Quelltext der Seite Hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument

Die '''hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument''' ist eine Verallgemeinerung der [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion]] auf ein [[Matrix (Mathematik)|Matrix-Argument]]. Sie taucht häufig in der [[Multivariate Statistik|multivariaten Statistik]] und in der Theorie der [[Zufallsmatrix|Zufallsmatrizen]] bei der Berechnung multivariater [[Integral]]e auf.

Eine Schwierigkeit beim Berechnen der Funktion besteht darin, dass man [[Jack-Polynome]] mit Parameter <math>\alpha</math> berechnen muss. Häufig interessiert man sich für den Fall <math>\alpha=2</math>, welches die [[Zonales Polynom|zonalen Polynome]] sind. Dies sind [[orthogonale Polynome]] und multivariate Verallgemeinerungen der [[Monom]]e. Außerdem sind sie Eigenfunktionen eines [[Differentialoperator]]s und Jack-Polynome mit einer ''C-Normalisierung''. Es gibt unterschiedliche Definitionen und Berechnungsmöglichkeiten.

Auch wenn es sich bei der ''hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument'' eigentlich um eine ''verallgemeinerte hypergeometrische Funktion'' handelt, so verzichtet man in der Literatur in der Regel auf den Zusatz ''verallgemeinert''.

== Definition ==
Sei
* <math>\kappa=(k_1,\dots,k_p)</math> eine [[Partitionsfunktion#Partition|Partition]] einer Zahl <math>k\in\mathbb{N}_0</math>, das heißt, es gilt <math>k=k_1+\dots+k_p</math> und <math>k_1\geq \cdots \geq k_p\geq 0</math> wobei <math>k_1,\dots,k_p\in \mathbb{N}_0</math> .
* <math>l(\kappa)</math> die Länge der Partition <math>\kappa</math>, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet <math>l((2,1,0,0))=2</math>),
* <math>(a)_{\kappa}^{\alpha}</math> das [[verallgemeinertes Pochhammer-Symbol]].
* <math>m,n\geq 0</math> nicht-negative [[ganze Zahl]]en.

Seien <math>a_1,\dots,a_m</math> und <math>b_1,\dots,b_n</math> komplexe Zahlen und <math>S</math> eine [[Komplexe Zahlen|komplexe]] [[symmetrische Matrix]] mit Dimension <math>r\times r</math>. Die '''hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument''' ist definiert als
:<math>
{}_mF^{(\alpha)}_n(a_1,\ldots,a_m;
b_1,\ldots,b_n;S) =
\sum_{k=0}^\infty\sum_{\kappa\vdash k}
\frac{(a_1)_{\kappa}^{\alpha}\cdots(a_m)_{\kappa}^{\alpha}}
{(b_1)_{\kappa}^{\alpha} \cdots (b_n)_{\kappa}^{\alpha}}\frac{C^{(\alpha)}_\kappa(S)}{k!},
</math>
wobei <math>\kappa\vdash k</math> die Summation über alle Partitionen von <math>k</math> ist und <math>C^{(\alpha)}_{\kappa}(S)</math> das [[Jack-Polynom]] zum Parameter <math>\alpha</math> von <math>S</math> für <math>\kappa</math> ist.<ref>{{Literatur |Autor=Robb J. Muirhead |Hrsg=Wiley, Deutschland |Titel=Aspects of Multivariate Statistical Theory |Datum=2009 |Seiten=258}}</ref><ref name="DES">{{Literatur |Autor=[[Ioana Dumitriu]], [[Alan Edelman]] und Gene Shuman |Titel=MOPS: Multivariate orthogonal polynomials (symbolically) |Sammelwerk=Journal of Symbolic Computation |Band=42 |Nummer=6 |Datum=2007 |Seiten=603 |DOI=10.1016/j.jsc.2007.01.005}}</ref>

=== Erläuterungen ===
* <math>{}_mF^{(\alpha)}_n(a_1,\ldots,a_m;b_1,\ldots,b_n;S)</math> ist Skalar-wertig.
* In der Statistik und in der Stochastik interessiert man sich vor allem für den Fall <math>\alpha=2</math>, dann sind <math>C^{(2)}_{\kappa}(S)</math> zonale Polynome respektive ''C-normalisierte Jack-Polynome''.

== Zweifaches Matrix-Argument ==
Analog definiert man die ''hypergeometrische Funktion für zwei symmetrische Matrizen'' <math>S</math> und <math>T</math> mit Dimension <math>r\times r</math>
:<math>
{}_mF^{(\alpha)}_n(a_1,\ldots,a_m;
b_1,\ldots,b_n;S,T) =
\sum_{k=0}^\infty\sum_{\kappa\vdash k}
\frac{(a_1)_{\kappa}^{\alpha}\cdots(a_m)_{\kappa}^{\alpha}}
{(b_1)_{\kappa}^{\alpha} \cdots (b_n)_{\kappa}^{\alpha}}\frac{1}{k!}\frac{C^{(\alpha)}_\kappa(S)C^{(\alpha)}_\kappa(T)}{C^{(\alpha)}_\kappa(I)},
</math>
wobei <math>I</math> die Identitätsmatrix der Dimension <math>r\times r</math> ist.

== Zonale Polynome ==
Sei <math>X</math> eine <math>r\times r</math> symmetrische Matrix mit Eigenwerten <math>y_1,\dots,y_r</math> und <math>\kappa=(k_1,\dots,k_r)</math> eine Partition von <math>k</math>, welche nicht aus mehr als <math>r</math> Teilen besteht. Die ''zonalen Polynome'' <math>C^{(2)}_{\kappa}(X)</math> sind die [[Eigenfunktion]]en des [[Differentialoperator]]s
:<math>\Delta_X=\sum\limits_{i=1}^r y_i^2\frac{\partial^2}{\partial y_i^2}+\sum\limits_{i=1}^r \sum\limits_{\begin{array}{c} j=1 \\ i \neq j \end{array}}^r \frac{y_i^2}{y_i-y_j}\frac{\partial }{\partial y_i},</math>
das heißt sie erfüllen die [[partielle Differentialgleichung]]
:<math>\Delta_X C^{(2)}_{\kappa}(X)=\alpha C^{(2)}_{\kappa}(X)</math>
mit
:<math>\alpha=\sum\limits_{i=1}^r k_i(k_i-i)+ k(r-1).</math><ref>{{Literatur |Autor=Robb J. Muirhead |Hrsg=Wiley, Deutschland |Titel=Aspects of Multivariate Statistical Theory |Datum=2009 |Seiten=228}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Arjun K. Gupta, D. K. Nagar
   |Titel=Matrix variate distributions
   |Verlag=Chapman & Hall/CRC
   |Datum=2000
   |ISBN=1-58488-046-5
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=Robb J. Muirhead
   |Hrsg=Wiley, Deutschland
   |Titel=Aspects of Multivariate Statistical Theory
   |Datum=2009
   |Seiten=258}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]