Quelltext der Seite Oval

{{Begriffsklärungshinweis}}

[[Datei:Eikurve aus geometrischer ellipse.svg|mini|Oval mit einer Symmetrieachse]]
[[Datei:Mathematische Kurven benachbart zu Ellipsen.svg|thumb|Klassendiagramm einiger Ovale: Von oben  nach unten werden die Kurven immer spezieller.]]

Der Begriff '''Oval''' ({{laS|ovum}} ‚Ei‘) bezeichnet eine ebene rundliche [[Konvexe Menge|konvexe]] Figur, die im weitesten Sinne dem Profil eines [[Vogelei]]s ähnelt. Sie umfasst [[Kreis (Geometrie)|Kreise]] und [[Ellipse]]n als Spezialfälle, wobei ein beliebiges Oval im Gegensatz zu diesen keine [[Symmetrieachse]] besitzen muss.

Die Verwendung des Begriffs ist nicht immer ganz einheitlich, gelegentlich wird er auch rein beschreibend verwandt. In der [[Analysis]] lässt er sich jedoch formal mit Hilfe ebener [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] definieren, in diesem Zusammenhang spricht man dann auch von '''Eikurven''' oder '''Eilinien'''.

Ein dreidimensionaler rundlicher konvexer Körper (allgemeiner auch eine [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] konvexe [[Teilmenge]] des <math>\mathbb{R}^n </math>) wird als '''Ovoid''' bezeichnet.<ref>Heinrich Behnke: ''Fundamentals of Mathematics''. MIT Press 1974, ISBN 0-262-02069-6, S. 572 ({{Google Buch |BuchID=jZfqK2sjI64C |Seite=572 |Linktext=Auszug |Land=}})</ref> In diesem Sinne ist ein Oval mit seinem Inneren dann ein zweidimensionales Ovoid.

In der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] werden die Begriffe ''Oval'' und ''Ovoid'' ohne [[Differenzierbarkeit]]s- und Konvexitätsbedingungen ausschließlich mit Hilfe von [[Inzidenz (Geometrie)|Inzidenz]]<nowiki/>bedingungen („Jede Gerade trifft ein [[Oval (Projektive Geometrie)|Oval]] bzw. [[Ovoid (Projektive Geometrie)|Ovoid]] in höchstens zwei Punkten“) als [[Quadratische Menge|quadratische Mengen]] definiert. Ein Oval, wie es im vorliegenden Artikel erläutert wird, ist im projektiven Abschluss der reellen Ebene stets ein Oval im Sinne der projektiven Definition, falls man zusätzlich verlangt, dass die [[Krümmung]] des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet. Ein solches Oval ist dann der Rand einer [[Streng konvexe Menge #Spezialfälle|streng konvexen Menge]], d.&nbsp;h., es enthält ''keine'' [[Gerade]]n<nowiki/>stücke.

== Formale Definition und Eigenschaften ==
[[Datei:Eikuve.svg|mini|Oval ohne Symmetrieachsen]]

Die rundliche Form eines Ovals erhält man, indem man für eine geschlossene Kurve [[Glatte Kurve|Glattheit]] und Konvexität verlangt (s. glattes konvexes Oval im Klassendiagramm). Dies führt dann zu der folgenden Definition:

: Eine geschlossene zweimal stetig differenzierbare konvexe Kurve in der Ebene heißt ''Oval'' (auch ''Eikurve'' oder ''Eilinie'').<ref name="eom">[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Oval ''Oval''] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]] (englisch)</ref><ref name="maple">Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel: ''Elementare Differentialgeometrie mit Maple''. Vieweg+Teubner Verlag, 1998, ISBN 3-528-06991-0, S. 43 ff. ({{Google Buch |BuchID=RUhtG1jZTekC |Seite=43 |Linktext=Auszug |Land=}})</ref><ref name="diffgeo">Volkmar Wünsch: ''Differentialgeometrie: Kurven und Flächen''. Vieweg+Teubner Verlag, 1997, ISBN 3-8154-2095-4, S. 92 ff. ({{Google Buch |BuchID=AQ6AFeKyILMC |Seite=92 |Linktext=Auszug |Land=}})</ref>

Diese Definition erfasst jedoch nicht alle geometrischen Figuren, die gelegentlich als Ovale bezeichnet werden. So erfüllen zum Beispiel Ovale, die aus unterschiedlichen Kreisbögen zusammengesetzt sind, diese Definition nicht, da ihre zweite Ableitung nicht auf der gesamten Kurve stetig ist. Möchte man auch solche Fälle erfassen, so muss man Abstriche an die Glattheit der Kurve machen ([[Differentiationsklasse]] <math> C^0</math> oder <math> C^1</math> statt <math> C^2</math>). Gelegentlich wird daher auch nur die Konvexität gefordert.<ref>Catherine Cavagnaro, William T. Haight: ''Dictionary of Classical and Theoretical Mathematics''. CRC Press, 2001, ISBN 1-58488-050-3, S. 88 ({{Google Buch |BuchID=btVgv8WveyIC |Seite=88 |Linktext=Auszug |Land=}})</ref><ref>Robert Clarke James, Glenn James: ''Math Dictionary''. Springer, 1992, ISBN 0-412-99041-5, S. 300 ({{Google Buch |BuchID=UyIfgBIwLMQC |Seite=300 |Linktext=Auszug |Land=}})</ref> Dies hat jedoch den Nachteil, dass die Definition dann auch Figuren umfasst, die man normalerweise kaum als „eiförmig“ empfindet wie zum Beispiel konvexe [[Polygon]]e.

Ein Oval im Sinne der obigen Definition besitzt die folgenden Eigenschaften:
[[Datei:Oval und geraden.svg|mini|Oval mit Tangente, Sekante und Passante]]

* Ein Oval ist eine [[Jordan-Kurve]], d.&nbsp;h. es besitzt keine Schlingen oder Schlaufen.
* Die orientierte [[Krümmung]] eines Ovals besitzt keinen [[Vorzeichenwechsel]], d.&nbsp;h. je nach Durchlaufsinn ist die orientierte Krümmung für jeden Punkt des Ovals entweder nichtnegativ oder nichtpositiv. Anschaulich bedeutet dies, dass es keine Wendungen oder Einbuchtungen besitzt. Man kann es nur in einer reinen Linkskurve bzw. Rechtskurve durchlaufen.
* Das Innere eines Ovals ist eine konvexe Menge, und das Oval bildet deren Rand.
* Für Ovale gilt der [[Vierscheitelsatz]],  d.&nbsp;h. die Krümmung eines Ovals besitzt mindestens vier Extremstellen.<ref>Ian R. Porteous: ''Geometric Differentiation''. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-00264-8, S. 36 ({{Google Buch |BuchID=BNrW0UJ_UFcC |Seite=36 |Linktext=Auszug |Land=}})</ref>
* Besitzt ein Punkt des Ovals eine [[Tangente]], so befindet sich das gesamte Oval auf einer Seite der Tangente.
* Verlangt man zusätzlich, dass die Krümmung des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet, das heißt, die Krümmung nimmt höchstens in isolierten Punkten den Wert Null an, dann existiert in jedem Punkt des Ovals die obige Tangente. Allgemeiner gilt dann für eine beliebige Gerade, dass sie mit dem Oval entweder keinen Punkt ([[Passante]]), genau einen Punkt (Tangente) oder genau zwei Punkte ([[Sekante]]) gemeinsam hat.

== Beispiele und Konstruktionen ==
Ovale können mit völlig unterschiedlichen Verfahren konstruiert werden. Eine Reihe von Konstruktionsverfahren erhält man aus den verschiedenen Konstruktionsverfahren für Ellipsen, die man jeweils an einer geeigneten Stelle leicht modifiziert.

Man kann eine Ellipse erzeugen, indem man einen Kegel mit einer Ebene schneidet (siehe [[Kegelschnitt]]e). Verwendet man nun statt des Kegels bestimmte andere Rotationskörper, beispielsweise eine rotierte [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]], so erhält man bei einem Schnitt mit einer Ebene auch von Ellipsen verschiedene Ovale. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die konstanten Parameter <math>a</math> und <math>b</math> (Längen der Halbachsen) einer Ellipse in ihrer [[Parameterdarstellung]] <math>(a\cdot\cos(t),b\cdot\sin(t))</math> oder in ihrer algebraischen Gleichung <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> durch Funktionen zu ersetzen.

Man kann eine Ellipse als die Menge der Punkte <math>P</math> definieren, für die die Summe der Abstände zu den beiden [[Brennpunkt (Ellipse)|Brennpunkten]] <math>F_1</math> und <math>F_2</math> konstant ist <math>\left(|F_1P|+|F_2P|=2a \right)</math>. Ersetzt man nun diese Summe der Abstände durch eine gewichtete Summe <math>\left(k_1\cdot|F_1P|+k_2\cdot|F_2P|=2a\right)</math>, so bildet die Punktmenge ein Oval, das nur noch eine Symmetrieachse besitzt, auf der ein spitzes und ein stumpfes Ende liegen. Ein solches Oval wird auch als [[Kartesisches Oval]] bezeichnet.

Das Konstruktionsverfahren von [[Philippe de La Hire|de La Hire]] erzeugt eine Ellipse mit Hilfe zweier [[Konzentrizität#Konzentrische Kreise|konzentrischer Kreise]]. Verschiebt man nun den Mittelpunkt des äußeren Kreises ein wenig und behält sonst aber die restlichen Schritte des Konstruktionsverfahrens bei, dann erhält man ein (neues) Oval. Dieses besitzt eine Symmetrieachse, wenn man den Mittelpunkt des äußeren Kreises entlang der Ellipsenachsen verschiebt. Verschiebt man den Mittelpunkt außerhalb der Achsen, dann entsteht ein Oval ohne Symmetrieachsen.

<gallery class="center centered" perrow="2" widths="300" heights="250">
   Ellipse equation to oval 1.svg|Ellipse: <math>\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1</math>
   Ellipse equation to oval 3.svg|<math>\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1-0{,}2\cdot x}=1</math>
   Ellipse geometrisch zu eikurve1.svg|Ellipse: <math>|F_1P|+|F_2P|=22{,}84\,</math>
   Ellipse geometrisch zu eikurve2.svg|<math>|F_1P|+\textbf{1.43}\cdot|F_2P|=22{,}84</math>
   Ellipse nach hire zu eikurve1.svg|Konstruktion mit konzentrischen Kreisen
   Ellipse nach hire zu eikurve2.svg|Konstruktion mit exzentrischen Kreisen
</gallery>

Die Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten beziehungsweise bestimmte Teilmengen von ihr lassen sich oft als Kurven in der Ebene auffassen. Bei einer geeigneten Gleichung erhält man dabei ein Oval. Wenn eine solche Lösungskurve kein Oval ist, dafür aber eine konvexe Schlaufe besitzt, so kann durch Hinzufügen eines Korrekturterms aus der Schlaufe ein Oval erzeugt werden.

<gallery class="center centered" perrow="2" widths="300" heights="250">
   Algebraische kurve oval.svg|[[Elliptische Kurve]]: <math>y^2=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)</math>
   Super ellipse.svg|[[Superellipse|Lamésches Oval]]: <math> \left( \frac{x}{2} \right )^4 +\left( \frac{y}{1}\right)^4=1 </math>
   Bernoulli to oval 1.svg|[[Lemniskate]]: <math>(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0\,</math>
   Bernoulli to oval 2.svg|[[Cassinische Kurve]]: <math>(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)+\textbf{0,01}=0</math>
   Szego to oval 1.svg|Szegö-Kurve: <math> x^2+y^2=e^{2\cdot x-2} </math>
   Szego to oval 2.svg|<math> x^2+y^2+\textbf{0,02}=e^{2\cdot x-2} </math>
   Folium to oval1.svg|[[Kartesisches Blatt]]: <math>x^3+y^3=3\cdot x\cdot y</math>
   Folium to oval2.svg|<math>x^3+y^3+\textbf{0,06}=3\cdot x\cdot y</math>
</gallery>

== Ovale aus Kreisbögen und Geraden ==
Ovale lassen sich auch aus [[Kreisbogen|Kreisbögen]] und [[Strecke (Geometrie)|Geradenstücken]] zusammensetzen. Allerdings besitzen solche Ovale eine geringere Glattheit als in der obigen Definition gefordert, da sie lediglich in <math> C^1</math> liegen. Die [[Krümmung]] ist auf den Teilabschnitten konstant und an den Nahtstellen existiert keine gemeinsame Krümmung, sondern lediglich eine gemeinsame [[Tangente]]. Bestehen solche Ovale lediglich aus Kreisbögen und besitzen genau eine Symmetrieachse, so spricht man auch von [[euklidisches Ei|euklidischen Eiern]]. Ein Beispiel hierfür ist das [[Moss-Ei]].

{| class="centered" style="text-align:center;"
|-
| [[Datei:Oval aus kreisboegen.svg|212px]]
| [[Datei:Oval 8 circle arcs.svg|212px]]
| [[Datei:Oval aus kreisboegen3.svg|212px]]
| [[Datei:Oval aus kreisboegen4.svg|212px]]
|-
|colspan="4"| Ovale zusammengesetzt aus Kreisbögen und Geradenstücken
|}

== Ovale in Natur, Technik und Kultur ==
Für Beispiele ovaler Grundrisse in der Architektur siehe:
* [[:Kategorie:Ovalkirche]]
* [[Fort Boyard]]
* [[Skulpturenhalle Neuss]]
* [[Modellbau zu Malsch]]
* [[JaBee Tower]]

== Literatur ==
* {{EoM |Autor=A.B. Ivanov |Titel=Oval |Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Oval |id=}}
* Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel: ''Elementare Differentialgeometrie mit Maple''. Vieweg+Teubner-Verlag, 1998, ISBN 3-528-06991-0, S. 43 ff. ({{Google Buch |BuchID=RUhtG1jZTekC |Seite=43 |Linktext=Auszug |Land=DE}})
* Volkmar Wünsch: ''Differentialgeometrie: Kurven und Flächen''. Vieweg+Teubner-Verlag 1997, ISBN 3-8154-2095-4, S. 92 ff. ({{Google Buch |BuchID=AQ6AFeKyILMC |Seite=92 |Linktext=Auszug |Land=DE}})
* John A. Adam: ''A Mathematical Nature Walk''. Princeton University Press, 2009, ISBN 0-691-12895-2, S. 124–136.
* ''Oval''. In: Charles Hutton: ''A Philosophical and Mathematical Dictionary''. Band 2. 1815, S. 141; {{archive.org |bub_gb_lsdJAAAAMAAJ |Blatt=141}}.
* [[Arnold Emch]]: ''Some Properties of Closed Convex Curves in a Plane''. In: ''American Journal of Mathematics'', Oktober, 1913, Band 35, Nr. 4, S. 407–41 ({{JSTOR|2370404}}).
* N. Hansen Ball: ''On Ovals''. In: ''The American Mathematical Monthly'', August–September 1930, Band 37, Nr. 7, S. 348–353 ({{JSTOR|2299271}}).
* [[Alexander J. Hahn]]: ''Mathematical excursions to the world’s great buildings''. Princeton University Press, 2012, S. 36–39, 169–171.
* Angelo Alessandro Mazzotti: ''All Sides to an Oval''. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-39374-2.
* Robert A. Dixon: ''Mathographics''. Dover, 1991, ISBN 9780486266398, S. 3–12, 76, 159, 161.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Oval (math)|Ovale}}
* {{MathWorld|id=Oval|title=Oval}}
* Norbert Harthun, Ines Rennert: [http://www.pks.or.at/Resources/Ei_-Kurve_plus.pdf ''Die Ei-Kurve als Schnitt des Hyperbolischen Kegels''] (PDF; 158&nbsp;kB)
* [http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm ''Egg curves''] auf mathematische-basteleien.de (englisch)
* Paul L. Rosin: [https://users.cs.cf.ac.uk/Paul.Rosin/resources/papers/ovalISAMA.pdf ''On the Construction of Ovals''.] (PDF; 395&nbsp;kB) users.cs.cf.ac.uk (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4194780-0}}

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]