Quelltext der Seite Levi-Zerlegung (Lie-Gruppe)

{{Dieser Artikel|behandelt die Levi-Zerlegung von Lie-Gruppen, für die Levi-Zerlegung von Lie-Algebren siehe [[Satz von Levi (Lie-Algebra)]].}}
Im [[Mathematik|mathematischen]] Gebiet der Theorie der [[Lie-Gruppe]]n liefert die '''Levi-Zerlegung''' eine Zerlegung von Lie-Gruppen als semidirektes Produkt einer auflösbaren und einer reduktiven Lie-Gruppe. Sie ergibt sich aus der [[Satz von Levi (Lie-Algebra)|Levi-Zerlegung von Lie-Algebren]] und dient in der Regel dazu, das Studium allgemeinerer Lie-Gruppen auf die Untersuchung [[Halbeinfache Lie-Gruppe|halbeinfacher Lie-Gruppen]] zu reduzieren.

Sie ist nach [[Eugenio Elia Levi]] benannt.

== Levi-Zerlegung und Levi-Untergruppe ==
Es sei <math>G</math> eine [[einfach zusammenhängend]]e [[Lie-Gruppe]] und <math>R</math> ihr [[Radikal (Mathematik)|Radikal]], d.&nbsp;h. ein maximaler abgeschlossener, [[Auflösbare Gruppe|auflösbarer]] Normalteiler. Dann gibt es eine abgeschlossene, einfach zusammenhängende Untergruppe <math>S\subset G</math> mit <math>R\cap S=\left\{e\right\}</math>, so dass die Abbildung
: <math>(r,s)\to rs , r\in R , s\in S</math>
ein [[Diffeomorphismus]] der [[Mannigfaltigkeit]] <math>R\times S</math> auf <math>G</math> ist.

Die Zerlegung als [[semidirektes Produkt]]
: <math>G=R\rtimes S</math>
heißt ''Levi-Zerlegung'' (auch ''Levi–Mal'tsev Zerlegung'' oder ''Chevalley-Zerlegung''), die Untergruppe <math>S</math> heißt ''Levi-Untergruppe''. Die Levi-Zerlegung ist nicht eindeutig bestimmt.

Wenn <math>G</math> nicht einfach zusammenhängend ist, muss die Levi-Untergruppe im Allgemeinen keine abgeschlossene Untergruppe sein. Sie ist aber stets abgeschlossen, wenn <math>H</math> eine (nicht notwendig einfach zusammenhängende) lineare Gruppe (d.&nbsp;h. eine abgeschlossene Untergruppe von <math>GL(n,\Complex)</math>) oder allgemeiner eine über <math>\R</math> oder <math>\Complex</math> definierte algebraische Gruppe ist.

== Eigenschaften ==
* Die Levi-Untergruppe <math>S</math> ist eine [[reduktive Gruppe]].
* Eine Untergruppe ist genau dann die Levi-Untergruppe einer Levi-Zerlegung, wenn sie eine maximale reduktive Untergruppe ist.
* Jede reduktive Untergruppe von <math>G</math> ist zu einer Untergruppe von <math>S</math> [[Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]].
* Insbesondere sind alle Levi-Untergruppen zueinander konjugiert.

== Satz von Mostow ==
Der ''Satz von [[George Mostow|Mostow]]'' besagt, dass es auch für jede zusammenhängende [[algebraische Gruppe]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>0</math> eine Levi-Zerlegung gibt. Für algebraische Gruppen über Körpern der Charakteristik <math>p>0</math> ist das im Allgemeinen nicht richtig.

== Levi-Mostow-Zerlegung von Gittern ==
Es sei <math>G</math> eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Levi-Untergruppe <math>S</math> keinen [[Kompakter Raum|kompakten]] Faktor hat. Dann gibt es in jedem [[Gitter (Mathematik)|Gitter]] <math>\Gamma\subset G</math> eine Untergruppe von endlichem [[Index (Gruppentheorie)|Index]] <math>\Gamma^*\subset\Gamma</math>, die sich stetig in ein Gitter <math>\Gamma^\prime</math> deformieren lässt, das ein semidirektes Produkt <math>\Gamma^\prime=(\Gamma\cap R)\rtimes(\Gamma^\prime\cap S)</math> des Gitters <math>\Gamma\cap R\subset R</math> mit einem Gitter <math>\Gamma^\prime\cap S\subset S</math> ist.<ref>Theorem 2.3 in: E. B. Vinberg, V. V. Gorbatsevich, O. V. Shvartsman: ''Discrete subgroups of Lie groups.'' In: ''Encyclopaedia Math. Sci.'', 21, Springer, Berlin 2000. Lie groups and Lie algebras, II, S. 1–123, 217–223.</ref>

== Literatur ==
* E.E. Levi: [https://archive.org/details/attidellarealeac40real ''Sulla struttura dei gruppi finiti e continui''.] In: ''Atti. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.'', 40, 1905, S. 551–565 (italienisch).
* A.I. Mal'tsev: ''On the representation of an algebra as a direct sum of the radical and a semi-simple subalgebra''. In: ''Dokl. Akad. Nauk SSSR'', 36, 1942, S. 2, 42–45 (russisch)
* N. Jacobson: ''Lie algebras.'' Republication of the 1962 original. Dover Publications, New York 1979, ISBN 0-486-63832-4.
* A.A. Kirillov: ''Elements of the theory of representations.'' Translated from the Russian by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 220. Springer-Verlag, Berlin / New York 1976.
* M.A. Naĭmark, A.I. Štern: ''Theory of group representations.'' Translated from the Russian by Elizabeth Hewitt. Translation edited by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 246. Springer-Verlag, New York 1982, ISBN 0-387-90602-9.

== Weblinks ==
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Levi-Mal%27tsev_decomposition ''Levi-Mal'tsev decomposition''.] Encyclopedia of Mathematics

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]]

[[en:Levi decomposition]]