Quelltext der Seite Petersson-Skalarprodukt

In der [[Mathematik]] versteht man unter dem '''Petersson-Skalarprodukt''' ein bestimmtes
[[Skalarprodukt]] auf dem [[Vektorraum]] der ganzen [[Modulform]]en. Eingeführt wurde dieses
Skalarprodukt von [[Hans Petersson]].

== Definition ==

Es sei <math>\mathbb{M}_k</math> der Vektorraum der ganzen Modulformen zum Gewicht <math>k</math> und
<math>\mathbb{S}_k</math> der Vektorraum der [[Spitzenform]]en.

Die Abbildung <math>\langle \cdot , \cdot \rangle : \mathbb{S}_k \times \mathbb{S}_k \rightarrow 
\mathbb{C}</math>,

:<math>\langle f , g \rangle := \int_\mathrm{F} f(\tau) \overline{g(\tau)} (\operatorname{Im}\tau)^k {\rm d}\nu (\tau)</math>

heißt Petersson-Skalarprodukt. Dabei ist

:<math>\mathrm{F} = \{ \tau \in \mathrm{H} \mid \left| \operatorname{Re}\tau \right| \leq \frac{1}{2}, 
\left| \tau \right| \geq 1 \}</math>

der Fundamentalbereich der [[Modulgruppe]] <math>\Gamma</math>, und für <math>\tau = x + iy</math>
ist

:<math>{\rm d}\nu(\tau) = y^{-2}{\rm d}x{\rm d}y</math>

das hyperbolische Volumenelement. Man beachte, dass man formal auch für eine der beiden Komponente des Skalarprodukts eine ganze Modulformen aus <math>\mathbb{M}_k</math> in die obige Formel einsetzen darf, weil das Integral auch dann noch konvergiert. Jedoch müssen in der Definition eines [[Skalarprodukt]]s beide Komponenten aus demselben Vektorraum stammen, weshalb man das Petersson-Skalarprodukt üblicherweise in der obigen Form definiert.

== Eigenschaften ==

Das Integral ist [[Absolute Konvergenz|absolut konvergent]], und das Petersson-Skalarprodukt ist eine [[positiv definit]]e [[Hermitesche Form]].

Für die [[Hecke-Operator]]en <math>T_n</math> gilt

:<math>\langle T_n f , g \rangle = \langle f , T_n g \rangle</math>.

Damit lässt sich zeigen, dass der Vektorraum der Spitzenformen eine Orthonormalbasis aus
simultanen Eigenformen zu den Hecke-Operatoren besitzt und dass die Fourier-Koeffizienten dieser
Formen alle reell sind.

== Literatur ==

* T.M. Apostol: ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory''. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1990, ISBN 3-540-97127-0.
* M. Koecher, A. Krieg: ''Elliptische Funktionen und Modulformen''. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
* S. Lang: ''Introduction to Modular Forms''. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 2001, ISBN 3-540-07833-9.

[[Kategorie:Funktionentheorie]]