Quelltext der Seite Komasse

In der [[Mathematik]] ist die '''Komasse''' ein Begriff aus der [[Differentialgeometrie]].

Die ''Komasse'' einer [[Differentialform]] <math>\alpha</math> ist der größte Wert, den die <math>k</math>-Form auf einem [[Multivektor|<math>k</math>-Vektor]] vom Volumen <math>1</math> annehmen kann:
:<math>comass(\alpha)=\sup_{v\in\Lambda^k TM,\Vert v\Vert=1}\vert\alpha(v)\vert</math>.

Die ''Komasse'' einer [[De-Rham-Kohomologie|Kohomologieklasse]] wird definiert als Infimum der Komasse über alle die Kohomologieklasse repräsentierenden Differentialformen.

Für eine Abbildung <math>\sigma\colon \Delta^k\to M</math> eines [[Standard-Simplex]] in eine [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]] definiert man die Masse als <math>mass(\sigma)=\int_{\Delta^n}\sigma^*dvol_M</math>. Die Masse einer [[Singuläre Kette|singulären Kette]] <math>c=\sum_{i=1}^ra_i\sigma_i</math> definiert man dann als <math>mass(c)=\sum_{i=1}^r\vert a_i\vert mass(\sigma_i)</math>, und die Masse einer [[Singuläre Homologie|singulären Homologieklasse]] <math>h</math> als Infimum der Masse über alle <math>h</math> repräsentierenden singulären Ketten.

Die von der Komasse definierte Norm auf der Kohomologie ist dann die [[duale Norm]] zur von der Masse definierten Norm auf der Homologie der Riemannschen Mannigfaltigkeit.<ref>Gromov, op. cit., Section 1.2</ref>

Für Abbildungen <math>f\colon M\to S^n</math> liefert die <math>n</math>-te Wurzel der Komasse von <math>f^*\left[S^n\right]</math> Abschätzungen für die [[Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-Konstante]] von Abbildungen in der [[Homotopieklasse]] von <math>f</math>.<ref>Brady-Guth-Manin, op. cit., Theorem 2.1</ref>

== Literatur ==
* M. Gromov: ''Volume and bounded cohomology'', Publ. Math. IHÉS 56, 5-100 (1982)
* Z. Brady, L. Guth, F. Manin: ''A hardness of approximation result in metric geometry'', Sel. Math., New Series 26, Paper Nr. 54 (2020)

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/Comass.html Comass] (Wolfram MathWorld)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]