Quelltext der Seite Mittelwert

{{Begriffsklärungshinweis}}
Ein '''Mittelwert''' (kurz auch nur ''Mittel''; anderes Wort '''Durchschnitt''') ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten [[Algorithmus|Rechenvorschrift]] ermittelt wird. Gebräuchlich sind Rechenvorschriften für das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische]], das [[Geometrisches Mittel|geometrische]] und das [[Quadratisches Mittel|quadratische Mittel]]. Mit dem Wort ''Mittel'' oder ''Durchschnitt'' ist meistens das arithmetische Mittel gemeint.

In der [[Statistik]] ist der Mittelwert einer der Parameter, die den typischen Wert einer Verteilung charakterisieren bzw. die die zentrale [[Tendenz]] einer Verteilung zum Ausdruck bringen ([[Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter]]).

Eng verwandt ist der arithmetische Mittelwert mit dem [[Erwartungswert]] einer Verteilung. Während der Mittelwert aus konkreten vorliegenden Zahlenwerten ermittelt wird, beruht der Erwartungswert auf der theoretisch zu erwartenden Häufigkeit.

== Geschichte ==
In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (arithmetisches, geometrisches und [[harmonisches Mittel]]), bereits in der Antike auf. [[Pappos|Pappos von Alexandria]] kennzeichnet zehn verschiedene Mittelwerte <math>m</math> von zwei Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> (<math>a<b</math>) durch spezielle Werte des Streckenverhältnisses <math>(b-m):(m-a)</math>. Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert. Im 19. und 20.&nbsp;Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im Wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexität ([[Hölder-Ungleichung]], [[Minkowski-Ungleichung]], [[Jensensche Ungleichung]] usw.). Dabei wurden die klassischen Mittelwerte in mehreren Schritten verallgemeinert, zunächst zu den ''Potenzmittelwerten'' (siehe Abschnitt [[#Hölder-Mittel|Hölder-Mittel]] unten) und diese wiederum zu den ''[[Quasi-arithmetisches Mittel|quasi-arithmetischen Mittelwerten]].'' Die klassische Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel geht dabei über in allgemeinere Ungleichungen zwischen Potenzmittelwerten bzw. quasi-arithmetischen Mittelwerten.

== Visualisierung des arithmetischen Mittels ==
[[Datei:Seesaw with mean.svg|mini|hochkant=1.2|Visualisierung des arithmetischen Mittels mit einer Wippe.<br />Nachrechnung ohne [[Dimension (Größensystem)|Dimension]]:<br />Kugelgewicht gleich <math>5,</math> Abstände zum Drehpunkt <math>\triangle</math> gleich <math>2, 1</math> und <math>3</math> ergibt <math>5 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 5 \cdot 3</math>]]
Den meistbenutzten Mittelwert, das arithmetische Mittel, kann man z.&nbsp;B. mithilfe gleich schwerer Kugeln auf einer Wippe visualisieren, die aufgrund der [[Hebel (Physik)|Hebelgesetze]] durch ein Dreieck (Drehpunkt) ausbalanciert sind. Unter der Annahme, dass das Gewicht des Balkens vernachlässigt werden kann, entspricht die Position des Dreiecks, das die Balance herbeiführt, dem arithmetischen Mittel der Kugelpositionen.

== Definitionen der drei klassischen Mittelwerte ==

[[Datei:01 Mittelwerte-3.svg|mini|hochkant=2 |rechts|Geometrische Illustration der klassischen Mittelwerte für den Fall <math> n=2 </math>.
<br>geometrisch, harmonisch,  arithmetisch]]

Im Folgenden seien <math>x_1, \dotsc, x_n</math> gegebene [[reelle Zahl]]en, in der Statistik etwa [[Messwert]]e, deren Mittelwert berechnet werden soll.<ref name="Ferschl">F. Ferschl: ''Deskriptive Statistik.'' 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7. S. 48–74.</ref>

=== Arithmetischer Mittelwert ===
{{Hauptartikel|Arithmetisches Mittel}}

Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

:<math>\bar{x}_{\mathrm{arithm}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n}</math>

=== Geometrisches Mittel ===
{{Hauptartikel|Geometrisches Mittel}}
Im Fall von Zahlen, die nicht auf Grund ihrer Summe, sondern ihres Produktes interpretiert werden, kann das geometrische Mittel berechnet werden. Dazu werden die Zahlen miteinander multipliziert und die <math>n</math>-te Wurzel gezogen, wobei <math>n</math> der Anzahl der zu mittelnden Zahlen entspricht.

:<math>\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dotsm x_n}</math>

=== Harmonischer Mittelwert ===
{{Hauptartikel|Harmonisches Mittel}}
Das harmonische Mittel findet Verwendung, wenn die Zahlen im Bezug auf eine Einheit definiert sind. Dazu wird die Anzahl der Werte durch die Summe der [[Kehrwert]]e der Zahlen geteilt.

:<math>\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dotsb + \frac{1}{x_n}}</math>

== Beispiele für die Verwendung unterschiedlicher Mittelwerte ==
{| class="wikitable float-right"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Merkmalsträger <math>x</math> !! Wert
|-
| <math>x_{(1)}</math> || 3
|-
| <math>x_{(2)}</math> || 2
|-
| <math>x_{(3)}</math> || 2
|-
| <math>x_{(4)}</math> || 2
|-
| <math>x_{(5)}</math> || 3
|-
| <math>x_{(6)}</math> || 4
|-
| <math>x_{(7)}</math> || 5
|}

[[Datei:Beispiel mittelwert diagramm.svg|miniatur|Säulendiagramm zu den Beispielen]]

Im Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Einträgen in der Wertetabelle gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist.

Das ''arithmetische Mittel'' wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt, die Werte werden also als Geschwindigkeiten interpretiert: Läuft eine Schildkröte erst eine Stunde lang drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, so ergibt sich als arithmetisches Mittel bei einer Strecke von 21&nbsp;Metern in 7&nbsp;Stunden:

: <math>\begin{align}
\bar{x}_{\mathrm{arithm}} &= \frac17 \sum\limits_{i=1}^7 {x_i}\\
 &= \frac{(3+2+2+2+3+4+5)\,\mathrm{m}}{7\,\mathrm{h}} = \frac{21\,\mathrm{m}}{7\,\mathrm{h}} = 3\,\mathrm{\frac mh}
\end{align}</math>

Auch das ''harmonische Mittel'' kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht über gleiche Zeiten, sondern über gleiche Strecken gemessen wird. In dem Fall geben die Werte der Tabelle die Zeiten an, in der eine einheitliche Strecke zurückgelegt wird: Die Schildkröte laufe den 1.&nbsp;Meter mit 3 Metern pro Stunde, weitere 3&nbsp;m mit jeweils 2&nbsp;m/h und beschleunigt auf den letzten 3 Metern nochmals auf jeweils 3, 4 und 5&nbsp;m/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich bei einer Strecke von 7&nbsp;Metern in <math>\tfrac{157}{60}</math>&nbsp;Stunden:

: <math>\begin{align}
\bar{x}_{\mathrm{harm}} &= \frac7{\sum\limits_{i=1}^7 \frac1{x_i}}\\
 &= \frac{7\,\mathrm m}{\left(\frac13 + \frac12 + \frac12 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15\right)\,\mathrm h} = \frac{7\,\mathrm m}{\frac{157}{60}\,\mathrm h} \approx 2{,}68\,\mathrm{\frac mh}
\end{align}</math>

Mit dem ''geometrischen Mittel'' errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Die Wertetabelle wird also als die Angabe von Wachstumsfaktoren interpretiert. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag auf das Fünffache, am zweiten auf das Vierfache, dann zweimal auf das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch <math>\text{Anfangsbestand} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \text{Endbestand}.</math>
Alternativ kann mit dem geometrischen Mittel der Endbestand ermittelt werden, denn

: <math>\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[7]{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt[7]{1440} \approx 2{,}83</math>

und somit ist

: <math>\text{Anfangsbestand} \cdot (\bar{x}_\mathrm{geom})^7 = \text{Endbestand}.</math>

Ein tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-Fache hätte also nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt.

== Gemeinsame Definition der drei klassischen Mittelwerte ==
Die Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, lässt sich auf folgende Weise allgemein formulieren:

Beim ''arithmetischen'' Mittel sucht man die Zahl <math>m</math>, für die

:<math>m + m + \dotsb + m = n \cdot m = x_1 + x_2 + \dotsb + x_n</math>

gilt, wobei sich die Summe links über <math>n</math> Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Summe“. Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge.

Beim ''geometrischen'' Mittel sucht man die Zahl <math>m</math>, für die
:<math>m \cdot m \dotsm m = m^n = x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n</math>
gilt, wobei sich das Produkt links über <math>n</math> Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Produkt“.

Das ''harmonische'' Mittel <math>m</math> löst die Gleichung

:<math>\frac 1m + \frac 1m + \dotsb + \frac 1m = \frac nm = \frac 1{x_1} + \frac 1{x_2} + \dotsb + \frac 1{x_n}</math>

== Zusammenhänge ==
=== Zusammenhang mit Erwartungswert ===
Der generelle Unterschied zwischen einem Mittelwert und dem Erwartungswert ist, dass der Mittelwert auf einen konkreten Datensatz angewendet wird, während der [[Erwartungswert]] Information über die Verteilung einer [[Zufallsvariable]]n liefert. Von Bedeutung ist die Verbindung zwischen diesen beiden Parametern. Wenn der Datensatz, auf den das Mittel angewendet wird, eine Stichprobe der Verteilung der Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel der erwartungstreue und konsistente [[Schätzfunktion|Schätzer]] des Erwartungswertes der Zufallsvariablen. Da der Erwartungswert dem ersten [[Moment (Stochastik)|Moment]] einer Verteilung entspricht, wird der Mittelwert daher häufig genutzt, um aus empirischen Daten die Verteilung einzuschränken. Im Falle der häufig genutzten Normalverteilung, die durch die ersten beiden Momente vollkommen festgelegt ist, ist der Mittelwert daher von entscheidender Bedeutung.

=== Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem Mittel ===
Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen.

Für <math>n = 2</math> hängen die Mittelwerte untereinander in folgender Weise zusammen:

: <math>x_\mathrm{harm} = \frac{x_\mathrm{geom}^2}{x_\mathrm{arithm}}</math>

oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst

: <math>x_\text{geom} = \sqrt{ x_\text{arithm} \cdot x_\text{harm} }.</math>

=== Ungleichung der Mittelwerte ===
{{Hauptartikel|Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel|titel1=Ungleichung der Mittelwerte}}

Die ''Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel'' vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es gilt für positive Variable stets

: <math>\min(x_1, \dotsc, x_n) \le \bar x_{\text{geom}}\le\bar x_{\text{arithm}} \le \max(x_1, \dotsc, x_n).</math>

Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z.&nbsp;B. (für positive Variable)

: <math>\min(x_1, \dotsc, x_n) \le \bar x_{\text{harm}}\le\bar x_{\text{geom}} \le \bar x_{\text{arithm}} \le \max(x_1, \dotsc, x_n).</math>

Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung:

{{Doppeltes Bild|zentriert|01 Mittelwerte-3.svg|400|Comparison_mean_values.svg|800|Geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen,<br />Visualisierung von arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel nach [[Pappos]] von Alexandria<ref>{{Internetquelle |autor=Horst Hischer |url=https://www.math.uni-sb.de/preprints/preprint98.pdf#page=14&zoom=auto,-100,582 |titel=Viertausend Jahre Mittelwertbildung |titelerg=Babylonische Ungleichungskette |hrsg=Universität des Saarlandes |seiten=12 |datum=2003 |abruf=2022-05-26}}</ref>|Vergleich von arithmetischem, geometrischem, harmonischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> in dimensionsloser Darstellung}}

Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem [[Satzgruppe des Pythagoras#Höhensatz des Euklid|euklidischen Höhensatz]] und das harmonische Mittel aus dem [[Satzgruppe des Pythagoras#Kathetensatz des Euklid|euklidischen Kathetensatz]] mit der Beziehung

: <math>\bar{x}_\text{geom}^2 = \bar{x}_\text{harm} \cdot \bar{x}_\text{arithm}.</math>

== Vergleich zu anderen Maßen der zentralen Tendenz ==
{{Hauptartikel|Median|Modus (Statistik)}}
[[Datei:Comparison mean median mode.svg|lang=de|miniatur|hochkant=1.0|Vergleich zwischen Modus, Median und „Mittel“ (eigentlich: [[Erwartungswert]]) zweier [[Log-Normalverteilung]]en]]
Häufig wird ein Mittelwert genutzt, um einen zentralen Wert eines Datensatz zu beschreiben. Dabei gibt es weitere Parameter, die ebenfalls diese Funktion erfüllen: Median und Modus. Der Median beschreibt einen Wert, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, während der Modus den Wert mit der höchsten Häufigkeit im Datensatz angibt. Im Vergleich zum Median ist der Mittelwert anfälliger für [[Ausreißer]] und daher weniger [[Robuste Schätzverfahren|robust]]. Der Median wird allgemein mit der folgenden Rechenvorschrift ermittelt.<ref name="Ferschl" />

: <math>\bar{x}_\mathrm{med} = \begin{cases}
 x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, &n\text{ ungerade,}\\
 \frac 12\left(x_{\left({\frac n2}\right)} + x_{\left({\frac n2+1}\right)}\right), &n \text{ gerade.}
\end{cases}
</math>

== Weitere Mittelwerte und ähnliche Funktionen ==
=== Gewichtete Mittel ===
Die ''gewichteten'' oder auch ''gewogenen Mittelwerte'' entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel, wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in die Gesamtnote einfließen.

Die genauen Definitionen finden sich hier:
* [[Arithmetisches Mittel#Gewichtetes arithmetisches Mittel|Gewichtetes arithmetisches Mittel]]
* [[Geometrisches Mittel#Eigenschaften|Gewichtetes geometrisches Mittel]]
* [[Harmonisches Mittel#Gewichtetes harmonisches Mittel|Gewichtetes harmonisches Mittel]]

=== Quadratisches und kubisches Mittel ===
Weitere Mittel, die Verwendung finden, sind das [[Quadratisches Mittel|quadratische Mittel]] und das [[Kubisches Mittel|kubische Mittel]]. Das quadratische Mittel wird mit der folgenden Rechenvorschrift berechnet:

: <math>\bar{x}_\mathrm{quadr} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^2}} = \sqrt \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dotsb + x_n^2}{n}
</math>

Das kubische Mittel wird wie folgt ermittelt:

: <math>\bar{x}_\mathrm{kubisch} = \sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^3}} = \sqrt[3]{\frac{x_1^3 + x_2^3 + \dotsb + x_n^3}{n}}
</math>

=== Logarithmischer Mittelwert ===
Der [[Logarithmisches Mittel|logarithmische Mittelwert]] <math>\bar{x}_{a,b,\ln}</math> von <math>x_a</math> und <math>x_b</math> ist definiert als

: <math>\bar{x}_{a,b,\ln} = \frac{x_b - x_a}{\ln (\frac{x_b}{x_a})} = \frac{x_b - x_a}{\ln(x_b) - \ln(x_a)}</math>

Für <math>x_a \neq x_b</math> liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert (für <math>x_a = x_b</math> ist er wegen der [[Division durch null]] nicht definiert).

=== Winsorisiertes und getrimmtes Mittel ===
{{Hauptartikel|Getrimmter Mittelwert}}
Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „[[Ausreißer]]“, das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren“ (benannt nach [[Charles P.&nbsp;Winsor]]) bereinigen und den getrimmten (bzw. gestutzten) <math>\bar{x}_{t\alpha}</math> (engl. ''truncated mean'') oder winsorisierten Mittelwert <math>\bar{x}_{w\alpha}</math> (engl. ''Winsorized mean'') berechnen. In beiden Fällen [[Rangfolge|sortiert]] man die Beobachtungswerte zuerst nach aufsteigender Größe. Beim Trimmen schneidet man sodann eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Hingegen werden beim Winsorisieren die Ausreißer am Anfang und Ende der Folge durch den nächstgrößeren (bzw. -kleineren) Wert der restlichen Daten ersetzt.

'''Beispiel:''' Hat man 10 aufsteigend sortierte reelle Zahlen <math>x_1, \dotsc, x_{10}</math>, so ist das 10-%-getrimmte Mittel gleich

: <math>\bar{x}_{t0{,}1} = \frac{x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 + x_9}{8}.</math>

Indes ist der 10-%-winsorisierte Mittelwert gleich

: <math>\bar{x}_{w0{,}1} = \frac{x_2 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 + x_9 + x_9}{10}.</math>

D.&nbsp;h., das getrimmte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, d.&nbsp;h., 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Die Prozentzahl richtet sich im Wesentlichen nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Trimmung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.<ref>{{Literatur |Autor = R. K. Kowalchuk, H. J. Keselman, R. R. Wilcox, J. Algina |Titel = Multiple comparison procedures, trimmed means and transformed statistics |Sammelwerk = Journal of Modern Applied Statistical Methods |Band = 5 |Datum = 2006 |Seiten = 44–65 |DOI=10.22237/jmasm/1146456300}}</ref><ref>{{Literatur |Autor = R. R. Wilcox, H. J. Keselman |Titel = Power analysis when comparing trimmed means |Sammelwerk = Journal of Modern Applied Statistical Methods |Band = 1 |Datum = 2001 |Seiten = 24–31 |DOI=10.22237/jmasm/1020254820}}</ref>

=== Quartilsmittel ===
Das Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und 3. [[Empirisches Quantil|Quartil]]s:

: <math>\bar{x}_q = \frac{\tilde x_{0{,}25} + \tilde x_{0{,}75}}{2}.</math>

Hierbei bezeichnet <math>\tilde x_{0{,}25}</math> das 25-%-[[Empirisches Quantil|Quantil]] (1.&nbsp;Quartil) und entsprechend <math>\tilde x_{0{,}75}</math> das 75-%-Quantil (3.&nbsp;Quartil) der Messwerte.

Das Quartilsmittel ist [[Robuste Schätzverfahren|robuster]] als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der [[Median]].

=== Mitte der kürzesten Hälfte ===
Sei <math>[a, b[</math> das kürzeste Intervall unter allen Intervallen mit <math>F(b) - F(a) \ge \frac{1}{2}</math>, so ist <math>\frac{b - a}{2}</math> dessen Mitte (middle of the shortest half). Bei unimodalen [[Symmetrische Verteilung|symmetrischen Verteilungen]] konvergiert dieser Wert gegen das arithmetische Mittel.<ref>{{Literatur |Autor = L. Davies |Titel = Data Features |Sammelwerk = Statistica Neerlandica |Band = 49 |Datum = 1995 |Seiten = 185–245 |DOI=10.1111/j.1467-9574.1995.tb01464.x}}</ref>

=== Gastwirth-Cohen-Mittel ===
Das Gastwirth-Cohen-Mittel<ref>J. L. Gastwirth, M. L. Cohen: ''Small sample behavior of some robust linear estimators of location,'' J Amer Statist Assoc 65:946–973, 1970, {{DOI|10.1080/01621459.1970.10481137}}, {{JSTOR|2284600}}.</ref> nutzt drei Quantile der Daten: das <math>\alpha</math>-Quantil und das <math>(1-\alpha)</math>-Quantil jeweils mit Gewicht <math>\lambda</math> sowie den Median mit Gewicht <math>1-2\lambda</math>:

: <math>\bar{x}_{gc} = \lambda\tilde x_{\alpha}+ (1-2\lambda) \tilde x_{0{,}5} + \lambda \tilde x_{1-\alpha}</math>

mit <math>0 \leq \alpha \leq 0{,}5</math> und <math>0 \leq \lambda \leq 0{,}5</math>.

Spezialfälle sind

* das Quartilsmittel mit <math>\alpha = 0{,}25</math>, <math>\lambda = 0{,}5</math> und
* das Trimean mit <math>\alpha = 0{,}25</math>, <math>\lambda = 0{,}25</math>.

=== Bereichsmitte ===
Die ''Bereichsmitte''<ref>{{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage=4  |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Seiten=41}}</ref> (oder das '''Bereichsmittel''') ({{enS|Mid-range}}) ist definiert als der arithmetische Mittelwert aus dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:

:<math>\bar{x}_b = \frac{\min_i x_i + \max_i x_i}{2}</math>

Dies ist gleichbedeutend mit

:<math>|{\min_i x_i - \bar{x}_b}| = |{\max_i x_i - \bar{x}_b}|\;.</math>

=== Das „a-Mittel“ ===
Für einen gegebenen reellen Vektor <math>a = (a_1, \dotsc, a_n)</math> mit <math>\sum_{i=1}^n a_i = 1</math> wird der Ausdruck

:<math>[a] = \frac{1}{n!} \sum_\sigma x_{\sigma(1)}^{a_1} \dotsm x_{\sigma(n)}^{a_n},</math>

wobei über alle [[Permutation]]en <math>\sigma</math> von <math>\{ 1, \dotsc, n\}</math> summiert wird, als „<math>a</math>-Mittel“ <math>[a]</math> der nichtnegativen reellen Zahlen <math>x_1, \dotsc, x_n</math> bezeichnet.

Für den Fall <math>a = (1, 0, \dotsc, 0)</math> ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen <math>x_1, \dotsc, x_n</math>; für den Fall <math>a = \left(\tfrac 1 n, \dotsc, \tfrac 1 n\right)</math> ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die <math>a</math>-Mittel gilt die [[Muirhead-Ungleichung]].

'''Beispiel:''' Sei <math>a = \left(\tfrac 1 2, \tfrac 1 3, \tfrac 1 6\right)</math> und

: <math>x_1 = 4, \, x_2 = 5, \, x_3 = 6,</math> dann gilt <math>\tfrac 1 2 + \tfrac 1 3 + \tfrac 1 6 = 1</math> und die Menge der Permutationen (in Kurzschreibweise) von <math>\{1, 2, 3\}</math> ist
: <math>S_3 = \{1\,2\,3, 1\,3\,2, 2\,1\,3, 2\,3\,1, 3\,1\,2, 3\,2\,1\}.</math>

Damit ergibt sich

 :<math>\begin{align}
{[a]} &= \frac{1}{3!}\left(x_1^{\frac 1 2}x_2^{\frac 1 3}x_3^{\frac 1 6}+x_1^{\frac 1 2}x_3^{\frac 1 3}x_2^{\frac 1 6}+x_2^{\frac 1 2}x_1^{\frac 1 3}x_3^{\frac 1 6}+x_2^{\frac 1 2}x_3^{\frac 1 3}x_1^{\frac 1 6}+x_3^{\frac 1 2}x_1^{\frac 1 3}x_2^{\frac 1 6}+x_3^{\frac 1 2}x_2^{\frac 1 3}x_1^{\frac 1 6}\right)\\
 &= \frac 1 6\left(4^{\frac 1 2}{\cdot}5^{\frac 1 3}{\cdot}6^{\frac 1 6}+4^{\frac 1 2}{\cdot}6^{\frac 1 3}{\cdot}5^{\frac 1 6}+5^{\frac 1 2}{\cdot}4^{\frac 1 3}{\cdot}6^{\frac 1 6}+5^{\frac 1 2}{\cdot}6^{\frac 1 3}{\cdot}4^{\frac 1 6}+6^{\frac 1 2}{\cdot}4^{\frac 1 3}{\cdot}5^{\frac 1 6}+6^{\frac 1 2}{\cdot}5^{\frac 1 3}{\cdot}4^{\frac 1 6}\right)\\
 &\approx 4{,}94.
\end{align}</math>

=== Gleitende Durchschnitte ===
{{Hauptartikel|Gleitender Mittelwert}}

[[Gleitender Mittelwert|Gleitende Durchschnitte]] werden in der dynamischen Analyse von [[Messwert]]en angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der [[Finanzmathematik]]. Mit gleitenden Durchschnitten kann das [[Stochastik|stochastische]] [[Rauschen (Physik)|Rauschen]] aus zeitlich voranschreitenden [[Signal]]en herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um [[Filter mit endlicher Impulsantwort|FIR-Filter]]. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z.&nbsp;B. [[Kalman-Filter]].

Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine [[Einflussgröße und Zielgröße|unabhängige Variable]], die die Größe der nachlaufenden [[Stichprobe]] bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.

Gängige gleitende Durchschnitte sind:
* arithmetische gleitende Durchschnitte (''Simple Moving Average'' – SMA),
* [[Exponentielle Glättung|exponentiell gleitende Durchschnitte]] (''Exponential Moving Average'' – EMA),
* doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (''Double EMA'' – DEMA),
* dreifach, <math>n</math>-fach exponentiell gleitende Durchschnitte (''Triple EMA'' – TEMA),
* linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung),
* quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte und
* weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular,&nbsp;…

In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (anderer [[Volatilität]]/[[Streuung (Statistik)|Streuung]] etc.) anpassen:

* ''Kaufmann’s Adaptive Moving Average'' (KAMA) sowie
* ''Variable Index Dynamic Average'' (VIDYA).

Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch [[Chartanalyse#Gleitende Durchschnitte|Gleitende Durchschnitte (Chartanalyse)]] und [[ARMA-Modell#MA-Modell|MA-Modell]].

=== Kombinierte Mittelwerte ===
Mittelwerte lassen sich kombinieren; so entsteht etwa das [[Arithmetisch-geometrisches Mittel|arithmetisch-geometrische Mittel]], das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

== Verallgemeinerte Mittelwerte ==
Es gibt eine Reihe weiterer Funktionen, mit denen sich die bekannten und weitere Mittelwerte erzeugen lassen.

=== Hölder-Mittel ===
{{Hauptartikel|Hölder-Mittel}}

Für [[positive Zahl]]en <math>x_i</math> definiert man den [[Hölder-Mittel|<math>k</math>-Potenzmittelwert]], auch ''Hölder-Mittel'' ({{enS|''<math>k</math>-th power mean''}}) als

: <math>\bar{x}(k) = \sqrt[k]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^k}}.</math>

Für <math>k = 0</math> ist der Wert durch [[Stetige Fortsetzung|stetige Ergänzung]] definiert:

: <math>\bar{x}(0) = \lim_{k\to 0}\bar{x}(k)</math>

Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind.

Für <math>k = -1, 0, 1, 2, 3</math> ergeben sich daraus etwa das harmonische, das geometrische, das arithmetische, das quadratische und das kubische Mittel. Für <math>k \to -\infty</math> ergibt sich das Minimum, für <math>k \to +\infty</math> das Maximum der Zahlen.

Außerdem gilt bei festen Zahlen <math>x_i</math>: Je größer <math>k</math> ist, desto größer ist <math>\bar{x}(k)</math>; daraus folgt dann die verallgemeinerte Ungleichung der Mittelwerte

:<math>\min(x_1, \dotsc, x_n) \le \bar x_{\mathrm{harm}} \le \bar x_{\mathrm{geom}} \le \bar x_{\mathrm{arithm}} \le \bar x_{\mathrm{quadr}} \le \bar x_{\mathrm{kubisch}} \le \max(x_1, \dotsc, x_n).</math>

=== Lehmer-Mittel ===
Das [[Lehmer-Mittel]]<ref>{{MathWorld|LehmerMean|Lehmer Mean}}</ref> ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe <math>p</math> ist es definiert durch

:<math>L_p(a_1, a_2, \dotsc, a_n) = \frac{\sum_{k=1}^n a_k^p}{\sum_{k=1}^n a_k^{p-1}}.</math>

Es hat die Spezialfälle

* <math>\lim_{p \to -\infty} L_p(a_1, \dotsc, a_n) = \min(a_1, \dotsc, a_n);</math>
* <math>L_0(a_1, \dotsc, a_n)</math> ist das harmonische Mittel;
* <math>L_{1/2}(a_1, a_2)</math> ist das geometrische Mittel von <math>a_1</math> und <math>a_2</math>;
* <math>L_1(a_1, \dotsc, a_n)</math> ist das arithmetische Mittel;
* <math>\lim_{p \to\ +\infty} L_p(a_1, \dotsc, a_n) = \max(a_1, \dotsc, a_n).</math>

=== Stolarsky-Mittel ===
Das [[Stolarsky-Mittel]] zweier Zahlen <math>a, c</math> ist definiert durch

:<math>S_p(a,c) = \left(\frac{a^p-c^p}{p(a-c)}\right)^{1/p-1}.</math>

=== Integraldarstellung nach Chen ===
Die Funktion

: <math>f(t) = \frac{\int_a^b x^{t+1}\,\mathrm{d}x}{\int_a^b x^t\,\mathrm{d}x}</math>

ergibt für verschiedene Argumente <math>t \in \mathbb{R}</math> die bekannten Mittelwerte von <math>a</math> und <math>b</math>:<ref name="cheng05">H. Chen: ''Means Generated by an Integral.'' In: ''Mathematics Magazine.'' Vol. 78, Nr. 5 (Dez. 2005), S. 397–399, {{JSTOR|30044201}}.</ref>

* <math>f(-3) = \frac{2 a b}{a + b}</math> ist das harmonische Mittel.
* <math>f\left(-\frac{3}{2}\right) = \sqrt{a b}</math> ist das geometrische Mittel.
* <math>f(0) = \frac{a+b}{2}</math> ist das arithmetische Mittel.

Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion <math>f</math> folgt die Mittelwertungleichung

: <math>\underbrace{\frac{2 a b}{a + b}}_{\text{harm. } = f(-3)} \leq \underbrace{\sqrt{a b}}_{\text{geom. } = f\left( -\frac{3}{2}\right)} \leq \underbrace{\frac{b - a}{\ln b - \ln a}}_{\text{log. } = f(-1)} \leq \underbrace{\frac{a + \sqrt{a b} + b}{3}}_{\text{heron. } = f\left(-\frac{1}{2}\right)} \leq \underbrace{\frac{a + b}{2}}_{\text{arithm. } = f(0)}</math>

== Mittelwert einer Funktion ==
Das arithmetische Mittel einer integrierbaren Funktion <math>f(x)</math> in einem abgeschlossenen Intervall <math>[a,b]</math> ist definiert als

: <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f(x)\, \mathrm dx</math>.

Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist

: <math>\sqrt{\frac1{b-a}\int\limits_a^b f(x)^2\mathrm dx}.</math>

Diese finden in der Technik erhebliche Beachtung, siehe [[Gleichwert]] und [[Effektivwert]].

== Literatur ==
* [[Franz Ferschl]]: ''Deskriptive Statistik.'' 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7.
* Peter S. Bullen: ''Handbook of Means and Their Inequalities.'' Kluwer Acad. Pub., 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).
* [[Godfrey Harold Hardy]], [[John Edensor Littlewood]], [[George Pólya]]: ''Inequalities.'' Cambridge Univ. Press, 1964.
* [[Edwin F. Beckenbach]], [[Richard Bellman]]: ''Inequalities.'' Springer, Berlin 1961.
* [[Horst Hischer]]: ''4000 Jahre Mittelwertbildung. Eine fundamentale Idee der Mathematik und didaktische Implikationen.'' In: [https://journals.ub.uni-koeln.de/index.php/mathematica_didactica/article/view/995/984 mathematica didactica.] 25(2), 2002.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Durchschnittswert}}
{{Wiktionary|Mittelwert}}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Averaging Averaging auf Scholarpedia] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4130070-1}}

[[Kategorie:Mittelwert| ]]
[[Kategorie:Aggregatfunktion]]
[[Kategorie:Materialbedarfsermittlung]]