Quelltext der Seite Integralrechnung

{{Weiterleitungshinweis|Integral}}
[[Datei:Integral as region under curve.svg|mini|Darstellung des Integrals als Flächeninhalt <math>S</math> unter dem Graphen einer Funktion <math>f</math> im Integrationsbereich von <math>a</math> bis <math>b</math>]]
Die '''Integralrechnung''' ist ein Zweig der [[Infinitesimalrechnung]] und bildet mit der [[Differentialrechnung]] die [[Mathematik|mathematische]] ''[[Analysis]].'' Sie ist aus der Aufgabe entstanden, [[Flächeninhalt]]e oder [[Volumen|Volumina]] zu berechnen, die durch gekrümmte [[Kurve (Mathematik)|Linien]] bzw. [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] begrenzt sind. Unter dem Oberbegriff '''Integral''' werden das ''unbestimmte'' und das ''bestimmte'' Integral einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] zusammengefasst. Die Berechnung von Integralen heißt '''Integration'''.

* Das ''bestimmte Integral'' einer Funktion <math>f</math> ergibt eine Zahl. Ist <math>f</math> eine reelle Funktion einer reellen [[Variable (Mathematik)|Variablen <math>x</math>]], die im <math>xy-</math>[[Koordinatensystem]] in einem Intervall von <math>a \le x \le b</math> durch einen Graphen dargestellt ist, dann gibt das bestimmte Integral den Inhalt der Fläche an, die in diesem Intervall zwischen dem Graphen und der <math>x</math>-Achse liegt. <math>a</math> und <math>b</math> werden als ''Integrationsgrenzen'' bezeichnet. Falls Flächenstücke unterhalb der <math>x</math>-Achse vorkommen, werden diese hierbei negativ gezählt. Diese Vorzeichenkonvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine [[lineare Abbildung]] vom Raum der Funktionen in den Zahlenraum ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] gilt.
* Das ''unbestimmte Integral'' einer Funktion <math>f</math> ist eine Funktion <math>F</math> , deren erste [[Differentialrechnung#Ableitungsfunktion|Ableitung]] gerade die ursprüngliche Funktion <math>f</math> ist. <math>F</math> wird als [[Stammfunktion]] der Funktion <math>f</math> bezeichnet. Addiert oder subtrahiert man zu <math>F</math> eine beliebige Zahl, erhält man wieder eine Stammfunktion von <math>f</math>. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Auskunft darüber, wie mithilfe von unbestimmten Integralen bestimmte Integrale berechnet werden können.

Insoweit sind Integration und [[Differentiation]] Umkehrungen voneinander. Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen aber kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender [[Algorithmus]]. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen ([[Integration durch Substitution]], [[partielle Integration]]), Nachschlagen in einer [[Integraltafel]] oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels [[Numerische Quadratur|numerischer Quadratur]].

[[Datei:Что такое интеграл Анимация.gif|mini|Was ist das Integral (Animation)]]

== Geschichte ==
[[Datei:Christoph Bernhard Francke - Bildnis des Philosophen Leibniz (ca. 1695).jpg|mini|[[Gottfried Wilhelm Leibniz]]]]
[[Datei:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|mini|Sir [[Isaac Newton]]]]

Flächenberechnungen werden seit der [[Antike]] untersucht. Im 5.&nbsp;Jahrhundert vor Christus entwickelte [[Eudoxos von Knidos]] nach einer Idee von [[Antiphon (Sophist)|Antiphon]] die [[Exhaustionsmethode]], die darin besteht, Verhältnisse von Flächeninhalten mittels enthaltener oder überdeckender [[Polygon]]e abzuschätzen. Er konnte durch diese Methode sowohl Flächeninhalte als auch Volumina einiger einfacher Körper bestimmen. [[Archimedes]] (287–212 v.&nbsp;Chr.) verbesserte diesen Ansatz, und so gelang ihm die exakte Bestimmung des Flächeninhalts einer von einem [[Parabel (Mathematik)|Parabelbogen]] und einer [[Sekante]] begrenzten Fläche ohne Rückgriff auf den [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwertbegriff]], der damals noch nicht vorhanden war; dieses Ergebnis lässt sich leicht in das heute bekannte Integral einer quadratischen Funktion umformen. Zudem schätzte er das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu dessen Durchmesser, also die [[Kreiszahl]] [[Kreiszahl|<math>\pi</math>]], als Wert zwischen <math>\textstyle{3\frac{10}{71}}</math> und <math>\textstyle{3\frac{10}{70}}</math> ab.

Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 17.&nbsp;Jahrhundert stellte [[Bonaventura Francesco Cavalieri]] das [[Prinzip von Cavalieri]] auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle parallelen ebenen Schnittflächen den gleichen Flächeninhalt haben. [[Johannes Kepler]] benutzte in seinem Werk ''Astronomia Nova'' (1609) bei der Berechnung der Marsbahn Methoden, die heute als numerische Integration bezeichnet würden. Er versuchte ab 1612, den Rauminhalt von Weinfässern zu berechnen. 1615 veröffentlichte er die ''Stereometria Doliorum Vinariorum'' („[[Stereometrie]] der Weinfässer“), später auch als [[keplersche Fassregel]] bekannt.

Ende des 17.&nbsp;Jahrhunderts gelang es [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] unabhängig voneinander, Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den [[Fundamentalsatz der Analysis]] zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel [[Infinitesimalrechnung]]; zum Integralzeichen und dessen Geschichte siehe [[Integralzeichen]]). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen [[Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital]], der bei [[Johann I Bernoulli]] Privatunterricht nahm und darin dessen Forschung zur Analysis publizierte. Der Begriff ''Integral'' geht auf Johann Bernoulli zurück.

Im 19.&nbsp;Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte [[Augustin-Louis Cauchy]] erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an [[mathematische Strenge]] genügt. Später entstanden die Begriffe des [[Riemann-Integral]]s und des [[Lebesgue-Integral]]s. Schließlich folgte die Entwicklung der [[Maßtheorie]] Anfang des 20.&nbsp;Jahrhunderts.

== Integral für kompakte Intervalle ==
„Kompakt“ bedeutet hier [[Beschränkte Menge|beschränkt]] und [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], es werden also nur Funktionen auf [[Intervall (Mathematik)|Intervallen]] der Form <math>[a,b]</math> betrachtet. [[Offene Menge|Offene]] oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.

=== Motivation ===
==== Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale ====
Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei [[stetige Funktion]]en <math>f,g</math> auf einem kompakten Intervall <math>[a,b]</math>, deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).

: [[Datei:Integral 1.svg]]: [[Datei:Integral 2.svg]]: [[Datei:Integral 3.svg]]

Der Flächeninhalt der grauen Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der grauen Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die begrenzt wird von
* dem Graphen einer Funktion,
* zwei vertikalen Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math>
* sowie der <math>x</math>-Achse.

Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung:
: <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math>,
gelesen als ''Integral von <math>a</math> bis <math>b</math>'' ''von'' ''<math>f</math> von <math>x</math>, <math>\mathrm dx</math>.'' Das Symbol <math>\mathrm dx</math> steht für das [[Differential (Mathematik)|Differential]] auf der <math>x</math>-Achse und gibt an, dass <math>x</math> die Integrationsvariable ist, was vor allem bei Funktionen mit mehreren infragekommenden Symbolen von Variablen wichtig ist. Statt <math>x</math> kann die Integrationsvariable im Differential ''und'' in der Funktion auch durch ein beliebiges anderes Symbol bezeichnet werden, abgesehen von denen für die Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>, zum Beispiel mit <math>t</math> oder <math>s</math>. Der Wert des Integrals wird dadurch nicht geändert.

==== Integrale negativer Funktionen ====
Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der <math>y</math>-Achse um ein Stück <math>c</math>, so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu:

: [[Datei:Integral 2.svg]]: [[Datei:Integral 4.svg]]

Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite <math>b-a</math> und der Höhe <math>c</math>, in Formeln
: <math>\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+(b-a)\cdot c.</math>

Betrachtet man eine stetige Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein <math>c \in \mathbb{R}</math> finden, sodass die Werte <math>f(x)+c</math> im Intervall alle positiv sind (<math>c</math> muss größer als der Betrag des Minimums von <math>f</math> in <math>[a,b]</math> sein). Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man
[[Datei:Integral 5.svg|rechts|Integral über eine negative Funktion und Verschiebung ins Positive]]
: <math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx-(b-a)\cdot c,</math>
das heißt, das Integral von <math>f</math> ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber ''negativ,'' das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der <math>x</math>-Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem ''orientierten'' bzw. ''gerichteten'' Flächeninhalt.

Wenn eine oder mehrere Nullstellen im zu untersuchenden Intervall vorliegen, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern die Summe aus den (positiven) Flächeninhalten der Teilflächen oberhalb der <math>x</math>-Achse und den (negativen) Flächeninhalten der Teilflächen unterhalb der <math>x</math>-Achse. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen <math>x</math>-Achse und Graph der Funktion, muss das Integral an den Nullstellen aufgeteilt werden.

==== Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals ====
{{Hauptartikel|Prinzip von Cavalieri}}

=== Axiomatischer Zugang ===
Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Laufe der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im Folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest.

Es seien <math>a<b</math> [[reelle Zahl]]en, und es sei <math>\mathcal F</math> ein [[Vektorraum]] von Funktionen <math>[a,b]\to\mathbb R</math>, der die [[stetige Funktion|stetigen Funktion]]en umfasst. Funktionen in <math>\mathcal F</math> werden „integrierbar“ genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung
: <math>\mathcal F\to\mathbb R,</math>
geschrieben
: <math>f\mapsto\int_a^b f(x)\,\mathrm dx,</math>
mit den folgenden Eigenschaften:
* Linearität: Für Funktionen <math>f,g\in\mathcal F</math> und <math>\lambda\in\mathbb R</math> gilt
** <math>\int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\int_a^b g(x)\,\mathrm dx</math>,
** <math>\int_a^b\lambda f(x)\,\mathrm dx = \lambda\cdot\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math>.
* Monotonie: Ist <math>f(x)\geq0</math> für alle <math>x\in[a,b]</math>, so ist
*: <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\geq0.</math>
* Integral der [[Indikatorfunktion|charakteristischen Funktion]] eines Intervalls: Ist <math>I\subseteq[a,b]</math> ein Intervall und ist
:: <math>\chi_I(x)=\begin{cases}1\ ,&\mathrm{falls}\ x\in I\ ,\\0\ ,&\mathrm{falls}\ x\notin I\ ,\end{cases}</math>
: so ist
:: <math>\int_a^b \chi_I(x)\,\mathrm dx</math>
: gleich der Länge des Intervalls <math>I</math>.

=== Bezeichnungen ===
* Die reellen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> heißen ''Integrationsgrenzen.'' Sie können oberhalb und unterhalb des Integralzeichens oder seitlich vom Integralzeichen geschrieben werden:
::<math>{\textstyle\int\limits_a^b} f(x)\,{\rm d}x</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; oder &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\int\nolimits_a^b f(x)\,{\rm d}x</math>
* Die zu integrierende Funktion <math>f</math> heißt ''Integrand''.
* Die Variable <math>x</math> heißt ''Integrationsvariable.'' Ist <math>x</math> die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration ''über <math>x</math>.'' Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt
:: <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math>
: kann man genauso gut
:: <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> oder <math>\int_a^b f(\xi)\,\mathrm d\xi</math>
: schreiben. In dem obigen Beispiel führt es zu unerwünschten Mehrdeutigkeiten, wenn man die Buchstaben <math>a</math> oder <math>b</math> verwendet, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren. Daher sollte man darauf achten, dass das für die Integrationsvariable verwendete Zeichen nicht schon mit einer anderen Bedeutung belegt ist.
* Der Bestandteil <math>\mathrm dx</math> wird ''[[Differential (Mathematik)|Differential]]'' genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Daher wird hier nicht versucht, ihn zu definieren. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.

=== Herkunft der Notation ===
Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterstbeschreiber der Differential- und Integralrechnung, [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], zurück. Das [[Integralzeichen]] '''∫''' ist aus dem Buchstaben [[langes s]] (ſ) für lateinisch ''summa'' abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation <math>f(x)\,\mathrm{d}x</math> deutet an, wie sich das Integral –&nbsp;dem Riemann-Integral folgend&nbsp;– aus Streifen der Höhe <math>f(x)</math> und der [[Infinitesimalzahl|infinitesimalen]] Breite <math>\mathrm{d}x</math> zusammensetzt.

=== Alternative Schreibweise in der Physik ===
In der theoretischen Physik wird aus pragmatischen Gründen oft eine leicht andere Schreibweise für Integrale benutzt (vor allem bei Mehrfachintegralen). Dort wird statt
:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math>
oft
:<math>\int_a^b \mathrm dx f(x)</math>
geschrieben, manchmal werden an verschiedenen Stellen sogar beide Schreibweisen benutzt.

Die zweite Schreibweise hat den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion <math>f(x)</math> nicht mehr durch <math>\textstyle \int_a^b</math> und <math>\mathrm dx</math> eingeklammert wird. Zudem können Missverständnisse zum Beispiel beim [[Lebesgue-Integral]] auftreten. Die alternative Schreibweise hat jedoch auch einige Vorzüge:
* Der Ausdruck <math>\textstyle \int_a^b \mathrm dx</math> hebt hervor, dass das Integral ein [[linearer Operator]] ist, der auf alles rechts von ihm wirkt.
* Oft tauchen in der Physik Integrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist, oder es wird über mehrere Unbekannte <math>x_1, x_2, \dotsc, x_n</math> integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise <math>\textstyle \int_a^b \mathrm dx f(x)</math> schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher.
* Die Kommutativität der Produkte bei den in der Riemann’schen Näherung auftretenden Summanden <math>\Delta x_n\cdot f(x_n)</math> wird betont.

'''Beispiel:'''

:<math>\int_{a_1}^{a_2}\mathrm dt \int_{b_1}^{b_2}\mathrm dx_1\int_{c_1}^{c_2}\mathrm dx_2\int_{d_1}^{d_2} \mathrm dx_3 \,f(x_1,x_2,x_3,t)</math>
statt
:<math>\int_{a_1}^{a_2}\int_{b_1}^{b_2}\int_{c_1}^{c_2}\int_{d_1}^{d_2} f(x_1,x_2,x_3,t)\,\mathrm dx_3\mathrm dx_2\mathrm dx_1\mathrm dt</math>

=== Einfache Folgerungen aus den Axiomen ===
* Ist <math>f(x)\leq g(x)</math> für alle <math>a\leq x\leq b</math>, so ist
::<math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq\int_a^bg(x)\,\mathrm dx.</math>
* Bezeichnet man mit <math>\|f\|_\infty</math> die [[Supremumsnorm]] von <math>f</math> auf <math>[a,b]</math>, so gilt
:: <math>\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\right|\leq (b-a)\cdot\|f\|_\infty.</math>
* Ist <math>|f(x)-g(x)|<\varepsilon</math> für alle <math>a\leq x\leq b</math> mit einer festen Zahl <math>\varepsilon>0</math>, so gilt
::<math>\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx-\int_a^b g(x)\,\mathrm dx \right|\leq(b-a)\cdot\varepsilon.</math>
: Daraus folgt: Ist <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von integrierbaren Funktionen, die [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen eine (integrierbare) Funktion <math>f</math> konvergiert, so ist
:: <math>\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.</math>
: Mit anderen Worten: Das Integral ist ein stetiges [[Funktional]] für die Supremumsnorm.
* Integrale von Treppenfunktionen: Ist <math>f</math> eine [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktion]], das heißt, ist <math>[a,b]</math> eine [[disjunkte Vereinigung]] von Intervallen <math>I_k</math> der Längen <math>L_k</math>, sodass <math>f</math> auf <math>I_k</math> konstant mit Wert <math>c_k</math> ist, so gilt:
:: <math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\sum_{k=1}^n L_k\cdot c_k.</math>
: Das Integral ist somit gleich der Summe der orientierten Flächeninhalte der Rechtecke zwischen dem Funktionsgraphen von <math>f</math> und der <math>x</math>-Achse.

== Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ==
Die Integration ist eine nicht-eindeutige Umkehrung der Differentiation. Um dies zu präzisieren, wird der Begriff der [[Stammfunktion]] benötigt: Ist <math>f</math> eine Funktion, so heißt eine Funktion <math>F</math> eine ''Stammfunktion'' von <math>f</math>, wenn die [[Differentialrechnung|Ableitung]] von <math>F</math> gleich <math>f</math> ist:
: <math>F' = f</math>

Nicht-eindeutig ist diese Umkehrung, weil verschiedene Funktionen, die sich nur um einen konstanten Summanden unterscheiden, ein und dieselbe Ableitung haben. Daraus folgt, dass eine Funktion, zu der es eine Stammfunktion gibt, dann gleich unendlich viele Stammfunktionen hat.

Der [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] stellt eine Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist <math>f</math> eine [[stetige Funktion]] auf einem Intervall <math>[a,b]</math> und ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, so gilt
: <math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b) - F(a).</math>
Die rechte Seite wird oft abkürzend als
: <math>\Big[F(x)\Big]_a^b = \Big[F(x)\Big]_{x=a}^{x=b} = F(x)\Big|_a^b = F(x)\Big|_{x=a}^{x=b}</math> oder Ähnliches
geschrieben.

Dieser Zusammenhang ist die hauptsächliche Methode zur expliziten Auswertung von Integralen. Die Schwierigkeit liegt meist im Auffinden einer Stammfunktion.

Die bloße ''Existenz'' ist theoretisch gesichert: Die '''Integralfunktion'''
: <math>x\mapsto F_a(x) := \int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math>
ist für jedes <math>a</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>.

=== Eigenschaften von Stammfunktionen ===
Man kann zu einer Stammfunktion eine Konstante addieren und erhält wieder eine Stammfunktion: Ist <math>F</math> eine Stammfunktion zu einer Funktion <math>f</math> und ist <math>c\in\R</math> eine Konstante, so ist
:<math>(F+c)'=F\!\,'+0=F'=f.</math>
Zwei Stammfunktionen derselben auf einem Intervall definierten Funktion unterscheiden sich um eine Konstante: Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen einer Funktion <math>f</math>, so ist
:<math>(F-G)\!\,'=F'-G'=f-f=0,</math>
also ist die Differenz <math>F-G</math> eine Konstante. Ist der [[Definitionsbereich]] von <math>f</math> kein Intervall, so ist die Differenz zweier Stammfunktionen lediglich [[Lokal konstante Funktion|lokal konstant]].

=== Unbestimmtes Integral ===
Eine Stammfunktion wird auch als ''unbestimmtes Integral'' von <math>f(x)</math> bezeichnet&nbsp;– manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist <math>F(x)</math> eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise
: <math>\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C,</math>
um anzudeuten, dass jede Stammfunktion von <math>f</math> die Form <math>F(x)+C</math> mit einer Konstante <math>C</math> hat. Die Konstante <math>C</math> heißt ''Integrationskonstante.''

Man beachte, dass die Schreibweise
: <math>\int f(x)\,\mathrm dx</math>
jedoch auch häufig in Formeln benutzt wird, um anzudeuten, dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten; beispielsweise ist mit
: <math>\int cf(x)\,\mathrm dx=c\int f(x)\,\mathrm dx</math>
gemeint, dass
: <math>\int_a^b cf(x)\,\mathrm dx=c\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math>
für beliebige <math>a,b</math> gilt.

=== Bestimmung von Stammfunktionen ===
''Siehe dazu den Artikel: [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen]] oder [[b:Formelsammlung Mathematik#Analysis|unbestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik]].''

Im Gegensatz zur Ableitungsfunktion ist die explizite Berechnung einer Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich. Oft schlägt man Integrale deshalb in Tabellenwerken (z.&nbsp;B. einer [[Integraltafel]]) nach. Zur manuellen Berechnung einer Stammfunktion ist häufig die geschickte Anwendung der folgenden Standardtechniken hilfreich.

==== Partielle Integration ====
{{Hauptartikel|Partielle Integration}}

Die partielle Integration ist die Umkehrung der [[Produktregel]] der Differentialrechnung. Sie lautet:
: <math>\int f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x
= f(x)\cdot g(x) - \int f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x</math>

Diese Regel ist dann von Vorteil, wenn die Funktion <math>f(x)\cdot g'(x)</math> einfacher als die Funktion
<math>f'(x)\cdot g(x)</math> zu integrieren ist. Hierbei sind jedoch die Produkte und nicht die Faktoren selbst zu bewerten.

Beispiel:
:<math>\int x \ln(x)\,\mathrm dx</math>
Setzt man
:<math>f'(x)=x\,</math> und <math>g(x) = \ln(x)\,</math>
so ist
:<math>f(x) = \frac{x^2}2</math> und <math>g'(x)=\frac 1x</math>
und man erhält
:<math>\begin{align}
\int x\ln(x)\,\mathrm dx &= \frac{x^2}2 \ln(x) - \int \frac{x^2}2\cdot\frac 1x\,\mathrm dx\\
                             &= \frac{x^2}2 \left(\ln(x)-\frac 12\right) .
\end{align}</math>

==== Integration durch Substitution ====
{{Hauptartikel|Integration durch Substitution}}

Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel, um einige schwierige Integrale zu berechnen, da sie bestimmte Änderungen der zu integrierenden Funktion bei gleichzeitiger Änderung der Integrationsgrenzen erlaubt. Sie ist das Gegenstück zur [[Kettenregel]] in der Differentialrechnung.

Sei <math>\varphi(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)</math> mit <math>g'\ne 0</math> und <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, so ist <math>\Phi(x) = F(g(x))</math> eine Stammfunktion von <math>\varphi</math>, denn es gilt
:<math>\frac{\varphi(x)}{g'(x)} = f(g(x))</math>
und mit der Substitution
:<math>z = g(x),\quad\mathrm dz = g'(x)\mathrm dx</math>
schließlich
:<math>\begin{align}
  \int_a^b f(g(x)) g'(x) \mathrm dx &= \int_{g(a)}^{g(b)}f(z)\mathrm dz\\
                                    &= F(g(b))-F(g(a))\\
                                    &= \Phi(b)-\Phi(a).
\end{align}</math>

==== Umformung durch Partialbruchzerlegung ====
Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine [[Polynomdivision]] oder eine [[Partialbruchzerlegung]] zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden.

==== Spezielle Verfahren ====
Oft ist es möglich, unter Ausnutzung der speziellen Form des Integranden die Stammfunktion zu bestimmen.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, bei einem bekannten Integral zu beginnen und dieses durch Integrationstechniken solange umzuformen, bis das gewünschte Integral entsteht. Beispiel:

Um <math>\textstyle \int\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^2}</math> zu bestimmen, integrieren wir das folgende ähnliche Integral partiell:
:<math>\begin{align}
\arctan x &= \int 1\cdot\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx\\
  &= x\cdot\frac{1}{1+x^2} + \int x\cdot\frac{2x}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx \\
  &= \frac{x}{1+x^2} + \int\left(\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}+\frac{2}{(1+x^2)^2}\right)\,\mathrm dx - \int\frac{2}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx \\
  &= \frac{x}{1+x^2} + 2\int\frac{1+x^2}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx - 2\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx \\
  &= \frac{x}{1+x^2} + 2\arctan x - 2\int\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^2}
\end{align}</math>

Durch Umstellen folgt
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^2} = \frac12\left(\frac{x}{1+x^2} + \arctan x\right).</math>

=== Mehrfache Integration ===
Soll eine Funktion <math>f</math> mehrfach integriert werden, liefert die [[Cauchy-Formel für mehrfache Integration]] für das <math>n</math>-te iterierte Integral von <math>f</math> am Punkt <math>x</math>

:<math>I^n(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm{d}\sigma_{n} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1</math>

das folgende Integral:
:<math>I^n(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x \left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t </math>.

== Anwendungen ==
=== Mittelwert einer Funktion ===
Es soll der „mittlere Wert“ <math>m</math> ermittelt werden, den eine auf einem Intervall definierte Funktion <math>f</math> annimmt. Da <math>f</math> im Allgemeinen unendlich viele verschiedene Werte annimmt, wird man diesen mittleren Wert dadurch annähern, dass man <math>f</math> zunächst nur an endlich vielen Stellen <math>\{x_1, x_2, \dots, x_n\}</math> auswertet, die gleichmäßig über <math>[a,b]</math> verteilt sind, und dann das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]]

:<math>\frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}{n}</math>

bildet. Mit <math>\Delta x=(b-a)/n</math> erhält man somit als Annäherung für den mittleren Wert von <math>f</math>

:<math>m \approx \frac{1}{b-a} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x</math>.

Die Approximation wird umso genauer, je größer die Anzahl der Stellen <math>n</math> ist, die in diese Summe einfließen. Für <math>n \rightarrow \infty</math> erhält man schließlich als genaue Formel für den Mittelwert der Funktion
:<math>m=\lim_{n \to\infty} \left(\frac{1}{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x\right).</math>
Existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, so handelt es sich um das Integral der Funktion über <math>[a,b].</math> Deshalb ist der Mittelwert einer Funktion definiert als
:<math>m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x.</math>

Diese Definition stimmt für [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktionen]] mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt und ist somit eine Verallgemeinerung der arithmetischen Mittels.<!-- TODO: Obige Punkte genauer ausfüheren -->

=== Beispiel aus der Physik ===
<!-- Größen nur fett schreiben, wenn sie als Vektoren behandelt werden-->
Ein physikalisches [[Phänomen]], an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der [[Freier Fall|freie Fall]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] im [[Schwerefeld]] der [[Erde]]. Die [[Geschwindigkeit]] <math>v</math> eines Körpers zur Zeit <math>t</math> wird durch die Formel

: <math>v = g \cdot t</math>

beschrieben. Dabei ist <math>g</math> die konstante [[Erdbeschleunigung]], die in [[Mitteleuropa]] ca. 9,81&nbsp;m/s² beträgt.

Nun soll aber die Wegstrecke <math>l</math> berechnet werden, die der fallende Körper bis zu einer bestimmten Zeit <math>T</math> zurücklegt. Die Formel <math>l = v \cdot T</math> („Weg = Geschwindigkeit × Zeit“) ist nur bei einer konstanten Geschwindigkeit gültig''.'' Unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung nimmt die Geschwindigkeit <math>v</math> des Körpers jedoch stetig mit der Zeit zu. Um das Problem zu lösen, zerlegt man den gesamten Zeitraum in sehr kurze Zeitintervalle <math>\Delta t</math>; während jedes Zeitintervalls ändert sich die Geschwindigkeit nur wenig, so dass die Formel „Weg = Geschwindigkeit × Zeit“ zumindest näherungsweise gilt. Die innerhalb eines kurzen Zeitraums <math>\Delta t</math> zurückgelegte Teilstrecke <math>\Delta l</math> beträgt daher

: <math>\Delta l \approx g \cdot t\,\cdot\Delta t</math>.

Die gesamte Wegstrecke erhält man näherungsweise als Summe aller Teilstrecken:

: <math>l \approx \sum g \cdot t \,\cdot\Delta t .</math>

Wenn man nun die Zeitdifferenzen <math>\Delta t</math> gegen Null streben lässt, verschwinden die Approximationsfehler und man erhält die exakte Wegstrecke als

: <math>l = \lim_{\Delta t \to 0} \sum g \cdot t \,\cdot \Delta t.</math>
Die rechte Seite der Gleichung ist gerade das Integral über <math>g \cdot t</math>. Also ist die Wegstrecke das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

:<math>l = \int_0^T g \cdot t\;\mathrm{d}t.</math>

Das Integral lässt sich z.&nbsp;B. mit dem Hauptsatz der Analysis auswerten:

:<math>l =\, \frac g 2 \cdot T^2.</math>

Die allgemeine Lösung führt zur [[Bewegungsgleichung]] des im konstanten Schwerefeld fallenden Körpers:

: <math>l = \frac g 2 \cdot t^2.</math>

Weitere Beispiele sind:
* Die [[Energie]] ist das Integral der [[Leistung (Physik)|Leistung]] über die Zeit.
* Die [[elektrische Ladung]] eines [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensators]] ist das Integral des durch ihn fließenden [[Elektrischer Strom|Stromes]] über die Zeit.
* Das Integral des Produktes der spektralen Bestrahlungsstärke (''E''<sub>e</sub>(ν) in [[Watt (Einheit)|W]]/m<sup>2</sup>[[Hertz (Einheit)|Hz]]) mit der spektralen [[V-Lambda-Kurve|Hellempfindlichkeitskurve]] des Auges liefert die Beleuchtungsstärke (''E'' in [[Lux (Einheit)|Lux]] = Lumen/m<sup>2</sup>).
* Das Integral der Strömungsgeschwindigkeit (Längskomponente) über den Querschnitt eines Rohres liefert den gesamten [[Volumenstrom]] durch das Rohr (weitere mehrdimensionale Integrale [[#Mehrdimensionale Integration|siehe unten]]).

== Konstruktionen ==
=== Cauchy-Integral ===
[[Datei:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg|mini|hochkant|Augustin-Louis Cauchy<br>(1789–1857)]]

Eine [[Regelfunktion]] ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen [[approximieren]] lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion <math>f</math>, die gleichmäßiger Limes einer Folge <math>t_n</math> von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als
: <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b t_n(x)\,\mathrm dx,</math>
wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird.

Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle [[Reelle monotone Funktion|monotonen Funktionen]], ebenso alle Funktionen <math>f</math>, für die sich <math>[a,b]</math> in endlich viele Intervalle <math>I_k</math> unterteilen lässt, sodass die [[Einschränkung]] von <math>f</math> auf <math>I_k</math> eine stetige oder monotone Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall <math>\bar I_k</math> ist, d.&nbsp;h. alle stückweise stetigen Funktionen. Sie umfasst außerdem [[Beschränkte Variation|Funktionen von beschränkter Variation]], da sich so eine Funktion als Differenz zweier monoton steigender Funktionen darstellen lässt. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.

Es gibt auch ''stetige'' Funktionen mit ''unendlicher'' Variation wie z.&nbsp;B. die durch <math>0\mapsto 0</math> und <math>t\mapsto t\cos\tfrac{\pi/2}t</math> für <math>0<t\leq 1</math> auf dem Intervall <math>[0,\ 1]</math> definierte Funktion (siehe [[Variation (Mathematik)#Beispiel einer stetigen Funktion mit unendlicher Variation|Variation]]).

=== Riemann-Integral ===
{{Hauptartikel|Riemannsches Integral}}

[[Datei:Bernhard Riemann 1.jpg|mini|hochkant|Bernhard Riemann<br>(1826–1866)]]

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals nach Riemann ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktion]]; allerdings nicht durch gleichmäßige Approximation der Funktion selbst, sondern durch Approximation des Flächeninhalts durch Rechtecksummen.

Die Fläche wird durch die Summe der Flächeninhalte der einzelnen [[Rechteck]]e unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Funktionswert innerhalb jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen.

Dies sind die nach dem deutschen [[Mathematiker]] [[Bernhard Riemann]] bezeichneten ''Riemann-Summen.'' Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das [[Supremum]] der Funktion als Höhe des Rechtecks, so ergibt sich die Obersumme, mit dem [[Supremum|Infimum]] die Untersumme.

Das Riemannsche Integral lässt sich mit Hilfe von Ober- und Untersummen definieren, siehe [[Bernhard Riemann|Riemannsches Integral.]] Konvergieren Ober- und Untersummen gegen den gleichen [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]], so ist dieser Grenzwert das Integral im Sinne von Riemann. Integrierbar in diesem Sinne sind z.&nbsp;B. sämtliche Funktionen, für die das Cauchy-Integral existiert.

Das ''Riemann-Integral'' existiert z.&nbsp;B. nicht für die [[Dirichlet-Funktion|Indikatorfunktion der rationalen Zahlen]] im Intervall <math>[0,\ 1]</math>, d.&nbsp;h. für die [[Dirichlet-Funktion]]. Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von [[Henri Léon Lebesgue]] ([[Lebesgue-Integral]]), [[Thomas Jean Stieltjes]] ([[Stieltjesintegral]]) und [[Alfréd Haar]] eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.

=== Stieltjes-Integral ===
{{Hauptartikel|Stieltjes-Integral}}

Beim Stieltjes-Integral geht man von monotonen Funktionen <math>g</math> aus, oder von solchen mit [[Beschränkte Variation|endlicher Variation]], das sind Differenzen von zwei monotonen Funktionen, und definiert für stetige Funktionen <math>f</math> Riemann-Stieltjes’sche Summen als
:<math>\sum_{i=0}^{n-1}\,f(x_i)\,\left(g(x_{i+1})-g(x_i)\right).</math>
Durch Limesbildung in der üblichen Weise erhält man dann das sogenannte ''Riemann-Stieltjes-Integral'' <math>\textstyle \int_I\, f\, \mathrm dg</math>.

Solche Integrale sind auch dann definiert, wenn die Funktion <math>g</math> nicht differenzierbar ist (andernfalls gilt <math>\mathrm dg(x) = g'(x)\,\mathrm dx</math>). Ein bekanntes Gegenbeispiel ist die sogenannte [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta</math>, deren Wert gleich null für negative Argumente, eins für positive Argumente und z.&nbsp;B. <math>\textstyle \frac{1}{2}</math> an der Stelle <math>0</math> ist. Man schreibt, für <math>g=\Theta</math>, <math>\mathrm dg(x) = \delta(x)\mathrm dx</math> und erhält so die [[Distribution (Mathematik)|„verallgemeinerte Funktion“]] <math>\delta</math>, das sogenannte [[Diracmaß]], als ein nur im Punkt <math>0</math> definiertes Maß.

=== Lebesgue-Integral ===
{{Hauptartikel|Lebesgue-Integral}}

[[Datei:LebesgueH.gif|mini|hochkant|[[Henri Lebesgue]] (1875–1941)]]

Einen moderneren und –&nbsp;in vielerlei Hinsicht&nbsp;– besseren Integralbegriff als den des Riemann’schen Integrals liefert das Lebesgue-Integral. Es erlaubt zum Beispiel die Integration über allgemeine [[Maßraum|Maßräume]]. Das bedeutet, dass man Mengen ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] zuordnen kann, das nicht notwendig mit ihrer geometrischen Länge bzw. ihrem Rauminhalt übereinstimmen muss, so zum Beispiel [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]. Das Maß, das dem intuitiven Längen- bzw. Volumenbegriff entspricht, ist das [[Lebesgue-Maß]]. In der Regel wird das Integral über dieses Maß als ''Lebesgue-Integral'' bezeichnet. Für jede Funktion, die über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, existiert auch das entsprechende Lebesgue-Integral und die Werte beider Integrale stimmen überein. Umgekehrt sind aber nicht alle Lebesgue-integrierbaren Funktionen auch Riemann-integrierbar. Das bekannteste Beispiel dafür ist die [[Dirichlet-Funktion]], also die Funktion, die für rationale Zahlen den Wert Eins, aber für irrationale Zahlen den Wert Null hat. Neben der größeren Klasse an integrierbaren Funktionen zeichnet sich das Lebesgue-Integral gegenüber dem Riemann-Integral vor allem durch die besseren Konvergenzsätze aus ([[Satz von der monotonen Konvergenz]], [[Satz von der majorisierten Konvergenz]]) und die besseren Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral [[Normierter Raum|normierten]] [[Funktionenraum|Funktionenräume]] (etwa [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]]).

In der modernen Mathematik versteht man unter Integral oder Integrationstheorie häufig den lebesgueschen Integralbegriff.

== Uneigentliches Integral ==
{{Hauptartikel|Uneigentliches Integral}}

Das Riemann-Integral ist (im eindimensionalen Raum) nur für [[Kompakter Raum|kompakte]], also beschränkte und abgeschlossene, Intervalle definiert. Eine Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]] bietet das uneigentliche Integral. Auch in der Lebesgue-Theorie können uneigentliche Integrale betrachtet werden, jedoch ist dies nicht so ergiebig, da man mit dem Lebesgue-Integral schon viele Funktionen mit Singularitäten oder unbeschränktem Definitionsbereich integrieren kann.

== Verfahren zur Berechnung bestimmter und uneigentlicher Integrale ==
=== Numerische Verfahren ===
Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion explizit anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, das bestimmte Integral näherungsweise zu berechnen. Man spricht dann von numerischer Quadratur oder [[Numerische Integration|numerischer Integration]]. Viele Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel durch Polynome. Die [[Trapezregel]] oder auch die [[simpsonsche Formel]] (deren Spezialfall als [[keplersche Fassregel]] bekannt ist) sind Beispiele dafür, hier wird durch die Funktion ein [[Interpolation (Mathematik)|Interpolationspolynom]] gelegt und dann integriert.

Bereits lange vor der Verbreitung von Computern wurden für die numerische Integration Verfahren zur automatischen [[Schrittweitensteuerung]] entwickelt. Heute bietet die Computeralgebra die Möglichkeit, komplexe Integrale numerisch in immer kürzeren Zeiten bzw. immer genauer zu lösen, wobei auch bei leistungsfähigen Systemen noch Schwierigkeiten bei uneigentlichen Integralen bestehen, für deren Berechnung oft spezielle Verfahren wie [[Gauß-Quadratur#Adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur|Gauß-Kronrod]] angewendet werden müssen. Ein Beispiel für ein solches ''hartes'' Integral ist:
: <math>\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x)}{\ln^2 x + \pi^2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \gamma</math>

Klassische Verfahren sind z.&nbsp;B. die [[Euler-Maclaurin-Formel|Eulersche Summenformel]], bei der das bestimmte Integral durch eine im Allgemeinen [[Asymptotische Analyse#Asymptotische Entwicklung|asymptotische Reihe]] approximiert wird. Weitere Methoden basieren auf der Theorie der [[Differenzenrechnung]], als wichtiges Beispiel ist hier die Gregorysche Integrationsformel zu nennen.

=== Exakte Verfahren ===
[[Datei:Leonhard Euler 2.jpg|mini|Leonhard Euler]]
[[Datei:David Bierens de Haan 1.jpg|mini|[[David Bierens de Haan]]]]

Es gibt eine Reihe von Verfahren, mit denen bestimmte und uneigentliche Integrale exakt in symbolischer Form berechnet werden können.

Falls <math>f</math> stetig und zu <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> bekannt ist, lässt sich das bestimmte Integral
:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b)-F(a)</math>

durch den Hauptsatz berechnen. Problematisch ist, dass die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionsklassen führt. Z.&nbsp;B. ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen <math>\ln</math> und <math>\arctan</math>. Auch die Klasse der so genannten [[Elementare Funktion|elementaren Funktionen]] ist nicht abgeschlossen. So hat [[Joseph Liouville]] bewiesen, dass die Funktion <math>e^{-x^2}</math> keine elementare Stammfunktion besitzt. [[Leonhard Euler]] war einer der ersten, die Methoden zur exakten Berechnung bestimmter und uneigentlicher Integrale ohne Bestimmung einer Stammfunktion entwickelten. Im Laufe der Zeit sind zahlreiche allgemeinere und speziellere Methoden zur bestimmten Integration entstanden:
* Benutzung des [[Residuensatz]]es
* Darstellung des von einem Parameter abhängigen Integrals durch [[spezielle Funktionen]]
* Differentiation oder Integration des Integrals nach einem Parameter und Vertauschung der Grenzprozesse
* Benutzung einer [[Reihenentwicklung]] des Integranden mit gliedweiser Integration
* durch partielle Integration und Substitution das Integral auf sich selbst oder ein anderes zurückführen
Bis zum Ende des 20. Jahrhunderts sind zahlreiche (teils mehrbändige) [[Integraltafel]]n mit bestimmten Integralen entstanden. Zur Illustration der Problematik einige Beispiele:

:<math>\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{x^2+1}\,\mathrm dx = \frac{\pi}8\ln2</math>

:<math>\int_0^\pi\ln\sin x\,\mathrm dx = -\pi\ln2</math>

=== Besondere Integrale ===
Es gibt eine Reihe von bestimmten und uneigentlichen Integralen, die eine gewisse Bedeutung für die Mathematik haben und daher einen eigenen Namen tragen:
* Eulersche Integrale [[Eulersche Betafunktion|erster]] und [[Gammafunktion|zweiter Art]]
* [[Carl Friedrich Gauß|Gaußsches]] [[Fehlerintegral]]
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{\pi}</math>
* [[Fresnel-Integral]]e
:<math>\int_0^{\infty}\cos t^2\,\mathrm{d}t
     = \int_0^{\infty}\sin t^2\,\mathrm{d}t = \tfrac14\sqrt{2\pi}</math>
* [[Joseph Ludwig Raabe|Raabesches]] Integral
:<math>\int\limits_a^{a+1}\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a\ge0,</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;und speziell für <math>a=0</math> und <math>a = e</math>: <math>\int_0^1\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi</math>
* [[Frullanische Integrale]]
:<math>\int_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,\mathrm dx</math>

== {{Anker| Integration über mehrdimensionale Bereiche}} Mehrdimensionale Integration ==
=== Wegintegrale ===
{{Hauptartikel|Kurvenintegral}}

==== Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve ====
Ist <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math> ein [[Weg (Mathematik)|Weg]], also eine stetige Abbildung, und <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math> eine skalare Funktion, so ist das ''Wegintegral'' von <math>f</math> entlang <math>\gamma</math> definiert als
: <math>\int_\gamma f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(\gamma(t))\,\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt.</math>

Ist <math>f \equiv 1</math>, so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2</math> (physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

: <math>L(\gamma)=\int_a^b\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt=\int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\,\mathrm dt</math>

==== Reelle Wegintegrale für vektorielle Funktionen ====
In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form verwendet: <math>\vec f</math> ist eine Vektorfunktion <math>\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>, und es wird das Integral
: <math>\int_\gamma \vec f(x)\cdot\mathrm dx = \int_a^b\langle \vec f(\gamma(t)),\dot\gamma(t)\rangle\,\mathrm dt</math>
betrachtet, wobei der Ausdruck in den gewinkelten Klammern ein [[Skalarprodukt]] darstellt.

==== Komplexe Wegintegrale ====
In der [[Funktionentheorie]], also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer [[Komplexe Zahl|komplexen]] Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein [[Kurvenintegral|Wegintegral]]. Für geschlossene Wege gilt der [[Residuensatz]], ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral einer [[meromorph]]en Funktion entlang eines geschlossenen Weges hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

=== Oberflächenintegrale ===
{{Hauptartikel|Oberflächenintegral}}

==== Beispiel: Berechnung von Rauminhalten ====
Als Beispiel wird das [[Volumen]] unter dem Graphen der Funktion <math>f \colon \R^2 \to \R</math> mit <math>f(x,y) := x^2+y</math> über dem [[Einheitsquadrat]] <math>I := [0,1]\times[0,1]</math> berechnet. Dazu teilt man das Integral über <math>I</math> auf zwei Integrale auf, eines für die <math>x</math>- und eines für die <math>y</math>-Koordinate:

:<math>\begin{align}
\int_{[0,\ 1]\times[0,\ 1]} f(x,y)\,\mathrm d(x,y) &= \int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1\int_0^1 (x^2+y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\
&= \int_0^1\left[\tfrac13 x^3 + yx\right]_{x=0}^1\,\mathrm dy = \int_0^1\left(\tfrac13 + y\right) \mathrm dy = \left[\tfrac13 y + \tfrac12 y^2\right]_{y=0}^1 = \tfrac56
\end{align}</math>

Für <math>f \equiv 1</math> ergibt das Oberflächenintegral den Flächeninhalt der Integrationsfläche.

=== Volumenintegrale ===
{{Hauptartikel|Volumenintegral}}

Für <math>f \equiv 1</math> berechnet das Volumenintegral den Volumeninhalt des Integrationsbereiches.

=== Integration über mehr- und höherdimensionale Bereiche ===
Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der der Integrand <math>f</math> operiert, nicht die Zahlengerade <math>\R</math>, sondern der <math>n</math>-dimensionale [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] <math>\R^n</math> ist.

==== Satz von Fubini und Transformationssatz ====
Für mehrdimensionale Integrale, also auch Flächen- und Volumenintegrale, findet der [[Satz von Fubini]] Anwendung, der es erlaubt, die Integrale in beliebiger Reihenfolge über die einzelnen Koordinaten aufzuspalten und sie nacheinander abzuarbeiten:
:<math>\begin{align}
\int_V f\left(\vec r\right) \mathrm d^3 r &= \iiint f(x,y,z) \mathrm dz\,\mathrm dy\,\mathrm dx\\
                                          &= \int\left(\int\left(\int f(x,y,z)\mathrm dz\right) \mathrm dy\right) \mathrm dx
\end{align}</math>

Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> muss man aus der Begrenzung des Volumens <math>V</math> ermitteln. Analog zu den uneigentlichen Integralen im Eindimensionalen (siehe oben) kann man aber auch Integrale über den gesamten, unbeschränkten <math>n</math>-dimensionalen Raum betrachten.

Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im Mehrdimensionalen ist der [[Transformationssatz]]. Sei <math>\Omega\subset\R^d</math> [[Offene Menge|offen]] und <math>\Phi\colon \Omega \to \R^d</math> eine [[Injektivität|injektive]], [[stetig differenzierbar]]e Abbildung, für deren [[Funktionaldeterminante]] <math>\det(D\Phi(x)) \neq 0</math> für alle <math>x \in \Omega</math> gilt. Dann ist

:<math>\int_{\Phi(\Omega)} f(y)\,\mathrm dy = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm dx.</math>

==== Integrale über Mannigfaltigkeiten ====
Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch [[Mannigfaltigkeit]]en beschrieben. Diese werden durch sogenannte Karten beschrieben.

===== Integration über ein Kartengebiet =====
Sei <math>M</math> eine <math>d</math>-dimensionale [[Untermannigfaltigkeit des Rn|Untermannigfaltigkeit des <math>\R^n</math>]] und <math>U</math> ein Kartengebiet in <math>M</math>, also eine offene Teilmenge in <math>M</math>, für die es eine Karte gibt, die sie [[Diffeomorphismus|diffeomorph]] auf eine offene Teilmenge des <math>\R^d</math> abbildet. Ferner sei <math>\gamma\colon\Omega \to U</math> eine Parametrisierung von <math>U</math>, also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die <math>\Omega</math> [[Homöomorphismus|homöomorph]] auf <math>\gamma (\Omega)</math> abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet <math>U</math> folgendermaßen definiert:

:<math>\int_U f\mathrm ds:= \int_\Omega f(\gamma(u)) \sqrt{g^\gamma(u)}\mathrm du,</math>

wobei <math>g^{\gamma}(u) = \det((\gamma'(u))^{\mathsf T}\cdot \gamma'(u))</math> die [[Gramsche Determinante]] ist. Das rechte Integral kann mit den oben beschriebenen Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im Wesentlichen aus dem Transformationssatz.

===== Integration über eine Untermannigfaltigkeit =====
Ist eine [[Zerlegung der Eins|Zerlegung der 1]] gegeben, die mit den Karten der Untermannigfaltigkeit verträglich ist, kann einfach getrennt über die Kartengebiete integriert und aufsummiert werden.

==== Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes ====
Für spezielle Funktionen lassen sich die Integrale über Untermannigfaltigkeiten einfacher ausrechnen. In der Physik besonders wichtig sind hierbei zwei Aussagen:

Zum einen der [[Gaußscher Integralsatz|gaußsche Integralsatz]], nach dem das Volumenintegral über die [[Divergenz eines Vektorfeldes]] gleich dem Oberflächenintegral über das Vektorfeld (dem [[Fluss (Physik)|Fluss]] des Feldes durch die Oberfläche) ist: Sei <math>V \subset \R^n</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] mit abschnittsweise glattem Rand <math>\partial V</math>. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld <math>\vec n</math>. Sei ferner <math>\vec F</math> ein [[stetig differenzierbar]]es Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von <math>V</math>. Dann gilt
:<math>\int_V\operatorname{div}\vec F\,\mathrm d^{(n)}V = \oint_{\partial V}\vec F \cdot \mathrm d^{(n-1)}\vec S</math>
mit der Abkürzung <math>\mathrm d^{(n-1)}\vec S = \vec n\,\mathrm d^{(n-1)}S</math>.

Durch diesen Satz wird die Divergenz als sogenannte ''Quellendichte'' des Vektorfeldes interpretiert. Durch die Indizes <math>(n)</math> bzw. <math>(n-1)</math> am <math>\mathrm d</math>-Operator wird die Dimension der jeweiligen Integrationsmannigfaltigkeit zusätzlich betont.

Bei expliziter Verwendung von Mehrfachintegralen wird (unter Verzicht auf die Indizierung) für <math>n=3</math>:
:<math>\iiint_V\operatorname{div}\,\vec F(\vec x)\,\mathrm dV =\iint_{\partial V} \vec F\cdot\mathrm{d}\vec S</math>

Es folgt: Das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen ist gleich dem Integral des Flusses aus der Oberfläche.

Zum zweiten der [[Satz von Stokes]], der eine Aussage der [[Differentialgeometrie]] ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums direkt mit Mehrfachintegralen schreiben lässt.

Ist <math>M</math> eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] <math>\R^3</math>, so gilt

:<math>\iint_M\operatorname{rot}\vec F \cdot \mathrm d\vec S
= \int_{\partial M}\vec F \cdot \mathrm d\vec r,</math>
wobei <math>\operatorname{rot}\vec F</math> die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] des Vektorfeldes <math>\vec F</math> bezeichnet.

Durch diesen Satz wird die Rotation eines Vektorfeldes als sogenannte ''Wirbeldichte'' des Vektorfeldes interpretiert; dabei ist <math>\mathrm d\vec r</math> der dreikomponentige Vektor <math>(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)</math> und der Rand <math>\partial M</math> von <math>M</math> eine [[Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Kurve]] im <math>\R^3</math>.

=== Integration von vektorwertigen Funktionen ===
Die Integration von Funktionen, die nicht reell- oder komplexwertig sind, sondern Werte in einem allgemeineren Vektorraum annehmen, ist ebenfalls auf verschiedenste Arten möglich.

Die direkte Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf [[Banach-Raum|Banachraum-wertige]] Funktionen ist das [[Bochner-Integral]]. Viele Ergebnisse der eindimensionalen Theorie übertragen sich dabei wortwörtlich auf Banachräume.

Auch die Definition des Riemann-Integrals mittels Riemann’scher Summen auf vektorwertige Funktionen <math>f \colon [a,b]\to V</math> zu übertragen, fällt nicht schwer.
Ein entscheidender Unterschied ist hierbei jedoch, dass dann nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion Bochner-integrierbar ist.

Eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals, die diesen Mangel behebt, ist das [[McShane-Integral]], das sich am einfachsten über verallgemeinerte Riemann’sche Summen definieren lässt.

Auch das [[Birkhoff-Integral]] ist eine gemeinsame Verallgemeinerung des Bochner- und Riemann-Integrals. Im Gegensatz zum McShane-Integral benötigt die Definition des Birkhoff-Integrals jedoch keine topologische Struktur im Definitionsbereich der Funktionen. Sind jedoch die Voraussetzungen für die McShane-Integration erfüllt, so ist jede Birkhoff-integrierbare Funktion auch McShane-integrierbar.<ref>D. Fremlin: {{Webarchiv|url=http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/preprints.htm |wayback=20150428205215 |text=''The McShane and Birkhoff integrals of vector-valued functions.''}}.</ref>

Außerdem ist noch das [[Pettis-Integral]] als nächster Verallgemeinerungsschritt erwähnenswert. Es nutzt eine funktionalanalytische Definition, bei der die Integrierbarkeit auf den eindimensionalen Fall zurückgeführt wird:
Sei dafür <math>(\Omega,\mathcal{A},\mu)</math> ein [[Maßraum]]. Eine Funktion <math>f \colon \Omega\to V</math> heißt dabei Pettis-integrierbar, wenn für jedes stetige Funktional <math>\lambda\in V'</math> die Funktion <math>\lambda\circ f \colon \Omega\to\mathbb{R}</math> Lebesgue-integrierbar ist und für jede messbare Menge <math>A\in\mathcal{A}</math> ein Vektor <math>x_A\in V</math> existiert, sodass
:<math>\forall\lambda\in V'\colon\ \lambda(x_A)=\int_{A}{\lambda\circ f}\, \mathrm d\mu</math>
gilt. Der Vektor <math>x_A</math> wird dann passenderweise mit <math>\textstyle \int_{A} f\, \mathrm d\mu</math> bezeichnet.

Für Funktionen <math>f \colon [a,b]\to V</math>, die Werte in einem separablen Banachraum <math>V</math> annehmen, stimmt das Pettis-Integral mit dem McShane- und dem Bochner-Integral überein.
Wichtigster Spezialfall all dieser Definitionen ist der Fall von Funktionen in den <math>\mathbb{R}^n</math>, die bei allen diesen Definitionen einfach komponentenweise integriert werden.

== Verallgemeinerungen ==
Der Integralbegriff wurde vielfältig ausgeweitet, einige Varianten sind:
* [[Riemannsches Integral|Riemann-Integral]]
* [[Daniell integral|Daniell-Integral]]
* [[Stieltjes-Integral]]
* [[Stochastische Integration#Integralbegriffe nach Itō und Stratonowitsch|Itō-Integral und Stratonowitsch-Integral]], siehe auch [[Diskretes stochastisches Integral]]
* [[Gauge-Integral|Gauge-Integral bzw. Henstock-Kurzweil-Integral]], speziell:
** [[McShane-Integral]]
** [[Pfeffer-Integral]]
* [[Maß (Mathematik)#Integration|Maß-Integral]]
** [[Lebesgue-Integral]]
** [[Bochner-Integral]]
** [[Birkhoff-Integral]]
** [[Pettis-Integral]]
** [[Haar-Integral]]
* [[Volkenborn-Integral]]

=== Maßtheorie ===
{{Hauptartikel|Maßtheorie}}

=== Haarsches Maß ===
{{Hauptartikel|Haarsches Maß}}
Das Haarsche Maß, nach [[Alfréd Haar]], stellt eine Verallgemeinerung des [[Lebesgue-Maß]]es für [[lokalkompakt]]e [[topologische Gruppe]]n dar und induziert damit auch ein Integral als Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals.

=== Integration auf Mannigfaltigkeiten ===
''Siehe:'' [[Differentialform#Integration von Differentialformen|Integration von Differentialformen]]

Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der [[Differentialgeometrie]].

== Siehe auch ==
* [[Algebraische Integration]]
* [[Stochastische Integration]]
* [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen]]
* [[Volkenborn-Integral]]
* [[Formelsammlung Analysis]]

== Literatur ==
* Schulbücher:
** Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der [[Sekundarstufe II]] und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
* Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
** Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis I, II, III.'' Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, ISBN 3-7643-7755-0, ISBN 3-7643-7105-6, ISBN 3-7643-6613-3.
** [[Richard Courant]]: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2.'' Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971.
** [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz]]: ''Differential- und Integralrechnung I–III.'' Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1990–2004. ISBN 978-3-8171-1418-4 (kompletter Satz).
** [[Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 7. Aufl. Vieweg-Verlag, 2004. ISBN 3-528-67224-2.
** Otto Forster: ''Analysis.'' Band 3: ''Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im'' '''R'''<sup>n</sup> ''und Anwendungen'', 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
** [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis.'' 2 Bände, Springer, Berlin 2004.
** [[Wladimir Iwanowitsch Smirnow]]: ''Lehrgang der höheren Mathematik (Teil 1–5).'' Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1995–2004. ISBN 978-3-8171-1419-1 (kompletter Satz).
** Steffen Timmann: ''Repetitorium der Analysis 1, 2.'' 1. Auflage. Binomi Verlag, 1993.
* Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (zum Beispiel Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
** Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: ''Mathematik für Ingenieure.'' Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000.
** [[Lothar Papula]]: ''Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure.'' Band 1. 13. Auflage. Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 978-3-8348-1749-5.
* Historisches:
** Adolph Mayer: ''Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale.'' Teubner, Leipzig 1866 ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN508796741 Digitalisat]).
** Bernhard Riemann: ''Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe.'' Göttingen 1867 ([http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Trig/ Volltext]), mit der Erstdefinition des Riemann-Integrals (Seite 12 ff.).

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Analysis: Einführung in die Integralrechnung|Einführung in die Integralrechnung}}
{{Wiktionary}}
* [http://matheguru.com/rechner/integrieren/ Online-Rechner zur Berechnung von Integralen (Stammfunktionen) mit Rechenweg und Erklärungen (deutsch)]
* [http://www.mathe-online.at/ressourcen/?s=int mathe-online.at – Ressourcen zum Thema Integrieren (Sekundarstufe 2/FHS/Uni)]
* [http://www.mathematik.net/Integ-1/ia-001.htm Anschauliche Erklärungen]
* [http://integrals.wolfram.com/ The Integrator – Englische Seite zur Berechnung von Integralen]
* [http://www.integralrechner.de/ Integralrechner – Deutsche Seite zur Berechnung von bestimmten sowie unbestimmten Integralen (Stammfunktionen)]
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=844 Teil 1 einer dreiteiligen Serie über Mehrfachintegrale (detailliert+umfangreich)]
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1105 50 Stammfunktionsbeispiele von Funktionen]
* {{TIBAV |9752 |Linktext=Integral, Stammfunktion |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9752}}
* {{TIBAV |9736 |Linktext=Ableitung, Integral, Zufall |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9736}}
* {{TIBAV |9755 |Linktext=bestimmtes Integral 1 |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9755}}
* {{TIBAV |9756 |Linktext=bestimmtes Integral 2 |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9756}}
* Mehrfachintegrale kann [[Wolfram Alpha|WolframAlpha.com]] berechnen.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=f5f3cbf14f4f5d6d2085bf2d0fb76e8a |titel=Wolfram{{!}}Alpha Widgets: "Double Integral Calculator" - Free Mathematics Widget |abruf=2023-05-05}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=a83fc1af67a3fdc3cf56863e7f1b5dda |titel=Wolfram{{!}}Alpha Widgets: "Triple Integral Calculator" - Free Mathematics Widget |abruf=2023-05-05}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4027232-1}}

[[Kategorie:Integralrechnung| ]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]