Quelltext der Seite Euler-Mascheroni-Konstante

{{Weiterleitungshinweis|Eulersche Konstante|Zu anderen nach Euler benannten Zahlen siehe [[Eulersche Zahlen (Begriffsklärung)]].}}
{{Zeichen|<math>\gamma</math>}}Die '''Euler-Mascheroni-Konstante''' (nach den Mathematikern [[Leonhard Euler]] und [[Lorenzo Mascheroni]]), auch '''Eulersche Konstante''', ist eine wichtige [[mathematische Konstante]], die besonders in den Bereichen [[Zahlentheorie]] und [[Analysis]] auftritt. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben <math>\gamma</math> ([[Gamma]]) bezeichnet.

[[Datei:Gamma-area.svg|mini|Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar.]]
Ihre Definition lautet:
: <math>\gamma = \lim_{n\to\infty} \left(H_n - \ln n\right) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right) = \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,\mathrm dx,</math>

wobei <math>H_n</math> die <math>n</math>-te [[Harmonische Reihe|harmonische Zahl]], <math>\ln</math> den [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] und <math>\lfloor x \rfloor</math> die [[Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion|Abrundungsfunktion]] bezeichnet.

Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen lauten (siehe: {{OEIS|A001620}})

: <math>\gamma</math> = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495 …

Mit Stand vom September 2023, Berechnung abgeschlossen am 7. September 2023, sind 1.337.000.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.<ref name="Numberworld" />

== Allgemeines ==
Trotz großer Anstrengungen ist bis heute unbekannt, ob diese Zahl [[Rationale Zahlen|rational]] oder [[Irrationale Zahlen|irrational]], ob sie [[Algebraische Zahl|algebraisch]] oder [[Transzendente Zahl|transzendent]] ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Thomas Jagau |url=http://junq.info/?p=754 |titel=Is the Euler-Mascheroni constant an irrational number? |titelerg=Question of the Week |werk=junq.info |hrsg=[[Journal of Unsolved Questions]] |datum=2011-05-11 |sprache=en |abruf=2024-04-07}}</ref> Es wird aber stark vermutet, dass sie zumindest eine irrationale Zahl ist. Den ersten konkreten Beweisversuch hierzu unternahm 1926 [[Paul Émile Appell]] mit Hilfe der unten genannten Entwicklung von [[Joseph Ser]]. Durch Berechnung der [[Kettenbruch]]entwicklung von <math>\gamma</math> ({{OEIS|A002852}})

: <math>\gamma = \left[0;\ 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 2, 1,\, \dotsc\right]</math>

erhält man untere Schranken für positive ganze Zahlen <math>p</math> und <math>q</math> mit <math>\gamma = \tfrac{p}{q}</math> <big>(</big>zum Beispiel ergeben 475.006 Teilnenner die Abschätzung <math>q > 10^{244.663}</math><big>)</big>.<ref>{{Internetquelle |autor=Bruno Haible, Thomas Papanikolaou |url=https://www.ginac.de/CLN/binsplit.pdf |titel=Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers |format=PDF; 196&nbsp;kB |werk=ginac.de |datum=1997 |sprache=en |abruf=2024-04-07}}</ref>

Im Gegensatz zu Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen beim [[Satz des Pythagoras]] und zur [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius tritt die Eulersche Konstante bei endlichen [[Geometrie|elementargeometrischen]] Problemen nicht auf.
Es gibt jedoch viele technische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe <math>H_n</math> führen, wie etwa das Schwerpunktproblem des freitragenden Auslegers oder das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern und Kinos. Die Eulersche Konstante tritt bei vielen Problemen der [[Analysis]], [[Zahlentheorie]] und [[Funktionentheorie]] und insbesondere bei [[Spezielle Funktionen|speziellen Funktionen]] auf.

== Die Euler-Mascheroni-Konstante in mathematischen Problemen ==
Die Eulersche Konstante tritt in der Mathematik häufig und manchmal auch ganz unerwartet in unterschiedlichen Teilgebieten auf. Hauptsächlich tritt sie bei Grenzwertprozessen von [[Zahlenfolge]]n und [[Grenzwert (Funktion)|Funktionen]] sowie bei Grenzwerten der [[Differentialrechnung|Differential-]] und [[Integralrechnung]] auf.
Das Auftreten lässt sich (wie auch bei anderen [[Mathematische Konstanten|mathematischen Konstanten]]) je nach Art des Grenzwertes oder der Reihenentwicklung unterteilen.

== Konvergenz ==
Die [[Existenz#Mathematik/Logik|Existenz]] der Eulerschen Konstanten ergibt sich aus der [[Teleskopsumme]]
: <math>
\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[\sum_{k=1}^n \frac1{k} - \ln(n+1) \right]
       = \sum_{k=1}^{\infty}\left[ \frac1{k} - \ln\biggl(\frac{k+1}{k}\biggr) \right]
</math>
Da <math> \ln(n+1)-\ln(n)</math> eine [[Nullfolge]] ist, kann im definierenden Grenzwert <math>\ln(n+1)</math> anstelle von <math>\ln(n)</math> verwendet werden.
Es gilt
: <math>
    \frac{1}{k}-\ln\frac{k+1}{k}=\frac{1}{k}-\int_{k}^{k+1}\frac{\mathrm dx}{x}=\int_{k}^{k+1}\frac{x-k}{xk}\,\mathrm dx=\frac 1k\int_{0}^{1}\frac{x}{x+k}\,\mathrm dx.
</math>
Wegen
: <math>
    \frac 1{2(k+1)}=\int_0^1 \frac x{1+k}\,\mathrm dx\le \int_0^1\frac x{x+k}\,\mathrm dx\le\int_0^1 \frac xk \,\mathrm dx = \frac 1{2k}
</math>
gilt also
: <math>
    \frac1{2k\cdot(k+1)}\le\frac{1}{k}-\ln\frac{k+1}{k}\le\frac1{2k^2}
</math>
und somit konvergiert die Summe gemäß dem [[Majorantenkriterium]].

Insbesondere folgt aus diesem elementaren Argument und
: <math>
    \sum_{k=1}^\infty \frac1{k\cdot(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1
</math>
sowie dem [[Basler Problem]], dass
: <math>
    \frac12 \le \gamma \le \frac{\pi^2}{12}
</math>
gilt.

== Zetafunktion und Gammafunktion ==
Der Wert <math>\gamma</math> ist das Negative der Ableitung der [[Gammafunktion]] an der Stelle 1, also
: <math> \Gamma^\prime (1) = \psi(1) = -\gamma </math>.

Hieraus ergeben sich die folgenden Grenzwertdarstellungen, wobei <math>\zeta(s)</math> die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] und <math> \psi(z) </math> die [[Digamma-Funktion]] bezeichnet:
: <math> \lim_{s\to 1}\left(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\right) = \gamma </math>
: <math> \lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\} = \lim_{z\to 0} \left\{\psi(z) + \frac1{z} \right\} = -\gamma</math>
: <math> \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\} = 2\gamma </math>
: <math> \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\psi(1-z)} - \frac1{\psi(1+z)} \right\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2} </math>

Die Euler-Mascheroni-Konstante taucht oft in Entwicklungen spezieller Funktionen, z.&nbsp;B. bei der Reihenentwicklung des [[Integrallogarithmus]] von [[Leopold Schendel]], der [[Besselfunktion]]en oder der [[Weierstraß]]schen Darstellung der Gammafunktion auf.

== Liste bestimmter Integrale ==
Hier gibt es eine reichhaltige Fülle, zum Beispiel:
:{| class="wikitable"
|<math>\begin{align}
\gamma &= -\int_{0}^{1} \ln(-\ln x)\, \mathrm{d}x \\
\gamma &= -\int_{0}^{\infty} e^{-x}\ln x\, \mathrm{d}x \\
\gamma &=  \int_{0}^{\infty} \left(\frac1{e^x-1} - \frac1{xe^x}\right) \,\mathrm{d}x\\
\gamma &=  \int_{0}^{1} \left(\frac 1{\ln x} + \frac1{1-x}\right) \,\mathrm{d}x\\
\gamma &=  \frac{1}{2} + \int_0^{\infty} \frac{2x}{(x^2+1)(e^{2\pi x} - 1)} \,\mathrm{d}x\\
\gamma &=  \frac{\ln(2)}{2} + \frac{1}{\ln(2)} \int_0^{\infty} \frac{2\arctan(x) - x \ln(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1) \sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x\\
\gamma &=  \int_{0}^{\infty} \biggl[\exp(x)\mathrm{E}_{1}(x) - \frac{1}{x + 1}\biggr] \,\mathrm{d}x\\
\gamma &=  \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x\\
\gamma &=  \int_{0}^{\infty} \frac{2}{x}\bigl[\exp(-x^2)-\exp(-x)\bigr] \,\mathrm{d}x\\
\gamma &=  \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2x}\bigl[\exp(x^2)\operatorname{erfc}(x) + 2\pi^{-1/2}x - 1\bigr]\bigl\{\vartheta_{00}\bigl[\exp(-x^2)\bigr] - 1\bigr\} \,\mathrm{d}x
\end{align}</math>
|}

Oder auch:
:{| class="wikitable"
|<math>\begin{align}
\int_0^\infty e^{-x} \ln^2 x\,\mathrm dx &=  \frac{\pi^2}6 + \gamma^2 \\
\int_0^\infty e^{-x^2} \ln x\,\mathrm dx &= -\frac{\sqrt\pi}4 (\gamma + 2\ln 2)
\end{align}</math>
|}

Diese Integrale werden im Folgenden sukzessiv bewiesen.

== Beweise der bestimmten Integrale ==

=== Beweisführung einer Zetafunktionssumme ===
Zu Beginn ist diese in der Einführung genannte Summe gegeben:

:{| class="wikitable"
|<math>
\gamma = \sum_{k=1}^{\infty}\biggl[ \frac{1}{k} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{k}\biggr) \biggr]
</math>
|}

Als Nächstes wird folgende Identität bewiesen:

:{| class="wikitable"
|<math>\gamma = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2n)}{2n} - \frac{\zeta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr]</math>
|}

Dieser Beweis kann direkt über die Definition der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zetafunktion]] zustande gebracht werden:

: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2n)}{2n} - \frac{\zeta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl(\frac{1}{2n} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}} - \frac{1}{2n+1} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n+1}}\biggr) =</math>
: <math>= \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{2n\,k^{2n}} - \frac{1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}\biggr] = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{2n\,k^{2n}} - \frac{1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}\biggr] =</math>
: <math>= \sum_{k = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{k} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{k}\biggr)\biggr] = \gamma</math>
Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion von der alternierenden [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]]:
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \bigl(x^{2n - 1} - x^{2n}\bigr) = \frac{x}{1 + x}</math>
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl(\frac{x^{2n}}{2n} - \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\biggr) = x - \ln(1 + x)</math>
Durch Einsatz von <math>x = 1/k</math> in die nun genannte Formel entsteht das in der Gleichungskette gezeigte Endresultat.

Analog zur gezeigten Formel mit der Zetafunktion gilt für die [[Dirichletsche Etafunktion]] diese Formel:
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\eta(2n)}{2n} - \frac{\eta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{k + 1}\biggl[\frac{1}{k} - \ln\biggl(\frac{k + 1}{k}\biggr)\biggr] = \ln\bigl(\frac{4}{\pi}\bigr)</math>
Denn auf der rechten Seite in der alternierenden Differenz erscheint im Numerus des Logarithmus Naturalis das [[Wallissches Produkt|Wallissche Produkt]] und der Minuend in dieser alternierenden Differenz ergibt die alternierende Differenz der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, welche der Logarithmus Naturalis von Zwei ist.

=== Beweisführung des Exponentialintegrals ===
Das drittoberste Integral in der Auflistung kann so bewiesen werden:
: <math> \int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} \,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty} \frac{\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]} \,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty} \frac{1}{x[\exp(x)-1]} \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{x^{2n}}{(2n)!} - \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\biggr] \mathrm{d}x = </math>
: <math> = \int_0^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl\{\frac{1}{\exp(x)-1} \biggl[\frac{x^{2n-1}}{(2n)!} - \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\biggr]\biggr\} \mathrm{d}x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^{\infty} \biggl\{\frac{1}{\exp(x)-1} \biggl[\frac{x^{2n-1}}{(2n)!} - \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\biggr]\biggr\} \mathrm{d}x = </math>
: <math> = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{(2n)!}\int_0^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{\exp(x)-1}\,\mathrm{d}x - \frac{1}{(2n+1)!}\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}}{\exp(x)-1}\,\mathrm{d}x\biggr] = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{(2n-1)!\,\zeta(2n)}{(2n)!} - \frac{(2n)!\,\zeta(2n+1)}{(2n+1)!}\biggr] = </math>
: <math>= \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2n)}{2n} - \frac{\zeta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \gamma </math>
Bei dem Integral in der dritten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um den [[Debyesche Funktionen|Debyeschen Funktionswert]] von plus unendlich!

: <math>\int_{0}^{\infty} \frac{x^m}{\exp(x)-1} \,\mathrm{d}x = m!\,\zeta(m+1)</math>

=== Beweisführung des Integrals über den Logarithmus ===
Das zweitoberste Integral in der Auflistung folgt aus dieser Ableitung:

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl\{\ln[1-\exp(-x)] - \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\biggr\} = \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} + \frac{\ln(x)}{\exp(x)} </math>

Nach der [[Regel von de L’Hospital]] gelten folgende Grenzwerte:

: <math>\lim_{x \rightarrow 0} \biggl\{\ln[1-\exp(-x)] - \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\biggr\} = 0 </math>
: <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \biggl\{\ln[1-\exp(-x)] - \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\biggr\} = 0 </math>

Somit gilt dieses Integral:

: <math>\int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} + \frac{\ln(x)}{\exp(x)} \mathrm{d}x = 0 </math>

Durch Äquivalenzumformung entsteht folgende Identität:

: <math>-\int_0^\infty \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\text{d}x = \int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} \mathrm{d}x = \gamma </math>

Das oberste und viertoberste Integral entstehen durch Substitution mit dem negativen natürlichen Logarithmus.

=== Beweisführung des Integrals über die Integralexponentialfunktion ===
Folgendes Integral<ref>{{Internetquelle |url=https://math.stackexchange.com/questions/980593/some-integral-representations-of-the-euler-mascheroni-constant |titel=calculus – Some integral representations of the Euler–Mascheroni constant |werk=math.stackexchange.com |sprache=en |abruf=2024-04-07}}</ref> zur Mascheroni-Konstante kann über den [[Satz von Fubini]] bewiesen werden:
: <math>\int_{0}^{\infty} \left[\exp(x)\,\mathrm{E}_{1}(x) - \frac{1}{x + 1}\right] \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-y)\left(\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + 1}\right) \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x = </math>
: <math>= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-y)\left(\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + 1}\right) \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{\infty} -\exp(-y)\ln(y) \,\mathrm{d}y = \gamma </math>
Der große Buchstabe E drückt die komplementäre [[Integralexponentialfunktion]] aus:
: <math>\mathrm{E}_{1}(x) = \exp(-x)\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-xy)}{y+1} \,\mathrm{d}y </math>
Dann gilt auch:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{E}_{1}(x) = -\,\frac{1}{x}\exp(-x) </math>
Verallgemeinert gilt somit für die Integration:
: <math>\frac{\exp(-ax)}{bx + c} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl\{-\frac{1}{b}\exp\bigl(\frac{ac}{b}\bigr)\,\mathrm{E}_{1}\bigl[\frac{a}{b}\bigl(bx + c\bigr)\bigr]\biggr\} </math>
: <math>\int_0^{\infty} \frac{\exp(-ax)}{bx + c} \,\mathrm{d}x = \biggl\{-\frac{1}{b}\exp\bigl(\frac{ac}{b}\bigr)\,\mathrm{E}_{1}\bigl[\frac{a}{b}\bigl(bx + c\bigr)\bigr]\biggr\}_{x = 0}^{x = \infty} = \frac{1}{b}\exp\bigl(\frac{ac}{b}\bigr) \,\mathrm{E}_{1}\bigl(\frac{ac}{b}\bigr) </math>

=== Beweisführung des Integrals über den Kehrwert der Nachfolgerfunktion ===
Ebenso kann das anschließende Integral zur Mascheroni-Konstante über den Satz von Fubini bewiesen werden:
: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-xy)\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x = </math>
: <math> =\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-xy)\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{\infty} \biggl[\exp(y)\,\mathrm{E}_{1}(y) - \frac{1}{y + 1}\biggr] \,\mathrm{d}y = \gamma </math>
Das fünftoberste und sechstoberste Integral resultiert aus der [[Abel-Plana-Summenformel]] und geht durch die [[Mellin-Transformation]] hervor.

Das zweitunterste Integral entsteht aus der Reihendarstellung der [[Integralexponentialfunktion]] Ei(x).

Und das unterste Integral entsteht direkt aus der genannten Reihe für die Euler-Mascheroni-Konstante über die Riemannsche Zetafunktion.

== Beschreibung weiterer Integrale ==

=== Parameterintegrale ===
Es gibt auch viele invariante Parameterintegrale, zum Beispiel:
:<math>\begin{align}
\gamma &= \int_0^\infty \left(\frac1{x^k+1} - e^{-x}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0\\
\gamma &= \int_0^\infty \left(\frac1{kx+1} - e^{-kx}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0
\end{align}</math>
Beide Parameterintegrale sollen im nun Folgenden bewiesen werden:

Gegeben steht das im vorherigen Abschnitt bewiesene Integral:
: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x = \gamma </math>
Und folgendes Zweiparameterintegral ergibt konstant für alle positiven Werte v und w den Wert Null:
: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl(\frac{1}{x^{v} + 1} - \frac{1}{x^{w} + 1}\biggr) \,\mathrm{d}x = 0 </math>
Wenn dieses Parameterintegral in das genannte schon bewiesene Integral eingepflanzt wird, dann entsteht direkt das erste der beiden genannten Parameterintegrale mit dem positiven k-Ausdruck. Und das genannte Zweiparameterintegral ist deswegen für alle positiven Werte v und w gültig, weil folgende Stammfunktion gilt:
: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl(\frac{1}{x^{v} + 1} - \frac{1}{x^{w} + 1}\biggr) \,\mathrm{d}x = \biggl[\frac{1}{v}\ln(x^v + 1) - \frac{1}{w}\ln(x^w + 1)\biggr]_{x = 0}^{x = \infty} = </math>
: <math> = \biggl[\ln\bigl(\sqrt[v]{x^v + 1}\bigr) - \ln\bigl(\sqrt[w]{x^w + 1}\bigr)\biggr]_{x = 0}^{x = \infty} = 0 </math>
Das zweite mit dem k-Ausdruck dargestellte Parameterintegral kommt durch innere Substitution und durch die sogenannte Nachdifferenzierung nach der [[Kettenregel]] zustande.

=== Forschungsresultate des Mathematikers Sondow ===
Man kann <math>\gamma</math> auch als ein Doppelintegral (J. Sondow 2003,<ref>Jonathan Sondow: ''[https://arxiv.org/abs/math/0209070 Criteria for irrationality of Euler’s constant]'', Proceedings of the American Mathematical Society 131, 2003, S. 3335–3344 (englisch)</ref> 2005<ref>Jonathan Sondow: ''[https://arxiv.org/abs/math/0211148 Double integrals for Euler’s constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas’s formula]'', American Mathematical Monthly 112, 2005, S. 61–65 (englisch)</ref>) mit der äquivalenten Reihe ausdrücken:

: <math> \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-xy)\ln(xy)} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right) </math>.
Es gibt einen interessanten Vergleich (J. Sondow 2005) des Doppelintegrals und der alternierenden Reihe:

: <math> \ln \left( \frac{4}{\pi} \right) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+xy)\ln(xy)} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right) </math>.

In diesem Sinne kann man sagen, dass <math>\ln \big(\tfrac{4}{\pi}\big)</math> die „alternierende Eulersche Konstante“ ist ({{OEIS|A094640}}).

Ein weiteres Doppelintegral handelt von der [[Harmonische Reihe|harmonischen Reihe]] als Funktion:

: <math> \gamma = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1-x^{y}}{1-x} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^1 H(y) \, \mathrm{d}y </math>

Außerdem sind diese zwei Konstanten mit dem Paar
: <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma,</math>
: <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)} = \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) </math>
von Reihen verknüpft, wobei <math>N_1(n)</math> und <math>N_0(n)</math> die Anzahl der Einsen bzw. der Nullen in der Binärentwicklung von <math>n</math> sind (Sondow 2010).<ref>Jonathan Sondow: ''[https://arxiv.org/abs/math/0508042 New Vacca-type rational series for Euler’s constant and its „alternating“ analog ln 4/π.] Additive Number Theory, Festschrift In Honor of the Sixtieth Birthday of Melvyn B. Nathanson,'' Springer, New York, 2010, S. 331–340 (englisch).</ref>

=== Produktreihen ===
Ferner gibt es eine ebenso reichhaltige Fülle an unendlichen Summen und Produkten, etwa

: <math>\begin{align}
e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ prim}} \left( 1-\frac 1p \right)^{-1} \\
\frac{6}{\pi^2}e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ prim}} \left( 1+\frac 1p \right) \\
\gamma &= \lim_{x\to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac 1{n^x} -\frac 1{x^n} \right).
\end{align}</math>
Diese Reihen bilden somit zu den [[Euler-Produkt|Eulerschen Produktdarstellungen]] von der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zetafunktion]] eine Abwandlung.

=== Kummersche Reihen ===
Reihen mit rationalen Termen stammen von Euler, Fontana and Mascheroni, [[Giovanni Enrico Eugenio Vacca]], [[S. Ramanujan]] und [[Joseph Ser]]. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der [[Riemannsche Zeta-Funktion|riemannschen Zeta-Funktion]] an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), … bestehen.
Ein Beispiel einer besonders schnell konvergierenden Reihe ist:
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}} = 1 + \ln 2 - \ln 3 - \gamma =</math> 0,0173192269903…
Eine weitere Reihe ergibt sich aus der [[Gammafunktion#Weitere Darstellungsformen|Kummerschen Reihe]] der Gammafunktion:
: <math>\gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma\big(\tfrac34\big) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}</math>

== Bezeichnungen ==
Man kann sagen, dass die Eulersche Konstante diejenige Konstante mit den meisten Bezeichnungen ist. Euler selbst bezeichnete sie mit C und gelegentlich mit O oder ''n''. Es ist jedoch zweifelhaft, ob er damit ein eigenständiges Symbol für seine Konstante einführen wollte. Mascheroni bezeichnete die Konstante nicht – wie oft behauptet – mit γ, sondern mit A. Das γ-Missverständnis rührt von dem häufig unüberprüft zitierten Artikel von [[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]] her (wobei Glaisher dort ausdrücklich anmerkt, dass er Mascheronis Buch nicht gesehen hat):
{{Zitat
 |Text=Euler’s constant (which throughout
  this note will be called ''γ'' after Mascheroni, De Morgan, &c.) […]<br />
    It is clearly convenient that the constant should generally
  be denoted by the same letter. Euler used ''C'' and ''O'' for it;
  Legendre, Lindman, &c., ''C''; De Haan ''A''; and Mascheroni,
  De Morgan, Boole, &c., have written it ''γ'', which is clearly
  the most suitable, if it is to have a distinctive letter assigned
  to it. It has sometimes (as in ''Crelle,'' t. 57, p. 128) been
  quoted as Mascheroni’s constant, but it is evident that Euler’s
  labours have abundantly justified his claim to its being named
  after him.
 |Sprache=en
 |Autor=J. W. L. Glaisher
 |Quelle=On the history of Euler’s constant, 1872, S. 25 und 30
 |ref=<ref>{{Literatur |Autor=[[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]] |Titel=On the history of Euler’s constant |Sammelwerk=The Messenger of Mathematics |Band=1 |Datum=1872 |Seiten=25–30 |Sprache=en |Online=https://archive.org/details/messengermathem02glaigoog?view=theater#page/n39 |Abruf=2024-04-07}}</ref>}}
Andere Mathematiker verwenden die Bezeichnungen ''C'', ''c'', ℭ, ''H'', ''γ'', ''E'', ''K'', ''M'', ''l''. Der Ursprung der heute üblichen Bezeichnung γ ist nicht sicher. [[Carl Anton Bretschneider]] verwendete die Bezeichnung ''γ'' neben ''c'' in einem 1835 entstandenen und 1837 veröffentlichten Artikel,<ref>[[Carl Anton Bretschneider|Car. Ant. Bretschneider]]: ''[https://www.digizeitschriften.de/id/243919689_0017 Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova]'' (13. Oktober 1835). Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, [http://books.google.de/books?id=OAoPAAAAIAAJ&pg=PA257 S. 257–285.] (lateinisch; „''γ'' = ''c'' = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3…“ auf [http://books.google.de/books?id=OAoPAAAAIAAJ&pg=PA260 S. 260.])</ref> [[Augustus De Morgan]] führte die Bezeichnung ''γ'' in einem in Teilen von 1836 bis 1842 veröffentlichten Lehrbuch im Rahmen der Behandlung der Gammafunktion ein.<ref>[[Augustus De Morgan]]: ''[http://books.google.com/books?id=95x4IrIcHrgC The differential and integral calculus]'', Baldwin and Craddock, London 1836–1842 (englisch; ''„γ“'' auf [http://books.google.com/books?id=95x4IrIcHrgC&pg=PA578 S. 578.])</ref>

== Verallgemeinerungen ==

=== Stieltjes-Konstanten ===
Die Eulersche Konstante kennt mehrere Verallgemeinerungen. Die wichtigste und bekannteste ist die der [[Stieltjes-Konstanten]]:
: <math>
    \gamma_n := \lim_{N\to\infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n k}{k} - \frac{\log^{n+1} N}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc
  </math>
Die Euler-Mascheroni-Konstante <math>\gamma = \gamma_0</math> ergibt sich für <math>n = 0</math>:
: <math>
    \gamma := \lim_{N\to\infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{1}{k} - {\log N}\right)
  </math>

=== Fakultät und Gammafunktion ===
Gegeben war diese Summendefinition für die Euler-Mascheroni-Konstante:
: <math>
\gamma = \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{1}{n} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr) \biggr]
</math>
Verallgemeinert gelten diese beiden zueinander identischen Ausdrücke:
:{| class="wikitable"
|<math>\gamma \,x + \ln\bigl[\Pi(x)\bigr]= \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{x}{n} - \ln\biggl(1 + \frac{x}{n}\biggr) \biggr]
</math>

<math>
\gamma \,x + \ln\bigl[\Gamma(x + 1)\bigr]= \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{x}{n} - \ln\biggl(1 + \frac{x}{n}\biggr) \biggr]
</math>
|}
Beispielsweise gilt:
: <math>\frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{\pi}\right) = \frac{\gamma}{2} + \ln\left[\Pi\left(\frac{1}{2}\right)\right] = \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{1}{2n} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{2n}\biggr) \biggr]
</math>
Die im Kästchen genannten Verallgemeinerungsformeln gehen direkt aus der Weierstraßschen Definition der [[Harmonische Reihe|Harmonischen Reihenfunktion]] hervor:

: <math> \mathrm{H}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}\right)</math>
Denn durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entstehen die beiden Formeln im Kästchen.

Folgende Ableitungsgesetze sind gültig:

: <math> \mathrm{H}(x) = \gamma + \frac{1}{\Pi(x)}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\Pi(x)</math>
: <math> \mathrm{H}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl\{\gamma \,x + \ln\bigl[\Pi(x)\bigr]\bigr\}</math>
: <math> \mathrm{H}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl\{\gamma \,x + \ln\bigl[\Gamma(x + 1)\bigr]\bigr\}</math>

Die kontinuierliche Fakultätsfunktion ist gleich der Gaussschen Pifunktion.

Und die Gaußsche Pifunktion ergibt sich als [[Gammafunktion]] aus der Nachfolgerfunktion.

So lautet die Produktreihendefinition nach [[Gammafunktion#Weitere Darstellungsformen|Weierstraß]] für diese berühmte Funktion:

: <math>x! = \Pi(x) = \Gamma(x + 1) = \exp(-\,\gamma\,x) \prod_{n = 1}^{\infty} \left[\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{-1} \exp\left(\frac{x}{n}\right)\right]</math>
Aus den genannten Verallgemeinerungsformeln folgt auch:
: <math>\sum_{m = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2m)}{2m} \,x^{2m} - \frac{\zeta(2m + 1)}{2m + 1} \,x^{2m + 1}\biggr] = \gamma \,x + \ln\bigl[\Pi(x)\bigr] </math>
Beispielsweise gilt:
: <math>\sum_{m = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2m)}{2m \,2^{2m}} - \frac{\zeta(2m + 1)}{(2m + 1)\,2^{2m + 1}}\biggr] = \frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{\pi}\right) </math>
Und aus diesen Summen folgt nach dem ebenso:
: <math> \int_0^{\infty} \frac{\exp(-xy)+xy-1}{y\,\bigl[\exp(y)-1\bigr]} \,\mathrm{d}y = \gamma \,x + \ln\left[\Pi(x)\right] </math>
Beispielsweise gilt:
: <math> \int_0^{\infty} \frac{\exp(-y/2)+y/2-1}{y\,\bigl[\exp(y)-1\bigr]} \,\mathrm{d}y = \frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{\pi}\right) </math>

== Anzahl berechneter Dezimalstellen ==
1734 berechnete [[Leonhard Euler]] sechs Dezimalstellen (fünf gültige), später 16 Stellen (15 gültige). 1790 berechnete [[Lorenzo Mascheroni]] 32 Dezimalstellen (30 gültige), wovon jedoch die drei Stellen 20 bis 22 falsch sind – anscheinend aufgrund eines Schreibfehlers, sie sind allerdings mehrfach im Buch angegeben. Der Fehler war Anlass für mehrere Neuberechnungen.

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|+ Anzahl veröffentlichter gültiger Dezimalstellen von <math>\gamma</math>
! Jahr || Stellen || Autor
| rowspan="19" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0;" |
! Jahr/Datum || Stellen || Autor
|-
| 1734 ||    5 || style="text-align:left;" | [[Leonhard Euler]]<ref>[[Leonhard Euler|Leonh. Eulero]]: ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E043.html De progressionibus harmonicis observationes]'' (11. März 1734), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 7, 1740, [http://www.archive.org/stream/commentariiacade07impe#page/150/mode/2up S. 150–161] (lateinisch; „C = 0,577218“ auf [http://www.archive.org/stream/commentariiacade07impe#page/156/mode/2up S. 157])</ref> || 1976 || 20.700 || style="text-align:left;" | [[Richard P. Brent]]<ref>[[Richard P. Brent]]: ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1977-31-139/S0025-5718-1977-0436547-7/home.html Computation of the regular continued fraction for Euler’s constant]'' (27. September 1976), Mathematics of Computation 31, 1977, S. 771–777 (englisch)</ref>
|-
| 1735 ||   15 || style="text-align:left;" | Leonhard Euler<ref>[[Leonhard Euler|Leonh. Eulero]]: ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E047.html Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali]'' (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, [http://www.archive.org/stream/commentariiacade08impe#page/n21/mode/2up S. 9–22] (lateinisch; „constans illa addita = 0,5772156649015329“ auf [http://www.archive.org/stream/commentariiacade08impe#page/18/mode/2up S. 19])</ref> || 1979 || 30.100 || style="text-align:left;" | Richard P. Brent & [[Edwin Mattison McMillan|Edwin M. McMillan]]<ref>Richard P. Brent, [[Edwin Mattison McMillan|Edwin M. McMillan]]: ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1980-34-149/S0025-5718-1980-0551307-4/home.html Some new algorithms for high-precision computation of Euler’s constant]'' (22. Januar/15. Mai 1979), Mathematics of Computation 34, 1980, S. 305–312 (englisch)</ref>
|-
| 1790 ||   19 || style="text-align:left;" | [[Lorenzo Mascheroni]]<ref>[[Lorenzo Mascheroni|Laurentio Mascheronio]]: ''[http://books.google.com/books?id=XkgDAAAAQAAJ Adnotationes ad calculum integralem Euleri / In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur]''. Petrus Galeatius, Ticini 1790–1792 (lateinisch; „A = 0,577215 664901 532860 618112 090082 39“ auf [http://books.google.com/books?id=XkgDAAAAQAAJ&pg=PA23 S. 23] und [http://books.google.com/books?id=XkgDAAAAQAAJ&pg=PA45 S. 45])</ref> || 1993 || 172.000 || style="text-align:left;" | [[Jonathan Borwein]]
|-
| 1809 ||   22 || style="text-align:left;" | [[Johann Georg von Soldner|Johann Georg Soldner]]<ref>[[Johann Georg von Soldner|J. Soldner]]: ''[http://books.google.de/books?id=g4Q_AAAAcAAJ Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante]'', Lindauer, München 1809 (französisch; „''H'' = 0,5772156649015328606065“ auf [http://books.google.de/books?id=g4Q_AAAAcAAJ&pg=PA13 S. 13])</ref> || 1997 || 1.000.000 || style="text-align:left;" | Thomas Papanikolaou
|-
| 1811 ||   22 || style="text-align:left;" | [[Carl Friedrich Gauß]]<ref name="gauss1812">[[Carl Friedrich Gauß|Carolus Fridericus Gauss]]: ''[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN35283028X_0002_2NS&DMDID=DMDLOG_0024 Disquisitiones generales circa seriem infinitam Pars I]'' (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, [http://books.google.com/books?id=xVrNAAAAMAAJ&pg=RA3-PA3 S. 3–46] (lateinisch; „ψ<sub>0</sub> = −0,5772156649 0153286060 653“ und „ψ<sub>0</sub> = −0,5772156649 0153286060 6512090082 4024310421“ auf [http://books.google.com/books?id=xVrNAAAAMAAJ&pg=RA3-PA36 S. 36]; auch in ''Gauß: Werke. Band 3,'' [http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ&pg=PA154 S. 154])</ref> || 1998 || 7.286.255 || style="text-align:left;" | Xavier Gourdon
|-
| 1812 ||   40 || style="text-align:left;" | [[Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai]]<ref name="gauss1812" /> || 1999 || 108.000.000 || style="text-align:left;" | Xavier Gourdon & Patrick Demichel
|-
| 1826 ||   19 || style="text-align:left;" | [[Adrien-Marie Legendre]]<ref>[[Adrien-Marie Legendre|A. M. Legendre]]: ''Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes'' (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, [http://books.google.de/books?id=c4M_AAAAcAAJ&pg=PA434 S. 434] (französisch)</ref> || 8. Dez. 2006 || 116.580.041 || style="text-align:left;" | Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref>{{Internetquelle |autor=Alexander Jih-Hing Yee |url=http://www.numberworld.org/euler116m.html |titel=Euler-Mascheroni Constant - 116 million digits on a laptop |werk= |hrsg= |datum= |abruf=2020-03-20 |sprache=en}}</ref>
|-
| 1857 ||   34 || style="text-align:left;" | [[Christian Fredrik Lindman]]<ref>[[Christian Fredrik Lindman|Christiano Fr. Lindman]]: ''De vero valore constantis, quae in logarithmo integrali occurit,'' Archiv der Mathematik und Physik 29, 1857, [http://books.google.com/books?id=dw0AAAAAMAAJ&pg=PA238 S. 238–240] (lateinisch)</ref>|| 18. Jan. 2009 || 14.922.244.771 || style="text-align:left;" | Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Numberworld">{{Internetquelle |autor=Alexander Yee |url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html |titel=Records set by y-cruncher |werk=numberworld.org |sprache=en |abruf=2024-04-07}}</ref>
|-
| 1861 ||   41 || style="text-align:left;" | [[Ludwig Oettinger]]<ref>[[Ludwig Oettinger|L. Oettinger]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002151650 Ueber die richtige Werthbestimmung der Constante des Integrallogarithmus]'' (Oktober 1861), Journal für die reine und angewandte Mathematik 60, 1862, [http://books.google.com/books?id=TQUPAAAAIAAJ&pg=PA375 S. 375–376]</ref> || 13. März 2009 || 29.844.489.545 || style="text-align:left;" | Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Numberworld" />
|-
| 1867 ||   49 || style="text-align:left;" | [[William Shanks]]<ref>[[William Shanks]]: ''On the calculation of the numerical value of Euler’s constant, which Professor Price, of Oxford, calls E'' (28. März/9. April/29. August 1867/14. Juni 1869), Proceedings of the Royal Society of London 15, 1867, [http://books.google.com/books?id=SyAWAAAAYAAJ&pg=PA429 S. 429–431] [http://books.google.com/books?id=SyAWAAAAYAAJ&pg=PA431 431–432]; 16, 1868, [http://books.google.com/books?id=iyAWAAAAYAAJ&pg=PA154 S. 154]; 18, 1870, [http://books.google.com/books?id=CasOAAAAIAAJ&pg=PA49 S. 49] (englisch)</ref> || 22. Dez. 2013 || 119.377.958.182 || style="text-align:left;" | Alexander J. Yee<ref name="Numberworld" />
|-
| 1871 ||   99 || style="text-align:left;" | [[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]]<ref>[[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]]: ''On the calculation of Euler’s constant'' (6./14. Juni 1871), Proceedings of the Royal Society of London 19, 1871, [http://www.archive.org/stream/proceedingsroya71britgoog#page/n550/mode/2up S. 514–524] (englisch)</ref> || 15. März 2016 || 160.000.000.000 || style="text-align:left;" | Peter Trueb<ref name="Numberworld" />
|-
| 1871 ||  101 || style="text-align:left;" | [[William Shanks]]<ref>[[William Shanks]]: ''On the numerical value of Euler’s constant, and on the summation of the harmonic series employed in obtaining such value'' (30. August 1871), Proceedings of the Royal Society of London 20, 1872, [http://www.archive.org/stream/proceedingsroya17unkngoog#page/n80/mode/2up S. 29–34] (englisch)</ref> || 18. Mai 2016 || 250.000.000.000 || style="text-align:left;" | Ron Watkins<ref name="Numberworld" />
|-
| 1877 ||  262 || style="text-align:left;" | [[John Couch Adams]]<ref>[[John Couch Adams|J. C. Adams]]: ''Note on the value of Euler’s constant; likewise on the values of the Napierian logarithms of 2, 3, 5, 7, and 10, and of the modulus of common logarithms, all carried to 260 places of decimals'' (6. Dezember 1877), Proceedings of the Royal Society of London 27, 1878, S. 88–94 (englisch)</ref> || 23. Aug. 2017 || 477.511.832.674 || style="text-align:left;" | Ron Watkins<ref name="Numberworld" />
|-
| 1952 ||  328 || style="text-align:left;" | [[John William Wrench, Jr.]]<ref>[[John William Wrench, Jr.|J. W. Wrench, Jr.]]: ''Note 141. A new calculation of Euler’s constant,'' Mathematical tables and other aids to computation 6, Oktober 1952, S. 255 (englisch)</ref> || 26. Mai 2020 || 600.000.000.100 || style="text-align:left;" | Seungmin Kim & Ian Cutress<ref name="Numberworld" />
|-
| 1961 || 1050 || style="text-align:left;" | Helmut Fischer & [[Karl Zeller (Mathematiker)|Karl Zeller]]<ref>H. Fischer, [[Karl Zeller (Mathematiker)|K. Zeller]]: ''Bernoullische Zahlen und Eulersche Konstante,'' Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 41 (Sonderheft), 1961, S. T71–T72 ([https://zbmath.org/?q=Bernoullische+Zahlen+und+Eulersche+Konstante zbmath.org])</ref> || 13. Mai 2023 || 700.000.000.000 || style="text-align:left;" | Jordan Ranous & Kevin O’Brien<ref name="Numberworld" />
|-
| 1962 || 1270 || style="text-align:left;" | [[Donald Ervin Knuth|Donald E. Knuth]]<ref>[[Donald Ervin Knuth|Donald E. Knuth]]: ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-079/S0025-5718-1962-0148255-X/home.html Euler’s constant to 1271 places]'' (12. Januar 1962), Mathematics of Computation 16, 1962, S. 275–281 (englisch)</ref> || 7. Sep. 2023 || 1.337.000.000.000 || style="text-align:left;" | Andrew Sun<ref name="Numberworld" />
|-
| 1962 || 3566 || class="hintergrundfarbe-basis" style="text-align:left;" | Dura W. Sweeney<ref>Dura W. Sweeney: ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1963-17-082/S0025-5718-1963-0160308-X/home.html On the computation of Euler’s constant]'' (29. Juni 1962), Mathematics of Computation 17, 1963, S. 170–178 (englisch)</ref> || colspan="3" rowspan="3" style="border:0;" |
|-
| 1973 || 4879 || style="text-align:left;" | William A. Beyer & [[Michael S. Waterman]]<ref>W. A. Beyer, [[Michael S. Waterman|M. S. Waterman]]: ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1974-28-126/S0025-5718-1974-0341809-5/home.html Error analysis of a computation of Euler’s constant]'' (26. Juni 1973), Mathematics of Computation 28, 1974, S. 599–604 (englisch)</ref>
|}

== Siehe auch ==
* [[Meissel-Mertens-Konstante]] – Primzahl-Analogon zur Euler-Mascheroni-Konstante

== Literatur ==
* [[Matyáš Lerch|M. Lerch]]: ''[http://archive.org/stream/vestnkkrlovs189702kn#page/n47/mode/2up Expressions nouvelles de la constante d’Euler]'' (9. Juli 1897), Sitzungsberichte der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, 1897, XLII S. 1–5 (französisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an:28.0256.01 Jahrbuch-Bericht])
* Jonathan Sondow: ''[http://www.ams.org/journals/proc/2003-131-11/S0002-9939-03-07081-3/home.html Criteria for irrationality of Euler’s constant]'' (4. Juni 2002), Proceedings of the AMS 131, November 2003, S. 3335–3344 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an:1113.11040 Zentralblatt-Bericht])
* Steven R. Finch: ''Euler-Mascheroni constant, γ,'' Kapitel 1.5 in ''Mathematical constants,'' Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 28–40 (englisch; [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an:1054.00001 Zentralblatt-Rezension]; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: ''[http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/ Mathematical Constants]'')
* {{Literatur |Autor=[[Julian Havil]] |Titel=Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2007 | ISBN=978-3-540-48495-0 |DOI=10.1007/978-3-540-48496-7 |Kommentar=aus dem Englischen übersetzt von Manfred Stern, [http://www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an:1123.11001 Zentralblatt-Rezension]}}
* Thomas P. Dence, Joseph B. Dence: ''[http://dl.dropbox.com/u/34767554/DenceSurveyCE.pdf A survey of Euler’s constant]'' ([[PDF]]-Datei, 432&nbsp;kB), Mathematics Magazine 82, Oktober 2009, S. 255–265 (englisch)
* [[Jeffrey Lagarias|Jeffrey C. Lagarias]]: ''Euler’s constant: Euler’s work and modern developments,'' Bulletin AMS, Band 50, 2013, S. 527–628, {{arXiv|1303.1856}} [math.NT], 2013 (englisch)

== Weblinks ==
* {{MathWorld|title=Euler-Mascheroni Constant|id=Euler-MascheroniConstant}}
* {{OEIS|A053977}} (Engel-Entwicklung von γ)
* {{OEIS|A006284}} (Pierce-Entwicklung von γ)
* Xavier Gourdon, Pascal Sebah: ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html The Euler constant: γ]'' auf ''Numbers, constants and computation,'' 14. April 2004 (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4227778-4}}

{{SORTIERUNG:Eulermascheronikonstante}}
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Besondere Zahl]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]