Quelltext der Seite Hamel-Oseenscher-Wirbel

Der '''Hamel-Oseen’sche''' oder '''Lamb-Oseen’sche Wirbel''' (von [[Carl Wilhelm Oseen]], [[Georg Hamel]], [[Horace Lamb]], im Folgenden einfach '''Oseen’scher Wirbel''') ist ein mathematisches Modell einer Wirbelströmung eines linear [[Viskosität|viskosen]], [[Inkompressibilität|inkompressiblen]] [[Fluid]]s. Das Geschwindigkeitsfeld von Strömungen solcher Fluide wird in der [[Strömungsmechanik]] mit den [[Navier-Stokes-Gleichungen]] beschrieben, die vom Oseen’schen Wirbel exakt erfüllt werden. Das Fluid strömt rein kreisförmig jedoch zeitabhängig, instationär um das Wirbelzentrum. Die Viskosität zehrt die kinetische Energie des Wirbels vor allem in der sich ausbreitenden Zentralregion des Wirbels mit der Zeit auf und die Strömungsgeschwindigkeit nimmt monoton mit der Zeit ab.

Zu Beginn der Bewegung oder im Grenzfall verschwindender Viskosität ist der Wirbel ein [[Potentialströmung#Potentialwirbel|Potentialwirbel]]. Ansonsten ist das Geschwindigkeitsprofil des Oseen’schen Wirbels beschränkt und entspricht im Wirbelzentrum sowie im Außenbereich einem [[Rankine-Wirbel]].

== Umfangsgeschwindigkeit ==
[[Datei: oseengeschw.png| mini| Umfangsgeschwindigkeiten beim Oseen’schen Wirbel zu verschiedenen Zeiten]]
[[Datei: oseenrad.png| mini| Umfangsgeschwindigkeit beim Oseen’schen Wirbel im Vergleich mit der starren Rotation und dem Potentialwirbel]]
Im Oseen’schen Wirbel bewegen sich die Fluidelemente in der Wirbelebene kreisförmig um das Wirbelzentrum. Die beiden Abbildungen rechts geben einen Eindruck der Geschwindigkeitsverteilung als Funktion des Abstandes vom Zentrum. Das obere Bild zeigt die Geschwindigkeitsverteilung zu verschiedenen Zeiten als Funktion des Radius (<math>\Gamma_0=2\pi\,,\;\nu=1/4\,,</math> s. u.). Die schwarz gepunktete Kurve („vmax“) verbindet die Punkte mit maximaler Umfangsgeschwindigkeit, die den ''Kernradius'' markieren. Die Umfangsgeschwindigkeit nimmt zeitlich besonders innerhalb des doppelten Kernradius ab. Vor allem innerhalb dieser Kernregion, die sich mit der Zeit ausdehnt, wird kinetische Energie [[Dissipation|dissipiert]]. Außerhalb des Kernradius geht der Oseen’sche Wirbel in den stationären Potentialwirbel reibungsfreier Fluide über (schwarze Kurve im Bild), wo keine Dissipation stattfindet. Bei doppeltem Kernradius ist die Geschwindigkeitsabweichung vom Potentialwirbel bereits auf 2 % geschrumpft.

Für die mathematische Beschreibung des Oseen’schen Wirbels wird ein [[Zylinderkoordinaten]]system benutzt. Die Strömung ist dann nur von der radialen Koordinate r und der Zeit t abhängig und besitzt die Umfangsgeschwindigkeit:

:<math>v_\varphi
:=\frac{\Gamma_0}{2\pi r}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
=\frac{\Gamma_0}{4\pi\sqrt{\nu t}}
\frac{1-e^{-q^2}}{q}
\quad\text{mit}\quad
q:=\frac{r}{r_0}
\,,\;
r_0:=2\sqrt{\nu t}
\,.</math>

Der Materialparameter ν ist die [[kinematische Viskosität]] ([[Dimension (Größensystem)|Dimension]] L<sup>2</sup>T<sup>−1</sup>, Luft 14 mm²/s, Wasser 1 mm²/s), <math>\Gamma_0</math> ein mit derselben Dimension versehener Parameter, der die Strömungsgeschwindigkeit kontrolliert, der Nenner <math>r_0</math> ist der Kernradius des [[Rankine-Wirbel]]s, der sich zu einer gegebenen Zeit t an den Oseen’schen Wirbel anschmiegt, und e<sup>x</sup> bezeichnet die [[Exponentialfunktion|e-Funktion]]. Die Geschwindigkeitsverteilungen der starren Rotation, des Potentialwirbels – was beides zusammen den Rankine-Wirbel ergibt – und des Oseen’schen Wirbels sind in der unteren Abbildung rechts für den Fall <math>r_0=\frac{\Gamma_0}{2\pi}=1</math> dargestellt. 

Der Kernradius eines Wirbels ist derjenige Radius, bei dem das Geschwindigkeitsmaximum auftritt. Im Geschwindigkeitsmaximum muss zu einer bestimmten Zeit t die Ableitung

:<math>
\frac{\partial}{\partial q}\frac{1-e^{-q^2}}{q}
=
\frac{
2 q^2 e^{-q^2}
+e^{-q^2}
-1
}{q^2}
</math>

verschwinden, was bei <math>q=1{,}121</math> näherungsweise der Fall ist. Die maximale Geschwindigkeit

:<math>v_{\varphi\max}=0{,}051\frac{\Gamma_0}{\sqrt{\nu t}}
=0{,}102\frac{\Gamma_0}{r_0}</math>

tritt im Radius <math>r_k=1{,}121 r_0=2{,}242\sqrt{\nu t}</math> auf. Dies ist der Kernradius des Oseen’schen Wirbels. Die Grenzwerte

:<math>\lim_{q\to 0}\frac{1-e^{-q^2}}{q}=0
\quad\text{und}\quad
\lim_{q\to 0}\frac{2 q^2 e^{-q^2}+e^{-q^2}-1}{q^2}=1
</math>

existieren und daher nimmt zu einer bestimmten Zeit im Zentrum des Wirbels <math>v_\varphi</math> linear mit dem Radius zu:

:<math>\left.\frac{\partial v_\varphi}{\partial r}\right|_{r=0}
=\left.\frac{\partial v_\varphi}{\partial q}\right|_{q=0}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}r}
=\frac{\Gamma_0}{4\pi\sqrt{\nu t}}\frac{1}{r_0}
=\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}
\quad\Rightarrow\quad
v_{\varphi s}
:=\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}r
=\frac{\Gamma_0}{2\pi r_0^2}r
</math>

Die Geschwindigkeitsverteilung <math>v_{\varphi s}</math> entspricht einer starren Rotation. In einem größeren Abstand vom Zentrum (<math>r\gg r_0</math>) ist die Umfangsgeschwindigkeit etwa die des Potentialwirbels:

:<math>v_{\varphi p}:=\frac{\Gamma_0}{2\pi r}\,.</math>

An der Stelle <math>r=r_0</math> sind die Umfangsgeschwindigkeiten der starren Rotation und des Potentialwirbels gleich und diese Stelle ist – wie oben gesagt – der Kernradius des Rankine-Wirbels. Unter Berücksichtigung der Einheiten ergibt sich bei einem Kernradius <math>r_k=0{,}16\mathrm{m}</math> und einer Zirkulation <math>\Gamma_0=1{,}4\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}</math> eine maximale Umfangsgeschwindigkeit <math>v_{\varphi\max}=1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>, so dass die Fluidelemente das Zentrum einmal pro Sekunde umrunden. Im Abstand von 50 Zentimetern wäre die Umfangsgeschwindigkeit bereits auf <math>v_{\varphi}\approx v_{\varphi p}(0{,}5\mathrm{m})=0{,}46\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math> abgesunken, so dass Fluidelemente in diesem Abstand das Zentrum nur alle sieben Sekunden einmal umrunden.

== Wirbelstärke ==

[[Datei:oseenwist.png| mini| Wirbelstärke über den Radius zu verschiedenen Zeiten; die Wirbelstärke des zur Zeit t = 1 gehörenden [[Rankine-Wirbel]]s ist schwarz gezeichnet.]]
Die [[Wirbelstärke]] in einer ebenen Strömung ist das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst. Bei einer ebenen Strömung hat die Wirbelstärke nur eine Komponente senkrecht zur Ebene und somit kann sie als Skalarfeld behandelt werden. Beim Oseen’schen Wirbel lautet die Wirbelstärke:

:<math>\omega
=\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t} e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
=\frac{\Gamma_0}{\pi r_0^2} e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}
\,.</math>

Dies ergibt sich aus der Geschwindigkeit <math>\vec{v}=v_\varphi\hat{e}_\varphi</math> und deren [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] in Zylinderkoordinaten:

:<math>\begin{align}
\operatorname{rot}(v_\varphi(r,t)\hat{e}_\varphi)
=&
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r\, v_\varphi\right)\hat{e}_z
=
\left(\frac{v_\varphi}{r}+\frac{\partial v_\varphi}{\partial r}\right)\hat{e}_z
=:\omega\hat{e}_z
\\
\rightarrow
\omega
=&
\frac{\Gamma_0}{2\pi r^2}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
-\frac{\Gamma_0}{2\pi r^2}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
+\frac{\Gamma_0}{2\pi r}\frac{2r}{4\nu t}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
=
\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t} e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
\,.\end{align}</math>

Für <math>\nu\,,\;t\rightarrow 0</math> geht die Wirbelstärke in das [[Dirac-Delta#Beispiele für Dirac-Folgen|Dirac-Delta]] über, was zu einem Potentialwirbel passt<ref group="L">Bestehorn, 2006, S. 87 </ref>. Die Ableitung der Wirbelstärke nach dem Radius berechnet sich zu:

:<math>\frac{\partial\omega}{\partial r}
=-\frac{\Gamma_0 r}{8\pi\nu^2 t^2} e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\,.
</math>

Bei <math>r=0</math> verschwindet diese Ableitung und die Wirbelstärke ist gleich der doppelten Drehgeschwindigkeit <math>\partial v_\varphi/\partial r|_{r=0}</math> im Zentrum. Im Zentrum findet also eine starre Rotation statt. Für <math>r\to\infty</math> geht die Wirbelstärke gegen null, weswegen sich auch hier der Potential- und Rankine-Wirbel an den Oseen’schen Wirbel anschmiegen.

== Druck ==
[[Datei:oseendruck.png| mini| Druckverteilung im Oseen’schen Wirbel bei <math>p_\infty=0</math>]]
Der Druckgradient in einem kreisförmig strömenden Wirbel gleicht gerade die Zentrifugalkraft aus, so dass die Fluidelemente im Kreis strömen, was sich in Zylinderkoordinaten aus den Navier-Stokes-Gleichungen ergibt (siehe unten) und im Oseen’schen Wirbel auf die Bedingung

:<math>\frac{\partial p}{\partial r}
=\rho\frac{v_\varphi^2}{r}
=\frac{\rho\Gamma_0^2}{4\pi^2}\frac{1}{r^3}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)^2
</math>

hinaus läuft. Unter Verwendung der [[Integralexponentialfunktion]] Ei mit den Eigenschaften

:<math>\mathrm{Ei}(x):=\int_{-\infty}^x\frac{e^s}{s}\,\mathrm{d}s
\quad\Rightarrow\quad
\mathrm{d}\mathrm{Ei}(x) =\frac{e^x}{x}\,\mathrm{d}x
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\mathrm{d}\mathrm{Ei}(x)}{\mathrm{d}x} =\frac{e^x}{x}
</math>

kann die obige Ableitung geschlossen integriert werden mit dem Ergebnis:

:<math>p
=
p_z\left[
-\frac{4\nu t}{r^2}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)^2
+2\mathrm{Ei}\left(-\frac{r^2}{4\nu t}\right)
-2\mathrm{Ei}\left(-2\frac{r^2}{4\nu t}\right)
\right]
+ p_\infty
\quad\text{mit}\quad
p_z :=\frac{\rho\Gamma_0^2}{32\pi^2\nu t}
</math>

Die Integrationskonstante <math>p_\infty</math> ist der Druck im (unendlich) fernen Außenbereich. Im Zentrum herrscht der Druck

:<math>p(r=0)=p_\infty-2\ln(2) p_z\,.</math>

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|-
| Beweis:
|-
| Mit den Abkürzungen <math>r_0^2:=4\nu t</math> und<br />
<math>q :=\frac{r^2}{4\nu t}=\frac{r^2}{r_0^2}\rightarrow q'=\frac{2 r}{r_0^2}
\rightarrow\frac{q'}{2q^2}=\frac{r_0^2}{r^3}
</math><br />
schreibt sich der Druck als<br />
<math>
\frac{p}{2p_z}
=
-\frac{1}{2 q}\left(1-e^{-q}\right)^2
+\mathrm{Ei}\left(-q\right)
-\mathrm{Ei}\left(-2q\right)
+\frac{p_\infty}{2 p_z}
\,.</math><br />
Es berechnet sich<br />
<math>\begin{align}
\\
\frac{1}{2 p_z}\frac{\partial p}{\partial r}
=&
\frac{q'}{2 q^2}\left(1-e^{-q}\right)^2
\underbrace{
-\frac{1}{q}\left(1-e^{-q}\right) q' e^{-q}
+\frac{e^{-q}}{-q}\cdot(-q')
-\frac{e^{-2q}}{-2q}\cdot(-2 q')}_{=0}
=
\frac{r_0^2}{r^3}\left(1-e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}\right)^2
\\
\rightarrow
\frac{\partial p}{\partial r} =&
2 p_z\frac{r_0^2}{r^3}\left(1-e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}\right)^2
=
\frac{\rho\Gamma_0^2}{4\pi^2 r^3}
\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)^2
\,.\end{align}</math><br />
Für kleine Argumente <math>x\ll 1</math> ergibt sich der Wert der Integralexponentialfunktion mit ihrer Reihenentwicklung zu<br />
<math>
\mathrm{Ei}(x)
=\gamma+\ln|x|+\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!\cdot k}
=\gamma+\ln|x|+\mathcal{O}(x)
\,,</math><br />
worin <math>\mathcal{O}(x)</math> das [[Landau-Symbole|Landau Symbol]] für Werte ist, die bei <math>x\ll 1</math> nicht wesentlich schneller als x wachsen und gegenüber einer Konstanten, z.&nbsp;B. der [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma\approx 0{,}5772</math>, vernachlässigt werden können. So berechnet sich:<br />
:<math>\begin{align}
\lim_{q\to 0}[\mathrm{Ei}(-q)-\mathrm{Ei}(-2q)]
=&
\lim_{q\to 0}[\gamma+\ln|q|-\gamma-\ln|2q|+\mathcal{O}(q)]
\\=&
\lim_{q\to 0}[\ln|q|-\ln 2-\ln|q|]=-\ln 2
\,.\end{align}</math><br />
Mit dem Grenzwert <math>\lim_{q\to 0}(1-e^{-q})^2/q=0</math> folgt der Druck<br />
<math>p(r=0)=p_\infty-2\ln(2) p_z\,.</math><br />
im Zentrum.
|}

Das Bild zeigt die Druckverteilung bei einem verschwindenden Außendruck. Der Faktor <math>-\frac{4\nu t}{r^2}p_z</math> ist der Druck im Potentialwirbel, der sich an den Oseen’schen Wirbel anschmiegt (blaue Kurve):

:<math>
v_{\varphi p}=\frac{\Gamma}{2\pi r}
\quad\rightarrow\quad
\frac{\partial p_p}{\partial r}
=\rho\frac{v_{\varphi p}^2}{r}
=\frac{\rho\Gamma^2}{4\pi^2 r^3}
\quad\rightarrow\quad
p_p-p_\infty=-\frac{\rho\Gamma^2}{8\pi^2 r^2}
=-\frac{4\nu t}{r^2}p_z
=-p_z\frac{r_0^2}{r^2}
\,.</math>

Wieder deutet der Druck im Zentrum auf eine starre Rotation hin, denn bei dieser ist die Umfangsgeschwindigkeit <math>v_{\varphi s}</math> proportional zum Radius

:<math>
v_{\varphi s}=\frac{\Gamma_0}{2\pi r_0^2}r
\quad\rightarrow\quad
\frac{\partial p_s}{\partial r}
=\rho\frac{v_{\varphi s}^2}{r}
=\frac{\rho\Gamma_0^2}{4\pi^2 r_0^4}r
\quad\rightarrow\quad
p_s-p_{0}
=\frac{\rho\Gamma_0^2}{8\pi^2 r_0^2}\frac{r^2}{r_0^2}
=p_z\frac{r^2}{r_0^2}
\,,</math>

weswegen der Druckverlauf dann über dem Radius [[Parabel (Mathematik)|parabelförmig]] ist (rote Kurve im Bild).

== Kinetische Energie ==
[[Datei: oseendiss.png| mini| Kinetische Energie des Fluids als Funktion der Vielfachheit des Kernradius]]
Die kinetische Energie des Fluids innerhalb eines vielfachen des Kernradius des [[Rankine-Wirbel]]s ist weder vom Kernradius noch von der Zeit abhängig solange die Vielfachheit beibehalten wird:

:<math>
E_\text{k}(n r_0)
:=\int_0^{n r_0}\frac{\rho}{2} v_\varphi^2\,2\pi r\mathrm{d}r
=\frac{\rho\Gamma_0^2}{8\pi}\left[
\ln\left(\frac{n^2}{2}\right)-2\mathrm{Ei}(-n^2)+\mathrm{Ei}(-2n^2)+\gamma
\right]
\,.</math>

Der Wert in den eckigen Klammern ist mit der [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma\approx 0{,}5772</math> nur eine Funktion des Faktors n, siehe die Abbildung rechts. Die kinetische Energie des Fluids innerhalb des sich ausweitenden Radius <math>n r_0=2 n \sqrt{\nu t}</math> ist bei festgehaltenem Verhältnis n mithin über die Zeit konstant. Umgekehrt heißt das: Die kinetische Energie der in einem Zeitintervall von einem Kreis mit n-fachem Kernradius neu eingenommenen Fluidelemente wird in diesem Zeitintervall innerhalb des Kreises dissipiert.

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|-
| Beweis:
|-
| Mit der Umfangsgeschwindigkeit
:<math>v_\varphi=\frac{\Gamma_0}{2\pi r}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)</math>
ergibt sich die kinetische Energie des Fluids innerhalb eines Vielfachen des Rankine-Kernradius zu
<br />
<math>E_\text{k}(n r_0)
=\int_0^{n r_0}\frac{\rho}{2} v_\varphi^2\,2\pi r\mathrm{d}r
=\frac{\rho\Gamma_0^2}{4\pi}\int_0^{n r_0}\frac{1}{r}
\left(1-e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}\right)^2
\,\mathrm{d}r
=\frac{\rho\Gamma_0^2}{4\pi}\left[
\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)
-\mathrm{Ei}\left(-\frac{r^2}{r_0^2}\right)
+\frac{1}{2}\mathrm{Ei}\left(-2\frac{r^2}{r_0^2}\right)
\right]_0^{n r_0}
</math><br />
denn die Funktion<br />
<math>
f(r)
:=
\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)
-\mathrm{Ei}\left(-\frac{r^2}{r_0^2}\right)
+\frac{1}{2}\mathrm{Ei}\left(-2\frac{r^2}{r_0^2}\right)
</math><br />
ist tatsächlich die gesuchte [[Stammfunktion]]:<br />
<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}f(r)
=
\frac{r_0}{r}\frac{1}{r_0}
-\frac{e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}}{-\frac{r^2}{r_0^2}}\cdot\left(-2\frac{r}{r_0^2}\right)
+\frac{1}{2}\frac{e^{-2\frac{r^2}{r_0^2}}}{-2\frac{r^2}{r_0^2}}
\cdot\left(-4\frac{r}{r_0^2}\right)
=
\frac{1}{r}\left(1-e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}\right)^2
\,.</math><br />
An der unteren Grenze ergibt sich für die benötigten, kleinen, quadratischen Argumente der Wert der Integralexponentialfunktion mit ihrer Reihenentwicklung zu<br />
<math>
\mathrm{Ei}(x)
=\gamma+\ln|x|+\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!\cdot k}
=\gamma+\ln|x|+\mathcal{O}(x)
\,,</math><br />
worin <math>\mathcal{O}(x)</math> das [[Landau-Symbole|Landau Symbol]] für Werte ist, die bei <math>x\ll 1</math> nicht wesentlich schneller als x wachsen und gegenüber einer Konstanten, z.&nbsp;B. der [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma\approx 0{,}5772</math>, vernachlässigt werden können. Somit ergibt sich:<br />
<math>\begin{align}
\lim_{r\to 0}f(r)
=&
\lim_{r\to 0}\left[
\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)
-\mathrm{Ei}\left(-\frac{r^2}{r_0^2}\right)
+\frac{1}{2}\mathrm{Ei}\left(-2\frac{r^2}{r_0^2}\right)
\right]
\\=&
\lim_{r\to 0}\left[\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)
-\gamma
-\ln\left|\frac{r^2}{r_0^2}\right|
+\frac{1}{2}\gamma
+\frac{1}{2}\ln\left|2\frac{r^2}{r_0^2}\right|
+\mathcal{O}(r^2)
\right]
\\=&
\frac{1}{2}(\ln 2-\gamma)
+\lim_{r\to 0}\bigg[\underbrace{
\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)
-2\ln\left|\frac{r}{r_0}\right|
+\ln\left|\frac{r}{r_0}\right|
}_{=0}
\bigg]
\\
\Rightarrow f(0)=&\frac{1}{2}(\ln 2-\gamma)
\,.\end{align}</math><br />
Der Wert der Stammfunktion bei <math>r=n r_0</math> ist wegen
:<math>f(n r_0)=\ln(n)-\mathrm{Ei}(-n^2)+\frac{1}{2}\mathrm{Ei}(-2n^2)</math>
nur eine Funktion des Faktors n. Mit diesen Ergebnissen berechnet sich die kinetische Energie – wie angekündigt – zu<br />
<math>
E_\text{k}
=\frac{\rho\Gamma_0^2}{4\pi}[f(r)]_0^{n r_0}
=
\frac{\rho\Gamma_0^2}{4\pi}[f(n r_0)-f(0)]
=
\frac{\rho\Gamma_0^2}{8\pi}\left[
\ln\left(\frac{n^2}{2}\right)-2\mathrm{Ei}(-n^2)+\mathrm{Ei}(-2n^2)+\gamma
\right]
\,.</math>
|}

== Zirkulation ==

[[Datei:oseenzirk.png| mini| Zirkulation im Oseen’schen Wirbel]]
Ein Maß für die Drehgeschwindigkeit in einem Fluid ist die [[Zirkulation (Feldtheorie)|Zirkulation]], die das [[Kurvenintegral]] der Geschwindigkeit entlang eines geschlossenen Weges ist. Entlang eines Kreises K mit Radius r berechnet sich:

:<math>\Gamma
:=\oint_K\vec v\cdot\mathrm{d}\vec r
=\int_0^{2\pi} v_\varphi\,r\mathrm{d}\varphi
=2\pi r v_\varphi
=\Gamma_0\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
\,.</math>

Der Funktionsverlauf ist im Bild rechts dargestellt (<math>r_0=2\sqrt{\nu t}\,.</math>) In weiter Ferne vom Wirbelzentrum (<math>r/r_0\to\infty</math>) nähert sich die Zirkulation dem Parameter Γ<sub>0</sub> an, der die über den Radius konstante Zirkulation des Potentialwirbels ist (blaue Linie), der sich an den Oseen’schen Wirbel außen anschmiegt. Im Abstand des doppelten Kernradius weicht die Zirkulation nur noch um 2 % vom Parameter <math>\Gamma_0</math> ab. Die Zeitabhängigkeit der Zirkulation widerspricht dem [[Kelvinscher Wirbelsatz|Kelvin’schen Wirbelsatz]] für reibungsfreie Fluide und dieser Widerspruch löst sich mit <math>\nu\to 0</math> auf.

Im Zentrum ist die Geschwindigkeit proportional zum Radius und dann lautet die Zirkulation:

:<math>
v_{\varphi s}=\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}r
\quad\rightarrow\quad
\Gamma_s
=\int_0^{2\pi} v_{\varphi s}\,r\mathrm{d}\varphi
=2\pi\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}r^2
=\Gamma_0\frac{r^2}{r_0^2}
\,.</math>

Sie ist im Bild rot gezeichnet. Zur Zeit t=0 startet der Wirbel mit der Zirkulation Γ<sub>0</sub>, die in einem vorgegebenen Abstand mit fortschreitender Zeit gegen null geht, weil die Viskosität – vor allem im Wirbelkern – die kinetische Energie aufzehrt und sich der Kernradius r<sub>0</sub> mit der Zeit ausdehnt. Bei festgehaltenem Verhältnis <math>n:=r/r_0</math> ist die Zirkulation über die Zeit konstant, oder – anders ausgedrückt – weiten sich die Kreise bei festgehaltener Zirkulation wie der Kernradius mit der Zeit aus.

== Schubverzerrungsgeschwindigkeit ==
[[Datei:oseengrad.png|mini|Umfangs- und Verzerrungsgeschwindigkeit im Oseen’schen Wirbel]]
Die [[Schubverzerrung]]sgeschwindigkeit im Fluid ergibt sich gemäß <math>\dot{\gamma}_{r\varphi}
=2 \hat{e}_r\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_\varphi</math> aus dem  Verzerrungsgeschwindigkeitstensor '''d''', der der  [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] Anteil des [[Geschwindigkeitsgradient]]en <math>\operatorname{grad}\vec v</math> ist. In den hier verwendeten Zylinderkoordinaten berechnet sich der Gradient zu:<ref group="F">In Zylinderkoordinaten berechnet sich der Gradient eines Vektorfeldes gemäß<br /><math>\operatorname{grad}(\vec f)
=\hat{e}_r\otimes\operatorname{grad}(f_r)
+\frac{f_r}{r}\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_\varphi
+\hat{e}_\varphi\otimes\operatorname{grad}(f_\varphi)
-\frac{f_\varphi}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\varphi
+\hat{e}_z\otimes\operatorname{grad}(f_z)
</math><br />
und der Gradient eines Skalarfeldes mit<br />
<math>\operatorname{grad}(f)
=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{e}_{r}
+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\varphi}\hat{e}_{\varphi}
+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{e}_{z}</math>
</ref>

:<math>\begin{align}
\operatorname{grad}\vec v
=&
\hat{e}_\varphi\otimes\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial r}\hat{e}_r
-\frac{v_{\varphi}}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\varphi
\\=&
\hat{e}_\varphi\otimes\left[
-\frac{\Gamma_0}{2\pi r^2}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
-\frac{\Gamma_0}{2\pi r}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\cdot\left(-\frac{2r}{4\nu t}\right)
\right]\hat{e}_r
-\frac{\Gamma_0}{2\pi r^2}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\varphi
\\
\rightarrow
\mathbf{d}
:=&
\frac{1}{2}[\operatorname{grad}(\vec v)+\operatorname{grad}(\vec v)^\top]
=
\left[\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}\left(1+\frac{4\nu t}{r^2}\right)e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
-\frac{\Gamma_0}{2\pi r^2}\right]
(\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\varphi+\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_r)
\\
\rightarrow
\dot{\gamma}_{r\varphi}=&2 \hat{e}_r\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_\varphi
=
\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t}\left(1+\frac{4\nu t}{r^2}\right)e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
\underline{-\frac{\Gamma_0}{\pi r^2}}
= \frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t}
\left[\left(1+\frac{r_0^2}{r^2}\right)e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}-\frac{r_0^2}{r^2}\right]
\,.\end{align}</math>

Das Superskript <math>\top</math> kennzeichnet die [[Transponierte Matrix|Transposition]] und das Rechenzeichen „<math>\otimes</math>“ bildet das [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkt]]. Bei der starren Rotation tritt keine Schubverzerrung auf <math>(\dot{\gamma}_{r\varphi s}=0)</math> und der in obiger Formel unterstrichene Term ist die Schubverzerrungsgeschwindigkeit <math>\dot\gamma_{r\varphi p}</math> im Potentialwirbel, siehe Bild.

Die maximale Schubverzerrungsgeschwindigkeit tritt dort auf, wo ihre Steigung null ist:

:<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \dot{\gamma}_{r\varphi}
\stackrel{\displaystyle !}{=}0
\quad\rightarrow\quad
q(q + 1)e^{-q}+e^{-q}-1 = 0
\quad\text{mit}\quad
q:=\frac{r^2}{r_0^2}
\,.</math>

Das ist bei <math>r_m:=1{,}339\,r_0=2{,}678\sqrt{\nu t}</math> näherungsweise der Fall. Die maximale Schubverzerrungsgeschwindigkeit zeigt sich also beim etwa 1,2-fachen des Kernradius <math>r_k=1{,}121\,r_0\,.</math>

;Bemerkung: Der [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrische]] Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist der Wirbeltensor.

::<math>\mathbf{w}
:=\frac{1}{2}[\operatorname{grad}(\vec v)-\operatorname{grad}(\vec v)^\top]
=-\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
(\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\varphi-\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_r)
\,,</math>

:dessen dualer Vektor <math>\vec\Omega</math> – definiert über <math>\vec\Omega\times\vec{u}=\mathbf{w}\cdot\vec{u}\quad\forall\vec u</math> – die [[Winkelgeschwindigkeit]] oder die halbe Wirbelstärke ist:

::<math>\vec\Omega
=
-\frac{1}{2}\left[
-\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
(\hat{e}_r\times\hat{e}_\varphi-\hat{e}_\varphi\times\hat{e}_r)\right]
=
\frac{\Gamma_0}{8\pi\nu t}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
\hat{e}_z
=
\frac{1}{2}\vec\omega
\,.</math>

== Zeitverläufe ==

[[Datei:oseenzeit.png| mini| Geschwindigkeit, Wirbelstärke, Druck und Schubverzerrungsgeschwindigkeit eines Fluidelements über die Zeit]]
In den vorangegangenen Abschnitten wurden die Verläufe der Größen zu einer bestimmten Zeit als Funktion des Radius beleuchtet. In diesem Abschnitt soll der Zeitverlauf bei einem ''bestimmten Radius'' in den Blick gerückt werden.

Der Kernradius dehnt sich mit der Zeit aus. Sei 

:<math>t_r:=\frac{r^2}{4\nu}</math>

die ''Kernzeit'', die verstreicht, bis der Rankine-Kernradius auf eine vorgegebene Größe r angewachsen ist. Die Kernzeit nimmt mit dem Quadrat des Radius zu.

Die Geschwindigkeit eines Fluidelementes in einem bestimmten Abstand r vom Zentrum ist

:<math>
v_\varphi
=\frac{\Gamma_0}{2\pi r}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
=v_{\varphi p}\left(1-e^{-\frac{t_r}{t}}\right)
\quad\rightarrow\quad
\frac{v_\varphi}{v_{\varphi p}}=1-e^{-\frac{t_r}{t}}
\,.</math>

Bis <math>t=t_r/4</math> weicht die Umfangsgeschwindigkeit um maximal 2 % von der des Potentialwirbels ab. Danach nimmt die Geschwindigkeit rasch ab, siehe die rote Kurve im Bild. Das Verhältnis der Zirkulation zu <math>\Gamma_0</math> hat bei einem gegebenen Radius denselben Zeitverlauf.

Bei einem festen Radius r nimmt die Wirbelstärke zunächst zu und später wieder ab und durchläuft dazwischen ein Maximum. Anfangs ist die Rotation geringer, weil sich das Fluidelement etwa wie im rotationsfreien Potentialwirbel bewegt, dann nimmt sie auf Grund von Reibeffekten zu und später, wenn das Fluidelement innerhalb des Kernradius ist, nimmt die Wirbelstärke wegen der Aufzehrung der kinetischen Energie wieder ab. Im Maximum verschwindet die Zeitableitung <math>\dot\omega</math> der Wirbelstärke:

:<math>\dot\omega
=-\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t^2} e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
+\frac{r^2}{4\nu t^2}\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t} e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
=\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t^2}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\left(\frac{r^2}{4\nu t}-1\right)
=0
\quad\rightarrow\quad
\frac{r^2}{4\nu t}=\frac{t_r}{t}=1
\,.</math>

Die Wirbelstärke kann mit der Kernzeit ausgedrückt werden und so ihr Maximum dargestellt werden:

:<math>\omega
=\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t} e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
=\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t_r}\frac{t_r}{t} e^{-\frac{t_r}{t}}
=\frac{\Gamma_0}{\pi r^2}\frac{t_r}{t} e^{-\frac{t_r}{t}}
\quad\rightarrow\quad
\omega_{\max}=\frac{\Gamma_0}{\pi e r^2}
</math>

Das Verhältnis der Wirbelstärke zu ihrem Maximum bei gegebenem Radius r (grüne Kurve im Bild) ist demnach:

:<math>\frac{\omega}{\omega_{\max}}
=\frac{\Gamma_0}{\pi r^2}\frac{\pi e r^2}{\Gamma_0}\frac{t_r}{t} e^{-\frac{t_r}{t}}
=\frac{t_r}{t} e^{1-\frac{t_r}{t}}
\,.</math>

Bei <math>t=t_r\,,</math> wenn das Fluidelement auf dem Rankine-Kernradius liegt, rotiert es am schnellsten um sich selbst.

Der Druck-Zeit-Verlauf (blaue Kurve im Bild) ergibt sich aus

:<math>\frac{p_\infty-p}{p_r}
=
\left(1-e^{-\frac{t_r}{t}}\right)^2
-2\frac{t_r}{t}\mathrm{Ei}\left(-\frac{t_r}{t}\right)
+2\frac{t_r}{t}\mathrm{Ei}\left(-2\frac{t_r}{t}\right)
\quad\text{mit}\quad
p_r=\frac{\rho\Gamma_0^2}{8\pi^2 r^2}
=\frac{4\nu t}{r^2}p_z
=\frac{t}{t_r} p_z
</math>

Für <math>t\to\infty</math> folgt aus der Reihenentwicklung der Integralexponentialfunktion

:<math>\begin{align}
\mathrm{Ei}(x) =& \gamma + \ln|x| + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!\cdot k}
\\
\Rightarrow \lim_{x\to 0}[\mathrm{Ei}(2x)-\mathrm{Ei}(x)]
=&
\lim_{x\to 0}\left[
\gamma+\ln|2x|+\sum_{k=1}^\infty \frac{(2x)^k}{k!\cdot k}
-\gamma-\ln|x|-\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!\cdot k}\right]
\\=&
\lim_{x\to 0}[\ln 2+\ln|x|-\ln|x|]
=\ln 2
\,.\end{align}</math>

Daher geht die Druckdifferenz <math>p_\infty-p</math> mit der Zeit gegen null.

Die Schubverzerrungsgeschwindigkeit über die Zeit (orange Kurve im Bild) ergibt sich zu:
:<math>
\dot{\gamma}_{r\varphi}
=\frac{\Gamma_0}{\pi r^2}
\left[\frac{t_r}{t}\left(1+\frac{t}{t_r}\right)e^{-\frac{t_r}{t}}-1\right]
\quad\rightarrow\quad
-\frac{\dot{\gamma}_{r\varphi}}{\dot{\gamma}_{r\varphi p}}
=
1-\frac{t_r}{t}\left(1+\frac{t}{t_r}\right)e^{-\frac{t_r}{t}}
\,.</math>

== Navier-Stokes-Gleichungen ==

Dass die Modellgleichungen des Oseen’schen Wirbels die Navier-Stokes-Gleichungen erfüllen, lässt sich an den Gleichungen für ein dichtebeständiges Fluid ohne Schwerefeld in Zylinderkoordinaten nachweisen. Unter diesen Umständen lauten die Navier-Stokes-Gleichungen, wenn alle Variablen nur vom Radius oder der Zeit abhängen und die Bewegung rein kreisend ist (<math>\vec v=v_\varphi(r,t)\hat{e}_\varphi</math>)<ref group="L">{{Literatur| Autor=M. Bestehorn| Titel=Hydrodynamik und Strukturbildung| Verlag=Springer| Jahr=2006| ISBN=978-3-540-33796-6| Seiten=380}}</ref>:

:<math>\begin{align}
-\frac{v_\varphi^2}{r}
=&
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}
\\
\frac{\partial v_\varphi}{\partial t}
=&
\nu\left(\Delta v_\varphi-\frac{v_\varphi}{r^2}\right)
=
\frac{\nu}{r}\,\frac{\partial v_\varphi}{\partial r}+\nu\,\frac{\partial^2 v_\varphi}{\partial r^2}
-\nu\frac{v_\varphi}{r^2}
\end{align}</math>

Aus der ersten Gleichung berechnete sich oben der Druck. Die zweite Gleichung wird mit dem angegebenen Geschwindigkeitsfeld

:<math>v_\varphi=\frac{\Gamma_0}{2\pi r}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)</math>

erfüllt, was mit

:<math>\begin{align}
\frac{\partial v_\varphi}{\partial t}
=&
-\frac{\Gamma_0 r}{8\pi\nu t^2}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
\\
\frac{\partial v_\varphi}{\partial r}
=&
-\frac{\Gamma_0}{2\pi r^2}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
+\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu t}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
\\
\frac{\partial^2 v_\varphi}{\partial r^2}
=&
\frac{\Gamma_0}{\pi r^3}\left(1-e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}\right)
-\frac{\Gamma_0}{4\pi\nu r t}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
-\frac{\Gamma_0 r}{8\pi\nu^2 t^2}e^{-\frac{r^2}{4\nu t}}
\end{align}</math>

nachgewiesen werden kann.

In Zylinderkoordinaten ergibt sich aus

:<math>\operatorname{div}(\vec v)
=\operatorname{div}(v_\varphi\hat{e}_\varphi)
=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r v_r) 
+ \frac 1 r \frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi} 
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
= 0
</math>

die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]<nowiki>freiheit</nowiki> der Wirbelströmung, die über die [[Kontinuumsmechanik#Massenbilanz|Massenbilanz]] <math>\dot\rho+\rho\operatorname{div}\vec v=\dot\rho=0</math> eine zeitlich konstante Dichte bedingt, die wiederum im Einklang mit der Inkompressibilität des Fluids ist.

== Siehe auch ==
* [[Verzerrungstensor]]

== Fußnoten ==
<references group="F" />

== Einzelnachweise ==
<references group="L" />

== Literatur ==
* {{Literatur| Autor=F. Kameier, C. O. Paschereit| Titel=Strömungslehre| ISBN=978-3-110-18972-8| Verlag=Walter de Gruyter| Jahr=2013| Seiten=274ff}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle | autor=Thomas Fischer | url=http://www.ihr.uni-stuttgart.de/fileadmin/user_upload/autoren/mh/structure/nod25.html | titel=Oseenscher Wirbel | hrsg=Universität Stuttgart | zugriff=2015-09-17}}

[[Kategorie:Turbulente Strömung]]
[[Kategorie:Strömungsart]]