Quelltext der Seite Fünfeck

[[Datei:01-Fünfeck simple.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.3|Regelmäßiges Fünfeck]]
Ein '''Fünfeck''', auch '''Pentagon''' (von {{grcS|πεντάγωνος|pentágōnos|de=fünfeckig}}),<ref>{{Literatur |Autor=[[Wilhelm Pape]], Max Sengebusch (Bearb.) |Titel=Handwörterbuch der griechischen Sprache |Auflage=3. Auflage, 6. Abdruck |Verlag=Vieweg & Sohn |Ort=Braunschweig |Datum=1914 |Online=http://www.zeno.org/Pape-1880/A/%CF%80%CE%B5%CE%BD%CF%84%CE%AC-%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%BF%CF%82 |Abruf=2024-07-02 }}</ref> ist eine [[geometrische Figur]]. Es gehört zur Gruppe der Vielecke ([[Polygon]]e) und ist durch fünf [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] definiert. Sind alle fünf Seiten gleich lang, spricht man von einem ''gleichseitigen'' Fünfeck. Sind darüber hinaus alle Winkel an den fünf Ecken gleich groß, dann wird das Fünfeck ''regulär'' oder ''regelmäßig'' genannt.

== Einteilung ==
Fünfecke können, wie alle [[Polygon]]e, welche keine [[Dreieck]]e sind, unterteilt werden in:
* [[Polygon#Weitere Typen|überschlagenes]] Fünfeck: Mindestens zwei Seiten schneiden einander.
* [[Konvexe Menge|konkaves]] Fünfeck: Mindestens ein [[Innenwinkel]] ist größer als 180°. Ein Fünfeck kann maximal zwei derartige [[Winkel]] haben.
* [[Konvexe Menge#Beispiele|konvexes]] Fünfeck: Alle Innenwinkel sind kleiner als 180°.
* [[Sehnenvieleck|Sehnenfünfeck]]: Alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen [[Umkreis]].
* regelmäßiges Fünfeck: Alle Seiten sind gleich lang und alle [[Innenwinkel]] gleich groß. Regelmäßige Fünfecke können konvex oder überschlagen sein.
* regelmäßiges überschlagenes Fünfeck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal einer <math>\left\{5/2\right\}</math> oder zwei <math>\left\{5/3\right\}</math> übersprungen werden und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen [[Stern (Geometrie)|Sterne]] mit [[Schläfli-Symbol]]en <math>\left\{n/k\right\}</math>, wobei <math>n</math> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <math>k</math>-te Punkt verbunden wird.

:Es gibt nur einen regelmäßigen Fünfstrahlstern, das [[Pentagramm]]. Da es mit einem [[Polygonzug (Mathematik)|geschlossenen Polygonzug]] gezeichnet werden kann, ist es auch ein sogenanntes [[Regelmäßiges Polygon#Klassifikation|Sternpolygon]] mit dem Schläfli-Symbol <math>\left\{5/2\right\}, \; \left\{5/3\right\}</math>.
<gallery heights="200" widths="200" perrow="1" caption="Regelmäßiger Fünfstrahlstern Pentagramm">
 01 Pentagramm-1X.svg|Sternpolygon <math>\left\{5/2\right\}, \; \left\{5/3\right\} </math>
</gallery>

== Allgemeines Fünfeck ==
=== Winkel ===
Die [[Winkelsumme|Summe der Innenwinkel]] eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 540°, also 3 mal 180°, und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für [[Polygon]]e, in der für die Variable <math>n</math> die Anzahl der [[Eckpunkt]]e des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall {{nowrap|<math>n = 5</math>):}}
: <math> \sum \alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ</math>

=== Fläche ===
Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren [[Flächeninhalt]], welcher sich stets durch Zerlegen in [[Dreieck]]e berechnen lässt.

== Regelmäßiges Fünfeck ==
=== Formeln ===
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF"| Mathematische Formeln zum regelmäßigen Fünfeck
|-
|'''[[Innenwinkel]]'''
|<math> \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ</math>
<math>\alpha = \arccos\left(\frac{1-\sqrt5}4\right) = 108^\circ</math>
|rowspan="8"| [[Datei:01 Fünfeck-Berechnung-2.svg|300px|rahmenlos]]
|-
|'''[[Kreiswinkel|Zentriwinkel]]'''
|<math> \mu = \frac {360^\circ}{n} = \frac {360^\circ}{5} = 72^\circ </math>
<math>\mu = \arccos\left(\frac{\sqrt5-1}4\right) = 72^\circ</math>
|-
|'''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]]'''
|<math> h = r_u + r_i = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}} \approx 1{,}539 \cdot a</math>
|-
|'''[[Seitenlänge]]'''
|<math>a=2 \cdot r_u \cdot \sin\left(36^\circ\right)</math>
<math>a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt 5}{2}} \approx 1{,}176 \cdot r_u</math>
|-
|'''[[Umkreisradius]]'''
|<math>r_u = \frac{a}{2 \cdot \sin(36^\circ)}</math>
<math> r_u = a\cdot\sqrt{\frac{5 + \sqrt 5}{10}} \approx 0{,}851 \cdot a</math>
|-
|'''[[Inkreis]]radius'''
|<math>r_i = a \cdot \frac{1}{2} \cdot \cot \left(36^\circ\right)</math>
<math>r_i = a\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \approx 0{,}688 \cdot a</math>
|-
|Länge der '''[[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]'''
|<math>d = 2\cdot a\cdot \sin\left(54^\circ\right)</math>
<math>d = a\cdot\frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{5}) \approx 1{,}618 \cdot a</math>
|-
|'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math> A = \frac{a^2}{4} \cdot \sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}} \approx 1{,}720 \cdot a^2</math>
|}

=== Innenwinkel ===
[[Datei:01 Fünfeck-Berechnung-5.svg|mini|hochkant=1.3|Skizze zur Berechnung des<br /> Innenwinkels <math>\alpha</math> und des Zentriwinkels <math>\mu</math>]]

Der [[Winkel]], den zwei benachbarte [[Polygon|Seiten]] im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer [[Regelmäßiges Polygon#Winkel|allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone]]):
: <math> \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ</math>
oder auch
: <math>\alpha = \arccos\left(\frac{1-\sqrt5}4\right) = 108^\circ</math>

=== Zentriwinkel ===
Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel <math>\mu</math> wird von zwei benachbarten Umkreisradien <math>r_u</math> eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable <math>n</math> die Zahl <math>5</math> einzusetzen.
:<math> \mu = \frac {360^\circ}{n} = \frac {360^\circ}{5} = 72^\circ </math>
oder auch
: <math>\mu = \arccos\left(\frac{\sqrt5-1}4\right) = 72^\circ</math>

=== Seitenlänge und Umkreisradius ===
[[Datei:01 Fünfeck-Berechnung-3.svg|mini|hochkant=1.3|Skizze zur Berechnung der Seitenlänge <math>a</math>, des Umkreises <math>r_u</math> sowie des Inkreisradius <math>r_i</math> ]]
Das Fünfeck wird in 5 kongruente Dreiecke zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck <math>AGM</math> mit den Seiten <math>\frac{a}{2}</math>, Umkreisradius <math>r_u</math>, Inkreisradius <math>r_i</math> sowie den halben Zentriwinkel <math>\frac{72^\circ}{2} = 36^\circ</math>, so gilt
: <math>\sin(36^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{r_u} = \frac{a}{2 \cdot r_u}</math>,
daraus folgt
&nbsp;
:<math>a = 2 \cdot r_u \cdot \sin(36^\circ)</math>.
Löst man nach <math>r_u</math> auf, so erhält man
:<math>r_u = \frac{a}{2 \cdot \sin(36^\circ)}</math>. 
Verwendet man für die [[Sinus und Kosinus#Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte|Sinus-Werte deren Quadratwurzeln]], so gilt auch
: <math>a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt 5}{2}} \approx 1{,}176 \cdot r_u</math>.
: <math> r_u = a\cdot\sqrt{\frac{5 + \sqrt 5}{10}} \approx 0{,}851 \cdot a</math>.

=== Inkreisradius ===
Auch der Inkreisradius <math>r_i</math> lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks, sprich mit dem rechtwinkligen Dreieck <math>AGM</math>, ermitteln. Es ergibt sich
: <math>\cot\left(36^\circ\right) = \frac{r_i}{\frac{a}{2}}</math>,
daraus folgt
: <math>r_i = a \cdot \frac{1}{2} \cdot \cot \left(36^\circ\right)</math>.
Wegen
: <math>\cot\left(36^\circ\right)=\frac{\sqrt{1-\sin^2\left(36^\circ\right)}}{\sin\left(36^\circ\right)}</math>
und der Quadratwurzel des Sinuswertes
: <math>\sin\left(36^\circ\right)=\frac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}</math>,
eingesetzt in
: <math>\cot\left(36^\circ\right)=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}\right)^2}}{\left(\frac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}\right)}=\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>,
gilt auch
: <math>r_i = a\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \approx 0{,}688 \cdot a</math>.

=== Länge der Diagonalen ===
[[Datei:01 Fünfeck-Berechnung.svg|mini|hochkant=1.3|Skizze zur Berechnung der Diagonalen <math>d</math> und des Flächeninhalts <math>A</math>]]
Im nebenstehenden Bild ist eine von vier möglichen Diagonalen eingezeichnet. Die Diagonale lässt sich aus dem Hilfsdreieck <math>EFD</math> bestimmen. Es ergibt sich
: <math>\sin\left(54^\circ\right) = \frac{\frac{d}{2}}{a}</math>,
daraus folgt
: <math>d = 2\cdot a\cdot \sin\left(54^\circ\right)</math>.
Verwendet man die Quadratwurzel des Sinus-Wertes
: <math>\sin\left(54^\circ\right) = \frac{1}{4}\cdot(1 + \sqrt{5})</math>
so gilt auch 
: <math>d = 2\cdot a \cdot\frac{1}{4} \cdot (1 + \sqrt{5}) = a\cdot\frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{5}) \approx 1{,}618 \cdot a</math>.

=== Flächeninhalt ===
Der Flächeninhalt A eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge <math>a</math> ist das Fünffache des Flächeninhalts eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks <math>ABM</math>.
: <math>A = 5 \cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot\tan (54^\circ)\cdot\frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan (54^\circ) \approx 1{,}720\cdot a^2</math>

Verwendet man für den Tangens-Wert dessen Quadratwurzel (analog [[Fünfeck#Inkreisradius|Inkreisradius]])
: <math>\cot (36^\circ) = \tan (54^\circ) = \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>,
so gilt auch
: <math>A = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{a^2}{4}\cdot\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\approx 1{,}720 \cdot a^2</math>.

Allgemein mit dem [[Umkreis]]radius ''r<sub>u</sub>''
: <math>A = \frac{5}{8} \cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10 + 2 \cdot \sqrt{5}}</math>
oder auch
: <math>A = \frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ} \approx 2{,}378 \cdot r_u^2 \approx 1{,}720 \cdot a^2</math>

== Der Goldene Schnitt im Fünfeck ==
Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnittes]] wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] zu seinen [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d.&nbsp;h. {{Oberstrich|AD}} verhält sich zu {{Oberstrich|BD}} wie {{Oberstrich|BD}} zu {{Oberstrich|CD}}.<ref>C. Stanley Ogilvy: ''Unterhaltsame Geometrie.'' Kapitel 9: ''Der Goldene Schnitt'' – 9.1 ''Das Pentagramm.'' Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1984, ISBN 3-528-28314-9, S. 76–77, [[doi:10.1007/978-3-663-00104-1_10]].</ref>

Der Beweis nutzt die [[Ähnlichkeit (Geometrie)|Ähnlichkeit]] gewählter [[Dreieck]]e.

<div style="float:left;">[[Datei:Golden ratio - Pentagram.svg|mini|210px|ohne|Grundfigur Fünfeck und Pentagramm mit mehreren Teilungen der Diagonalen im Goldenen Schnitt]]</div><div style="float:left;">[[Datei:Goldener Schnitt Fuenfeck 1.svg|mini|222px|ohne|Jede Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu jeder ihrer beiden benachbarten Diagonalen]]</div><div style="float:left;">[[Datei:Goldener Schnitt Fuenfeck 2.svg |mini|221px|ohne|Die Diagonalen teilen sich untereinander im goldenen Verhältnis<br />&nbsp;&nbsp;]]</div>
{{Absatz}}

=== Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis ===
==== Konstruktion 1 ====
[[Datei:Konstruktion-Fünfeck.svg|mini|hochkant=1.3|[[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion]] eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis]]
Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion]] zur Bestimmung der Seitenlänge (siehe Abbildung).
# Zeichne einen [[Kreis]] (späterer [[Umkreis]], blau) mit [[Radius]] r um den [[Mittelpunkt]] M.
# Zeichne zwei zueinander senkrechte [[Durchmesser]] (rot) ein.
# Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D).
# Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius |{{Oberstrich|DE}}| um Punkt D. Er schneidet die [[Gerade]] AM im Punkt F. Die Strecke {{Oberstrich|EF}} ist die [[Länge (Mathematik)|Länge]] der Seite.
# Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren [[Kreisbogen]] (orange) mit Radius |{{Oberstrich|EF}}| um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Berechnung zur Konstruktion:
: <math>\overline{EM}= r \cdot 1</math>
: <math>\overline{DM}= r \cdot \frac{1}{2}</math>
: <math>\overline{DE}= r \cdot \sqrt{1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2} = r \cdot \frac{ \sqrt{5}}{2} </math>
: <math>\overline{MF}= r \cdot \left( \frac{ \sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right) = r \cdot \frac{ \sqrt{5} - 1}{2}</math>
: <math>\overline{EF}= r \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{ \sqrt{5} - 1}{2} \right) ^2} </math>
: Umformen des Faktors:
: <math>\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \frac{ 5- 2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}} = \sqrt{ \frac{4}{4} + \frac{5-2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}} </math>
: <math>\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{\frac{4+5- 2 \cdot \sqrt{5} +1}{4}} = \sqrt{\frac{10- 2 \cdot \sqrt{5}}{4}}</math>
: <math>\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{ \frac{5 - \sqrt{5}}{2}}</math>

Das entspricht genau dem Faktor in der obigen [[#Seitenlänge und Umkreisradius|Formel für die Seitenlänge]].

Die Seiten des nicht eingezeichneten [[Dreieck]]s MFE entsprechen exakt den Seitenlängen des [[Sechseck|regelmäßigen Sechsecks]] ({{Oberstrich|ME}}), des regelmäßigen Fünfecks ({{Oberstrich|EF}}) und des [[Zehneck|regelmäßigen Zehnecks]] ({{Oberstrich|FM}}) mit dem gegebenen [[Umkreis]]radius r.

==== Konstruktion 2 ====
[[Datei:01 Pentagon-Euklid-1.svg|mini|hochkant=1.3|Regelmäßiges Fünfeck bei vorgegebenem Umkreis, nach Euklid<br />Die Dreiecke FGD und ACD sind Goldene Dreiecke erster Art.]]
Die im Folgenden beschriebene Konstruktion (Bild) vom regelmäßigen Fünfeck stammt von [[Euklid]] (3. Jh. v. Chr.). Sie benötigt vergleichsweise etwas mehr Aufwand, denn Euklids Ansatz dazu war das [[Goldenes Dreieck (Geometrie)|Goldene Dreieck]] erster Art.<ref>{{Literatur |Autor=Euklid, Übersetzer:[[Rudolf Haller]] |Titel=Stoicheia (Euklids Elemente) |TitelErg=IV.11. In einen Kreis ein gleichseitiges und gleichwinkliges Fünfeck einbeschreiben. |Ort=Markgröningen |Datum=2017 |Online=http://opera-platonis.de/euklid/Buch4.pdf#page=8&zoom=auto,-12,789 |Abruf=2024-07-12 }}</ref>
Zur leichteren Nachvollziehbarkeit wurden in der Darstellung die gleichen Bezeichnungen der Punkte, wie die in den Bildern der Stoicheia (Euklids Elemente) verwendet.
# Zeichne einen Kreis (den späteren Umkreis) mit beliebigem Radius um den Mittelpunkt F.
# Trage den Durchmesser |{{Oberstrich|AG}}| ein.
Nun folgt die Konstruktion des Goldenen Dreiecks, platzsparend mit der Methode [[Goldener Schnitt#Innere Teilung|Innere Teilung]] nach [[Heron von Alexandria]].
#<li value="3"> Halbiere den Radius |{{Oberstrich|FG}}| im Punkt I. 
# Errichte eine Senkrechte zum Radius |{{Oberstrich|FG}}| im Punkt G und bestimme darauf den Punkt J mit |{{Oberstrich|GJ}}|&nbsp;=&nbsp;|{{Oberstrich|IG}}|.
# Verbinde den Punkt F mit J.
# Ziehe zuerst den Bogen JGK und anschließend den Bogen FLK, somit teilt L den Radius |{{Oberstrich|FG}}| im Verhältnis des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitts]].
# Bestimme den Punkt D mit |{{Oberstrich|GD}}|&nbsp;=&nbsp;|{{Oberstrich|FL}}|, das Goldene Dreieck FGD ist somit bestimmt.
# Bestimme den Punkt C mit |{{Oberstrich|GC}}|&nbsp;=&nbsp;|{{Oberstrich|GD}}|, dies ergibt die erste Seitenlänge |{{Oberstrich|CD}}|.
# Trage die Seitenlänge |{{Oberstrich|CD}}| einmal ab dem Punkt C und einmal ab dem Punkt D auf den Umkreis ab.
# Verbinde die Punkte D-E-A-B-C, damit ist das regelmäßige Fünfeck fertiggestellt.

=== Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge ===
Mit Anwendung des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitts]], [[Goldener Schnitt#Äußere Teilung|äußere Teilung]]

[[Datei:01-Fünfeck-Seite-vorgegeben-wiki.svg|hochkant=1.3|mini|Fünfeck bei gegebener Seitenlänge]]

# Zeichne eine Strecke {{Oberstrich|AB}}, welche die [[Länge (Mathematik)|Länge]] der vorgegebenen Seite des Fünfecks hat.
# Verlängere die Strecke ab dem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] A um ca. drei Viertel der Strecke {{Oberstrich|AB}}.
# Zeichne einen [[Kreisbogen]] um den Punkt B mit dem Radius |{{Oberstrich|AB}}|.
# Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius |{{Oberstrich|AB}}|, es ergibt sich der [[Schnittpunkt]] F.
# Fälle ein [[Lot (Mathematik)|Lot]] von Punkt F auf die Strecke {{Oberstrich|AB}} mit Fußpunkt G.
# Zeichne eine [[Parallelität (Geometrie)|Parallele]] zur Strecke {{Oberstrich|FG}} ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H.
# Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius |{{Oberstrich|GH}}| bis zur Verlängerung der Strecke {{Oberstrich|AB}}, es ergibt sich der Schnittpunkt J.
# Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius |{{Oberstrich|BJ}}| bis über die Senkrechte, die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A.
# Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius |{{Oberstrich|BA}}|, bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
# Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das regelmäßige Fünfeck.

=== Fazit ===
Wie in der [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion]] bei gegebenem [[Umkreis]], ist auch hier der [[Goldener Schnitt#Definition|Goldene Schnitt]] der maßgebende Baustein.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt: ''u'' für die Konstruktion mit gegebenem Umkreis, ''s'' für die Konstruktion mit gegebener Seitenlänge.

# Seite des Fünfecks:<br /> <math>|\overline{E_uF_u}| \; \widehat{=} \;|\overline{A_sB_s}|</math>
# Radius für den Goldenen Schnitt:<br /> <math> |\overline{D_uE_u}| \; \widehat{=} \;|\overline{G_sH_s}|</math>
# Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:<br /> <math> \Phi = \frac{\overline{A_uF_u}}{\overline{A_uM_u}} = \frac{\overline{A_uM_u}}{\overline{M_uF_u}} \;\;\; = \;\;\; \frac{\overline{B_sJ_s}}{\overline{A_sB_s}} = \frac{\overline{A_sB_s}}{\overline{A_sJ_s}} \;\;\; = \;\;\; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618 </math>

== Papierfaltung ==
Durch Zusammenziehen eines aus einem Papierstreifen geschlungenen [[Überhandknoten]]s nimmt dieser die Form eines regulären Fünfecks an.
[[Datei:Knot.jpg|mini|hochkant=1|Verknoteter Papierstreifen]]
<gallery mode="packed" heights="250">
 01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-3.svg|alt=|Bild 4<br />Falten der ersten Faltlinie <math>\mathrm{F_1}</math>
 01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-4.svg|alt=|Bild 5<br />Falten der zweiten Faltlinie <math>\mathrm{F_2}</math>
 01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-5.svg|alt=|Bild 6<br />Falten der dritten und letzten Faltlinie <math>\mathrm{F_3}</math>, Streifenende <math>\mathrm{E_2}</math> zwischen dem Streifenende <math>\mathrm{E_1}</math> und dem Trapez <math>\mathrm{T_2}</math> durchgezogen
</gallery>

== Polyeder mit regelmäßigen Fünfecken ==
Das [[Dodekaeder]] ist der einzige der [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], der regelmäßige Fünfecke als [[Fläche (Mathematik)|Seitenflächen]] hat. Auch einige [[Archimedischer Körper|archimedische Körper]] enthalten regelmäßige Fünfecke, nämlich das [[Ikosidodekaeder]], der [[Ikosaederstumpf]], das [[Rhombenikosidodekaeder]] und das [[Abgeschrägtes Dodekaeder|abgeschrägte Dodekaeder]].
<gallery heights="150" widths="150" perrow="5">
   Dodecahedron.svg|Dodekaeder
   Icosidodecahedron.jpg|Ikosidodekaeder
   Truncatedicosahedron.jpg|Ikosaederstumpf (Fußballkörper)
   Rhombicosidodecahedron.jpg|Rhombenikosidodekaeder
   Snubdodecahedroncw.jpg|Abgeschrägtes Dodekaeder
</gallery>

== Vorkommen ==
=== Natur ===
Sowohl die [[Okra]] als auch die [[Sternfrucht]] hat im Querschnitt die Form eines Fünfecks. Die Blüten der [[Prunkwinde]] sind ebenfalls fünfeckig ausgebildet. Auch [[Seestern]]e und [[Schlangensterne]] weisen eine fünfstrahlige Symmetrie auf. Näherungsweise trifft dies auch für die Blätter des [[Amerikanischer Amberbaum|Amerikanischen Amberbaums]] zu. Viele [[cyclische Verbindungen]] enthalten eine Fünfringstruktur (etwa [[Cyclopentan]], [[γ-Butyrolacton]], [[Furan]], [[Furanosen]] etc.).
<gallery heights="200" widths="200">
 BhindiCutUp.jpg|Okrafrüchte
 Braarudosphaera bigelowii.jpg|Coccolithophore von ''[[Braarudosphaera bigelowii]]'' bestehen aus 12 [[Coccolithophorida|Kalkschuppen]] mit einer fünfeckigen Grundfläche („Pentalithen“)
 Carambola Starfruit.jpg|Aufgeschnittene Sternfrucht
 Liquidambar styraciflua autumn leaves.jpg|Blattformen des Amerikanischen Amberbaums ([[Herbstfärbung]])
</gallery>
{{Absatz}}

=== Architektur und Festungsbau ===
Der Grundriss einer neuzeitlichen [[bastion]]ierten [[Festung]] hat häufig die Form eines Fünfecks. So sind regelmäßige Fünfecke die vollständig wieder aufgebaute Festung [[Bourtange]] in den Niederlanden sowie [[Nyenschanz]] (heute in [[St. Petersburg]]), die [[Zitadelle von Jaca]], die [[Zitadelle von Pamplona]], die [[Festung Dömitz]], die [[Zitadelle von Turin]], die [[Zitadelle von ’s-Hertogenbosch]], die [[Zitadelle von Straßburg]], die [[Zitadelle von Amiens]], die 1598 abgebrochene Zitadelle von [[Vitry-le-François]] von [[Girolamo Marini (Architekt)|Girolamo Marini]], die verschwundene [[Zitadelle von Antwerpen]], die [[Zitadelle von Doullens]] (Picardie, nur in Teilen auf regelmäßigem Grundriss), die [[Zitadelle von Lille]], das [[Harburger Schloss]], die [[Zitadelle Vechta]], die [[Zitadelle von Münster]], das [[Nieuw-Amsterdam (Suriname)|Fort Nieuw-Amsterdam]], das [[Kastell von Kopenhagen]], [[Tilbury Fort]] in [[Essex]] östlich von [[London]], die Festung auf der Insel [[Poel]] in Mecklenburg, die Höhenfestung [[Wülzburg]] bei [[Weißenburg in Bayern]] und die Festung [[Goryōkaku]] in Japan. Die Stadt [[Satu Mare|Sathmar]] im heutigen Rumänien besaß eine fünfeckige Festung.

Den Typ des befestigten Palasts ''([[Palazzo in fortezza]])'' auf regelmäßig fünfeckigem Grundriss verkörpern die [[Villa Farnese]] in [[Caprarola]] ([[Provinz Viterbo]], Italien), die Schlösser [[Krzyżtopór]] und [[Nowy Wiśnicz]] sowie die Befestigungen von [[Schloss Łańcut]] in Polen.

Der Hauptsitz des [[Verteidigungsministerium der Vereinigten Staaten|Verteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten]] in [[Washington, D.C.]] wird wegen seines Grundrisses in Form des regelmäßigen Fünfecks ''[[Pentagon]]'' genannt.

Jeweils ein Fünfeck liegt Kirchengebäuden wie der [[Corvinuskirche (Hannover)|Corvinuskirche]] in Hannover, der [[Dietrich-Bonhoeffer-Kirche (Köln-Lindenthal)]], der Kirche [[St. Michael (Detmold-Hiddesen)|St. Michael]] in Detmold (Westfalen), der Kirche [[St. Markus (Recklinghausen)|St. Markus]] in Recklinghausen, der Kirche [[Mariä Himmelfahrt (Irlbach)]] oder der [[Wallfahrtskirche Zelená Hora]] in der Tschechischen Republik zugrunde.

Auf fünfeckigem Querschnitt erheben sich Turmbauten wie der stählerne [[Verkehrsturm am Potsdamer Platz]], der ehemalige [[Marinesignalturm Kiel]], der aus Holz gefertigte [[Aussichtsturm Hohenmirsberger Platte|Aussichtsturm]] auf der [[Hohenmirsberg]]er Platte oder das [[Siegesdenkmal (Bangkok)|Siegesdenkmal]] in Bangkok.

Der [[Fünfeckiger Stein|Fünfeckige Stein]] ist ein Grenzstein in Niederösterreich.

<gallery heights="200" widths="200" perrow="6" style="text-align:center">
   Grondplan citadel Lille.JPG|[[Zitadelle von Lille]]
   Farnese Vignola.jpg|Grundriss des [[Palazzo Farnese (Caprarola)|Palazzo Farnese in Caprarola]]
   Dahlbergh Krzyztopor.jpg|[[Krzyżtopór|Schloss Krzyżtopór]]
   Festung Poel Schlie.jpg|Festung auf der Insel Poel
   Pentagon satellite image.jpg|Satellitenaufnahme des [[Pentagon]]s
   Hakodate Goryokaku Panorama 1.JPG|[[Goryōkaku]]
</gallery>

=== Kunst ===
<div style="float:right;">[[Datei:01 Fünfeck umschließt Dreieck.svg|mini|300px|Bild 2<br />Fünfeck umschließt gegebenes Dreieck nach Jacques Ozanam]]</div><div style="float:right;">[[Datei:01 Fünfeck umschließt Dreieck-Skizze-6°.svg|mini|300px|Bild 1<br />Fünfeck umschließt gegebenes Dreieck, Konstruktion des Winkels 18°]]</div>
[[Datei:Fotothek df tg 0003413 Geometrie ^ Konstruktion ^ Dreieck ^ Vieleck.jpg|mini|rechts|220px|Kupferstich von Jacques Ozanam, 1699]]
[[Jacques Ozanam]] fertigte im Jahr 1699 einen [[Kupferstich]] an, in dem er u.&nbsp;a. die Konstruktion eines Fünfeck zeigt, das ein gegebenes [[gleichseitiges Dreieck]] umschließt.

'''Ozanams Ansatz zur Konstruktion des Fünfecks'''

Der halbe [[Innenwinkel]] eines regelmäßigen Fünfecks beträgt <math>54^\circ</math>. Subtrahiert man von diesem den halben Innenwinkel <math>30^\circ</math> des gleichseitigen Dreiecks (Bild 2), ergibt sich der Winkel <math>{OAE} = 24^\circ</math> zwischen dem Schenkel des Dreiecks und der Seite des Fünfecks.

Die Winkel <math>54^\circ</math>, <math>30^\circ</math> und <math>24^\circ</math> haben den gemeinsamen Teiler <math>6</math>. Dies bedeutet, der halbe Innenwinkel <math>54^\circ</math> des Fünfecks setzt sich aus <math>9</math> gleichen Teilen zu je <math> 6^\circ</math> zusammen. Daraus folgt: Auf den halben Innenwinkel <math>30^\circ</math> des Dreiecks entfallen <math>5</math> bzw. auf den Winkel <math>24^\circ</math> zwischen dem Schenkel des Dreiecks und der Seite des Fünfecks entfallen <math>4</math> solcher Teile.

'''Vorgehensweise'''

Ausgehend vom gleichseitigen Dreieck <math>ABC</math> (Bild 2), zeichnet man zuerst dessen Höhe <math>\overline{AD}</math> ein und schlägt anschließend einen Kreisbogen um den Punkt <math>A</math> mit einem Radius etwas kleiner, als die halbe Höhe <math>\overline{AD}</math>; die Schnittpunkte sind <math>O</math>, <math>D'</math> (Teilungspunkt <math>5</math>) und <math>O'</math>.

Es folgt (Bild 1) die – von Jacques Ozanam nicht dargestellte – Konstruktion des Teilungspunktes <math>2</math> für den Winkel <math>D'A\;2 = 18^\circ</math>. Nach dem Verlängern der Strecke <math>\overline{AD}</math> über <math>A</math> hinaus, dem Ziehen einer Geraden durch <math>A</math>, parallel zu <math>\overline{BC}</math>, wird der Kreisbogen <math>AO'O</math> zu einem Kreis um <math>A</math> ergänzt; Schnittpunkte sind <math>S</math> und <math>D''</math>. Anschließend halbiert man den Radius <math>|\overline{AD''}|</math> in <math>R</math> und zieht einen Kreis um <math>R</math> mit Radius <math>|\overline{RS}|</math>; Schnittpunkt ist <math>T</math>. Der Kreis um <math>S</math> mit Radius<math>|\overline{ST}|</math> liefert den Teilungspunkt <math>2</math> sowie den gesuchten Winkel <math>D'A\;2 = 18^\circ</math> mithilfe des [[Kreiswinkel|Zentriwinkels]] <math>2AS = 72^\circ</math> bzw. der Seitenlänge <math>|\overline{2S}|</math> eines regelmäßigen Fünfecks. Die Teilungspunkte <math>1</math> (mittels der Winkelhalbierenden <math>wh</math>) und <math>3</math> sind für die Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.

Es geht weiter (Bild 2) mit dem Eintragen des Teilungspunktes <math>4=N</math> mithilfe eines (nicht eingezeichneten) Kreisbogens um Punkt <math>2</math> mit Radius <math>|\overline{O2}|</math> und dem Ziehen des Kreisbogens um <math>O</math> mit Radius <math>|\overline{ON}|</math>, bis er den Kreisbogen um <math>A</math> in <math>E</math> schneidet; dabei ergibt sich der Winkel <math>NAE = 48^\circ </math>. Der Punkt <math>H</math> wird mithilfe der Sehne <math>\overline{OE}</math> ab <math>O'</math> markiert. Mit dem nächsten Kreisbogen um <math>C</math> mit Radius <math>|\overline{AD'}|</math> wird der Schnittpunkt <math>M</math> bestimmt. Das Übertragen des Winkels <math>NAE = 48^\circ</math> mithilfe der Sehne <math>|EN|</math> auf den Kreisbogen um <math>C</math> ab <math>M</math> schließt sich an; Schnittpunkt ist <math>K</math>. Eine [[Strahl (Geometrie)|Halbgerade]] ab <math>A</math> durch <math>E</math> und eine zweite ab <math>C</math> durch <math>K</math> schneiden sich im Eckpunkt <math>F</math> des entstehenden Fünfecks. Auf die gleiche Art und Weise – spiegelbildlich zur Höhe <math>\overline{AD}</math> – ergibt sich der Eckpunkt <math>I</math>. Mithilfe der [[Mittelsenkrechte]]n der Strecke <math>\overline{AF}</math> erhält man den Mittelpunkt des Umkreises für das Fünfeck. Nach dem Ziehen des Umkreises werden die Strecken <math>\overline{FC}</math> und <math>\overline{IB}</math> bis zum Umkreis verlängert; dabei werden die beiden letzten Eckpunkte <math>G</math> bzw. <math>P</math> des Fünfecks generiert. Die abschließende Verbindung des Eckpunktes <math>G</math> mit <math>P</math> vollendet das gesuchte Fünfeck.

== Siehe auch ==
* [[Satz von Mohr-Mascheroni#Fünfeck|Fünfeck nach dem Satz von Mascheroni, allein mit einem Zirkel erstellt]]
* [[Parkettierung mit Fünfecken]]
* [[Goldener Schnitt]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Regular pentagons}}
{{Commonscat|Pentagons|Fünfeck}}
{{Wiktionary}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Fünfeck|Beweisarchiv: Fünfeck}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4155587-9}}

{{SORTIERUNG:Funfeck}}
[[Kategorie:Polygon]]