommodell|Bohrschen Atommodells]] seit 1913 verdankte sich zum guten Teil der Bohrschen Quantenbedingung, die von außen hart in die Mechanik eingreift, indem sie dem Elektron nur wenige der mechanisch möglichen Bahnen erlaubt. Aufgrund der anhaltenden Schwierigkeiten mit der weiteren Entwicklung der Atomtheorie wurde nach Möglichkeiten gesucht, die Mechanik selbst so umzugestalten, dass sie die Quantenbedingung von vornherein berücksichtigt. Es sollte die bisherige [[Quantenhypothese|Quanten''theorie'']] von einer regelrechten [[Quantenmechanik|Quanten''mechanik'']] abgelöst werden. Den größten Schritt vor dem wirklichen Beginn der Quantenmechanik leistete [[Louis de Broglie]] 1924, indem er materiellen Teilchen, z.&nbsp;B. Elektronen, [[Materiewelle|Welleneigenschaften]] zuschrieb. Er übertrug die für Photonen gefundene Beziehung <math>p = h/\lambda</math> zwischen Impuls <math>\vec p</math> und Wellenlänge <math>\lambda</math> auf die von ihm gedachte [[Materiewelle]] des Elektrons. Damit dehnte er den zunächst nur für Lichtwellen angenommenen Welle-Teilchen-Dualismus auf Teilchen aus. Als unmittelbarer Erfolg zeigt sich, dass die Bohrsche Kreisbahn zur Hauptquantenzahl <math>n</math> gerade den Umfang <math>n\lambda</math> hat, mithin die Materiewelle des Elektrons eine stehende Welle darauf ausbilden kann. Ohne über diese Materiewelle viel sagen zu können, fand [[Erwin Schrödinger]] Anfang 1926 eine Formel für die Ausbreitung dieser Welle in einem Kraftfeld, mit der er die [[Wellenmechanik]] begründete.<ref name="Schroedinger1926" /> Für die stationären Zustände des Wasserstoffatoms konnte er mit dieser [[Schrödingergleichung]] ohne zusätzliche Quantenbedingung genau die bekannten Ergebnisse berechnen. Zusätzlich wurden bekannte Fehler des Bohrschen Modells behoben, z.&nbsp;B. dass das Atom flach sei oder dass der Drehimpuls nicht <math>L = 0 \hbar</math> sein könne. Als einzige Naturkonstante tritt in der Schrödingergleichung die Planck-Konstante <math>h</math> auf. Gleiches gilt für die Gleichung, die [[Werner Heisenberg]] einige Monate zuvor aus einer „quantentheoretischen Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ gewann,<ref name="Heisenberg1925a" /> womit er die [[Matrizenmechanik]] begründete. Beide Ansätze sind mathematisch äquivalent und werden als Grundgleichungen der eigentlichen Quantenmechanik angesehen. Weiterhin geblieben sind allerdings die Schwierigkeiten, sich ein mit dem Welle-Teilchen-Dualismus verträgliches Bild von den quantenmechanischen Begriffen und Vorgängen zu machen.

== Drehimpuls ==
Die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ war für Planck zunächst alleine dadurch motiviert, dass <math>h</math> die gleiche [[Dimension (Physik)|Dimension]] hat wie die physikalische Größe der Energie mal Zeit, die als „[[Wirkung (Physik)|Wirkung]]“ bezeichnet wird. Indes hat der klassische mechanische [[Bahndrehimpuls]] <math>\vec l = \vec r \times \vec p</math> die gleiche Dimension, und <math>\hbar</math> erwies sich ganz allgemein auch als die für den Drehimpuls maßgebliche Naturkonstante.

In dem 1913 von [[Niels Bohr]] aufgestellten [[Bohrsches Atommodell|Atommodell]] tritt, nachdem es 1917 zum [[Bohr-sommerfeldsches Atommodell|Bohr-Sommerfeldschen Atommodell]] erweitert wurde, der Bahndrehimpulsvektor <math>\vec l = \vec r \times \vec p</math> des Elektrons als zweifach gequantelte Größe in Erscheinung. Dem Betrag nach kann er im Bohr-Sommerfeldschen Atommodell wie schon im Bohrschen Modell nur ganzzahlige Vielfache von <math>\hbar</math> annehmen: <math>|\vec l| = l \hbar</math> mit der ''Drehimpulsquantenzahl'' <math>l</math>. Zusätzlich gilt die Bedingung, dass die Projektion des Drehimpulsvektors der Länge <math>l \hbar</math> auf eine Koordinatenachse nur die Werte <math>m \hbar</math> annehmen kann, wobei die ''[[magnetische Quantenzahl]]'' <math>m</math> ganzzahlig ist (s. [[Richtungsquantelung]]) und auf den Bereich von <math>-l</math> bis <math>+l</math> beschränkt ist. Für die Bahnen zur Hauptquantenzahl <math>n</math> kann <math>l</math> alle Werte <math>l = 1, 2, \dotsc, n</math> haben.

In der 1925 von [[Werner Heisenberg]] und [[Erwin Schrödinger]] begründeten [[Quantenmechanik]] ergibt sich die gleiche Quantelung des Bahndrehimpulses, indem dieser durch den Operator <math>\hat{ \vec l} = \hat {\vec r }\times \hat {\vec p}</math> dargestellt wird. Allerdings ist die Länge des Drehimpulsvektors nun <math display="inline">|\vec l| = \sqrt{l(l+1)}\; \hbar</math>. Außerdem gehören im Wasserstoffatom zu den Elektronenzuständen mit Hauptquantenzahl <math>n</math> nach quantenmechanischer Berechnung die Bahndrehimpulsquantenzahlen <math>l = 0, 1, \dotsc, n-1</math>, diese sind also um 1 kleiner als im Bohr-Sommerfeldschen Modell. Dies stimmt mit allen Beobachtungen überein.

Außer dem Bahndrehimpuls können die Teilchen (ebenso Teilchensysteme) auch [[Spin]] besitzen, das ist ein Eigendrehimpuls um ihren eigenen Schwerpunkt, oft mit <math>\vec s</math> bezeichnet. Auch der Spin wird in Einheiten von <math>\hbar</math> ausgedrückt. Es gibt Teilchen, deren Spin ein ganzzahliges Vielfaches von <math>\hbar</math> ist ([[Boson]]en), aber auch Teilchen mit halbzahligem Vielfachen von <math>\hbar</math> ([[Fermion]]en). Die Unterscheidung der zwei Teilchenarten Bosonen und Fermionen ist in der Physik grundlegend. Die Erweiterung von nur ganzzahligen zu halbzahligen Quantenzahlen des Drehimpulses ergibt sich aus den Eigenschaften des quantenmechanischen Spinoperators <math>\hat{ \vec s}</math>. Seine drei Komponenten erfüllen miteinander dieselben Vertauschungsrelationen wie die Komponenten des Bahndrehimpulsoperators <math>\hat {\vec l}</math>. Für den Bahndrehimpuls gilt darüber hinaus <math>\hat{\vec{l}} \cdot \hat{\vec{p}} =0</math>, dies gilt jedoch nicht für den Spin.<ref name="Noack" />

== Unschärferelation ==
In der Heisenbergschen Vertauschungsrelation tritt die (reduzierte) Planck-Konstante als Wert des [[Vertauschungsrelation#Anwendung in der Physik|Kommutators]] zwischen [[Ortsoperator|Orts-]] und [[Impulsoperator]] (in derselben Koordinatenachse) auf:
:<math>\left[\hat x, \hat p_x \right] \;=\; \mathrm{i} \hbar</math>
Als Folge gilt für das Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe die [[Heisenbergsche Unschärferelation]]
:<math>\Delta x \, \Delta p_x \; \ge \; \frac{\hbar}{2}\;.</math>

== Literatur ==
* Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg: ''The Historical Development of Quantum Theory'', Vol. 1, part 1, Springer Verlag 1982, ISBN 3-540-90642-8
* Domenico Giulini: ''„Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie.'' [http://arxiv.org/pdf/physics/0512034.pdf online] (PDF; 453&nbsp;kB). In: Herbert Hunziker: ''Der jugendliche Einstein und Aarau.'' Birkhäuser 2005, ISBN 3-7643-7444-6.
* Enrico G. Beltrametti: ''One Hundred Years of h.'' Italian Physical Soc., Bologna 2002, ISBN 88-7438-003-8.
* Abraham Pais: ''Introducing Atoms and their Nuclei.'' In: Laurie M. Brown u.&nbsp;a. (Hrsg.): ''Twentieth Century Physics.'' Vol.&nbsp;I, IOP Publishing Ltd. AIP Press. Inc. 1995, ISBN 0-7503-0353-0.
* Abraham Pais: ''Inward Bound'', Oxford University Press 1986, ISBN 0-19-851997-4.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Wirkungsquantum}}
* Armin Hermann: [http://www.roro-seiten.de/physik/extra/planck/planckartikel.html ''Wie Max Planck auf die Idee der Quantentheorie kam.'']
* Jörg Resag: [http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybkhtml/chap34.htm ''Was ist das Wirkungsquantum?'']
* [https://www.leifiphysik.de/quantenphysik/quantenobjekt-photon/versuche/h-bestimmung-mit-leds ''h-Bestimmung mit LEDs.''] Einfaches Experiment zur Bestimmung der Planck-Konstante auf Schülerniveau.
* [http://www.arzt.mynetcologne.de/Dioden%20Experiment%20Photoeffekt.pdf Dioden-Beleuchtungsversuch] (PDF; 208&nbsp;kB) Ermittlung der Planck-Konstante durch Beleuchtung mit verschiedenfarbigen Leuchtdioden.
* [https://www.mpg.de/19247229/was-entdeckte-max-planck ''„Energie in Paketen“ – Was entdeckte Planck? Ein Stück Draht und die Revolution der Physik''] Max Planck Gesellschaft 2004

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Bonitz">
Michael Bonitz: [http://www.theo-physik.uni-kiel.de/~bonitz/D/vorles_15ws/planck08_mb.pdf ''Max Planck, das Wirkumsquantum und die moderne Physik.''] (PDF; 990&nbsp;kB).
</ref>
<ref name="CGPM-26-1">
„The SI is the system of units in which [...] the Planck constant ''h'' is {{ZahlExp|6.62607015|-34|post=J&nbsp;s}} [...].“
{{Internetquelle
 |url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1
 |titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI)
 |titelerg=
 |werk=
 |hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
 |datum=2018
 |sprache=en
 |abruf=2021-04-12
}} [[doi:10.59161/CGPM2018RES1E]] (engl.), [[doi:10.59161/CGPM2018RES1F]] (frz.)
</ref>
<ref name="codata2014-all-seite1">
{{Internetquelle|url=https://physics.nist.gov/cuu/pdf/all_2014.pdf|titel=Fundamental Physical Constants — Extensive Listing|titelerg=Archiv 2014|werk=The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty|hrsg=National Institute of Standards and Technology|datum=2014|seiten=1|abruf=2019-05-23|format=PDF; 128 kB|sprache=en}}
</ref>
<ref name="codatahbarmevfm">
{{Internetquelle|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hbcmevf|titel=CODATA Value: reduced Planck constant times c in MeV fm|hrsg=National Institute of Standards and Technology|werk=The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty|zugriff=2020-04-15|sprache=en}}
</ref>
<ref name="codaatahevhz">
{{Internetquelle|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hev|titel=CODATA Value: Planck constant in eV/Hz|hrsg=National Institute of Standards and Technology|werk=The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty|zugriff=2020-04-15|sprache=en}}
</ref>
<ref name="Dirac_1926">
Das Symbol <math>\hbar</math> als Abkürzung für <math>\textstyle \frac{h}{2\pi}</math> wurde im Jahr 1926 von P.&nbsp;A.&nbsp;M.&nbsp;Dirac eingeführt. Ein kurzer Abschnitt zur Historie findet sich z.&nbsp;B. in M.&nbsp;Jammer: ''The Conceptual Development of Quantum Mechanics.'' McGraw-Hill, New York 1966, S.&nbsp;294. Diracs Originalarbeit: P.&nbsp;A.&nbsp;M.&nbsp;Dirac: ''Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom.'' Proc. Roy. Soc. A, 110 (1926), S.&nbsp;561–579.
</ref>
<ref name="Einstein1905">{{Literatur |Autor=Albert Einstein |Titel=Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt |Sammelwerk=Annalen der Physik |Band=17 |Datum=1905 |Seiten=S&nbsp;133 und S.&nbsp;143 |DOI=10.1002/andp.19053220607}}
</ref>
<ref name="Heisenberg1925a">
W. Heisenberg: ''Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen.'' In: ''Zeitschrift für Physik.'' Band&nbsp;33, 1925, S.&nbsp;879–893. Die Bedeutung dieser Veröffentlichung wird in der englischen Wikipedia erläutert: [[:en:Umdeutung paper]].
</ref>
<ref name="Jammer">
{{Literatur |Autor=Max Jammer |Titel=The Conceptual Development of Quantum Mechanics |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York |Datum=1966}}
</ref>
<ref name="Noack">
{{Literatur |Autor=[[Cornelius Noack]] |Titel=Bemerkungen zur Quantentheorie des Bahndrehimpulses |Sammelwerk=Physikalische Blätter |Band=41 |Nummer=8 |Datum=1985 |Seiten=283–285 |Online=[http://www.itp.uni-bremen.de/~noack/orb-ang.pdf ''siehe Homepage''] |Format=PDF |KBytes=154 |Abruf=2012-11-26}}
</ref>
<ref name="Planck1899">
Max Planck: [https://bibliothek.bbaw.de/digitalisierte-sammlungen/akademieschriften/ansicht-akademieschriften?tx_bbaw_academicpublicationshow%5Baction%5D=show&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bcontroller%5D=AcademicPublication%5CVolume&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bpage%5D=493&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bvolume%5D=259&cHash=c7602819d499de1b47d8c876f6222018 ''Über irreversible Strahlungsvorgänge.''] Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1899&nbsp;- Erster Halbband (Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899). Seite&nbsp;440–480.<br />Planck verwendet hier zwei universelle Konstanten  „a“ und „b“. Die Konstante ''b'' wird heute als Planck-Konstante ''h'' bezeichnet, und ''a'' ist der Quotient aus Planck-Konstante und Boltzmann-Konstante (''h/k''<sub>B</sub>). Auf Seite 479f führt Planck aus, dass ''h'' zusammen mit den Naturkonstanten ''c'' und ''G'' Grundlage für ein universelles Einheitensystem sein kann (siehe [[Planck-Einheiten]]).
</ref>
<ref name="Planck1900">
Max Planck: ''Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum.'' Verhandlungen der [[Deutsche Physikalische Gesellschaft | Deutschen Physikalischen Gesellschaft]] 2 (1900) Nr.&nbsp;17, S.&nbsp;237–245, Berlin (vorgetragen am 14.&nbsp;Dezember 1900).
</ref>
<ref name="Planck1906">
Max Planck: ''Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung.'' Verlag Joh. Amb. Barth, Leipzig 1906, [https://books.google.de/books?id=AhYXAAAAYAAJ&pg=PA154 S.&nbsp;154].
</ref>
<ref name="Planck1913">
Max Planck: ''Die gegenwärtige Bedeutung der Quantenhypothese für die kinetische Gastheorie.'' Phys. Zeitschr. Bd.&nbsp;14 (1913) S.&nbsp;258.
</ref>
<ref name="Planck1943">
Max Planck: ''Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums.'' Naturwissenschaften Bd.&nbsp;31, Nr.&nbsp;14 (1943), S.&nbsp;153–159.
</ref>
<ref name="Sackur">
{{Literatur |Autor=[[Otto Sackur]] |Titel=Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums |Sammelwerk=Annalen der Physik |Band=345 |Datum=1913 |Seiten=67 |DOI=10.1002/andp.19133450103}}
</ref>
<ref name="Schroedinger1926">
E. Schrödinger: ''Quantisierung als Eigenwertproblem I.'' Annalen der Physik&nbsp;79 (1926), S.&nbsp;361–376.
</ref>
<ref name="Sturm">
Günter Sturm: [http://www.quanten.de/100jahrequanten.html ''100 Jahre Quantentheorie.''] Bei: ''quanten.de.'' Sonderausgabe vom 14. Dezember 2000.
</ref>
<ref name="UnicodeAnm">Das Zeichen U+210E ist kein spezielles Zeichen für die Planck-Konstante, sondern ist allgemein ein mathematisches, schräg gestelltes ''h''. Die übrigen Kleinbuchstaben belegen die Codepunkte U+1D445 {{Kapitälchen|mathematical italic small a}} bis U+1D467 {{Kapitälchen|mathematical italic small z}} im [[Unicodeblock Mathematische alphanumerische Symbole]]. Der für das ''h'' vorgesehene Codepunkt U+1D455 wurde unbelegt gelassen. Dass das ''h'' die Position U+210E und einen gänzlich anderen Namen hat, hat historische Gründe. siehe [http://unicode.org/charts//PDF/Unicode-3.1/U31-1D400.pdf Unicode Chart 1D400–1D7FF] (PDF; 503&nbsp;kB)
</ref>
</references>

[[Kategorie:Physikalische Konstante]]
[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Max Planck als Namensgeber]]