Quelltext der Seite Kartesisches Produkt

[[Datei:Cartesian Product qtl1.svg|mini|Das kartesische Produkt <math>A \times B</math> der beiden Mengen <math>A=\{x,y,z\}</math> und <math>B=\{1,2,3\}</math>]]
Das '''kartesische Produkt''' oder '''Mengenprodukt''' ist in der [[Mengenlehre]] eine grundlegende Konstruktion, aus gegebenen [[Menge (Mathematik)|Mengen]] eine neue Menge zu erzeugen. Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch die mehrdeutige Bezeichnung „[[Kreuzprodukt (Begriffsklärung)|Kreuzprodukt]]“ verwendet. Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]] von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist. Allgemeiner besteht das kartesische Produkt mehrerer Mengen aus der Menge aller [[Tupel]] von Elementen der Mengen, wobei die Reihenfolge der Mengen und damit der entsprechenden Elemente fest vorgegeben ist. Die Ergebnismenge des kartesischen Produkts wird auch '''Produktmenge''', '''Kreuzmenge''' oder '''Verbindungsmenge''' genannt. Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Mathematiker [[René Descartes]] benannt, der es zur Beschreibung des [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] verwendete und damit die [[analytische Geometrie]] begründete.

== Produkt zweier Mengen ==
=== Definition ===
Das kartesische Produkt <math>A \times B</math> (lies „A kreuz B“) zweier [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>A</math> und <math>B</math> ist definiert als die Menge aller [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]] <math>(a,b)</math>, wobei <math>a</math> ein Element aus <math>A</math> und <math>b</math> ein Element aus <math>B</math> ist. Dabei wird jedes Element aus <math>A</math> mit jedem Element aus <math>B</math> kombiniert. Formal ist das kartesische Produkt durch

: <math>A \times B:= \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\}</math>

definiert. Insbesondere ist es auch möglich, das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst zu bilden und man schreibt dann

: <math>A^2 = A \times A = \left\{ (a, a') \mid a, a' \in A \right\}</math>.
Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch der Begriff „Kreuzprodukt“ verwendet, der jedoch weitere Bedeutungen hat, siehe [[Kreuzprodukt]].

Die obige Definition ist problemlos auf (echte) [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]] <math>A</math> und <math>B</math> erweiterbar. Insbesondere erfolgt die Paarbildung nur für ''Elemente'' von <math>A</math> und <math>B</math>; diese können keine echten Klassen sein und stellen an die Paarbildung keine besonderen Anforderungen.

=== Beispiele ===

==== Endliche Mengen ====
[[Datei:Cartesianprod3x2.svg|hochkant=0.7|mini|Das kartesische Produkt zweier Mengen <math>\{a,b,c\}</math> und  <math>\{x,y\}</math> besteht aus allen möglichen geordneten Paaren von Elementen der Mengen.]]
Das kartesische Produkt <math>A \times B</math> der beiden Mengen <math>A=\{ a, b, c \}</math> und <math>B=\{ x, y \}</math> ist
: <math>A \times B = \left\{ (a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y) \right\}</math>.

Das kartesische Produkt <math>B \times A</math> ist hingegen eine andere Menge, und zwar

: <math>B \times A = \left\{ (x,a), (x,b), (x,c), (y,a), (y,b), (y,c) \right\}</math>,

da bei geordneten Paaren die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt. Das kartesische Produkt von <math>A</math> mit sich selbst ist

: <math>A \times A = \left\{ (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c) \right\}</math>.

==== Reelle Zahlen ====
Die reelle Zahlenebene entsteht aus dem kartesischen Produkt der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> mit sich selbst:

: <math>\R \times \R = \R^2 = \{ (x,y) \mid x, y \in \R \}</math>.

==== Intervalle ====
Die Tupel <math>(x,y)</math> nennt man auch [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinaten]]. Das kartesische Produkt zweier reeller [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>[a,b]</math> und <math>[c,d]</math> ergibt das [[Rechteck]]

: <math>[a, b] \times [c, d] = \{ (x,y) \in \R^2 \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}</math>.

==== Spielkarten ====
Spielkarten, wie sie zum Beispiel beim [[Texas Hold’em]], beim [[Canasta]], beim [[Doppelkopf]] und beim [[Skat]] verwendet werden, sind ein Beispiel für ein kartesisches Produkt. Die erste Menge ist in diesem Fall die Menge der Kartenwerte, zum Beispiel '''V = {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}''', und die zweite Menge ist die Menge der Kartensymbole, zum Beispiel '''S = {<big>{{Kreuz}}</big>, <big>{{Pik}}</big>, <big>{{Herz}}</big>, <big>{{Karo}}</big>}'''. Die Menge der Spielkarten ist dann das kartesische Produkt dieser beiden Mengen: '''V × S = {(A, <big>{{Kreuz}}</big>), (A, <big>{{Pik}}</big>), (A, <big>{{Herz}}</big>), (A, <big>{{Karo}}</big>), (K, <big>{{Kreuz}}</big>), ..., (3, <big>{{Karo}}</big>), (2, <big>{{Kreuz}}</big>), (2, <big>{{Pik}}</big>), (2, <big>{{Herz}}</big>), (2, <big>{{Karo}}</big>)}'''.

In diesem Beispiel hat die Menge <math>V</math> der Kartenwerte 13 Elemente, also <math>|V| = 13</math>, und die Menge <math>S</math> der Kartensymbole hat 4 Elemente, also <math>|S| = 4</math>. Daraus ergibt sich, dass die Menge <math>V \times S</math> der Spielkarten <math>|V \times S| = |V| \cdot |S| = 13 \cdot 4 = 52</math> Elemente hat.

Dieses kartesische Produkt kann mit einer Tabelle dargestellt werden:
{| class="wikitable" style="text-align:right"
! colspan="5" |kartesisches Produkt aus Kartenwerten und Kartensymbolen 
|-
!<math>V \times S</math>
!'''<big>{{Kreuz}}</big>'''
!'''<big>{{Pik}}</big>'''
!'''<big>{{Herz}}</big>'''
!'''<big>{{Karo}}</big>'''
|-
!A
|'''(A, <big>{{Kreuz}}</big>)'''
|'''(A, <big>{{Pik}}</big>)'''
|'''(A, <big>{{Herz}}</big>)'''
|'''(A, <big>{{Karo}}</big>)'''
|-
!K
|'''(K, <big>{{Kreuz}}</big>)'''
|'''(K, <big>{{Pik}}</big>)'''
|'''(K, <big>{{Herz}}</big>)'''
|'''(K, <big>{{Karo}}</big>)'''
|-
!Q
|'''(Q, <big>{{Kreuz}}</big>)'''
|'''(Q, <big>{{Pik}}</big>)'''
|'''(Q, <big>{{Herz}}</big>)'''
|'''(Q, <big>{{Karo}}</big>)'''
|-
!J
|'''(J, <big>{{Kreuz}}</big>)'''
|'''(J, <big>{{Pik}}</big>)'''
|'''(J, <big>{{Herz}}</big>)'''
|'''(J, <big>{{Karo}}</big>)'''
|-
!10
|'''(10, <big>{{Kreuz}}</big>)'''
|'''(10, <big>{{Pik}}</big>)'''
|'''(10, <big>{{Herz}}</big>)'''
|'''(10, <big>{{Karo}}</big>)'''
|-
!...
|'''...'''
|'''...'''
|'''...'''
|'''...'''
|-
!3
|'''(3, <big>{{Kreuz}}</big>)'''
|'''(3, <big>{{Pik}}</big>)'''
|'''(3, <big>{{Herz}}</big>)'''
|'''(3, <big>{{Karo}}</big>)'''
|-
!2
|'''(2, <big>{{Kreuz}}</big>)'''
|'''(2, <big>{{Pik}}</big>)'''
|'''(2, <big>{{Herz}}</big>)'''
|'''(2, <big>{{Karo}}</big>)'''
|}

==== U-Bahnlinien oder S-Bahnlinien ====
Bei Verkehrsnetzen, die aus [[U-Bahn|U-Bahnlinien]] und [[S-Bahn|S-Bahnlinien]] bestehen, ist die Menge der Verkehrslinien ein kartesisches Produkt, das zum Beispiel aus der [[Menge (Datenstruktur)|Menge]] '''L = {U, S}''' der Linienarten und der [[Menge (Datenstruktur)|Menge]] '''N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}''' der Liniennummern gebildet werden kann. Hier ist <math>|L \times N| = |L| \cdot |N| = 2 \cdot 7 = 14</math>.
{| class="wikitable" style="text-align:right"
! colspan="8" |kartesisches Produkt aus Linienarten (U/S-Bahnlinien) und Liniennummern 
|-
!<math>L \times N</math>
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
|-
![[Datei:U-Bahnlogo München.svg|rahmenlos|24x24px]]
|U1
|U2
|U3
|U4
|U5
|U6
|U7
|-
![[Datei:S Bahn MVV.svg|rahmenlos|24x24px]]
|S1
|S2
|S3
|S4
|S5
|S6
|S7
|}
'''Hinweise:'''

Es ergibt sich nur dann ein (vollständiges) kartesisches Produkt, wenn die Anzahl der U-Bahnlinien und S-Bahnlinien gleich ist. Ansonsten ergibt sich ein unvollständiges kartesisches Produkt, das grundsätzlich andere Eigenschaften hat. Im Bereich der [[Informatik]] und [[Programmierung]] ist dieses Thema zum Beispiel unter [[Feld (Datentyp)#Dimensionen|''Array - Dimensionen'']] zu finden.

=== Eigenschaften ===
==== Zahl der Elemente ====
{{Schachbrett-klein
| Ausrichtung=rechts
| Titel=
<!-- a  b  c  d  e  f  g  h -->
| Z8=--/--/--/--/--/--/--/--/
| Z7=--/--/--/--/--/--/--/--/
| Z6=--/--/--/--/--/--/--/--/
| Z5=--/--/--/--/--/--/--/--/
| Z4=--/--/--/--/--/--/--/--/
| Z3=--/--/--/--/--/--/--/--/
| Z2=--/--/--/--/--/--/--/--/
| Z1=--/--/--/--/--/--/--/--/
<!-- a  b  c  d  e  f  g  h -->
| center =
| Beschreibung=Ein Schachbrett besitzt <math> 8^2 = 64</math> Felder, die durch ein Paar aus Buchstaben der Linie und Zahl der Reihe identifiziert werden.
}}

Sind die Mengen <math>A</math> und <math>B</math> [[Endliche Menge|endlich]], dann ist ihr kartesisches Produkt <math>A \times B</math> eine endliche Menge geordneter Paare. Die Anzahl der Paare entspricht dabei dem [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] der Anzahlen der Elemente der Ausgangsmengen, das heißt

: <math>|A \times B| = |A| \cdot |B|</math>

In dem Spezialfall, dass <math>A = B</math> ist, gilt

: <math>|A^2| = |A|^2</math>.

Enthält zumindest eine der beiden Mengen <math>A</math> und <math>B</math> unendlich viele Elemente und ist die andere nicht leer, dann besteht ihr kartesisches Produkt <math>A \times B</math> aus unendlich vielen Paaren. Das kartesische Produkt zweier [[Abzählbare Menge|abzählbar]] unendlicher Mengen ist dabei nach [[Cantors erstes Diagonalargument|Cantors erstem Diagonalargument]] ebenfalls abzählbar. Ist zumindest eine der beiden Mengen [[überabzählbar]], so ist auch ihre Produktmenge überabzählbar.

==== Leere Menge ====
Da aus der [[Leere Menge|leeren Menge]] kein Element ausgewählt werden kann, ergibt das kartesische Produkt der leeren Menge mit einer beliebigen Menge wieder die leere Menge. Allgemeiner gilt

: <math>A \times B = \emptyset ~\Longleftrightarrow~ A = \emptyset ~\text{oder}~ B = \emptyset</math>,

das heißt, das kartesische Produkt zweier Mengen ist genau dann leer, wenn zumindest eine der beiden Mengen leer ist.

==== Nichtkommutativität ====
Das kartesische Produkt ist nicht [[Kommutativgesetz|kommutativ]], das heißt, für nichtleere Mengen <math>A</math> und <math>B</math> mit <math>A \neq B</math> ist

: <math>A \times B \neq B \times A</math>,

denn in den Paaren der Menge <math>A \times B</math> ist das erste Element aus <math>A</math> und das zweite aus <math>B</math>, während in den Paaren der Menge <math>B \times A</math> das erste Element aus <math>B</math> und das zweite aus <math>A</math> ist. Es gibt allerdings eine kanonische [[Bijektion]] zwischen den beiden Mengen, nämlich

: <math>A \times B \to B \times A, \quad (a, b) \mapsto (b,a)</math>,

mit der die Mengen miteinander identifiziert werden können.

==== Nichtassoziativität ====
Das kartesische Produkt ist auch nicht [[Assoziativgesetz|assoziativ]], das heißt, für nichtleere Mengen <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> gilt im Allgemeinen

: <math>A \times \left( B \times C \right) \neq \left( A \times B \right) \times C</math>,

denn die Menge auf der linken Seite enthält Paare, deren erstes Element aus <math>A</math> und deren zweites Element ein Paar aus <math>B \times C</math> ist, wohingegen die Menge auf der rechten Seite Paare enthält, deren erstes Element ein Paar aus <math>A \times B</math> und deren zweites Element aus <math>C</math> ist. Auch hier gibt es eine kanonische Bijektion zwischen diesen beiden Mengen, nämlich

: <math>A \times \left( B \times C \right) \to \left( A \times B \right) \times C, \quad (a, (b,c)) \mapsto ((a,b),c)</math>.

Manche Autoren identifizieren die Paare <math>(a, (b,c))</math> und <math>((a,b),c)</math> mit dem geordneten Tripel <math>(a,b,c)</math>, wodurch das kartesische Produkt auch assoziativ wird.

==== Distributivität ====
[[Datei:Cartesianproductdistributivity.svg|mini|Illustration des ersten Distributivgesetzes]]
Für das kartesische Produkt gelten die folgenden [[Distributivgesetz]]e bezüglich [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]], [[Schnittmenge|Schnitt]] und [[Differenzmenge|Differenzbildung]] von Mengen:

: <math>
\begin{align}
\left(A \cup B\right) \times C & = \left(A \times C\right) \cup \left(B \times C\right) \\
\left(A \cap B\right) \times C & = \left(A \times C\right) \cap \left(B \times C\right) \\
\left(A \setminus B\right) \times C & = \left(A \times C\right) \setminus \left(B \times C\right) \\
A \times \left(B \cup C\right) & = \left(A \times B\right) \cup \left(A \times C\right) \\
A \times \left(B \cap C\right) & = \left(A \times B\right) \cap \left(A \times C\right) \\
A \times \left(B \setminus C\right) & = \left(A \times B\right) \setminus \left(A \times C\right)
\end{align}
</math>
Das vierte Gesetz kann verwendet werden, um die [[Distributivgesetz|Distributivität]] bei den Natürlichen Zahlen zu beweisen, wenn diese über [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]] definiert sind.

==== Monotonie und Komplement ====

Das kartesische Produkt verhält sich monoton bezüglich [[Teilmenge]]nbildung, das heißt, sind die Mengen <math>A_1, A_2, B_1</math> und <math>B_2</math> nichtleer, dann gilt

: <math>(A_1 \times A_2) \subseteq (B_1 \times B_2) ~\Longleftrightarrow~ A_1 \subseteq B_1 ~\text{und}~ A_2 \subseteq B_2</math>.

Insbesondere gilt dabei Gleichheit

: <math>(A_1 \times A_2) = (B_1 \times B_2) ~\Longleftrightarrow~ A_1 = B_1 ~\text{und}~ A_2 = B_2</math>.

Betrachtet man die Menge <math>B_1</math> als [[Grundmenge]] von <math>A_1</math> und die Menge <math>B_2</math> als Grundmenge von <math>A_2</math>, dann hat das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] von <math>A_1 \times A_2</math> in <math>B_1 \times B_2</math> die Darstellung

: <math>(A_1 \times A_2)^{\mathsf C} = (A_1^{\mathsf C} \times A_2^{\mathsf C}) \cup (A_1^{\mathsf C} \times A_2) \cup (A_1 \times A_2^{\mathsf C})</math>.

==== Weitere Rechenregeln ====
[[Datei:CartUnion svg.svg|mini|Kartesische Produkte je zweier Intervalle, ihrer Schnitte und ihrer Vereinigungen]]
Es gilt zwar

: <math>\left(A_1 \cap A_2\right) \times \left(B_1 \cap B_2\right) = \left(A_1 \times B_1\right) \cap  \left(A_2 \times B_2\right)</math>,

aber im Allgemeinen ist

: <math>\left(A_1 \cup A_2\right) \times \left(B_1 \cup B_2\right) \supseteq \left(A_1 \times B_1\right) \cup  \left(A_2 \times B_2\right)</math>,

da die Menge auf der linken Seite Paare aus <math>A_1 \times B_2</math> und <math>A_2 \times B_1</math> enthält, die in der Menge auf der rechten Seite nicht enthalten sind.

== Produkt endlich vieler Mengen ==
=== Definition ===
Allgemeiner ist das kartesische Produkt <math>A_1 \times \dotsb \times A_n</math> von <math>n</math> Mengen <math>A_1, \dotsc, A_n</math> definiert als die Menge aller <math>n</math>-[[Tupel]] <math>(a_1, \dotsc,a_n)</math>, wobei <math>a_i</math> für <math>i=1, \ldots, n</math> jeweils ein Element aus der Menge <math>A_i</math> ist. Formal ist das mehrfache kartesische Produkt durch

: <math>A_1 \times \dotsb \times A_n:= \left\{(a_1,\dotsc, a_n) \mid a_i \in A_i ~\text{für}~ i = 1,\dotsc, n \right\}</math>

definiert. Mit Hilfe des [[Produktzeichen]]s wird das mehrfache kartesische Produkt auch durch

: <math>\prod_{i=1}^n A_i = A_1 \times \dotsb \times A_n</math>

notiert. Das <math>n</math>-fache kartesische Produkt einer Menge <math>A</math> mit sich selbst schreibt man auch als

: <math>A^n = \underbrace{A \times \dotsc \times A}_{n\text{-mal}} = \left\{(a_1,\dotsc, a_n) \mid a_i \in A ~\text{für}~ i = 1,\dotsc, n \right\}</math>.

==== Leeres Produkt ====
{{Hauptartikel|Leeres Produkt}}
Das kartesische Produkt von null Mengen ist die Menge, die als einziges Element das [[Leeres Tupel|leere Tupel]] enthält, das heißt
: <math>\prod_{i=1}^0 A_i = \{()\}.</math>
Insbesondere ist für eine beliebige Menge <math>A</math>
:<math>A^0 = \{()\}</math>.
Davon wird Gebrauch gemacht, wenn Konstanten einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] als [[Verknüpfung (Mathematik)#Nullstellige Verknüpfungen|nullstellige Verknüpfungen]] betrachtet werden.

==== Vereinigung aller Produkte ====

Mit <math>A^*</math> bezeichnet man die Vereinigung aller <math>n</math>-fachen kartesischen Produkte einer Menge <math>A</math> mit sich selbst (für alle <math>n \in \N</math>), also die Menge aller Tupel mit Elementen aus A, einschließlich des leeren Tupels:

:<math>A^* = \bigcup_{n=0}^\infty A^n</math>.

=== Beispiele ===
Ist <math>A=\left\{0,1\right\}</math>, dann ist

: <math>A \times A \times A = A^3 = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\}</math>.

[[Datei:Coord system CA 0.svg|mini|In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wird jeder Punkt als Tripel <math>(x,y,z)</math> von Koordinaten dargestellt.]]
Der [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] <math>\mathbb R^3</math> besteht aus dem dreifachen kartesischen Produkt der reellen Zahlen <math>\mathbb R</math>:

: <math>\R \times \R \times \R = \R^3 = \{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \R \}</math>.

Die 3-Tupel <math>(x,y,z)</math> sind die dreidimensionalen kartesischen Koordinaten. Das kartesische Produkt dreier reeller Intervalle <math>[a, b]</math>, <math>[c, d]</math> und <math>[e, f]</math> ergibt den [[Quader]]

: <math>[a, b] \times [c, d] \times [e, f] = \{ (x, y, z) \in \R^3 \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, e \leq z \leq f \}</math>.

Allgemein ergibt das <math>n</math>-fache kartesische Produkt der reellen Zahlen den Raum <math>\R^n</math> und das kartesische Produkt von <math>n</math> reellen Intervallen ein [[Hyperrechteck]].

=== Eigenschaften ===
==== Zahl der Elemente ====
Sind die Mengen <math>A_1,\dotsc,A_n</math> alle endlich, dann ist ihr kartesisches Produkt ebenfalls eine endliche Menge, wobei die Anzahl der Elemente von <math>A_1 \times \dotsb \times A_n</math> gleich dem Produkt der Elementzahlen der Ausgangsmengen ist, das heißt

: <math>|A_1 \times \dotsb \times A_n| = |A_1| \cdot \ldots \cdot |A_n|</math>

bzw. in anderer Schreibweise

: <math>\left|\prod_{i=1}^n A_i\right| = \prod_{i=1}^n |A_i|</math>.

In dem Spezialfall, dass alle Mengen <math>A_i</math> gleich einer Menge <math>A</math> sind, gilt

: <math>|A^n| = |A|^n</math>.

Das kartesische Produkt endlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ist ebenfalls abzählbar, wie sich durch Iteration des Arguments für das kartesische Produkt zweier Mengen mit Hilfe der [[Cantorsche Tupelfunktion|Cantorschen Tupelfunktion]] zeigen lässt.

==== Monotonie ====
Sind die Mengen <math>A_1, \ldots, A_n</math> und <math>B_1, \ldots, B_n</math> nichtleer, dann gilt wie beim kartesischen Produkt zweier Mengen Monotonie

: <math>\prod_{i=1}^n A_i \subseteq \prod_{i=1}^n B_i ~\Longleftrightarrow~ A_i \subseteq B_i ~\text{für}~ i=1, \ldots, n</math>

und Gleichheit

: <math>\prod_{i=1}^n A_i = \prod_{i=1}^n B_i  ~\Longleftrightarrow~ A_i = B_i ~\text{für}~ i=1, \ldots, n</math>.

== Produkt unendlich vieler Mengen ==
=== Definition ===
Es ist auch möglich, das kartesische Produkt unendlich vieler Mengen zu definieren. Ist dazu <math>I</math> eine [[Index (Mathematik)#Indexmenge|Indexmenge]] und <math>( A_i )_{i \in I}</math> eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Mengen, dann definiert man das kartesische Produkt der Mengen <math>A_i </math> durch

: <math>\prod_{i \in I} A_i  = \Big\{ f \colon I \to \bigcup_{i \in I} A_i \,\Big|\, \forall i \in I \colon f(i) \in A_i \Big\}</math>.

Dies ist die Menge aller [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] <math>f</math> von <math>I</math> in die Vereinigung der Mengen <math>A_i</math>, für die das Bild <math>f(i)</math> in <math>A_i</math> liegt. Sind alle <math>A_i</math> gleich einer Menge <math>A</math>, dann ist das kartesische Produkt

: <math>\prod_{i \in I} A = A^I</math>

die Menge aller Funktionen von <math>I</math> nach <math>A</math>. Sind die Mengen <math>A_i</math> unterschiedlich, so ist das kartesische Produkt allerdings weit weniger anschaulich. Bereits die Frage, ob ein beliebiges kartesisches Produkt nichtleerer Mengen nichtleer ist, ist mit der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] ZF nicht entscheidbar; die Behauptung, dass es nichtleer ist, ist eine Formulierung des [[Auswahlaxiom]]s, welches zu ZF hinzugefügt wird, um die Mengenlehre ZFC („Zermelo-Fraenkel + Choice“) zu erhalten.

=== Spezialfälle ===
Ein wichtiger Spezialfall eines unendlichen kartesischen Produkts entsteht durch die Wahl der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\N</math> als Indexmenge. Das kartesische Produkt einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Mengen <math>( A_i )_{i \in \N} = ( A_1, A_2, \ldots )</math>

: <math>\prod_{i = 1}^\infty A_i = \left\{(a_1,a_2, \dotsc) \mid a_i \in A_i ~\text{für}~ i \in \N \right\}</math>

entspricht dann der Menge aller Folgen, deren <math>i</math>-tes Folgenglied in der Menge <math>A_i</math> liegt. Sind beispielsweise alle <math>A_i = \mathbb{R}</math>, dann ist

: <math>\prod_{i = 1}^\infty \mathbb R = \mathbb R \times \mathbb R \times \dotsb = \mathbb{R}^{\mathbb N}= \left\{(a_1,a_2, \dotsc) \mid a_i \in \R ~\text{für}~ i \in \N \right\}</math>

die Menge aller reeller Zahlenfolgen. Das abzählbare kartesische Produkt lässt sich bijektiv auf das allgemein definierte kartesische Produkt abbilden, denn jede Folge <math>(a_1, a_2, \dotsc)</math> definiert eine Funktion <math>f</math> mit <math>f(1):=a_1, f(2):=a_2, \dotsc</math> und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Folge <math>(f(1), f(2), \dotsc)</math> schreiben. Auch das kartesische Produkt endlich vieler Mengen lässt sich unter Verwendung endlicher Folgen als Spezialfall der allgemeinen Definition auffassen.
=== Universelle Eigenschaft des kartesischen Produktes ===
Zu dem kartesischen Produkt <math> P=\prod\limits_{i\in I} A_i </math> gehört die Familie der Projektionen <math> \pi_i\colon \prod\limits_{i \in I} A_i\ni \alpha \mapsto \alpha(i) \in A_i </math>.  Das kartesische Produkt <math> \prod\limits_{i\in I}A_i </math> zusammen mit der Familie <math> (\pi_i|i \in I) </math> hat die folgende Eigenschaft: Ist <math> X </math> eine beliebige Menge und ist <math> f_i\colon X \to A_i </math> eine Familie von Abbildungen, so gibt es genau eine Abbildung  <math> f\colon X \to \prod\limits_{i \in I } A_i </math> mit <math> \pi_i\circ f = f_i </math> für alle <math> i \in I </math>. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ:[[Datei:Universelle-Eigenschaft-direktes-Produkt.svg|mini|zentriert|600px|Es gibt genau ein <math> f \colon X \to P </math>, so dass für alle <math> i\in I </math> gilt: <math> \pi_i\circ f = f_i </math>]]
Ist <math> Q </math> zusammen mit der Familie <math> p_i\colon Q\to A_i</math> auch diese Eigenschaft, so gibt es eine bijektive Abbildung <math> P\to Q </math>.

== Abgeleitete Begriffe ==

* Eine binäre [[Relation (Mathematik)|Relation]] zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts der beiden Mengen. Insbesondere ist damit jede [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] eine Teilmenge des kartesischen Produkts aus [[Definitionsmenge|Definitions-]] und [[Zielmenge]] der Abbildung. Allgemeiner ist eine <math>n</math>-stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von <math>n</math> Mengen.
* Eine [[Projektion (Mengenlehre)|Projektion]] ist eine Abbildung von dem kartesischen Produkt zweier Mengen zurück in eine dieser Mengen. Allgemeiner ist eine Projektion eine Abbildung von dem kartesischen Produkt einer Familie von Mengen auf das kartesische Produkt einer Teilfamilie dieser Mengen, die Elemente mit bestimmten Indizes auswählt.
* Eine [[zweistellige Verknüpfung]] ist eine Abbildung von dem kartesischen Produkt zweier Mengen in eine weitere Menge. Allgemeiner ist eine <math>n</math>-stellige [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] eine Abbildung von dem kartesischen Produkt von <math>n</math> Mengen in eine weitere Menge. Jede <math>n</math>-stellige Verknüpfung kann somit auch als <math>(n+1)</math>-stellige Relation aufgefasst werden.
* Ein [[direktes Produkt]] ist ein Produkt [[Algebraische Struktur|algebraischer Strukturen]], wie zum Beispiel von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] oder [[Vektorraum|Vektorräumen]], das aus dem kartesischen Produkt der Trägermengen besteht und zusätzlich mit ein oder mehreren komponentenweisen Verknüpfungen versehen ist. Eine [[direkte Summe]] ist eine Teilmenge des direkten Produkts, die sich nur für Produkte unendlich vieler Mengen vom direkten Produkt unterscheidet; sie besteht aus allen Tupeln, die nur an endlich vielen Stellen von einem bestimmten Element (meist dem [[Neutrales Element|neutralen Element]] einer Verknüpfung) verschieden sind.
* Das [[Produkt (Kategorientheorie)|kategorielle Produkt]] entspricht in der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Mengen dem kartesischen Produkt und in der Kategorie der Gruppen sowie in anderen Kategorien algebraischer Strukturen dem direkten Produkt.
* In [[Relationale Datenbank|relationalen Datenbanken]] werden das [[Relationale Algebra#Kartesisches Produkt (Kreuzprodukt)|kartesische Produkt von Tabellen]] und die darauf aufbauenden [[Relationale Algebra#Join|Join-Operationen]] zur Verknüpfung von Datenbanktabellen eingesetzt.

== Literatur ==
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo.'' 2. verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u.&nbsp;a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.
* {{EoM|Titel=Direct product|Autor=M. Sh. Tsalenko|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Direct_product}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Kartesisches Produkt}}
* {{MathWorld|id=CartesianProduct|title=Cartesian product}}
* {{PlanetMath|id=CartesianProduct|title=Cartesian product|author=David Jao}}
* {{PlanetMath|id=GeneralizedCartesianProduct|title=Generalized cartesian product|author=Thomas Foregger, David Jao, Andrew Archibald}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4603777-9}}

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:René Descartes als Namensgeber]]