Quelltext der Seite Kinetische Energie

Die '''kinetische Energie''' (von {{grcS|κίνησις|kínēsis|de=Bewegung}}) oder auch '''Bewegungsenergie''' oder selten '''Geschwindigkeitsenergie''' ist die [[Energie]], die ein Objekt aufgrund seiner [[Kinematik|Bewegung]] enthält. Sie entspricht der [[Arbeit (Physik)|Arbeit]], die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen.
Sie hängt von der [[Masse (Physik)|Masse]] und der [[Geschwindigkeit]] des bewegten Körpers ab.

Als [[Formelzeichen]] für die kinetische Energie wird häufig <math>T</math> oder <math>E_\mathrm{kin}</math> verwendet. Die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-[[Maßeinheit]] der kinetischen Energie ist das [[Joule]].<ref>vergleiche 1,602·10<sup>−19</sup> J = 1 [[Elektronenvolt|eV]] = 1,602·10<sup>−19</sup> [[C]] · [[Volt|V]] = 1,602·10<sup>−19</sup> [[Ampere|A]]·[[Sekunde|s]]·[[Volt|V]] = 1,602·10<sup>−19</sup> [[Watt (Einheit)|W]]·s = 3,827·10<sup>−23</sup> Kilokalorien [[kcal]] ([[Liste von Größenordnungen der Energie]]).</ref>

Das Konzept der kinetischen Energie als eine [[Physikalische Größe|Größe]], die bei [[elastischer Stoß|elastischen Stößen]] und vielen anderen mechanischen Vorgängen erhalten bleibt, wurde als ''[[vis viva]]'' (‚Lebendige Kraft‘) von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] eingeführt, der darin in Streit mit den Anhängern von [[René Descartes]] die korrekte Erhaltungsgröße in der [[Mechanik]] sah (1686). Diese Größe war allerdings um den Faktor 2 größer als die heute gültige kinetische Energie. Der Faktor {{Bruch|2}} in der Formel für die kinetische Energie findet sich schon 1726 bei [[Daniel Bernoulli]].<ref>[[István Szabó]]: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien.'' Birkhäuser, S.&nbsp;71.</ref> Das eigentliche Energiekonzept bildete sich aber erst im 19. Jahrhundert heraus, insbesondere in der Schule der angewandten Mathematik in Frankreich und mit dem Aufkommen der [[Thermodynamik]]. In der Mechanik des 18. Jahrhunderts, deren Hauptuntersuchungsgegenstand die [[Himmelsmechanik]] war, spielte es noch keine große Rolle.<ref>[[Max Jammer]]: Artikel ''Energie.'' In: Donald Borchert (Hrsg.): ''Encyclopedia of Philosophy.'' Thomson Gale, 2006.</ref>
Die Ausdrücke „kinetische Energie“ und „[[potentielle Energie]]“ wurden 1859 von dem schottischen Ingenieur [[William John Macquorn Rankine|William J. M. Rankine]] geprägt.<ref>[[Paul Diepgen]], [[Heinz Goerke]]: ''[[Ludwig Aschoff|Aschoff]]/Diepgen/Goerke: Kurze Übersichtstabelle zur Geschichte der Medizin.'' 7., neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960, S. 40.</ref>

== Kinetische Energie in der klassischen Mechanik ==

=== Massenpunkt ===
In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ist die kinetische Energie <math>E</math> eines Massenpunktes [[Proportionalität|proportional]] zu seiner Masse <math>m</math> und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit {{nowrap|1=<math>v</math>:}}
:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2</math>.

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse <math>m = 1000 \,\mathrm{kg}</math> mit einer Geschwindigkeit von <math>v = 100 \,\mathrm{km} / \mathrm{h}</math>, hat es demzufolge eine kinetische Energie von <math display="inline">E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \, \mathrm{kg} \cdot \left( 100 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \right) ^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 1000 \,\mathrm{kg} \cdot \left( 27{,}78\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \right) ^2  \approx  385.800 \,\mathrm J</math> (das [[Joule]], <math>\mathrm{J}</math>, ist die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-Einheit der Energie).

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit <math>v</math>, sondern durch seinen [[Impuls]] <math>p</math> beschreibt, wie das u.&nbsp;a. in der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen <math>p = m v</math>)
:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{p^2}{2m}</math>.

==== Herleitung ====
===== Geradlinige Bewegung mit konstanter Kraft =====
Wird ein Körper der Masse <math>m</math> aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit <math>v</math> beschleunigt, so muss man dafür die [[Beschleunigungsarbeit]] <math>W</math> zufügen. Im einfachsten Fall bewegt sich der Körper entlang einer Geraden und eine konstante Kraft wirkt in Richtung der Bewegung. Dies trifft zum Beispiel auf einen Körper im [[Freier Fall|freien Fall]] zu. Unter diesen Voraussetzungen beträgt die Beschleunigungsarbeit

: <math>W = Fs</math>,

wobei <math>s</math> die zurückgelegte Strecke ist. Aufgrund der konstant wirkenden Kraft erfährt der Körper eine [[Gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßige Beschleunigung]], nach dem [[Grundgleichung der Mechanik|Zweiten Newtonschen Gesetz]] ist <math>F=m a</math>. Nach einer Zeit <math>t</math> beträgt die Geschwindigkeit <math>v=at</math> und die zurückgelegte Strecke <math>s= \tfrac 1 2 a t^2</math>. Unter Verwendung dieser Beziehungen erhält man aus der obigen Gleichung

: <math>W = m a \cdot \frac 12 a t^2 = \frac 1 2 m (at)^2 = \frac{1}{2} m v^2</math>.

Da der ruhende Körper zu Beginn der Bewegung eine kinetische Energie von null hat, entspricht seine kinetische Energie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesem Wert <math>W</math>.

===== Geradlinige Bewegung mit variabler Kraft =====
Wirkt die Kraft zwar immer noch in Richtung der Bewegung, ist jedoch nicht konstant, so erhält man die Beschleunigungsarbeit als Wegintegral

:<math>W = \int_{x_a}^{x_e} F(x)\, \mathrm dx </math>,

wobei <math>x_a</math> den Anfangspunkt und <math>x_e</math> den Endpunkt der Bewegung bezeichnet. Setzt man hier wie oben das Zweite Newtonsche Gesetz <math>F= m a</math> ein und substituiert <math>\mathrm d x = v \, \mathrm d t</math>, so erhält man mit dem [[Integration durch Substitution#Transformationssatz|Transformationssatz]]

:<math>W = \int_{t_a}^{t_e} m a \, v \, \mathrm d t = m \int_{t_a}^{t_e} \dot v \, v \, \mathrm d t</math>.
Es ist <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(v^2) = 2\dot v \, v </math>, also ist <math>\tfrac{1}{2}v^2</math> ist eine Stammfunktion von <math>\dot v \, v</math>. Mit dem [[Fundamentalsatz der Analysis|Hauptsatz der Analysis]] folgt

:<math>W = m \left(\frac{1}{2}v_e^2 - \frac{1}{2}v_a^2 \right)  </math>,

woraus man schließlich mit <math>v_e = v</math> und <math>v_a = 0</math> die Formel <math>W = \tfrac{1}{2} mv^2</math> erhält.

===== Allgemeine Bewegung =====
Bewegt sich der Körper aus anfänglicher Ruhelange in einem Punkt <math>A</math> entlang einer (allgemeinen) Kurve unter dem Einfluss einer beschleunigenden Kraft <math>\vec F</math> zu einem Endpunkt <math>E</math>, so erhält man die Beschleunigungsarbeit als Kurvenintegral
:<math>W =\int_A^E \vec F \cdot \, \mathrm{d}\vec s  </math>.
Analog zur geradlinigen Bewegung lässt sich dieses Integral transformieren zu

:<math>W = m \int_{t_A}^{t_B} \dot \vec v \cdot \vec v \, \mathrm d t</math>.
Nach der [[Produktregel#Produkte von Vektoren und Matrix-Vektor-Produkte|Produktregel]] ist <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\vec v \cdot \vec v) = \dot \vec v \cdot \vec v + \vec v \cdot \dot \vec v = 2 \, \dot \vec v \cdot \vec v </math>, also ist <math>\frac{1}{2}\, \vec v \cdot \vec v = |\vec v|^2</math> eine Stammfunktion von  <math>\dot \vec v \cdot \vec v</math>. Mit dem Hauptsatz der Analysis folgt

:<math>W = m \left(\frac{1}{2} |\vec v(t_E)|^2-\frac{1}{2} |\vec v(t_A)|^2 \right) </math>,
woraus man mit <math>|\vec v (t_A)|= 0</math> und <math>|\vec v (t_E)| = v_E = v</math>  schließlich <math>W = \tfrac{1}{2}m v^2</math> erhält.

==== Bewegung in einem Koordinatensystem ====
Beschreibt man die Bewegung eines Körpers in einem Koordinatensystem, so lässt sich die kinetische Energie je nach Wahl des [[Koordinatensystem]]s wie folgt berechnen:
* [[Kartesisches Koordinatensystem|Kartesische Koordinaten]] <math>(x,y,z)</math>:

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\right)</math>

* Ebene [[Polarkoordinaten]] (<math> r, \varphi </math>):

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)</math>

* [[Kugelkoordinaten]] (<math> r, \varphi, \vartheta </math>):

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(r^2 \left[\dot \vartheta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\vartheta \right] + \dot r^2 \right)</math>

* [[Zylinderkoordinaten]] (<math> r, \varphi, z </math>):

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)</math>

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die [[Differentialrechnung#Ableitungsberechnung|Ableitung]] nach der Zeit. Die Formeln berücksichtigen nicht die Energie, die möglicherweise in der Eigenrotation des Körpers steckt.

=== Starre Körper ===
Die kinetische Energie eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] mit der Gesamtmasse <math>M</math> und der Geschwindigkeit <math>v_\mathrm{s}</math> seines [[Massenmittelpunkt|Schwerpunktes]] ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts ([[Translation (Physik)|Translationsenergie]]) und der [[Rotationsenergie]] aus der Drehung um den Schwerpunkt:
:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} J_\mathrm{s} \omega^2</math>
Hier ist <math>J_\mathrm{s}</math> das [[Trägheitsmoment]] des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und <math>\omega</math> die [[Winkelgeschwindigkeit]] der Drehung.

Mit dem [[Trägheitstensor]] <math>I</math> wird dies allgemein geschrieben als:

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} M {v_\mathrm{s}}^2 + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^T I \boldsymbol\omega</math>

=== Hydrodynamik ===
In der [[Hydrodynamik]] wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energie''dichte'' angegeben. Diese wird meistens durch ein kleines <math>e</math> oder <math>\epsilon</math> ausgedrückt:

:<math>e_\mathrm{kin} = \frac{ E_\mathrm{kin}}{ V } = \frac{1}{2} \rho v^2</math>

Hierbei bezeichnet <math>\rho</math> die [[Dichte]] und <math>V</math> das Volumen.

== Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik ==
[[Datei:E Kin.jpg|mini|400px|Relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich, mit <math>\beta = \frac{v}{c}</math>]]

In der [[Spezielle Relativitätstheorie|relativistischen Physik]] gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die [[Lichtgeschwindigkeit]]. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie <math>E_\mathrm{kin}</math> die Differenz aus Gesamtenergie und [[Ruheenergie]] ist, folgt:

:<math>E_\mathrm{kin} = \gamma m c^2 - m c^2 = \left(\gamma - 1\right) m c^2</math>
Dabei ist <math> c </math> die Lichtgeschwindigkeit, <math> m </math> die Masse und <math> \gamma </math> der [[Lorentz-Faktor]]
:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.</math>

Aus der [[Taylorreihe|Taylor-Entwicklung]] nach <math>v/c</math> erhält man

:<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8}\frac{m v^4}{c^2} + \cdots</math>,

also für <math>v \ll c</math> wieder die kinetische Energie der klassischen Mechanik.

Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, <math>\lim_{v \to c}E_\mathrm{kin} = \infty,</math> ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Das Diagramm rechts zeigt die relativistische kinetische Energie und die nach der klassischen Mechanik als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit) für einen Körper mit der Masse von <math>m = 1\, \mathrm{kg}</math>.

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom [[Bezugssystem]] abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in klassischer und in relativistischer Physik.

;Anwendungsbeispiele
{{Hauptartikel|Tests der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung}}
[[Datei:Elektronengeschwindigkeit.png|mini|Relativistische Geschwindigkeit eines Elektrons nach Durchlaufen eines elektrischen Felds]]
Im [[Elektrisches Feld|elektrischen Feld]] nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung <math>e</math> und der Masse <math>m</math> linear mit der durchlaufenen Beschleunigungsspannung <math>U</math> zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie <math>E</math> und der Ruheenergie <math>E</math><sub>0</sub>.<ref>A. P. French: ''Die spezielle Relativitätstheorie&nbsp;– M.I.T. Einführungskurs Physik'' 1968, S.&nbsp;19–23.</ref>
Die kinetische Energie <math>eU</math> ist also:
:<math>e \cdot U = E - E_0</math>
Beachtet man, dass für die Gesamtenergie
:<math>E^2 = c^2p^2 + E_0^2\quad (*)</math>
gilt (<math>p</math>: relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang
:<math>cp = E \cdot \frac{v}{c}</math>
besteht, folgt für die Gesamtenergie aus <math>(*)</math> also:
:<math>E(v) = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
Berechnet man nun die Differenz aus <math>E(v)</math> und <math>E_0</math>, setzt den Ausdruck gleich <math>e \cdot U</math> und löst nach <math>v</math> auf, erhält man abschließend:
:<math>v = c \cdot \sqrt{1 - {\left(\frac{1}{1 + \frac{eU}{E_0}}\right)}^2} </math> mit der Ruheenergie eines Elektrons <math> E_0 = 0{,}51\,\mathrm{MeV} </math>
Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1&nbsp;kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10&nbsp;kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1&nbsp;MV 94 %.

Der [[Large Hadron Collider]] führt Protonen eine kinetische Energie von 6,5&nbsp;TeV zu. Diese Energie ist etwa achttausend Mal größer als die Ruheenergie eines Protons. Bei einer Kollision zwischen entgegengesetzt beschleunigten Protonen können Teilchen mit einer entsprechend hohen Ruheenergie entstehen.

== Kinetische Energie in der Quantenmechanik ==
In der [[Quantenmechanik]] ist der [[Erwartungswert]] <math>\langle\hat{E}_\mathrm{kin}\rangle</math> der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse <math>m</math>, welches durch die [[Wellenfunktion]] <math>\vert\psi\rangle</math> beschrieben wird, gegeben durch
:<math>\langle\hat{E}_\mathrm{kin}\rangle = \frac{1}{2 m}\langle\psi |\hat P^2 | \psi \rangle</math>,

wobei <math>\hat P^2</math> das Quadrat des [[Impulsoperator]]s des Teilchens ist.

Im Formalismus der [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]] ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte <math>\rho(\mathbf{r})</math> ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für <math>N</math> Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall <math>N=1</math> ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

:<math> E_\mathrm{kin}[\rho] = \int \frac{1}{8}\frac{\nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } \mathrm{d}^3r</math>

geschrieben werden, wobei <math>E_\mathrm{kin}[\rho]</math> das [[Weizsäcker-Funktional]] der kinetischen Energie ist.

== Siehe auch ==
* [[Potentielle Energie]]
* [[Energieerhaltungssatz]]
* [[Schleppkraft]] (Kinetische Energie in der Geographie)

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Nolting (Physiker)|Wolfgang Nolting]] |Titel=Klassische Mechanik |Sammelwerk=Grundkurs Theoretische Physik |Band=1 |Auflage=8 |Verlag=[[Springer-Verlag]] |Ort=Berlin |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-34832-0 |Sprache=de}}
* {{Literatur |Autor=[[Richard P. Feynman]] |Titel=Feynman-Vorlesungen über Physik. Mechanik, Strahlung, Wärme|Auflage=5., verbesserte Auflage, definitive Edition. |Ort=Oldenbourg, München / Wien |Datum=2007 |ISBN=978-3-486-58444-8 |Sprache=de}} (= ''The Feynman Lectures on Physics'', Band 1).
* {{Literatur |Autor=[[Paul A. Tipler]] |Titel=Physik |Auflage=3.&nbsp;korrigierter Nachdruck der 1.&nbsp;Auflage|Datum=1994 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg / Berlin |ISBN=3-86025-122-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Bergmann (Physiker)|Ludwig Bergmann]], [[Clemens Schaefer (Physiker)|Clemens Schaefer]]|Titel=Mechanik&nbsp;– Akustik&nbsp;– Wärme |Sammelwerk=Lehrbuch der Experimentalphysik |Band=1 |Auflage=12 |Hrsg=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2008 |ISBN=978-3-11-019311-4 |Sprache=de}}
* {{Literatur |Autor=[[Rainer Müller (Physiker)|Rainer Müller]] |Titel=[https://books.google.de/books?id=fqmnCgAAQBAJ&hl=de Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug] |Datum=2015-09-25 |Hrsg=De Gruyter |ISBN=978-3-11-044530-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Dieter Meschede]] |Titel=[https://books.google.de/books?id=qW7dBgAAQBAJ&hl=de Gerthsen Physik] |Datum=2015-02-27 |Verlag=[[Springer-Verlag]]|ISBN=978-3-662-45977-5 |Sprache=de}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Kinetic energy|Kinetische Energie}}
* {{DNB-Portal|4163880-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4163880-3}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Energieform]]