Quelltext der Seite Epsilon-Induktion

Unter '''Epsilon-Induktion''' (auch ∈-Induktion) versteht man in der [[Mathematik]] ein spezielles [[Beweis (Mathematik)#Beweismethoden|Beweisverfahren]] der [[Mengenlehre]]. Gilt es zu beweisen, dass eine Aussage <math>A</math> für alle Mengen gilt, so reicht es laut Epsilon-Induktion zu zeigen, dass sie für die Mengen gilt, für deren Elemente sie gilt. Präzise ausgedrückt besagt die Epsilon-Induktion also
:<math>\forall x ((\forall y\in x. A(y))\rightarrow A(x))\rightarrow \forall x A(x).</math>
Ihren Namen hat die ''Epsilon''-Induktion dem [[Griechisches Alphabet|griechischen Kleinbuchstaben]] [[Epsilon|ε]] zu verdanken, aus dem sich das heutige [[Elementzeichen]] entwickelte.

== Verhältnis zu Regularität ==
Die Gültigkeit der Epsilon-Induktion lässt sich für jedes <math>A</math> in [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] beweisen und das [[Auswahlaxiom]] ist dafür nicht notwendig.

Maßgeblich geht in den Beweis das klassische [[Regularitätsaxiom]] ein. Die Epsilon-Induktion ist ein [[Axiomenschema]], während das Regularitätsaxiom ein einziges Axiom ist, welches nur Mengen betrifft. Es lässt sich dennoch sogar zeigen, dass die Epsilon-Induktion zum Regularitätsaxiom äquivalent ist. Das heißt, tauschte man in ZF das Regularitätsaxiom gegen die Epsilon-Induktion aus, so entstünde ein äquivalentes [[Axiomensystem]]. Das [[Unendlichkeitsaxiom]] spielt im Beweis der Äquivalenz ebenfalls eine wesentliche Rolle. 

=== Beweis ===
Zum Beweis der Epsilon-Induktion für <math>A</math> betrachtet man eine [[transitive Menge]]. 

Für eine gegebene Menge <math>x</math> existiert in [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] die [[Transitive Hülle (Menge)|transitive Hülle]] <math>TC(x)</math>, welche auch <math>x</math> als Teilmenge enthält. Man betrachtet damit weiters die Menge
:<math>M := \{y\in TC(x)\cup\{x\} \mid \neg A(y) \}</math>
Der Beweis geht von der erfüllten Induktions-Voraussetzung für <math>A</math> aus und demonstriert die Induktions-Behauptung durch herbeiführen eines Widerspruchs im Falles deren Negation: Wäre die Epsilon-Induktion falsch, dann gäbe es eine Menge <math>x</math> für die <math>\neg A(x)</math> gilt. Damit gilt auch <math>x\in M</math>, sodass <math>M</math> nicht leer ist. Somit liefert die Regularität von <math>M</math> ein epsilon-minimales Element <math>m \in M</math>, also ein Element mit <math>\neg A(m)</math> welches einen leeren Schnitt mit <math>M</math> hat. Jedes Element von <math>m</math> ist aufgrund der Transitivität von <math>TC(x)</math> wieder in <math>TC(x)</math>, kann aber wegen der Epsilon-Minimalität von <math>m</math> nicht auch in <math>M</math> sein. Da <math>M</math> durch die Negation des Prädikats <math>A</math> charakterisiert ist gilt für alle <math>z\in m</math> die Aussage <math>A(z)</math>. Die [[Implikation]] in der Voraussetzung des Induktions-Schemas liefert damit aber wiederum <math>A(m)</math>, im Widerspruch zum etablierten <math>\neg A(m)</math>.

== Anwendung ==

Die Epsilon-Induktion wird zum Beispiel dafür benutzt, zu zeigen, dass jede Menge in der [[Von-Neumann-Hierarchie]] enthalten ist. Zu jeder Menge <math>x</math> findet man also eine [[Ordinalzahl]] <math>\alpha</math> mit <math>x\in V_\alpha</math>. In dem entsprechenden Beweis ist die Aussage <math>A(x)</math> also durch
:<math>A(x) \equiv \exists \alpha\in \operatorname{Ord} . x\in V_\alpha</math>
definiert.

== Literatur ==
* Thomas Jech: ''Set Theory.'' Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-44085-2.

[[Kategorie:Mengenlehre]]