Quelltext der Seite Euler-Ziegel

Ein '''Euler-Ziegel''' ist ein [[Quader]], bei dem die Längen der Kanten und Flächendiagonalen ganzzahlige Werte haben. Dieses spezielle [[Parallelepiped]] wurde nach [[Leonhard Euler]] benannt. Es wird von drei Dreiecken aufgespannt, deren Kantenlängen [[Pythagoreisches Tripel|Pythagoreische Tripel]] sind, und deren rechte Winkel an einer Ecke zusammenstoßen.
[[Datei:Euler brick.svg|rechts|Euler-Ziegel mit Kanten a,c,b und Flächendiagonalen d,e,f]]

== Definition ==
Ein Euler-Ziegel ist '''primitiv''', wenn die drei Kantenlängen [[Teilerfremdheit|keinen gemeinsamen Teiler]] haben.

Die geometrische Definition des Euler-Ziegels ist äquivalent zu einer Lösung des folgenden Systems von [[Diophantische Gleichung|diophantischen Gleichungen]]:
: <math>\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ a^2 + c^2 = e^2\\ b^2 + c^2 = f^2\end{cases}</math>
wobei ''a, b, c'' die Kanten und ''d, e, f'' die Flächendiagonalen sind. Euler fand mindestens zwei parametrische Lösungen des Problems<ref>{{Internetquelle |autor=L. Euler |url=https://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E799.pdf |titel=Fragmenta commentationis cuiusdam maioris, de invenienda relatione enter latera triangulorum, quorum area rationaliter exprimi possit |werk=Opera posthuma |format=PDF |abruf=2015-07-12}}</ref>, aber keine liefert alle Lösungen.<ref>{{MathWorld |id=EulerBrick |title=Euler Brick}}</ref>

== Eigenschaften ==
Wenn  (''a'', ''b'', ''c'') eine Lösung ist, dann ist auch  (''ka'', ''kb'', ''kc'') eine Lösung für irgendein ''k''. Folglich erhält man die Lösungen in [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] durch Multiplikation von ganzzahligen Lösungen mit einem Faktor ''k''.

Für einen Euler-Ziegel mit den Kantenlängen (''a'', ''b'', ''c'') liefert das Tripel (''bc'', ''ac'', ''ab'') ebenfalls einen Euler-Ziegel.<ref name="Sierpinski" />{{rp|p. 106}}
* Mindestens zwei Kantenlängen eines Euler-Ziegels sind durch 3 teilbar<ref name="Sierpinski" />{{rp|p. 106}}, wobei mindestens eine dieser beiden Kantenlängen sogar durch 9 teilbar ist.
* Mindestens zwei Kantenlängen eines Euler-Ziegels sind durch 4 teilbar.<ref name="Sierpinski" />{{rp|p. 106}}
* Mindestens eine Kantenlänge eines Euler-Ziegels ist durch 5 teilbar.
* Mindestens eine Kantenlänge eines Euler-Ziegels ist durch 11 teilbar.<ref name="Sierpinski" />{{rp|p. 106}}

== Generierende Formeln ==
Unendlich viele Euler-Ziegel können mit folgender Formel generiert werden: Sei (''u'', ''v'', ''w'') ein Pythagoreisches Tripel (das heißt, <math>u^2+v^2=w^2.</math>). Dann<ref name="Sierpinski" />{{rp|p. 105}} hat ein Quader mit den Kanten

: <math> a=u|4v^2-w^2| ,\quad b=v|4u^2-w^2|, \quad c=4uvw </math>

die Flächendiagonalen

: <math>d=w^3, \quad e=u(4v^2+w^2), \quad f=v(4u^2+w^2).</math>

Diese Formeln wurden 1740 von [[Nicholas Saunderson]] hergeleitet.<ref>{{Literatur |Autor=Nicholas Saunderson, John Saunderson, Abraham de Moivre |Titel=Diophantine Problems |Sammelwerk=The Elements of Algebra, in Ten Books, Volume the Second |Verlag=University Press |Ort=Cambridge |Datum=1740 |Kapitel=257. To find three square numbers such, that the sum of every two of them shall be a square |Seiten=429 ff. |Sprache=en |Kommentar=Art. 257, Problem 27, Being a case of the thirtieth of the fifth book of Diophantus |Online=https://play.google.com/books/reader?id=1NI_AQAAMAAJ&printsec=frontcover&output=reader&hl=de&pg=GBS.PA429}}</ref>
[[Datei:Paul Halcke Euler Brick.jpg|mini|350px|Aufgabe Nr. 289 bei [[Paul Halcke]] mit der Lösung 44<sup>2</sup>=1936, 240<sup>2</sup>=57600, 117<sup>2</sup>=13689]]

== Beispiele ==
[[Datei:Euler brick examples.svg|mini|400px|Die fünf primitiven Euler-Ziegel mit Kantenlängen unter 1000]]Die ersten primitiven Lösungen (siehe die [[OEIS]]-Folgen OEIS [[OEIS:A031173|A031173]], [[OEIS:A031174|A031174]], [[OEIS:A031175|A031175]]) sind:

{| class="wikitable zebra"

! (a, b, c) || (d, e, f)

|-
| (44, 117, 240) ||(125, 244, 267){{FN|1}}

|-

| (85, 132, 720) || (157, 725, 732)
|-
| (140, 480, 693) || (500, 707, 843)
|-
| (160, 231, 792) || (281, 808, 825)
|-
| (187, 1020, 1584) || (1037, 1595, 1884)
|-
| (195, 748, 6336) || (773, 6339, 6380)
|-
| (240, 252, 275) || (348, 365, 373)
|-
| (429, 880, 2340) || (979, 2379, 2500)
|-
| (495, 4888, 8160) || (4913, 8175, 9512)
|-
| (528, 5796, 6325) || (5820, 6347, 8579)
|}

{{FNZ|1|Die Quadrate der Kantenlängen des kleinsten Euler-Ziegels wurden bereits 1719 von [[Paul Halcke]] angegeben.<ref>{{Literatur |Autor=Halcken, Paul |Hrsg= |Titel=Deliciae mathematicae oder Mathematisches Sinnen-Confect |TitelErg=bestehend in Fünfhundert vier und siebentzig auserlesenen, zum Theil gar kunstreichen Algebrai- Geometri- und Astronomischen Aufgaben, mit vielen künstlichen Solutionen und Reguln gezieret ... |Verlag=Nicolaus Sauer |Ort=Hamburg |Datum=1719 |Seiten=ca. 420 |Kommentar=S. 256, Problem Nr. 289, angegeben sind die Quadrate 1936, 57600, 13689 |Online=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/library/0XRZX3P3/pageimg&mode=imagepath&pn=288 |Abruf=2015-07-12}}</ref>}}

== Perfekter Euler-Ziegel ==
[[Datei:Euler brick perfect.svg|rechts|Euler-Ziegel mit Kanten a,c,b, Flächendiagonalen d,e,f und Raumdiagonale g]]
Ein Euler-Ziegel heißt '''perfekt''', wenn zusätzlich auch die Raumdiagonale eine ganzzahlige Länge hat, das heißt dem obigen System wird noch folgende diophantische Gleichung hinzugefügt:

: <math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2,\,</math>

wobei ''g'' die Raumdiagonale ist.<ref group="A">Man spricht dann auch von einem '''perfekten Quader'''.</ref> Es wurde bisher noch kein Beispiel für einen perfekten Euler-Ziegel gefunden, und es wurde auch nicht bewiesen, dass keiner existiert. Computergestützte Suchen zeigen, dass bei einem perfekten Euler-Ziegel eine der Kanten größer als 3·10<sup>12</sup> sein müsste.<ref>Bill Durango: [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html ''The “Integer Brick” Problem''.]</ref><ref>{{MathWorld |id=PerfectCuboid |title=Perfect Cuboid}}</ref> Außerdem müsste seine kleinste Kante größer als 10<sup>10</sup> sein.<ref>Randall Rathbun: [https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;c78f3c94.1011 ''Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found''.] NMBRTHRY maillist, 28. November 2010 [abgerufen am 16. Juli 2017]</ref>

Ein ''primitiver'' perfekter Euler-Ziegel, falls er denn existierte, müsste folgende Eigenschaften haben:
* Die Längen einer Kante, zweier Flächendiagonalen und die der Raumdiagonalen müssen ungerade sein; eine Kantenlänge und die Länge der verbleibenden Flächendiagonale müssen durch 4 teilbar sein, und die Länge der dritten Kante muss durch 16 teilbar sein.
* Zwei Kantenlängen müssen durch 3 teilbar sein, und wenigstens eine dieser Kantenlängen muss durch 9 teilbar sein.
* Eine Kantenlänge muss durch 5 teilbar sein.
* Eine Kantenlänge muss durch 7 teilbar sein.
* Eine Kantenlänge muss durch 11 teilbar sein.
* Eine Kantenlänge muss durch 19 teilbar sein.
* Eine Kantenlänge oder die Länge der Raumdiagonalen muss durch 13 teilbar sein.
* Eine Kanten-, Flächendiagonalen- oder Raumdiagonalenlänge muss durch 17 teilbar sein.
* Eine Kanten-, Flächendiagonalen- oder Raumdiagonalenlänge muss durch 29 teilbar sein.
* Eine Kanten-, Flächendiagonalen- oder Raumdiagonalenlänge muss durch 37 teilbar sein.
* Die Raumdiagonalenlänge kann keine Zweierpotenz oder das fünffache einer Zweierpotenz sein.<ref name="Sierpinski" />{{rp|p. 101}}

Für abgeschwächte Bedingungen wurden Lösungen gefunden, zum Beispiel haben bei
:<math>(a, b, c) = (672, 153, 104)\,</math>
die Raumdiagonale und nur zwei der drei Flächendiagonalen ganzzahlige Längen, oder bei
: <math>(a, b, c) = (18720, \sqrt{211773121}, 7800)</math>
und
: <math>(a, b, c) = (520, 576, \sqrt{618849})</math>
haben zwar alle vier Diagonalen, aber nur zwei der drei Kanten ganzzahlige Längen.

Es gibt keinen Quader mit ganzzahliger Raumdiagonallänge und aufeinanderfolgenden Kantenlängen.<ref name="Sierpinski">[[Waclaw Sierpinski]]: ''Pythagorean Triangles''. Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|p. 99}}

Der Beweis,<ref>Walter Wyss: ''No Perfect Cuboid''. {{arXiv|1506.02215}}</ref> dass es keinen ''perfekten Euler-Ziegel'' gibt, ist möglicherweise unvollständig.<ref>Ruslan Abdulovich Sharipov: ''On Walter Wyss’s No Perfect Cuboid Paper''. {{arXiv|1704.00165v1}}</ref>

== Perfektes Parallelepiped ==
Ein perfektes [[Parallelepiped]] ist ein Parallelepiped mit ganzzahligen Längen der Kanten, Flächendiagonalen und Raumdiagonalen, das aber nicht unbedingt lauter rechte Winkel hat. Ein perfekter Euler-Ziegel ist ein Spezialfall eines perfekten Parallelepipeds. 2009 wurde gezeigt, dass Dutzende perfekter Parallelepipede existieren,<ref>{{Cite journal|first1=Jorge F.|last1=Sawyer|first2=Clifford A.|last2=Reiter|year=2011|title=Perfect parallelepipeds exist|journal=Mathematics of Computation |volume=80|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7}}</ref> was eine offene Frage von [[Richard K. Guy|Richard Guy]] beantwortete. Einige dieser Parallelepipede haben zwei rechteckige Flächen.

== Literatur ==
* {{cite journal|first=John | last=Leech | title=The Rational Cuboid Revisited | journal=American Mathematical Monthly | volume=84 | issue=7 | pages=518–533 | year=1977 | doi=10.2307/2320014 }}
* {{cite book|last=Guy|first=Richard K.|authorlink=Richard K. Guy|title=Unsolved Problems in Number Theory|publisher=[[Axel Springer SE|Springer-Verlag]]|year=2004|isbn=0-387-20860-7|pages=275–283}}
* {{cite journal|first=Tim | last=Roberts | title=Some constraints on the existence of a perfect cuboid | journal=Australian Mathematical Society Gazette | volume=37 | pages=29–31 | year=2010 | issn=1326-2297}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Wacław Sierpiński]]
   |Titel=Elementary Theory of Numbers
   |Reihe=North-Holland Mathematical Library
   |BandReihe=31
   |Auflage=2. überarbeitete und erweiterte
   |Verlag=North-Holland (u.&nbsp;a.)
   |Ort=Amsterdam (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1988
   |ISBN=0-444-86662-0
   |Seiten=60–61}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Ian Stewart (Mathematiker)|Ian Stewart]]
   |Titel=Die letzten Rätsel der Mathematik
   |TitelErg=rororo 61694
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Rowohlt Taschenbuch Verlag]]
   |Ort=Reinbek bei Hamburg
   |Datum=2015
   |ISBN=978-3-499-61694-5
   |Seiten=454–455}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

{{SORTIERUNG:Eulerziegel}}
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Vermutung (Mathematik)]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]