Quelltext der Seite Normalverteilung

{{Infobox Verteilung
| name = 
| type = density
| pdf_image = [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px|class=skin-invert]] Dichtefunktionen der Normalverteilung <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün)
| cdf_image = [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|class=skin-invert]] Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün)
| notation = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>
| parameters = <math>\mu \in \R</math> – Erwartungswert <br />
<math>\sigma^2 > 0</math> – Varianz <br />
(<math>\mu</math> ist [[Lagemaß (Stochastik)|Lageparameter]], <math>\sigma</math> ist [[Skalenparameter]])
| support = <math>\mathcal T_X =\R</math>
| pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)</math>
| cdf = <math>\frac12\left(1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right) </math><br />– mit [[Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(x)</math>
| mean = <math>\mu</math>
| median = <math>\mu</math>
| mode = <math>\mu</math>
| variance = <math>\sigma^2\,</math>
| skewness = <math>0</math>
| kurtosis = <math>3</math>
| entropy = <math>\frac12 \log_2(2 \pi e \, \sigma^2)</math>
| mgf = <math>\exp\left(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\right)</math>
| char = <math>\exp\left(i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)</math>
| fisher = <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix}</math> <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}</math>
}}
Die '''Normal-''' oder '''Gauß-Verteilung''' (nach [[Carl Friedrich Gauß]]) ist in der [[Stochastik]] ein wichtiger Typ stetiger [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en. Ihre [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] wird auch ''Gauß-Funktion'', ''gaußsche Normalverteilung'', ''gaußsche Verteilungskurve'', ''Gauß-Kurve'', ''gaußsche Glockenkurve'', ''gaußsche Glockenfunktion'', ''Gauß-Glocke'' oder schlicht ''Glockenkurve'' genannt. Sie hat die Form 
:<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \quad x \in \R</math>
mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> und der Standardabweichung <math>\sigma</math>.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind.

In der [[Messtechnik]] wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, um die Streuung von Messwerten zu beschreiben.
Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom [[Erwartungswert]] lassen sich durch die Normalverteilung in guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

* zufällige Streuung von Messwerten,
* zufällige Abweichungen vom [[Sollmaß]] bei der Fertigung von Werkstücken,
* Beschreibung der [[Brownsche Bewegung|brownschen Molekularbewegung]].

Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden. Die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] gibt ihre Breite an.

== Geschichte ==
Im Jahre 1733 zeigte [[Abraham de Moivre]] in seiner Schrift ''The Doctrine of Chances'' im Zusammenhang mit seinen Arbeiten am [[Satz von Moivre-Laplace|Grenzwertsatz für Binomialverteilungen]] eine Abschätzung des [[Binomialkoeffizient]]en, die als Vorform der Normalverteilung gedeutet werden kann.<ref name="Götze 2002" />

Die für die Normierung der Normalverteilungsdichte zur Wahrscheinlichkeitsdichte notwendige Berechnung des nicht[[Elementare Funktion|elementaren]] [[Integralrechnung|Integral]]s
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt = \sqrt{2\pi}</math>
gelang [[Pierre-Simon Laplace]] im Jahr&nbsp;1782 (nach anderen Quellen [[Siméon Denis Poisson|Poisson]]).

Im Jahr&nbsp;1809 publizierte Gauß sein Werk ''Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium'' ({{deS}} ''Theorie der Bewegung der in Kegelschnitten sich um die Sonne bewegenden Himmelskörper''), das neben der [[Methode der kleinsten Quadrate]] und der [[Maximum-Likelihood-Schätzung]] die Normalverteilung definiert.
Wiederum Laplace war es, der 1810 den [[Zentraler Grenzwertsatz|Satz vom zentralen Grenzwert]] bewies, der die Grundlage der theoretischen Bedeutung der Normalverteilung darstellt und de Moivres Arbeit am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen abschloss.

[[Adolphe Quetelet]] erkannte schließlich bei Untersuchungen des Brustumfangs von mehreren tausend Soldaten im Jahr&nbsp;1845 eine verblüffende Übereinstimmung mit der Normalverteilung und brachte die Normalverteilung in die [[angewandte Statistik]].<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Sur l'appréciation des documents statistiques, et en particulier sur l'appréciation des moyennes |Sammelwerk=Bulletin de la Commission Centrale des Statistique |Band=2 |Datum=1845 |Seiten=205–286 |Online=https://books.google.be/books?id=eUxAAAAAcAAJ}}</ref>

Zunächst wurde die Normalverteilung als Fehlergesetz (''Law of Error'') oder Fehlerkurve (''error curve'') bezeichnet. Die erste unzweideutige Verwendung der Bezeichnung „Normalverteilung“ für die Verteilung mit der Formulierung „Normal Curve of Distribution“ wird [[Francis Galton]] (1889)<ref>{{Literatur |Autor=Francis Galton |Titel=Natural Inheritance |Verlag=Macmillan |Ort=London |Datum=1889 |Fundstelle=S. 51, ''Normal Curve of Distribution''}}</ref> zugeschrieben.<ref>{{Literatur |Autor=Herbert A. David |Titel=First (?) Occurence of Common Terms in Mathematical Statistics |Sammelwerk=The American Statistician |Band=49 |Nummer=2 |Seiten=121–133 |Datum=1995 |JSTOR=2684625}}</ref><ref>{{Internetquelle|autor=Jeff Miller |titel= Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics |url=https://web.universiteitleiden.nl/fsw/verduin/stathist/1stword.htm |abruf=2023-09-27}}</ref> Der Wissenschaftshistoriker Stephen M. Stigler identifizierte<ref>{{Literatur |Autor=Stephen M. Stigler |Titel=Statistics on the Table. The History of Statistical Concepts and Methods |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge / London |Datum=1999 |ISBN=0-674-00979-7}}</ref> drei frühere – vermutlich voneinander unabhängige – Verwendungen des Wortes ''normal'' im Zusammenhang mit der später Normalverteilung genannten Verteilung durch [[Charles S. Peirce]] (1873),<ref>{{Literatur |Autor=Charles S. Peirce| Titel=On the theory of errors of observations |Sammelwerk= Report of the Superintendent of the U. S. Coast Survey for the Year Ending June 1870, Appendix no. 21| Seiten=200-224|Kommentar=Wiederabgedruckt in S. M. Stigler (Hrsg.), ''American Contributions to Mathematical Statistics in the Ninteenth Century'', 2 Bände. Arno Press, New York 1980}}</ref> Francis Galton (1877)<ref>{{Literatur |Autor= Francis Galton |Titel= Typical laws of heredity |Sammelwerk=Nature |Band=15 |Datum=1877 |Seiten=492–495, 512–514, 532–533 |Kommentar= Auch publiziert in ''Proceedings of the Royal Institution of Great Britain''. Band 8, 1877, S. 282–301}}</ref> und [[Wilhelm Lexis]] (1877),<ref>{{Literatur |Autor=Wilhelm Lexis |Titel=Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft |Verlag=Fr. Wagner’sche Buchhandlung |Ort=Freiburg i. B. |Datum=1877 |Online=http://dspace.utlib.ee/dspace/bitstream/10062/3542/7/lexistheorieocr.pdf}}</ref> dabei werden eher die beobachteten Werte oder Teile der beobachteten Werte als „normal“ bezeichnet. 

{{Anker|Standardnormalverteilung}}

== Definition ==
Eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> hat eine Normalverteilung mit Erwartungswert <math>\mu</math> und [[Standardabweichung]] <math>\sigma
</math> bzw. [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>, wobei <math>\mu,\sigma \in \R ,\; \sigma > 0</math>, oft geschrieben als <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math>, wenn <math>X</math> die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte hat:<ref>Bronstein: [[Taschenbuch der Mathematik]]. Kap. 16, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. </ref><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 47.</ref>

: <math>f(x \mid\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}  </math>.

Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Normalverteilung ist, heißt '''normalverteilt'''. Eine normalverteilte Zufallsvariable heißt auch '''gaußsche Zufallsvariable'''. 

Eine Normalverteilung mit den Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math> heißt '''Standardnormalverteilung''', '''standardisierte Normalverteilung'''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle =''Normalveretilung'', S. 289}}</ref> oder '''normierte Normalverteilung'''.<ref>{{Literatur |Titel=Bronstein: [[Taschenbuch der Mathematik]]. Kap. 16, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. |Verlag=Harri Deutsch Verlag |Datum=2000 |Auflage= 5 |ISBN=3-8171-2005-2 |Fundstelle=S. 779}}</ref> Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Standardnormalverteilung ist, heißt '''standardnormalverteilt'''. Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion  
: <math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^2}</math>,
siehe auch [[Fehlerintegral#Normierung|Fehlerintegral]].

Zur mehrdimensionalen Verallgemeinerung siehe ''[[Mehrdimensionale Normalverteilung]]''.

=== Alternative Definition ===

Alternativ lässt sich die Normalverteilung auch über ihre [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] definieren:
:<math>\mathbb{E} \left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tX}\right] = \mathrm{e}^{\mathrm{i}t\mu-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}, \quad t \in \R\;.</math>
Diese Definition erweitert die obige Definition zusätzlich um den Fall <math>\sigma^2=0</math>.

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert und Varianz ===
Ist <math>X \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, dann gilt für den [[Erwartungswert]]

: <math>\operatorname{E}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\mu</math>

und für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]

: <math>\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\sigma^2</math>.

Insbesondere ist der Erwartungswert der Standardnormalverteilung <math>0</math>, denn für <math>Z \sim \mathcal N\left(0,1\right)</math> gilt

: <math> \operatorname{E}(Z) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = 0,</math>

da der Integrand [[Uneigentliches Integral|integrierbar]] und [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist.

=== Standardisierung ===
Eine Zufallsvariable <math>X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> wird durch [[Standardisierung (Statistik)|Standardisierung]]  in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z = (X-\mu)/\sigma</math> überführt.

=== Verteilungsfunktion ===
Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariable ist nicht [[Elementare Funktion|elementar integrierbar]], sodass Wahrscheinlichkeiten [[Numerische Integration|numerisch]] berechnet werden müssen. Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer [[Standardnormalverteilungstabelle]] berechnet werden, die eine [[Standardisierung (Statistik)|Standardform]] verwendet. Dabei bedient man sich der Tatsache, dass die [[Lineare Abbildung|lineare Transformation]] einer normalverteilten Zufallsvariablen zu einer neuen Zufallsvariable führt, die ebenfalls normalverteilt ist. Konkret heißt das, wenn <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math> und <math>Y=aX+b</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> [[Parameter (Mathematik)|Konstanten]] sind mit <math>a \ne 0</math>, dann gilt <math>Y\sim\mathcal{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)</math>. Damit bilden Normalverteilungen eine [[Lage-Skalen-Familie]]. 

Die [[Verteilungsfunktion]] der Normalverteilung ist durch
: <math>F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt, \quad x \in \R</math>
gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass <math>X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> eine Realisierung im Intervall <math>[a,b]</math> hat, ist damit <math>P(X \in [a,b]) = F(b)-F(a)</math>.

Wenn man durch die [[Substitutionsregel|Substitution]] <math>t=\sigma z + \mu</math> statt <math>t</math> eine neue Integrationsvariable <math>z := \tfrac{t-\mu}{\sigma}</math> einführt, ergibt sich mit <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma = 1</math> (gemäß dem oben angeführten Linearitätskriterium)
: <math>F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{(x-\mu)/\sigma} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm d z = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math>
Dabei ist <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:
: <math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.</math>
Mit der [[Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}</math> lässt sich <math>\Phi</math> darstellen als
: <math>\Phi(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right).</math>

=== Funktionsgraph ===
Der [[Funktionsgraph|Graph]] der [[Dichtefunktion]] <math>f(x \mid\mu,\sigma^2)</math> bildet eine Gaußsche Glockenkurve und ist [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|achsensymmetrisch]] mit dem [[Parameter (Statistik)|Parameter]] <math>\mu</math> als ''Symmetriezentrum'', der auch den Erwartungswert, den [[Median (Stochastik)|Median]] und den [[Modus (Stochastik)|Modus]] der Verteilung darstellt. Vom zweiten Parameter <math>\sigma</math> hängen Höhe und Breite der Wahrscheinlichkeitsdichte ab, die [[Wendepunkt]]e liegen bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>.

Der Graph der Verteilungsfunktion <math>F</math> ist [[Punktsymmetrie#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(\mu ; 0{,}5).</math> Für <math>\mu=0</math> gilt insbesondere <math>\varphi(-x) =\varphi(x)</math> und <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> für alle <math>x \in \R</math>.

Als Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Fläche unter der Kurve|Gesamtfläche unter der Kurve]] gleich <math>1</math>.
Dass jede Normalverteilung normiert ist, ergibt sich über die lineare [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z= \tfrac{x-\mu}\sigma</math>:
: <math> \int_{-\infty}^{+\infty}\frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dx= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1</math>.
Für die Normiertheit des letzteren Integrals siehe [[Fehlerintegral#Normierung|Fehlerintegral]].

=== Momenterzeugende Funktion und höhere Momente ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>-verteilten Normalverteilung <math>X</math> lautet

: <math>m_X(t)=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}2\right)</math>.
Nach dem [[Moment (Stochastik)|stochastischen Moment]] 1. Ordnung, dem Erwartungswert, und dem [[zentrales Moment|zentralen Moment]] 2. Ordnung, der Varianz, ist die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] das zentrale Moment 3. Ordnung. Es ist unabhängig von den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> immer den Wert <math>0</math>. Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] als zentrales Moment 4. Ordnung ist ebenfalls von <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> unabhängig und ist gleich <math>3</math>. Um die Wölbungen anderer Verteilungen besser einschätzen zu können, werden sie oft mit der Wölbung der Normalverteilung verglichen. Dabei wird die Wölbung der Normalverteilung auf <math>0</math> normiert (Subtraktion von 3); diese Größe wird als [[Wölbung (Statistik)#Exzess|Exzess]] bezeichnet.

Die ersten Momente wie sind folgt:
{| class="wikitable zebra centered" style="text-align:right"
! align="right" | Ordnung
! [[Moment (Stochastik)|Moment]]
! [[Moment (Stochastik)#Zentrale Momente|zentrales Moment]]
|----
! align="right" |<math>k</math>
! <math>\operatorname E(X^k)</math>
! <math>\operatorname E((X-\mu)^k)</math>
|---- align="right"
|-
| 0 || <math>1</math> || <math>1</math>
|-
| 1 || <math>\mu</math> || <math>0</math>
|-
| 2 || <math>\mu^2 + \sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math>
|-
| 3 || <math>\mu^3 + 3\mu\sigma^2</math> || <math>0</math>
|-
| 4 || <math>\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4</math> || <math>3 \sigma^4</math>
|-
| 5 || <math>\mu^5 + 10 \mu^3 \sigma^2 + 15 \mu \sigma^4</math> || <math>0</math>
|-
| 6 || <math>\mu^6 + 15 \mu^4 \sigma^2 + 45 \mu^2 \sigma^4 + 15 \sigma^6 </math> || <math> 15 \sigma^6 </math>
|-
| 7 || <math>\mu^7 + 21 \mu^5 \sigma^2 + 105 \mu^3 \sigma^4 + 105 \mu \sigma^6 </math> || <math>0</math>
|-
| 8 || <math>\mu^8 + 28 \mu^6 \sigma^2 + 210 \mu^4 \sigma^4 + 420 \mu^2 \sigma^6 + 105 \sigma^8 </math> || <math> 105 \sigma^8 </math>
|}
Alle zentralen Momente <math>\mu_n</math> lassen sich durch die Standardabweichung <math>\sigma</math> darstellen:

: <math>\mu_{n}=\begin{cases}
0 & \text{wenn }n\text{ ungerade}\\
(n-1)!! \cdot \sigma^n & \text{wenn }n\text{ gerade}\end{cases}</math>

dabei wurde die [[Doppelfakultät]] verwendet:

: <math>(n-1)!! = (n-1)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 1 \quad \mathrm{f\ddot ur}\; n \text{ gerade}.</math>

Auch für <math>X \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> kann eine Formel für nicht-zentrale Momente angegeben werden. Dafür transformiert man <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> und wendet den binomischen Lehrsatz an.
: <math>\operatorname E(X^k) = \operatorname E((\sigma Z + \mu)^k) = \sum_{j=0}^k {k \choose j} \operatorname E(Z^j) \sigma^j \mu^{k-j} = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} {k \choose 2i} \operatorname E(Z^{2i}) \sigma^{2i} \mu^{k-2i} = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} {k \choose 2i} (2i-1)!! \sigma^{2i} \mu^{k-2i}. </math>

Die [[Streuung (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|mittlere absolute Abweichung]] ist <math> \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\sigma \approx 0{,}80\sigma</math> und der [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Quartil|Interquartilsabstand]] <math>\approx 1{,}349\sigma</math>.

=== Standardabweichung ===
[[Datei:Standard deviation diagram.svg|mini|hochkant=1.4|Intervalle um <math alt="µ">\mu</math> bei der Normalverteilung]]
Aus der [[Standardnormalverteilungstabelle]] ist ersichtlich, dass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr
: 68,3 % der [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math alt="µ ± σ">\mu\pm\sigma</math>,
: 95,4 % im Intervall <math alt="µ ± 2σ">\mu\pm 2\sigma</math> und
: 99,7 % im Intervall <math alt="µ ± 3σ">\mu\pm 3\sigma</math>
liegen. Da in der Praxis viele Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, werden diese Werte aus der Normalverteilung oft als Faustformel benutzt. So wird beispielsweise <math>\sigma</math> oft als die halbe Breite des Intervalls angenommen, das die mittleren zwei Drittel der Werte in einer Stichprobe umfasst.

Realisierungen außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung gelten oft als verdächtig, [[Ausreißer]] zu sein. Sie können ein Hinweis auf grobe Fehler der [[Daten]]erfassung oder auch auf das Nichtvorhandensein einer Normalverteilung sein. Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. jeder 20.&nbsp;Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung und ca. jeder 370.&nbsp;Messwert außerhalb der dreifachen Standardabweichung, ohne dass es sich dabei um Ausreißer handelt.

[[Datei:Confidence interval by Standard deviation.svg|mini|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit <math>P(-z \leq Z \leq z)</math> einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math> von <math>z \in[0,4]</math>]]
[[Datei:NormalverteilungAnteilAusserhalb.png|thumb|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit <math>P(|Z| > z)</math> einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math> von <math>z \in[0,6]</math>]]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> einen Wert im Intervall <math>[\mu -z\sigma,\mu+z\sigma]</math> annimmt, ist genau so groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> einen Wert im Intervall <math>[-z,z]</math> annimmt, es gilt also 
:<math>p = P(X \in [\mu - z \sigma,\mu + z \sigma]) = P(Z \in [-z,z])</math>.<ref> Es gilt
:<math>P(\mu - z \sigma \leq X \leq \mu + z \sigma) = P\left(-z \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq z\right) = P(-z \leq Z \leq z)\;.</math>
Die letzte Gleichung gilt, da die standardisierte Zufallsvariable <math>(X-\mu)/\sigma</math> standardnormalverteilt ist.</ref> 
Damit können bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen für Normalverteilungen mit beliebigen Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> auf die Standardnormalverteilung zurückgeführt werden.

Die Wahrscheinlichkeit <math>p</math> kann alternativ durch die Verteilungsfunktion <math>\Phi</math> der Standardnormalverteilung oder durch die Fehlerfunktion <math>\operatorname{erf}</math> ausgedrückt werden:
:<math>p = 2 \Phi(z) - 1 = \operatorname{erf}(z/\sqrt 2).</math><ref>Es gilt

: <math>P(Z \in [-z,z]) =P(-z \leq Z \leq z ) = \int_{-z}^{+z}\varphi(t) \mathrm{d}t= \Phi(z) -\Phi(-z) = \Phi(z) - (1 - \Phi(z)) = 2 \Phi(z)-1\,.</math>
Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, da die Standardnormalverteilung symmetrisch zu Null ist.</ref>
Umgekehrt ist zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit <math>p \in (0,1)</math> die Stelle <math>z</math>, für 
die <math>p = P(Z \in [- z,z])</math> gilt, durch 
:<math>z = \Phi^{-1}\left(\frac{p+1}{2}\right) = \sqrt 2\cdot \operatorname{erf}^{-1}(p)</math>
gegeben.

{| class="wikitable"
|+ Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math>
|-
! <math>z</math>
! <math>P(Z \in [-z,z])</math> 
! <math>P(Z \notin [-z,z])</math>
|-
| 0,674490
| 50 %
| 50 %
|-
| 1
| 68,268 9492 %
| 31,731 0508 %
|-
| 1,17741<br>(Halbwertsbreite)
|76,096 8106 %
|23,903 1891 %
|-
| 1,644854
| 90 %
| 10 %
|-
| 2
| 95,449 9736 %
| 4,550 0264 %
|-
| 2,575829
| 99 %
| 1 %
|-
| 3
| 99,730 0204 %
| 0,269 9796 %
|-
| 3,290527
| 99,9 %
| 0,1 %
|-
| 3,890592
| 99,99 %
| 0,01 %
|-
| 4
| 99,993 666 %
| 0,006 334 %
|-
| 4,417173
| 99,999 %
| 0,001 %
|-
| 4,891638
| 99,9999 %
| 0,0001 %
|-
| 5
| 99,999 942 6697 %
| 0,000 057 3303 %
|-
| 5,326724
| 99,999 99 %
| 0,000 01 %
|-
| 5,730729
| 99,999 999 %
| 0,000 001 %
|-
| 6
| 99,999 999 8027 %
| 0,000 000 1973 %

|}

=== Halbwertsbreite ===
Der Wert der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung fällt auf die Hälfte des Maximums, wenn <math>e^{-t^2/2} = \frac{1}{2}</math>, also bei <math>t = \sqrt{2 \ln 2} \approx 1{,}177</math>. Die [[Halbwertsbreite]] ist damit das <math>2 \sqrt{2 \ln 2} \approx 2{,}355</math>fache der Standardabweichung.

=== Variationskoeffizient ===
Aus Erwartungswert <math>\mu</math> und Standardabweichung <math>\sigma</math> der <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>-Verteilung erhält man unmittelbar den [[Variationskoeffizient]]en
: <math>\operatorname{VarK} = \frac{\sigma}{\mu}.</math>

=== Kumulanten ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] ist
: <math>g_X(t)= \mu t+\frac{\sigma^2 t^2}2 </math>

Damit ist die erste [[Kumulante]] <math> \kappa_1=\mu </math>, die zweite ist <math> \kappa_2=\sigma^2 </math> und alle weiteren Kumulanten verschwinden.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> ist
: <math>\psi_Z(t) = e^{-\frac 12 t^2}</math>.

Für eine Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)</math> erhält man daraus mit <math>X = \sigma Z + \mu</math>:

: <math>\psi_X(t)=\operatorname E(e^{it(\sigma Z + \mu)})=\operatorname E(e^{it\sigma Z}e^{it\mu})= e^{it\mu}\operatorname{E}(e^{it\sigma Z})=e^{it\mu}\psi_Z(\sigma t)= \exp\left(it\mu-\tfrac 12 \sigma^2 t^2\right)</math>.

=== Invarianz gegenüber Faltung ===
Die Normalverteilung ist [[Invariante (Mathematik)|invariant]] gegenüber der [[Faltung (Stochastik)|Faltung]], d.&nbsp;h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter [[Alpha-stabile Verteilungen|stabile Verteilungen]] bzw. unter [[Unendliche Teilbarkeit|unendliche teilbare Verteilungen]]). Somit bildet die Normalverteilung eine [[Faltungshalbgruppe]] in ihren beiden Parametern. Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der Standardabweichung <math>\sigma_a</math> mit einer Gaußkurve der Standardabweichung <math>\sigma_b</math> ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Standardabweichung
: <math>\sigma_c = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2}</math>.
Sind also <math>X, Y</math> zwei unabhängige Zufallsvariablen mit
: <math>X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2),</math>
so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt:
: <math>X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)</math>.

Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. [[Faltungssatz]] der Fouriertransformation).

Damit ist jede [[Linearkombination]] wieder normalverteilt. Nach dem [[Satz von Cramér (Normalverteilung)|Satz von Cramér]] gilt sogar die Umkehrung: Ist eine normalverteilte Zufallsvariable die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen, dann sind die Summanden ebenfalls normalverteilt. Man spricht davon, dass die Normalverteilung reproduktiv ist bzw. die [[Reproduktivitätseigenschaft]] besitzt.

Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist ein [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] der [[Fourier-Transformation]], d.&nbsp;h., die Fourier-Transformierte einer Gaußkurve ist wieder eine Gaußkurve. Das Produkt der [[Varianz (Stochastik)|Standardabweichungen]] dieser korrespondierenden Gaußkurven ist konstant; es gilt die [[Heisenbergsche Unschärferelation]].

=== Entropie ===
Eine normalverteilte Zufallsvariable hat die [[Shannon-Entropie]] <math>\log_2\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Fundstelle=S. 302}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes et al. | Datum=2011 |Fundstelle=S. 144}}</ref>
Sie hat für gegebenen Erwartungswert und gegebene Varianz die größte Entropie unter allen stetigen Verteilungen.<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle =''Entropie einer Zufallsgröße'', S. 86}}</ref>

== Anwendung ==

=== Beispiel zur Standardabweichung ===
Die [[Körpergröße]] des Menschen ist näherungsweise normalverteilt. Bei einer Stichprobe von 1.284 Mädchen und 1.063 Jungen zwischen 14 und 18 Jahren wurde bei den Mädchen eine durchschnittliche Körpergröße von 166,3&nbsp;cm (Standardabweichung 6,39&nbsp;cm) und bei den Jungen eine durchschnittliche Körpergröße von 176,8&nbsp;cm (Standardabweichung 7,46&nbsp;cm) gemessen.<ref>Mareke Arends: ''Epidemiologie bulimischer Symptomatik unter 10-Klässlern in der Stadt Halle.'' Dissertation. Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, 2005, Tabelle 9, S. 30. {{URN|nbn:de:gbv:3-000008151}}</ref>

Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten, dass 68,3 % der Mädchen eine Körpergröße im Bereich 166,3&nbsp;cm ± 6,39&nbsp;cm und 95,4 % im Bereich 166,3&nbsp;cm ± 12,8&nbsp;cm haben, also
* 16 % [≈&nbsp;(100 %&nbsp;−&nbsp;68,3 %)/2] der Mädchen kleiner als 160&nbsp;cm (und 16 % entsprechend größer als 173&nbsp;cm) sind und
* 2,5 % [≈&nbsp;(100 %&nbsp;−&nbsp;95,4 %)/2] der Mädchen kleiner als 154&nbsp;cm (und 2,5 % entsprechend größer als 179&nbsp;cm) sind.

Für die Jungen lässt sich erwarten, dass 68,3 % eine Körpergröße im Bereich 176,8&nbsp;cm ± 7,46&nbsp;cm und 95,4 % im Bereich 176,8&nbsp;cm ± 14,92&nbsp;cm haben, also
* 16 % der Jungen kleiner als 169&nbsp;cm (und 16 % größer als 184&nbsp;cm) und
* 2,5 % der Jungen kleiner als 162&nbsp;cm (und 2,5 % größer als 192&nbsp;cm) sind.

=== Kontaminierte Normalverteilung ===
[[Datei:Kontaminierte Normalverteilung.svg|mini|Normalverteilung (a) und kontaminierte Normalverteilung (b)]]
{{Hauptartikel|Kontaminierte Normalverteilung}}

Von der Verteilung
: <math>P = 0{,}9\cdot\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)+0{,}1\cdot\mathcal{N}(\mu,(10\sigma)^2)</math>
ist die Standardabweichung <math>\overline\sigma</math>. Die Verteilung ist optisch kaum von der Normalverteilung zu unterscheiden (siehe Bild), aber bei ihr liegen im Intervall <math>\mu\pm\overline\sigma</math> 92,5 % der Werte. Solche kontaminierten Normalverteilungen sind in der Praxis häufig; das genannte Beispiel beschreibt die Situation, wenn zehn Präzisionsmaschinen etwas herstellen, aber eine davon schlecht justiert ist und mit zehnmal so hohen Abweichungen wie die anderen neun produziert.

=== Gestutzte Normalverteilung ===
{{Hauptartikel|Stutzung#Gestutzte_Normalverteilung}}
Bei der gestutzten Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f</math> außerhalb eines Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math>a,b\in\R</math> gleich Null. Entsprechend erhöht sich <math>f</math> in dem Intervall, so dass das Integral <math>\int_a^bf=1</math> bleibt.

=== Six Sigma ===
{{Hauptartikel|Six Sigma}}
Da der Anteil der Werte außerhalb der sechsfachen Standardabweichung mit ca. 2&nbsp;[[Parts per billion|ppb]] verschwindend klein wird, gilt ein solches Intervall als gutes Maß für eine nahezu vollständige Abdeckung aller Werte. Das wird im Qualitätsmanagement durch die Methode [[Six Sigma]] genutzt, indem die Prozessanforderungen Toleranzgrenzen von mindestens <math>6\sigma</math> vorschreiben. Allerdings geht man dort von einer langfristigen Erwartungswertverschiebung um 1,5 Standardabweichungen aus, sodass der zulässige Fehleranteil auf 3,4&nbsp;[[Parts per million|ppm]] steigt. Dieser Fehleranteil entspricht einer viereinhalbfachen Standardabweichung (<math>4{,}5\ \sigma</math>). Ein weiteres Problem der <math>6\sigma</math>-Methode ist, dass die <math>6\sigma</math>-Punkte praktisch nicht bestimmbar sind. Bei unbekannter Verteilung (d.&nbsp;h., wenn es sich nicht ''ganz sicher'' um eine Normalverteilung handelt) grenzen zum Beispiel die Extremwerte von 1.400.000.000 Messungen ein 75-%-[[Konfidenzintervall]] für die <math>6\sigma</math>-Punkte ein.<ref>H. Schmid, A. Huber: [http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014sscm.pdf ''Measuring a Small Number of Samples and the 3σ Fallacy.''] (PDF; 1,6&nbsp;MB) In: ''IEEE Solid-State Circuits Magazine'', Band 6, Nr. 2, 2014, S. 52–58, [[doi:10.1109/MSSC.2014.2313714]].</ref>

== Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen ==
=== Normalverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung ===
Die [[Binomialverteilung]] ist eine diskrete Verteilung, die sich aus einer Anzahl an Versuchen <math>n</math> ergibt. Jeder einzelne Versuch hat die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges <math>p</math>. Die Binomialverteilung <math>B(k \mid p,n)</math> gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass die <math>n</math> Versuche genau <math>k</math>-mal ein Erfolg war, mit <math>0\leq k\leq n</math>.

Durch einen Grenzübergang für <math>n \to \infty</math> ergeben sich die Dichtefunktion einer Normalverteilung aus der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] der Binomialverteilung ([[Satz von Moivre-Laplace|lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace]]) und die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung aus der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ([[Satz von Moivre-Laplace|globaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace]]). Dies ist eine Rechtfertigung dafür, die Binomialverteilung mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math> für hinreichend große <math>n</math> durch die Normalverteilung <math>\mathcal{N}(np, np(1-p))</math> zu approximieren.

=== Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ===
{{Hauptartikel|Normal-Approximation}}
Die Normalverteilung kann zur Approximation der [[Binomialverteilung]] verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist ([[Satz von Moivre-Laplace]], [[zentraler Grenzwertsatz]], zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter [[Galtonbrett]]).

Ist ein Bernoulli-Versuch mit <math>n</math> voneinander unabhängigen Stufen (bzw. [[Zufallsexperiment]]en) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge allgemein durch <math>P(X=k) = \tbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \dotsc, n</math> berechnen ([[Binomialverteilung]]).

Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn <math>n</math> hinreichend groß und <math>p</math> weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt <math>np(1-p)\geq 9</math>. Für den Erwartungswert <math>\mu</math> und die Standardabweichung <math>\sigma</math> gilt dann:
: <math>\mu=n\cdot p </math> und <math>\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}</math>.
Damit gilt für die Standardabweichung <math>\sigma\geq 3</math>.

Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: <math>np\geq 4</math> und zugleich <math>n(1-p)\geq 4</math>.

Folgende Näherung ist dann brauchbar:

: <math>\begin{align}
 P(x_1 \leq X \leq x_2) &= \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}}\\
 &\approx \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}.
\end{align}</math>

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn <math>\sigma</math> einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.

Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte beim Rechnen mit einer binomialverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> geachtet werden:
* Der Unterschied zwischen <math><</math> oder <math>\leq</math> (sowie zwischen ''größer'' und ''größer gleich'') muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei <math>P(X<x)</math> die nächstkleinere [[natürliche Zahl]] gewählt werden, d.&nbsp;h.
:: <math>P(X<x)=P(X\leq x-1)</math> bzw. <math>P(X >x)=P(X\geq x+1)</math>,
: damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann.
: Zum Beispiel: <math>P(X<70) = P(X\leq 69)</math>

* Außerdem ist
:: <math> P(X \leq x) = P(0 \leq X \leq x) </math>
:: <math> P(X \geq x) = P(x \leq X \leq n) </math>
:: <math> P(X =  x) = P(x \leq X \leq x) </math> (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur)
: und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.

Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können.

=== Beziehung zur Cauchy-Verteilung ===
Der [[Quotient]] von zwei stochastisch unabhängigen <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist [[Cauchy-Verteilung|Cauchy-verteilt]].

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
Das [[Quadrat (Mathematik)|Quadrat]] einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen hat eine [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit einem [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgrad]]. Also: Wenn <math>Z\sim\mathcal{N}(0,1)</math>, dann <math>Z^2\sim\chi^2(1)</math>. Weiterhin gilt: Wenn <math>\chi^2(r_1), \chi^2(r_2), \dotsc, \chi^2(r_n)</math> gemeinsam [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängige]] Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen sind, dann gilt

: <math>Y=\chi^2(r_1)+\chi^2(r_2)+\dotsb+\chi^2(r_n)\sim\chi^2(r_1+\dotsb+r_n)</math>.

Daraus folgt mit unabhängig und standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z_1,Z_2,\dotsc,Z_n</math>:<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 49.</ref>
: <math>Y=Z_1^2+\dotsb+Z_n^2\sim\chi^2(n)</math>

Weitere Beziehungen sind:

* Die Summe <math>X_{n-1}=\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} (Z_{i}-\overline Z)^{2}</math> mit <math>\overline Z:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Z_i</math> und <math>n</math> unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen <math>Z_i\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), \;i=1, \dotsc, n</math> genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung <math>X_{n-1}\sim\chi^2_{n-1}</math> mit <math>(n-1)</math> Freiheitsgraden.

* Mit steigender [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Anzahl an Freiheitsgraden]] (''df'' ≫ 100) nähert sich die Chi-Quadrat-Verteilung der Normalverteilung an.

* Die Chi-Quadrat-Verteilung wird zur [[Konfidenzintervall|Konfidenzschätzung]] für die Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit verwendet.

=== Beziehung zur Rayleigh-Verteilung ===
Der Betrag <math>Z = \sqrt{X^2 + Y^2}</math> zweier unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen <math>X, Y</math>, jeweils mit Mittelwert <math>\mu_X = \mu_Y = 0</math> und gleichen Varianzen <math>\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2</math>, ist [[Rayleigh-Verteilung|Rayleigh-verteilt]] mit Parameter <math>\sigma > 0</math>.

=== Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung ===
Ist die Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})</math>, dann ist die Zufallsvariable <math>Y=e^{X}</math> [[Logarithmische Normalverteilung|logarithmisch-normalverteilt]], also <math>Y \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})</math>.

Die Entstehung einer [[Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen.

=== Beziehung zur F-Verteilung ===
Wenn die stochastisch unabhängigen und normalverteilten Zufallsvariablen <math>X_1^{(1)}, X_2^{(1)}, \dotsc, X_{n_1}^{(1)}</math> und <math>X_1^{(2)}, X_2^{(2)}, \dotsc, X_{n_2}^{(2)}</math> die Parameter
: <math>\operatorname E(X_{i}^{(1)})=\mu_{1},\quad\operatorname{Var}(X_{i}^{(1)})=\sigma^2_{1}\quad\text{für }i=1,\dots,n_1 </math>
und
: <math>\operatorname E(X_{i}^{(2)})=\mu_{2},\quad\operatorname{Var}(X_{i}^{(2)})=\sigma_{2}^2 \quad\text{für }i=1,\dots, n_2 </math>
besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable
: <math>Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:=\frac{\sigma_{2}^2(n_{2}-1)\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-\overline{{X}}^{(1)})^{2}}
{\sigma_{1}^2(n_{1}-1)\sum\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\overline{{X}}^{(2)})^{2}}</math>
einer [[F-Verteilung]] mit <math>((n_{1}-1,n_{2}-1))</math> Freiheitsgraden. Dabei sind
: <math>\overline{X}^{(1)}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)},\quad
\overline{X}^{(2)}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}</math>.

=== Beziehung zur studentschen t-Verteilung ===
Wenn die stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> identisch normalverteilt sind mit den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math>, dann unterliegt die stetige Zufallsvariable
: <math>Y_{n-1}=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}</math>
mit dem Stichprobenmittel <math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math>, der Stichprobenvarianz <math>S^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math> und <math>S := \sqrt{S^2}</math> einer [[Studentsche t-Verteilung|studentschen t-Verteilung]] mit <math>(n-1)</math> Freiheitsgraden.

Für eine zunehmende Anzahl an Freiheitsgraden nähert sich die studentsche t-Verteilung der Normalverteilung immer näher an. Als Faustregel gilt, dass man ab ca. <math>df > 30</math> die studentsche t-Verteilung bei Bedarf durch die Normalverteilung approximieren kann.

Die studentsche t-Verteilung wird zur [[Konfidenzintervall|Konfidenzschätzung]] für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable bei unbekannter Varianz verwendet.

== Testen auf Normalverteilung ==
[[Datei:Quantile graph.svg|mini|300px|[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] einer Normalverteilung und einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]]]]
[[Datei:Anpassungstests.svg|mini|300px|Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt.]]
Um zu überprüfen, ob vorliegende Daten normalverteilt sind, können unter anderen folgende Methoden und Tests angewandt werden:
* [[Chi-Quadrat-Test]]
* [[Kolmogorow-Smirnow-Test]]
* [[Anderson-Darling-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
* [[Lilliefors-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
* [[Cramér-von-Mises-Test]]
* [[Shapiro-Wilk-Test]]
* [[Jarque-Bera-Test]]
* [[Q-Q-Plot]] (deskriptive Überprüfung)
* [[Maximum-Likelihood-Methode]] (deskriptive Überprüfung)
Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. So erkennt der Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen in der Mitte der Verteilung eher als Abweichungen an den Rändern, während der Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel auf stark abweichende Einzelwerte an den Rändern („[[Verteilung mit schweren Rändern|schwere Ränder]]“) reagiert.

Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d.&nbsp;h., <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.

Mit Hilfe von [[Quantil-Quantil-Diagramm]]en bzw. Normal-Quantil-Diagrammen ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.<br />Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden.

== Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen ==
Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable <math>x \sim \mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, so ist <math>a \cdot x + b</math> schließlich <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt.

=== Box-Muller-Methode ===
Nach der [[Box-Muller-Methode]] lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> aus zwei unabhängigen, [[Gleichverteilung|gleichverteilten]] Zufallsvariablen <math>U_1,U_2 \sim U(0,1)</math>, sogenannten [[Standardzufallszahl]]en, simulieren:

: <math>X= \cos( 2 \pi U_1) \sqrt{-2\ln U_2}</math>

und
: <math>Y = \sin ( 2 \pi U_1 ) \sqrt{-2 \ln U_2}.</math>

=== Polar-Methode ===
{{Hauptartikel|Polar-Methode}}

Die Polar-Methode von [[George Marsaglia]] ist auf einem Computer schneller, da sie keine Auswertungen von trigonometrischen Funktionen benötigt:

# Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall <math>[-1, 1]</math> gleichverteilte Zufallszahlen <math>u_1</math> und <math>u_2</math>
# Berechne <math>q=u_1^2+u_2^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1.
# Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>.
# <math>x_i=u_i \cdot p</math> für <math>i=1,2</math> liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
<!--
#Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen <math>u_1,u_2 = U(0,1)</math>
#Berechne <math>v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2</math>. Falls <math>v \ge 1</math> wiederhole 1.
#<math>x=(2u_1-1)(-2\log v /v)^{1/2}</math>
-->

=== Ziggurat-Algorithmus ===
Der Ziggurat-Algorithmus, der ebenfalls von George Marsaglia entwickelt wurde, ist effizienter als die Box-Muller-Methode.<ref>{{Literatur |Autor=Michael Günther, Ansgar Jüngel |Titel=Finanzderivate mit MATLAB - Mathematische Modellierung und numerische Simulation |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Datum=2003 |ISBN=9783834808790 |Seiten=115}}</ref> Er ist der voreingestellte Algorithmus, mit dem in [[Matlab]] und [[GNU Octave|Octave]] normalverteilte Zufallszahlen erzeugt werden.<ref>{{Internetquelle |url=https://de.mathworks.com/help/matlab/math/creating-and-controlling-a-random-number-stream.html#brvfsq3-2%20Matlab-Hilfe |titel=Creating and Controlling a Random Number Stream in Matlab |sprache=de |abruf=2023-09-16}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://octave.sourceforge.io/octave/function/randn.html |titel=Octave Function Reference: randn |abruf=2023-09-16}}</ref>

=== Verwerfungsmethode ===
Normalverteilungen lassen sich mit der [[Verwerfungsmethode]] (siehe dort) simulieren.

=== Inversionsmethode ===
Die Normalverteilung lässt sich auch mit der [[Inversionsmethode]] berechnen.

Mit der <math>[-1,1]</math>-gleichverteilten Verteilung <math>X</math> wird über die Inverse Verteilungsfunktion die Standardnormalverteilung erzeugt:

:<math>Y = \mathbb{erf}^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}X\right)</math>

Da die inverse Verteilungsfunktion nicht explizit mit elementaren Funktionen darstellbar ist, muss man auf eine komplexere numerische Darstellung zurückgreifen, mit relativ hohem Aufwand. Reihenentwicklungen sind in der Literatur zu finden.<ref>William B. Jones, W. J. Thron: ''Continued Fractions: Analytic Theory and Applications.'' Addison-Wesley, 1980.</ref>

=== Zwölferregel ===
Die [[Zwölferregel]] liefert keine exakte Normalverteilung, diese wird nur genähert. Der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] besagt, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilter Zufallszahlen]] einer Normalverteilung nähert.

Nach der [[Zwölferregel]] wird die Standardnormalverteilung durch die Verteilung der Zufallsvariablen <math>Y-6</math> approximiert, wobei <math>Y</math> die Summe von zwölf stochastisch unabhängigen, im Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen <math>X_1,\dots,X_{12}</math> ist. Der Erwartungswert von <math>Y</math> ist 6 und die Varianz von <math>Y</math> ist 1, sodass die Zufallsvariable <math>Y - 6</math> den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 hat. Dies führt für viele Anwendungen zu einer akzeptablen Approximation einer Standardnormalverteilung durch die Verteilung der Zufallsvariablen <math>Y-6</math>. Das Verfahren ist allerdings weder effizient noch wird eine echte Normalverteilung erreicht.

Zudem ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen <math>X_i</math> bei den immer noch häufig verwendeten [[Kongruenzgenerator#Linearer Kongruenzgenerator|Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG)]] nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom [[Spektraltest]] für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der <math>X_i</math> garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z.&nbsp;B. dem [[Mersenne-Twister]] (Standard in [[Python (Programmiersprache)|Python]], [[GNU R]]) oder [[WELL]] genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren sind daher der Zwölferregel vorzuziehen.

== Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
In der Statistik ist die Normalverteilung eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird verwendet zur Modellierung einer Merkmalsverteilung in der Grundgesamtheit und zur Modellierung der Verteilung von Messfehlern. Außerdem entsteht sie als [[asymptotische Normalität |asymptotische Verteilung]] von Schätzfunktionen und allgemeineren Statistiken, siehe dazu [[zentrale Grenzwertsätze]] der Statistik.

Die Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der [[Physik]] für das [[Amplitude]]nprofil der [[Gauß-Strahl]]en und andere Verteilungsprofile.

Zudem findet sie Verwendung in der [[Gabor-Transformation]] im Bereich der Signal- und Bildbearbeitung.

== Siehe auch ==
* [[Normalverteilungsmodell]]
* [[Additives weißes gaußsches Rauschen]]
* [[Lineare Regression]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes, Merran Evans, Nicholas Hastings, Brain Peacock |Auflage=4| Verlag=Wiley & Sons |Ort=Hoboken | Datum=2011 |ISBN=978-0-470-39063-4 |Fundstelle=Kap. 33: ''Normal (Gaussian) Distribution'', S. 143–148}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Normalverteilung'', S. 288–290}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=Teil B, Kap. 3.10.1: ''Eindimensionale Normalverteilung'', S. 298–306}}
* {{Literatur |Autor=Jagdish K. Patel, Campbell R. Read |Titel=Handbook of the Normal Distribution |Reihe=Statistics:Textbooks and Monographs |Auflage=Second edition, revised and expanded |Verlag=Dekker |Ort=New York / Basel / Hong Kong |Datum=1966 |ISBN=0-8247-9342-0}}
* Stephen M. Stigler: ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.'' Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 978-0-674-40341-3.
* {{Literatur |Autor=[[Paul J. Nahin]]|Titel=The Probability Integral. Its Origin, Its Importance, and Its Calculation|Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-38415-8}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Normal distribution|Normalverteilung|audio=1|video=1}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Normalverteilung|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math>: Mathematik für die Schule |suffix=-}}
{{Wikibooks|Statistik: Normalverteilung|Anschauliche Darstellung der Normalverteilung}}
* [https://matheguru.com/stochastik/normalverteilung.html Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen]
* {{Webarchiv | url=http://www.madeasy.de/2/gauss.htm | wayback=20180207233344 | text=Darstellung mit Programmcode}} in [[Visual Basic Classic]]
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=deutsch Online-Rechner Normalverteilung]
* Santa Cruz Institute for Particle Physics: [https://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C/NormalApprox.pdf The Normal Approximation to the Binomial Distribution]
* University of Connecticut: [https://probability.oer.math.uconn.edu/wp-content/uploads/sites/2187/2018/01/prob3160ch9.pdf Normal approximation to the binomial]
* Universität Uppsala: [https://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:425478/FULLTEXT01.pdf Approximating the Binomial Distribution by the Normal Distribution – Error and Accuracy]
* University of Saskatchewan: [https://openpress.usask.ca/introtoappliedstatsforpsych/chapter/5-2-the-normal-distribution-as-a-limit-of-binomial-distributions/ The Normal Distribution as a Limit of Binomial Distributions]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Götze 2002">
{{Literatur
 |Autor=Wolfgang Götze, Christel Deutschmann, Heike Link
 |Titel=Statistik. Lehr- und Übungsbuch mit Beispielen aus der Tourismus- und Verkehrswirtschaft
 |Verlag=Oldenbourg
 |Ort=München
 |Datum=2002
 |ISBN=3-486-27233-0
 |Seiten=170
 |Online={{Google Buch |BuchID=lRPnBQAAQBAJ |Seite=170}}}}
</ref>
</references>

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}{{Normdaten|TYP=s|GND=4075494-7}}
[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]