Quelltext der Seite Elektromagnetische Induktion

[[Datei:Magnet in Spule.svg|mini|Ein bewegter Permanentmagnet erzeugt an den Klemmen einer Spule eine elektrische Spannung <math>U(t)</math>.]]

Unter '''elektromagnetischer Induktion''' (auch '''Faradayscher Induktion''', nach [[Michael Faraday]], kurz '''Induktion''') versteht man das Entstehen eines [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]] bei einer Änderung der [[Magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]].

In vielen Fällen lässt sich das elektrische Feld durch Messung einer [[Elektrische Spannung|elektrischen Spannung]] mit einer [[Spule (Elektrotechnik)|Spule]] direkt nachweisen. Ein typisches Beispiel hierfür zeigt das nebenstehende Bild: Durch die Bewegung des Magneten wird eine elektrische Spannung induziert, die an den Klemmen der Spule messbar ist und für weitere Anwendungen bereitsteht.

Die elektromagnetische Induktion wurde 1831 von Michael Faraday bei dem Bemühen entdeckt, die Funktionsweise eines [[Elektromagnet]]en (Strom erzeugt Magnetfeld) umzukehren (Magnetfeld erzeugt Strom). Der Zusammenhang ist eine der vier [[Maxwellsche Gleichungen|maxwellschen Gleichungen]]. Die Induktionswirkung wird technisch vor allem bei [[Elektrische Maschine|elektrischen Maschinen]] wie [[Elektrischer Generator|Generatoren]], [[Elektromotor]]en und [[Transformator]]en genutzt. Bei diesen Anwendungen treten stets [[Wechselspannung]]en auf.

== Geschichtliche Entwicklung ==
[[Datei:Faraday emf experiment.svg|mini|Prinzip von Faradays historischem Experimentalaufbau: Eine Änderung des magnetischen Flusses in der linken Spule induziert eine Spannung in der rechten Spule.<ref name="Giancoli" />]]
[[Datei:Michael Faraday - Project Gutenberg eText 13103.jpg|mini|[[Michael Faraday]] – Entdecker der Induktion]]

Die elektromagnetische Induktion als Teil der maxwellschen Gleichungen und der [[Elektrodynamik|klassischen Elektrodynamik]] spiegelt den Kenntnisstand zum Ende des 19.&nbsp;Jahrhunderts wider. Zum damaligen Zeitpunkt wurden teilweise andere Begriffe und Formelzeichen benutzt, die grundlegenden Vorstellungen über den Induktionsvorgang wurden jedoch zu dieser Zeit geschaffen.

Als Entdecker des '''Induktionsgesetzes''' gelten [[Michael Faraday]], [[Joseph Henry]] und [[Hans Christian Ørsted]], die das Induktionsgesetz im Jahr 1831 unabhängig voneinander formulierten, wobei Faraday, der von 1830 bis 1850 seine Hauptstudien über die Induktion und die elektromagnetischen Erscheinungen<ref>[[Paul Diepgen]], [[Heinz Goerke]]: ''[[Ludwig Aschoff|Aschoff]]/Diepgen/Goerke: Kurze Übersichtstabelle zur Geschichte der Medizin.'' 7., neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960, S.&nbsp;35.</ref> durchführte, seine Ergebnisse als Erster veröffentlichte.<ref>{{Literatur |Autor=[[Fawwaz Ulaby]] |Titel=Fundamentals of applied electromagnetics |Auflage=5. |Verlag=Pearson Prentice Hall |Datum=2007 |ISBN=978-0-13-241326-8 |Seiten=255}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://www.nas.edu/history/members/henry.html |titel=Joseph Henry |werk=NAS.edu |hrsg=Distinguished Members Gallery, [[National Academy of Sciences]] |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20131213121232/http://www.nas.edu/history/members/henry.html |archiv-datum=2013-12-13 |abruf=2024-07-02}}</ref>

In Faradays erstem Demonstrationsaufbau zur Induktion vom 29.&nbsp;August 1831<ref>{{Literatur |Autor=[[Bence Jones]] |Titel=The Life And Letters Of Faraday |Band=Volume II |Datum=2008 |ISBN=978-1-4437-1530-0 |Online={{Google Buch |BuchID=7UeGSNU1GX0C |Seite=2}} |Abruf=2024-07-02}}</ref> wickelte er zwei Leiterdrähte auf die gegenüberliegenden Seiten eines Eisenkerns&nbsp;– eine Anordnung, die modernen Ringkerntransformatoren ähnelt. Er erwartete aufgrund seiner Kenntnisse über Permanentmagnete, dass sich –&nbsp;sobald in einer der beiden Leitungen ein Strom zu fließen beginnt&nbsp;– eine Welle entlang des Rings ausbreitet und zu einem Stromfluss in der Leitung auf der anderen Seite des Rings führt. Im Experiment schloss er an einer der beiden Leitungen ein [[Galvanometer]] an und beobachtete jedes Mal einen kurzen Zeigerausschlag, wenn er den anderen Draht an eine [[Batterie (Elektrotechnik)|Batterie]] anschloss.<ref>{{Literatur |Autor=[[:en:L. Pearce Williams|Leslie Pearce Williams]] |Titel=Michael Faraday. A biography |Verlag=Chapman and Hall |Ort=London |Datum=1965 |Seiten=182–183 |Sprache=en}}</ref> Die Ursache dieser Induktionserscheinung war die Änderung des magnetischen Flusses in der von der Leiterschleife aufgespannten Fläche. In der folgenden Zeit identifizierte Faraday weitere Beispiele elektromagnetischer Induktion. So beobachtete er Ströme wechselnder Richtung, wenn er einen Permanentmagneten rasch in eine Spule hinein und wieder heraus bewegte. Aus den historischen Untersuchungen ging auch die sogenannte [[Unipolarinduktion#Unipolarinduktion bei der Faradayscheibe|Faradayscheibe]] (ein Gleichstromgenerator) hervor,<ref>{{Literatur |Autor=Leslie Pearce Williams |Titel=Michael Faraday: A biography |Verlag=Chapman and Hall |Ort=London |Datum=1965 |Seiten=191–195 |Sprache=en}}</ref> deren Funktionsprinzip aus heutiger Sicht als sogenannte ''Bewegungsinduktion'' beschrieben wird und seine Ursache in der Bewegung des Leiters und der mitgeführten Ladungen im magnetischen Feld hat. Faraday veröffentlichte das Gesetz, beginnend mit {{" |Sprache=en |Text=The relation which holds between the magnetic pole, the moving wire or metal, and the direction of the current evolved, i.&nbsp;e. the law which governs the evolution of electricity by magneto-electric induction, is very simple, although rather difficult to express. |ref=<ref>{{Literatur |Autor=[[Michael Faraday]] |Hrsg=Royal Society of London |Titel=Experimental Researches in Electricity |Sammelwerk=Philosophical Transactions of the Royal Society of London for the Year MDCCCXXXII |Band=V |Verlag=Richard Taylor |Ort=London |Datum=1832 |Seiten=154 |Online={{Google Buch |BuchID=8U5FAAAAcAAJ |Seite=154}} |Abruf=2024-07-02}}</ref> |Übersetzung=Die Beziehung, die zwischen dem magnetischen Pol, dem sich bewegenden Draht oder Metall und der Richtung des fließenden Stroms besteht, d.&nbsp;h. das Gesetz, das die Entstehung der Elektrizität durch magnetisch-elektrische Induktion beherrscht, ist sehr einfach, jedoch ziemlich schwer auszudrücken.}}

Bedeutende Beiträge stammten auch von [[Emil Lenz]] ([[lenzsche Regel]]), [[Franz Ernst Neumann]] und [[Riccardo Felici]].

Anfang des 20.&nbsp;Jahrhunderts erfolgte die relativistische Eingliederung des Induktionsgesetzes im Rahmen der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]]. Anders als in der Mechanik, bei der sich die spezielle Relativitätstheorie erst bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit merklich auswirkt, sind relativistische Effekte in der Elektrodynamik schon bei sehr kleinen Geschwindigkeiten zu beobachten. So konnte im Rahmen der Relativitätstheorie beschrieben werden, wie sich beispielsweise die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten in Abhängigkeit von der Bewegung zwischen einem Beobachter und einer beobachteten elektrischen Ladung verändern. Diese Abhängigkeiten in der relativen Bewegung zueinander zwischen verschiedenen Bezugssystemen werden durch die [[Lorentz-Transformation]] beschrieben. Dabei zeigt sich, dass das Induktionsgesetz in Kombination mit den restlichen maxwellschen Gleichungen „lorentzinvariant“ ist. Das heißt, die Struktur der Gleichungen wird durch die Lorentztransformation zwischen verschiedenen Bezugssystemen nicht verändert. Dabei wird deutlich, dass die elektrischen und magnetischen Felder nur zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens sind.

{{Absatz}}

== Allgemeines ==
Bei der durch Induktion infolge einer magnetischen Flussdichteänderung entstehenden elektrischen Spannung handelt es sich um eine sogenannte '''Umlaufspannung.''' Eine solche Umlaufspannung tritt nur in Feldern mit einem sogenannten [[Feldtheorie (Physik)#Wirbelfeld|Wirbelanteil]] auf, d.&nbsp;h. in Feldern, bei denen Feldlinien nicht an einem bestimmten Punkt im Raum enden, sondern beispielsweise kreisförmig sind oder „im Unendlichen“ verschwinden.
Hierdurch unterscheidet sich die '''Induktionsspannung''' von Spannungen, wie sie beispielsweise bei einer [[Batterie (Elektrotechnik)|Batterie]] vorkommen ([[Potentialfeld]]). Die [[Feldlinie]]n der [[Leerlaufspannung]] einer Batterie (siehe [[Elektrische Spannung#Definition|Elektrische Spannung]])<ref>Zum Thema Batterie siehe auch [[Werner Döring|W. Döring]]: ''Einführung in die Theoretische Physik.'' Band&nbsp;2, Berlin 1965.</ref> verlaufen stets von positiven zu negativen Ladungen und sind daher niemals geschlossen.

In mathematischer Form lässt sich das Induktionsgesetz durch jede der folgenden drei Gleichungen beschreiben:
{| class="wikitable"
|+'''Induktionsgesetz in SI-Einheiten'''
! style="background:#CDCDCD;"|Differentielle Form
! style="background:#CDCDCD;"|Integralform I
! style="background:#CDCDCD;"|Integralform II
|-
|style="background:#efefef; text-align:center"| <math>\operatorname{rot}\vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}</math>
|style="background:#efefef; text-align:center"| <math>\,\,\oint\limits_{\partial{\mathcal {\mathcal A}}(t)}{\vec E \cdot \text{d}\vec s} = -\int\limits_{{\mathcal A}(t)}{\frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \text{d}\vec A}</math>
|style="background:#efefef; text-align:center"| <math>\,\,\oint\limits_{\partial{\mathcal A}(t)}{(\vec E + \vec u \times \vec B(t)) \cdot \text{d}\vec s} = -\frac{\text{d}}{\text{d}t }\int\limits_{{\mathcal A}(t)} \vec B(t) \cdot \text{d}\vec A</math>
|}

In den Gleichungen steht <math>\vec E</math> für die [[Elektrisches Feld|elektrische Feldstärke]] und <math>\vec B</math> für die [[magnetische Flussdichte]]. Die Größe <math>\text{d}\vec A</math> ist das orientierte Flächenelement und <math>\partial{\mathcal A}</math> der Rand (die Konturlinie) der betrachteten Integrationsfläche <math>{\mathcal A}</math>; <math>\vec u</math> ist die lokale Geschwindigkeit der Konturlinie relativ zum zugrundeliegenden Bezugssystem. Das auftretende [[Linienintegral]] führt entlang einer geschlossenen Linie <math>\partial{\mathcal A}</math> und endet daher am Startpunkt. Ein Multiplikationspunkt zwischen zwei Vektoren markiert deren [[Skalarprodukt]].

Alle Größen müssen sich auf dasselbe Bezugssystem beziehen.

== Grundlegende Experimente ==
[[Datei:42. Електромагнетна индукција.ogv|mini|Experiment mit Permanentmagnet und Spule]]
[[Datei:Faraday emf experiment.svg|mini|250px|Transformatorprinzip: Das von der linken Wicklung verursachte, sich verändernde Magnetfeld bewirkt in der rechten Wicklung eine elektrische Spannung.<ref name="Giancoli">{{Literatur |Autor=Douglas C. Giancoli |Titel=Physics: Principles with Applications |Auflage=5. |Datum=1998 |Seiten=623–624}}</ref>]]

Im Folgenden werden mehrere beliebte Experimente zur Demonstration der elektromagnetischen Induktion beschrieben.

Ein grundlegendes Induktionsexperiment wird schon im Einleitungstext aufgegriffen. Bewegt man den im Einleitungstext dargestellten Permanentmagneten in der Spule auf und ab, lässt sich an den Klemmen der Spule mit dem Oszilloskop eine elektrische Spannung abgreifen.

Dieses Prinzip wird beim [[Transformator]] genutzt, dessen Funktionsprinzip im nebenstehenden Bild skizziert wird: Schließt man den Batteriestromkreis in der linken Wicklung (Primärwicklung), so entstehen kurzzeitig im Eisenkern ein sich veränderndes magnetisches Feld und in der rechten Wicklung (Sekundärwicklung) eine elektrische Spannung, die beispielsweise mithilfe eines Voltmeters oder einer Glühlampe nachgewiesen werden kann.
Öffnet man den Batteriestromkreis auf der linken Seite wieder, entsteht in der rechten Wicklung erneut eine elektrische Spannung. Diese hat jedoch ein umgekehrtes Vorzeichen.

[[Datei:Induction heating of bar crop.jpg|mini|links|[[Induktive Erwärmung]] einer Metallstange]]

Sofern der Eisenkern elektrisch leitfähig ist, können schon im Kern elektrische Ströme induziert werden, die den Eisenkern erhitzen (siehe Bild ''Induktive Erwärmung einer Metallstange''). Dies versucht man bei Transformatoren zu vermeiden, indem man [[Elektroblech|geblechte]] Kerne verwendet<!--, die dem Strom einen höheren Widerstand entgegensetzen << Das klingt etwas unpräzise. Durch die isolierende Lackierung sollte der Widerstand zwischen den Blechen doch sogar extrem hoch sein. Aber ist es nicht eigentlich entscheidender, dass die Bleche die Bildung eines schädlichen großen Wirbelstroms verhindern, indem sie ... (Wer kann den Satz weiterführen?) -->.

Die Erzeugung einer elektrischen Spannung lässt sich auch durch Bewegung der Leiter erzeugen. So lässt sich an den Klemmen einer Leiterschleife oder einer Spule eine elektrische [[Wechselspannung]] abgreifen, wenn man die Leiterschleife in einem zeitlich konstanten Magnetfeld dreht, wie im Abschnitt ''[[#Induktionsbeispiel: Leiterschleife im Magnetfeld|Leiterschleife im Magnetfeld]]'' gezeigt. Nach dem dort gezeigten Prinzip (aber einer grundlegend verbesserten Anordnung) funktionieren die in [[Kraftwerk]]en eingesetzten [[Generator]]en zur Bereitstellung elektrischer Energie im Stromversorgungsnetz. In dem gezeigten Experiment kann die Wirkungsrichtung grundsätzlich umgedreht werden: Legt man an die Klemmen der drehbar gelagerten Leiterschleife eine elektrische Wechselspannung, so dreht sich die Leiterschleife um ihre Achse im magnetischen Feld ([[Synchronmotor]]).

Die Bewegung eines Leiters im Magnetfeld kann auch genutzt werden, um eine elektrische [[Gleichspannung]] zu erzeugen. Dies ist beispielhaft im Abschnitt ''[[#Beispiel: Induktion durch Bewegung des Leiters|Induktion durch Bewegung des Leiters]]'' gezeigt. Bewegt man den Leiterstab entlang der Schienen, die durch einen Schleifkontakt oder durch Räder elektrisch mit dem Leiterstab verbunden sind, so lässt sich am Voltmeter eine Gleichspannung messen, die von der Geschwindigkeit des Leiterstabes, der magnetischen Flussdichte und dem Abstand der Schienen abhängt.

[[Datei:faradayscheibe.svg|mini|Faradayscheibe: Bei Drehung der Aluminiumscheibe lässt sich am Voltmeter infolge der [[Unipolarinduktion]] eine Gleichspannung abgreifen. Dreht man hingegen nur den Magneten, bleibt die Spannungsanzeige bei null. Dreht man gleichermaßen den Magneten und die Aluminiumscheibe, ist wiederum eine Spannung messbar.]]

Anstelle einer Linearbewegung lässt sich das Experiment auch mit einer Drehbewegung demonstrieren, wie am Beispiel der Faradayscheibe (Bild rechts) gezeigt. Im dargestellten Experiment übernimmt die Aluminiumscheibe die Funktion des bewegten Leiterstabes aus dem Experiment mit dem bewegten Leiterstab im Magnetfeld.

Dreht man die Aluminiumscheibe im magnetischen Feld, so lässt sich zwischen dem Schleifkontakt am äußeren Rand der Aluminiumscheibe und der Drehachse eine elektrische Spannung nachweisen, mit der sich beispielsweise auch eine Glühlampe betreiben lässt. Die Spannung an den Klemmen hängt dabei von der Stärke der magnetischen Flussdichte, der Drehgeschwindigkeit <math>\omega_1</math> und dem Durchmesser der Scheibe ab.

Zum großen Erstaunen Faradays weist ein solcher [[Unipolarmaschine|Unipolargenerator]] jedoch unerwartete Eigenschaften auf, die in der Literatur noch lange nach Faradays Entdeckung diskutiert wurden und zu einer lange anhaltenden Kontroverse um die Frage führte, ob man dem Magnetfeld gleichsam wie einem materiellen Objekt eine Geschwindigkeit zuordnen könne und konkret, ob sich das Magnetfeld mit dem Magneten mitdreht.<ref>Thomas Valone: ''The Homopolar Handbook. A Definitive Guide to Faraday Disk and N-Machine Technologies.'' Abschnitt: Historical Development of the Field Rotation Paradox ({{Google Buch |BuchID=8cs7Zb-5gF8C |Seite=2 |Linktext=Auszug}}, abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024).</ref> Die wesentliche Entdeckung war, dass die Spannung entgegen einer naheliegenden intuitiven Annahme nachweislich nicht von der Relativbewegung zwischen dem Permanentmagneten und der Aluminiumscheibe abhängt. Denn dreht man im dargestellten Experiment beispielsweise nur den Permanentmagneten und lässt die Aluminiumscheibe ruhen <math>(\omega_1=0,\, \omega_2 \ne 0)</math>, so ist trotz der vorhandenen Relativbewegung zwischen Magnet und Leiter keine Spannung zu beobachten. Dreht man hingegen beide Scheiben mit der gleichen Geschwindigkeit <math>(\omega_1=\omega_2\ne 0)</math>, so wird eine Spannung angezeigt, obwohl sich die beiden Scheiben relativ zueinander nicht bewegen.<ref>Chr. Baumgärtel, S. Maher: ''Resolving the paradox of unipolar induction: new experimental evidence on the influence of the test circuit.'' Sci Rep 12, 16791, Oktober 2022 [https://doi.org/10.1038/s41598-022-21155-x ''Volltext,''] abgerufen am 22.&nbsp;Juli 2024.</ref> Ebenso ist eine Spannungsanzeige zu beobachten, wenn man die Spannung anstelle an der Aluminiumscheibe direkt an dem als elektrisch leitfähig angenommenen Permanentmagneten abgreift.

Das Prinzip ist ebenfalls umkehrbar und lässt stromdurchflossene Magnetscheiben kreiseln,<ref>''[http://www.experimentis.de/experimente-versuche/elektrizitaet-magnetismus/kleinster-elektromotor-der-welt/ Kleinster Elektromotor der Welt.]'' In: ''experimentis.de.'' Abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref><ref>{{Webarchiv |url=http://www.magnetladen.de/media/images/Unipolarmotor%20deutsch.pdf |text=''Unipolarmotor – der einfachste Elektromotor der Welt.'' |wayback=20160112151723}}. (PDF; 154&nbsp;kB). In: ''magnetladen.de.'' Abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref> siehe [[Homopolarmotor]].

Obwohl die Kontroverse um diese Frage im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie Einsteins aufgeklärt werden kann<ref>Die Kontroverse lässt sich auflösen, wenn man die Geschwindigkeiten konsequent auf das zugrundegelegte Bezugssystem bezieht, die Lorentztransformation für die mechanischen und elektromagnetischen Feldgrößen berücksichtigt und zudem eine ggf. vorhandene Geschwindigkeit des Voltmeters mit in die Überlegungen einbezieht.</ref> und es erwiesenermaßen nicht auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Magnet und Leiter ankommt, wird im schulischen Unterricht auch heute teilweise noch das sogenannte Igelmodell des Magnetfeldes verwendet, dem zufolge die magnetischen Feldlinien wie Igelstacheln an dem Magneten befestigt seien. Induktion trete diesem Modell entsprechend immer dann ein, wenn der Leiter die Feldlinien „schneide“ (Relativbewegung zwischen Leiter und Magnetfeld). Im Rahmen der Seminarlehrertagung „Physik“ in Dillingen 2002 wies Hübel<ref>Horst Hübel: [http://www.forphys.de/Website/induktion/induktion.html ''Was ist elektromagnetische Induktion? Eine physikalisch-didaktische Analyse.''] ([https://www.forphys.de/Website/induktion/induktion.pdf PDF;] 1,3&nbsp;MB). In: ''forphys.de.'' Abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref> ausdrücklich auf die mit dem Igelmodell verbundenen Schwierigkeiten hin und betonte, das Igelmodell solle nicht als kausale Erklärung der Induktion missverstanden werden; es sei vielmehr nicht haltbar und könne zu falschen Vorstellungen führen.

[[Datei:Induktion Leiterschleife.svg|mini|Induktion, Leiterschleife]]

Eine ähnlich häufige Fehlvorstellung wie das Igelstachelmodell betrifft die Annahme, induktive Vorgänge ließen sich mit der [[Kirchhoffsche Regeln|Kirchhoff’schen Maschengleichung]] erklären. Diese besagt, dass die Summe aller Spannungen in einem Stromkreis „einmal im Kreis herum“ immer null ergibt. Aus dem Induktionsgesetz lässt sich für ruhende Stromkreise hingegen folgern, dass die Summe aller Spannungen „einmal im Kreis herum“ der Änderung des magnetischen Flusses entspricht, die in der vom Stromkreis aufgespannten Fläche auftritt.

Das nebenstehende Bild zeigt zur Verdeutlichung eine Leiterschleife bestehend aus einem guten Leiter (schwarze Linie) und einem Widerstand R, der zur Messung der Spannung zwischen den Klemmen A und B genutzt wird.
Im Bereich innerhalb des Rechtecks (bestehend aus dem Leiter und der gestrichelten Verbindung zwischen den Punkten A und B) existiert ein Magnetfeld, dessen zeitliche Ableitung <math>\frac{\partial \vec B}{\partial t}</math> eine Zeitlang homogen und zeitlich konstant ist.

Misst man die Spannung zwischen den Klemmen A und B entlang einer Strecke durch die Luft, so ergibt sich ein von Null verschiedener Wert, der von der Flussänderung der umschlossenen Fläche abhängt:
:<math>u_\mathrm{AB,Luft} \ne 0</math>

Misst man die Spannung zwischen den Klemmen A und B hingegen entlang einer Strecke durch den Draht, so ergibt sich der Wert null:
:<math>u_\mathrm{AB,Draht} = u_1 + u_2 + \dotsb + u_{15} = 0</math>,
da im Draht aufgrund des geringen Stromflusses und der guten Leitfähigkeit ein verschwindendes E-Feld herrscht und somit gilt:
:<math>u_1 = u_2 = \dotsb = u_{15} = 0</math>

Der Begriff der „Spannung zwischen zwei Punkten“ ist bei Induktion nicht mehr eindeutig und muss durch die Angabe des Weges ergänzt werden (vgl. [[Feldtheorie (Physik)#Wirbelfeld|Wirbelfeld]]).

{{Absatz}}

== Induktion bei einer Leiterschleife ==
=== Allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife ===
[[Datei:Area Faraday's law.svg|mini|Die zeitliche Änderung des durch eine Leiterschleife eingeschlossenen magnetischen Flusses ist an den Enden der Leiterschleife als Spannung messbar.]]

Obwohl die allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes keine Leiterschleife erfordert, soll zunächst wie in vielen einführenden Lehrbüchern üblich die Induktion an einer aus dünnem, gut leitfähigem Draht bestehenden Leiterschleife betrachtet werden. Hierdurch lassen sich eine große Anzahl technischer Anwendungen wie beispielsweise Motoren und Generatoren für Dreh- und Wechselstrom beschreiben und verstehen, ohne dass dazu eine Behandlung der relativistischen Aspekte der Feldtheorie oder die Anwendung der [[Lorentztransformation]] erforderlich wäre.

Für die zwischen beiden Drahtenden mit einem im Laborsystem ruhenden Messgerät (beispielsweise mit einem [[Oszilloskop]]) messbare elektrische Spannung <math>U</math> ergibt sich unter den Voraussetzungen, die im nebenstehenden Bild gekennzeichnet sind:
:<math>U = +\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}</math>
Hierbei ist <math>\Phi</math> der [[Magnetischer Fluss|magnetische Fluss]]
:<math>\Phi = \int\limits_{\mathcal{A}(t)}\vec B \cdot \text{d}\vec A,</math>
der durch eine (beliebige) von der Leiterschleife, den Zuleitungen zum Messgerät und den Leitungen im Messgerät begrenzte Fläche <math>\mathcal{A}(t)</math> hindurchtritt. Bei der Berechnung des Flusses kommt es nicht auf die Form der Fläche, sondern ausschließlich auf deren Berandung an.
Ebenso ist es bei der Rechnung nicht notwendig zu unterscheiden, ob die elektrische Spannung der Anordnung durch eine Änderung der Flussdichte oder durch eine Bewegung des Leiters erzeugt wird.

Bei der Festlegung des Vorzeichens in der Gleichung <math>U = +\tfrac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}</math> ist zu beachten, dass das Vorzeichen sowohl von der Einbaurichtung des Messgerätes, als auch von der Flächenorientierung abhängt. Die Flächenorientierung ist im Schaltbild durch den eingezeichneten Pfeil beim Flächenelement <math>\text{d}\vec A</math> gekennzeichnet. Der [[Zählpfeil|Pfeil]] bei der Spannungsangabe <math>U</math> definiert wiederum die Einbaurichtung des Messgerätes. Die vorliegende Bepfeilung bei der Spannung (Pfeil zeigt von oben nach unten) bedeutet, dass an der oberen Anschlussklemme das ''rote'' Anschlusskabel des Digitalvoltmeters<ref>… bzw. die Messspitze des Oszilloskops …</ref> und an der unteren Anschlussklemme das ''schwarze'' Anschlusskabel des Digitalvoltmeters<ref>… bzw. der Masseanschluss des Oszilloskops …</ref> angeschlossen wird.
Mit der im Bild definierten positiven Orientierung der Fläche sowie der durch den [[Zählpfeil]] bei der Spannung definierten Einbaurichtung ergibt sich ein positives Vorzeichen.
Würde man das Messgerät umdrehen (Spannungspfeil von unten nach oben) oder die Flächenorientierung umgekehrt wählen, so würde sich in der Gleichung ein negatives Vorzeichen ergeben. Ein positives Vorzeichen ergäbe sich hingegen wiederum, wenn man sowohl die Orientierung des Spannungspfeils als auch die Flächenorientierung umkehren würde.

{{Absatz}}

=== Beispiel: Induktion durch Bewegung des Leiters ===
[[Datei:Bewegter Leiter im Feld-Feldlinienbild.svg|mini|Wird der Leiterstab bewegt, zeigt das Messgerät die Spannung <math>\textstyle U=vLB_0</math> an. Aus Sicht eines im Laborsystem ruhenden Beobachters ergibt sich im bewegten Leiterstab eine von null verschiedene elektrische Feldstärke. Das Feldlinienbild zeigt ein reines Quellenfeld, d.&nbsp;h. ein elektrostatisches Feld. Die beiden Schienen laden sich wie ein Kondensator gegeneinander auf. Die Wirbelstärke des <math>E</math>-Feldes ist überall gleich null.]]

Der im nebenstehenden Bild skizzierte Messaufbau besteht aus einer ruhenden elektrisch leitfähigen Schienenanordnung, über die mit der Geschwindigkeit <math>v</math> ein Leiterstab gleitet. Die Anordnung befindet sich in einem örtlich und zeitlich konstanten magnetischen Feld mit der Flussdichte <math>\vec B_0</math>, das durch einen ruhenden [[Permanentmagnet]]en oder eine ruhende mit [[Gleichstrom]] betriebene Spulenanordnung hervorgerufen wird. Die Spannung zwischen den beiden Schienen wird mit einem [[Voltmeter]] gemessen.

Die Spannung <math>U</math> hängt von der Stärke der magnetischen Flussdichte <math>B</math>, der Geschwindigkeit <math>v</math> und dem Schienenabstand <math>L</math> ab:
:<math>U = L \cdot B_0 \cdot v</math>

Diese Spannung kann mithilfe des zuvor formulierten Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife verstanden werden. Da die magnetischen Feldlinien die aufgespannte Fläche senkrecht durchstoßen, kann der magnetische Fluss berechnet werden als
:<math>\Phi = B_0 \cdot A,</math>
wobei die Fläche eine rechteckige Fläche mit dem Flächeninhalt
:<math>A = L \cdot x</math>
ist.

Der von den Leitern eingeschlossene magnetische Fluss beträgt folglich:
:<math>\Phi = B_0 \cdot A = B_0 \cdot \underbrace{L \cdot x}_{=A}</math>

Da die [[Geschwindigkeit]] definiert ist als
:<math>v = \frac{\text{d}x}{\text{d}t},</math>
kann man auch schreiben:
:<math>U = \frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} = B_0 \cdot L \cdot \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = B_0 \cdot L \cdot v</math>

Man spricht in diesem Fall von der sogenannten '''Bewegungsinduktion''', da die Spannung einzig durch die Bewegung des Leiters entstanden ist und die zeitliche Änderung der Flussdichte keine Rolle spielte.

Bei Bewegungsinduktion lässt sich die Entstehung der Spannung immer als Folge der Lorentzkraft auf die im Leiterstab vorhandenen Leitungselektronen verstehen. Im vorliegenden Beispiel erklärt sich die Entstehung der Spannung wie folgt:
* Die Lorentzkraft übt auf die Elektronen eine Kraft <math display="inline">\vec F_\mathrm{L} = q \cdot \left(\vec v \times \vec B_0\right)</math> aus, wobei <math>q = -1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}</math> die Ladung eines Elektrons und <math>\vec v</math> die Geschwindigkeit des Elektrons ist.
* Die Richtung der Kraft lässt sich mit der UVW-Regel oder der Rechte-Hand-Regel nachvollziehen. In der Zeichnung wird der Leiter von links nach rechts bewegt (<math>\Rightarrow</math> Daumen der rechten Hand zeigt nach rechts). Das schwachgraue Muster im Hintergrund des Bildes symbolisiert Feldlinien des Magnetfeldes <math>\vec B_0</math>, die senkrecht zur Ebene der Schienenanordnung vom Betrachter weg verlaufen (<math>\Rightarrow</math> Zeigefinger zeigt in die Zeichenebene hinein). Der Mittelfinger zeigt dementsprechend in Richtung der Kraftrichtung, die auf positive Ladungsträger ausgeübt würde (<math>\Rightarrow</math> Mittelfinger zeigt von der unteren Schiene auf die obere Schiene). Folglich werden negativ geladene Elektronen zur unteren Schiene hin verschoben.
* Aufgrund der Lorentzkraft verschieben sich die Elektronen so, dass auf der oberen Schiene ein Elektronenmangel und auf der unteren Schiene ein Elektronenüberschuss entsteht.
* Aus der ungleichmäßigen Ladungsverteilung ergibt sich ein elektrisches Feld, das der Lorentzkraft entgegenwirkt.
* Im Gleichgewichtsfall sind die Lorentzkraft <math>\vec F_\mathrm{L}</math> und die Coulombkraft <math>\vec F_\mathrm{C}</math> entgegengesetzt gleich, und es gilt:
:<math>\vec E = -\vec v \times \vec B_0</math>
Die elektrische Feldstärke zeigt in Richtung auf die untere Schiene und erklärt die auftretende Klemmenspannung.

{{Absatz}}

=== Beispiel: Induktion durch Flussdichteänderung ===
[[Datei:Flux Change.svg|mini|Ändert sich die Flussdichte im Leiterkreis, so zeigt das Voltmeter eine Spannung an.]]

Eine Änderung des magnetischen Flusses lässt sich auch dadurch erreichen, dass man die magnetische Flussdichte ändert. Dies geschieht im nebenstehenden Beispiel dadurch, dass man einen Magneten von links kommend unter der Leiterschleife hindurchschiebt. Die Darstellung wurde so gewählt, dass sich die gleiche Flussänderung wie beim Beispiel „[[#Beispiel: Induktion durch Bewegung des Leiters|Induktion durch Bewegung des Leiters]]“ ergibt. Folglich ergibt sich an den Klemmen der Anordnung auch die gleiche Spannung:
:<math>U = \frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} = B_0 \cdot L \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = B_0 \cdot L \cdot v</math>

Obwohl bei beiden Experimenten die gleiche Flussänderung und die gleiche Spannung auftreten, unterscheiden sich beide Experimente ansonsten sehr stark. Dies gilt insbesondere im Hinblick auf das elektrische Feld: Beim Beispiel „[[#Beispiel: Induktion durch Bewegung des Leiters|Induktion durch Bewegung des Leiters]]“ liegt ein elektrostatisches Feld vor, während beim Beispiel „[[#Beispiel: Induktion durch Flussdichteänderung|Induktion durch Flussdichteänderung]]“ ein elektrisches Feld mit starken Wirbelanteilen vorliegt.

{{Absatz}}

=== Technische Anwendungen ===
[[Datei:Induktionsapparat hg.jpg|mini|Historischer Induktionsapparat aus dem Physikunterricht]]

In der Technik findet das Induktionsgesetz in vielfacher Hinsicht Anwendung. Allen Beispielen ist gemein, dass durch Änderung des magnetischen Flusses eine stromtreibende Wirkung erzielt wird. Dies geschieht entweder durch Bewegung eines Leiters in einem magnetischen Feld (Bewegungsinduktion) oder durch Änderungen des Magnetfeldes:
* [[Induktionsschleife]] für Kfz zur Steuerung von Verkehrsampelanlagen und Schranken
* [[Dynamisches Mikrofon]]
* Dynamisches (Magnet-)[[Tonabnehmer#Tonabnehmer für Schallplatten|Tonabnehmersystem]] für Plattenspieler
* [[Tonabnehmer]] für elektrische Saiteninstrumente (z.&nbsp;B. E-Gitarre und E-Bass)
* Tonkopf zur Abtastung von Magnetbändern
* [[Generator]] = [[Elektrischer Generator|Dynamo]] = [[Lichtmaschine]]
* [[RFID]]-Tag (beispielsweise Ski-Pass)
* [[Transkranielle Magnetstimulation]]
* [[Induktionsgeber]] (auch induktiver Impulsgeber) als Drehzahlsensor (z.&nbsp;B. im Kfz-Bereich)
* [[Induktionshärten]]
* [[Induktionslampe]]
* [[Induktionssender]]
* [[Transformator]]
* [[Ringschleifenanlage]] für die Übertragung von Audiosignalen in Hörgeräte
* [[Aufwärtswandler]]
* [[Betatron]]
* [[Linearbeschleuniger#Induktions-Linearbeschleuniger|Induktions-Linearbeschleuniger]]
* Induktive Erwärmung durch [[Wirbelstrom|Wirbelströme]]: [[Induktionsofen]], [[Induktionshärten]], das [[Nahfeld und Fernfeld (Antennen)|Induktionsfeld]], [[Induktionskochfeld]]

{{Absatz}}

=== Erkennen der Flussänderung ===
Wenn an den Klemmen einer starren Leiterschleife eine Spannung abgreifbar ist, so kann diese dem Induktionsgesetz für Leiterschleifen entsprechend immer auf eine Flussänderung in der Leiterschleife zurückgeführt werden.

<gallery mode="packed">
 Induktion Hufeisenmagnet1.svg|Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt eine Flussänderung auf.
 Induktion Hufeisenmagnet2.svg|Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt ebenfalls eine Flussänderung auf, die aber oft nicht erkannt wird.
 Induktion Hufeisenmagnet3.svg|Die magnetische Flussdichte in den Schenkeln des Hufeisenmagneten ist nicht konstant.
</gallery>

Hübel<ref>Horst Hübel: [https://www.forphys.de/Website/induktion/induktion.pdf#page=6 ''Was ist elektromagnetische Induktion? Eine physikalisch-didaktische Analyse.''] (PDF; 1,3&nbsp;MB; S.&nbsp;6–7). In: [http://www.forphys.de/ ''forphys.de.''] Abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref> weist unter dem Stichwort „Hufeisenparadoxon“ darauf hin, dass diese Flussänderung in manchen Fällen dem ungeübten Auge verborgen bleibt und diskutiert die Probleme anhand verschiedener Anordnungen mit Hufeisenmagneten, wie sie typischerweise im Schulunterricht verwendet werden (vgl. nebenstehende Bilder).

Während die Flussänderung in der Leiterschleife in der ersten Anordnung für Anfänger normalerweise leicht erkennbar ist, misslingt dies vielen Lernenden beim zweiten Bild. Die Lernenden konzentrieren sich auf den mit Luft erfüllten Bereich der Anordnung und berücksichtigen nicht, dass die Flussdichte zum Pol des Permanentmagneten hin nur im Innenbereich kontinuierlich zunimmt, während sie maßgeblich zu den Polen hin im Magneten abnimmt (siehe drittes Bild).

=== Anordnung mit Rollkontakten – Versuch von Hering ===
[[Datei:Hering-Video-gross.webm|mini|Experiment zum Hering’schen Paradoxon: Bei beiden Anordnungen ergibt sich die gleiche Flussänderung. Nur bei der unteren Schleife zeigt das Oszilloskop jedoch eine Spannung an.]]
Im nebenstehenden Video ist ein geschlitzter Eisenkern zu sehen. Eine mit einem Gleichstrom gespeiste Spule erzeugt im Kern und in seinem Schlitz ein zeitlich konstantes magnetisches Feld.

Das Video zeigt parallel zwei unterschiedliche Experimente und ihren Ausgang an:
* Im unteren Teil führt man eine gewöhnliche Leiterschleife durch den Schlitz des Eisenkerns. Da in diesem Schlitz ein magnetisches Feld herrscht, entsteht an den Enden der Leiterschleife eine Spannung, die verstärkt und im unteren Oszilloskopbild angezeigt wird.
* Im oberen Teil wird eine modifizierte Leiterschleife realisiert. Dabei wird die Leiterschleife an einer Stelle aufgetrennt und die aufgetrennten Enden werden mit einem Metallrädchen versehen. Während des Experiments umfahren die Metallrädchen den magnetischen Kern und üben dabei jeweils einen gewissen Anpressdruck aufeinander oder auf den Kern aus. Da der magnetische Kern elektrisch leitfähig ist, besteht so zu jedem Zeitpunkt eine elektrische Verbindung zwischen den Rädchen und damit zwischen den aufgetrennten Enden der Schleife. Das Oszilloskop zeigt trotz ansonsten gleicher Bedingungen keine Spannung an.

Paradoxon: Bei beiden Experimenten tritt die gleiche Flussänderung in der gleichen Zeit auf. Das Oszilloskop zeigt aber nur in einem Experiment eine Spannung an, obwohl man in beiden Experimenten das Vorhandensein einer ''induzierten Spannung'' erwarten würde. Dieses unerwartete Ergebnis heißt '''Heringsches Paradoxon''',<ref>Proc. Am. J. E. F., März 1908, S. 339.</ref><ref>''El. World.'' Nr. 11, 14. März 1908, S. 558.</ref><ref>''The Electrician.'' 3. April 1908, S. 946.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Hartmut Grabinski |Titel=Der Heringsche Versuch: Mythen und Fakten |Band=80 |Verlag=Springer |Datum=1997 |Seiten=285–290 |DOI=10.1007/BF01370965 |Online=https://www.deepdyve.com/lp/springer-journals/der-heringsche-versuch-mythen-und-fakten-wdTd3mNFnW/ |Abruf=2024-07-02}}</ref> benannt nach [[Carl Hering (Ingenieur)|Carl Hering]].

[[Datei:Hering-1.svg|mini|Ein Permanentmagnet wird in die Leiterschleife hineinbewegt. Obwohl in der betrachteten Fläche eine Flussänderung auftritt, schlägt das Voltmeter nicht aus.]]

Das Experiment soll im Folgenden aus einem Bezugssystem heraus betrachtet werden, bei dem das Oszilloskop und die Leitungen ruhen und sich ein elektrisch leitfähiger Permanentmagnet mit der Geschwindigkeit <math>v</math> in eine Leiterschleife hineinbewegt. Die obere und die untere Kontaktfläche des Magneten sind über feststehende Rollen elektrisch leitend mit den eingezeichneten Leiterdrähten verbunden.

Für die verschiedenen Abschnitte der Leiterschleife ergeben sich dann die folgenden elektrischen Feldstärken:
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
| Strecke <math>\overline{AB}</math> (Leiter)
| Strecke <math>\overline{BC}</math> (Magnet)
| Strecke <math>\overline{CD}</math> (Leiter)
| Strecke <math>\overline{DA}</math> (Oszilloskop)

|-
|<math>E = 0</math>
|<math>\vec E = -\vec v \times \vec B = v \cdot B \cdot \vec e_y</math>
|<math>E = 0</math>
|<math>E = 0</math>
|}

Wesentlich zur Auflösung des Paradoxons ist die Erkenntnis, dass das Innere des leitfähigen bewegten Magneten nicht feldfrei ist, sondern dass dort eine von null verschiedene elektrische Feldstärke <math>\vec E = -\vec v \times \vec B</math> herrscht. Integriert man diese Feldstärke entlang der Strecke <math>\overline {BC}</math> auf, ergibt sich gerade die gesuchte ''induzierte Spannung''. Diese ist aber nicht –&nbsp;wie erwartet&nbsp;– im Oszilloskop lokalisiert, sondern im Magneten.

Die Gleichung <math>\vec E = -\vec v \times \vec B</math> lässt sich aus der Überlegung herleiten, dass offensichtlich an keinem Abschnitt des Stromkreises eine stromtreibende Kraft wirkt. Da die Kräftefreiheit insbesondere auch für das Innere des Magneten gilt, lässt sich für eine innerhalb des Magneten befindliche Ladung <math>q</math> die elektromagnetische Gesamtkraft: <math>\vec F_q = q \cdot (\vec E + \vec v_q \times \vec B) = \vec 0</math> ansetzen. Nimmt man an, dass sich die Ladung <math>q</math> „schlupffrei“ mit dem Magneten mitbewegt (<math>\vec v_q = \vec v</math>), gilt auch <math>q \cdot (\vec E + \vec v \times \vec B) = \vec 0</math>, was nach einer leichten Formelumstellung zu <math>\vec E = -\vec v \times \vec B</math> führt.

Der scheinbare Widerspruch des Experimentes zum Induktionsgesetz ist auch durch eine formale Betrachtung auflösbar. Dabei führen Form&nbsp;I und Form&nbsp;II mit ruhender oder auch konvektiver (im Magneten mitwandernder) Umlaufkurve zum (gemessenen) Ergebnis, dass am Voltmeter keine Spannung angezeigt wird.
Die Tabelle gibt exemplarisch die Terme an, die bei Form&nbsp;II anfallen.
{| class="wikitable"
|+ '''Anordnung von C. Hering – Zwei Varianten der Spannungsberechnung'''

|- class="hintergrundfarbe5"
| Induktionsgesetz Form II
| <math>\textstyle \partial\mathcal{A}</math>
| <math>\textstyle \vec u</math>
| <math>\textstyle \int_{\mathrm CDAB}\vec E \cdot \text{d}\vec s</math>
| <math>\textstyle \int_{\mathrm BC}\vec E \cdot \text{d}\vec s</math>
| <math>\textstyle \int\limits_{\mathrm BC}\vec u \times \vec B \cdot \text{d}\vec s</math>
| <math>\textstyle -\frac{\text{d}}{\text{d}t }\int\limits_{{\mathcal A}(t)} \vec B \cdot \text{d}\vec A</math>

|-
|<math>\textstyle \oint\limits_{\partial{\mathcal A}}{(\vec E + \vec u \times \vec B) \cdot \text{d}\vec s} = -\frac{\text{d}}{\text{d}t }\int\limits_{{\mathcal A}} \vec B \cdot \text{d}\vec A\quad\quad</math>
|ruhend
|<math>\textstyle 0</math>
|<math>\textstyle U</math>
|<math>\textstyle -vBL</math>
|<math>\textstyle 0</math>
|<math>\textstyle -vBL</math>

|-
|<math>\textstyle \oint\limits_{\partial{\mathcal A}(t)}{(\vec E + \vec u \times \vec B) \cdot \text{d}\vec s} = -\frac{\text{d}}{\text{d}t }\int\limits_{{\mathcal A}(t)} \vec B \cdot \text{d}\vec A\quad\quad</math>
|konvektiv
|<math>\textstyle \vec v</math>
|<math>\textstyle U</math>
|<math>\textstyle -vBL</math>
|<math>\textstyle +vBL</math>
|<math>\textstyle 0</math>
|}

Gegenüber dem hohen Innenwiderstand des Spannungsmessers sind die auf die ruhende Messleitung und den bewegten Magneten entfallenden Widerstände vernachlässigbar. Deshalb kann im ruhenden Teil CDAB nur im Spannungsmesser eine elektrische Feldstärke existieren, sodass dort der Beitrag zum Umlaufintegral von <math>\textstyle \vec E</math> gleich <math>\textstyle U</math> ist (4.&nbsp;Spalte der Tabelle). Der Term <math>\textstyle -vLB</math> in der 5.&nbsp;Spalte rührt daher, dass der bewegte magnetisierte Körper im Laborsystem elektrisch polarisiert erscheint.<ref>[[Fritz Sauter (Physiker)|Fritz Sauter]] (Hrsg.), [[Richard Becker (Physiker)|Richard Becker]]: ''Theorie der Elektrizität 1.'' 21. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-23006-2, Abschn.&nbsp;11.3.</ref> Der Term gibt die entsprechende elektrische Spannung an. Zum gleichen Resultat führt auch die [[Spezielle Lorentz-Transformation|Transformationsbeziehung]] zwischen elektrischer Feldstärke und magnetischer Flussdichte <math>\textstyle \vec E' = \vec E + \vec v\times\vec B</math> nach Lorentz bei <math>\textstyle \vec E'=0</math>. In den magnetischen Schwund in der Spalte rechts außen geht die Bewegung der Randlinie ein. Bei bewegtem Abschnitt BC bleibt der Fluss konstant. Ruhende oder bewegte Randlinie führen mit den angegebenen Termen zum (auch gemessenen) Resultat <math>\textstyle U=0</math>.

{{Absatz}}

== Allgemeines Induktionsgesetz in differentieller Form und in Integralform ==
Das Gesetz der elektromagnetischen Induktion, kurz Induktionsgesetz, beschreibt ''einen'' Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern (der andere ist das [[Ampèresches Gesetz]]). Es besagt, dass bei einer Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche am Rand dieser Fläche eine Ringspannung entsteht. In besonders häufig verwendeten Formulierungen wird das Induktionsgesetz beschrieben, indem die Randlinie der Fläche als unterbrochene Leiterschleife dargestellt wird, an deren offenen Enden die Spannung gemessen werden kann.

Die zum Verständnis sinnvolle Beschreibung gliedert sich in zwei mögliche Darstellungsformen:
# Die Integralform oder auch ''globale Form'' des Induktionsgesetzes: Dabei werden die globalen Eigenschaften eines räumlich ausgedehnten Feldgebietes (über den Integrationsweg) beschrieben.
# Die differentielle Form oder auch ''lokale Form'' des Induktionsgesetzes: Dabei werden die Eigenschaften einzelner lokaler Feldpunkte in Form von Dichten beschrieben. Die Volumina der globalen Form streben gegen null, und die auftretenden Feldstärken werden differenziert.

Beide Darstellungsformen beschreiben denselben Sachverhalt. Je nach konkretem Anwendungsfall und Problemstellung kann es sinnvoll sein, die eine oder die andere Form zu benutzen.

Bei der Anwendung des Induktionsgesetzes ist zu beachten, dass alle in den Gleichungen auftretenden Größen, d.&nbsp;h. die [[Elektrisches Feld|elektrische Feldstärke]] <math>\vec E</math>, die magnetische Flussdichte <math>\vec B</math>, die orientierte Fläche <math>\mathcal A</math>, die Konturlinie <math>\partial \mathcal A</math> dieser Fläche und die lokale Geschwindigkeit <math>\vec u</math> eines Punktes auf der Konturlinie von einem beliebigen, aber für alle Größen gleichen, Bezugssystem ([[Inertialsystem]]) aus beschrieben werden.

Führt die Konturlinie durch Materie, ist zudem zu beachten:
* Die Konturlinie <math>\partial\mathcal A</math> ist eine gedachte Linie. Da sie keine physikalische Entsprechung hat, hat eine eventuelle zeitliche Bewegung der Konturlinie grundsätzlich keinen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Prozesse. Insbesondere verändert eine Bewegung der Konturlinie nicht die Feldgrößen <math>\vec E</math> und <math>\vec B</math>. In der Integralform&nbsp;I wird die Bewegung der Konturlinie daher überhaupt nicht berücksichtigt. In der Integralform&nbsp;II beeinflusst die Bewegung der gedachten Konturlinie beide Seiten der Gleichung in gleichem Maße, sodass man bei der Berechnung beispielsweise einer elektrischen Spannung mit Integralform&nbsp;I zum gleichen Ergebnis kommt wie bei der Berechnung derselben Spannung mithilfe von Integralform&nbsp;II.
* Grundsätzlich darf die Geschwindigkeit der Konturlinie von der Geschwindigkeit der im Experiment verwendeten Körper (z.&nbsp;B. Leiterschleife, Magnete) abweichen. Die Geschwindigkeit der Konturlinie in Bezug auf den Beobachter wird im Rahmen des Artikels mit <math>\vec u</math> gekennzeichnet, während die Geschwindigkeit von Objekten mit dem Buchstaben <math>\vec v</math> beschrieben wird.
* Im Gegensatz zur Bewegung der Konturlinie hat die Geschwindigkeit der Körper im Allgemeinen einen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Vorgänge. Das gilt insbesondere für die Feldgrößen <math>\vec E</math> und <math>\vec B</math>, die der jeweilige Beobachter misst.

=== Induktionsgesetz in differentieller Form ===
Das Induktionsgesetz in differentieller Form lautet:
:<math>\operatorname{rot}\vec E = -\dot{\vec{B}}</math>
Das Vorhandensein von elektrischen Wirbeln bzw. einer zeitveränderlichen magnetischen Flussdichte ist das wesentliche Kennzeichen von Induktion. In elektrischen Feldern ohne Induktion (z.&nbsp;B. in dem Feld unbewegter Ladungen) existieren keine geschlossenen Feldlinien der elektrischen Feldstärke <math>E</math>, und das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke ergibt immer null.

Seine Hauptanwendung findet das Induktionsgesetz in differentieller Form einerseits bei theoretischen Herleitungen und in der numerischen Feldberechnung, andererseits (jedoch seltener) in der analytischen Berechnung konkreter technischer Fragestellungen.

Wie Einstein in seinem ersten Werk über die spezielle Relativitätstheorie<ref>[[Albert Einstein]]: ''Zur Elektrodynamik bewegter Körper.'' In: ''Annalen der Physik und Chemie.'' 17, 30.&nbsp;Juni 1905, S.&nbsp;891–921 ([https://digbib.bibliothek.kit.edu/volltexte/UB-Bestand/8/8.pdf PDF,] abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024).</ref> zeigte, stehen die Maxwellgleichungen in differentieller Form in Übereinstimmung mit der speziellen Relativitätstheorie. Eine an den heutigen Sprachgebrauch angepasste Herleitung hierzu findet sich in dem inzwischen vergriffenen Lehrbuch von [[Károly Simonyi (Physiker)|Simonyi]].<ref>[[Károly Simonyi (Physiker)|Károly Simonyi]]: ''Theoretische Elektrotechnik.'' 9. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Kap.&nbsp;5.2.2.</ref>

{{Absatz}}

=== Übergang von der differentiellen Form zur Integralform ===
Der Zusammenhang zwischen der Integralform und der differentiellen Form kann mithilfe des [[Satz von Stokes|Satzes von Stokes]] mathematisch beschrieben werden. Dabei werden die globalen Wirbel- und Quellenstärken in lokale, diskrete Wirbel- bzw. Quellendichten, die einzelnen Raumpunkten (Punkten eines [[Vektorfeld]]es) zugeordnet sind, übergeführt.

Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetz in differentieller Form:
:<math>\operatorname{rot}\vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}</math>
Zur Überführung in die integrale Form wird der Satz von Stokes verwendet, der aus naheliegenden Gründen mit der Variablen <math>\vec E</math> formuliert wird:
:<math>\oint\limits_{\partial {\mathcal A}} \vec E \cdot \text{d}\vec s = \int\limits_{\mathcal A}\operatorname{rot}\vec E \cdot \text{d}\vec A</math>

Ersetzt man im rechten Term des Stokesschen Gesetzes das Vektorfeld <math>\vec E</math> entsprechend dem Induktionsgesetz in differentieller Form durch den Term <math>-\tfrac{\partial \vec B}{\partial t}</math>, so ergibt sich:
:<math>\oint\limits_{\partial {\mathcal A}} \vec E \cdot \text{d}\vec s = -\int\limits_{\mathcal A}\frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \text{d}\vec A</math>

Das ist eine mögliche allgemeine Form des Induktionsgesetzes in Integralform,<ref>Klaus W. Kark: ''Antennen und Strahlungsfelder. Elektromagnetische Wellen auf Leitungen im Freiraum und ihre Abstrahlung.'' 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, Kap.&nbsp;3.8.3, S.&nbsp;47.</ref> die entgegen vielen anderslautenden Behauptungen sowohl für Konturlinien in ruhenden Körpern als auch in bewegten Körpern angewendet werden kann.<ref>Roland Kröger, [[Rolf Unbehauen]]: ''Zur Theorie der Bewegungsinduktion.'' Mitteilung des Lehrstuhls für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik, Universität Erlangen-Nürnberg, AEÜ, Band&nbsp;36, Heft&nbsp;9, 1982. Die Autoren erklären: „Umgekehrt gelten insbesondere die Gl.&nbsp;(17a,&nbsp;b) (das sind das Induktionsgesetz in differentieller Form und das vorgenannte Induktionsgesetz in Integralform, Anm.) entgegen allen anders lautenden Behauptungen auch für bewegte Leiter (allgemein für bewegte Medien).“</ref>

Um eine Formulierung zu erhalten, die den magnetischen Fluss <math>\Phi = \int\limits_{\mathcal A}\vec B \cdot \text{d}\vec A</math> enthält, addiert man auf beiden Seiten der Gleichung den Term <math>\oint\limits_{\partial {\mathcal A}}(\vec u \times \vec B) \cdot \text{d}\vec s</math>. Dabei ergibt sich:
:<math>\oint\limits_{\partial {\mathcal A}} \left(\vec E + \vec u \times \vec B\right) \cdot \text{d}\vec s = -\int\limits_{\mathcal A}\frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \text{d}\vec A + \oint\limits_{\partial {\mathcal A}}(\vec u \times \vec B) \cdot \text{d}\vec s</math>

Der rechte Teil der Gleichung entspricht wegen <math>\operatorname{div}\vec B = 0</math> der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses,<ref>Károly Simonyi: ''Theoretische Elektrotechnik.'' 9. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Kap.&nbsp;1.5.3, bewegte Medien.</ref><ref>[[Harley Flanders]]: ''Differentiation under the integral sign.'' In: ''American Mathematical Monthly.'' 80 (6), Juni–Juli 1973, S.&nbsp;615–627:
:<math>\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int \limits_{\mathcal A}\vec{B}\cdot \text{d}\vec{A} = \int \limits_{\mathcal A} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \text{d}\vec{A} + \oint \limits_{\partial {\mathcal A}}(\vec{B} \times \vec{u}) \cdot \text{d}\vec{s} + \int \limits_{\mathcal A} (\nabla \cdot \vec{B}) \cdot \vec{u} \cdot \text{d}\vec{A}</math>
Wegen <math>\nabla \cdot \vec{B} = 0</math> (Nichtexistenz von magnetischen Monopolen) ist der letzte Term im Zusammenhang mit <math>B</math>-Feldern gleich null und kann damit entfallen.</ref> sodass das Induktionsgesetz in Integralform in voller Allgemeingültigkeit auch folgendermaßen notiert werden kann:
:<math>\oint\limits_{\partial {\mathcal A}} \left(\vec E + \vec u \times \vec B\right) \,\text{d}\vec s = -\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int\limits_{\mathcal A} \vec B \,\text{d}\vec A</math>

In vielen Lehrbüchern werden diese Zusammenhänge leider nicht richtig notiert, was daran erkennbar ist, dass der auf der linken Gleichungsseite notierte Term <math>\vec u \times \vec B</math> fehlt.<ref>Albrecht Lindner: ''Grundkurs theoretische Physik.'' 2.&nbsp;erw. Auflage, ISBN 3-519-13095-5 ({{Google Buch |BuchID=P8a2_XDTZSgC |Seite=218 |Linktext=Auszug}}, abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024).</ref><ref>[[Ekbert Hering]], Karl-Heinz Modler: ''Grundwissen des Ingenieurs.'' 14. Auflage. 2007, ISBN 978-3-446-22814-6 ({{Google Buch |BuchID=frk-cW8CC6UC |Seite=164 |Linktext=Auszug}}, abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024).</ref><ref>Wolfgang Nerreter: ''Grundlagen der Elektrotechnik.'' Hanser-Verlag, 2006, ISBN 3-446-40414-7 ({{Google Buch |BuchID=uiTAHdAwRHAC |Seite=144 |Linktext=Auszug}}, abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024).</ref> In der neuen Auflage ist der Fehler behoben.<ref>Wolfgang Nerreter: ''Grundlagen der Elektrotechnik.'' Hanser-Verlag, 2020, ISBN 978-3-446-46456-8.</ref> Richtig notiert wird das Induktionsgesetz hingegen beispielsweise bei Fließbach.<ref>[[Torsten Fließbach]]: ''Elektrodynamik. Lehrbuch zur Theoretischen Physik&nbsp;II.'' 6. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2012, Gl.&nbsp;16.8, Gl.&nbsp;16.12, ISBN 978-3-8274-3035-9.</ref><ref>Gerhard Ecker: [http://homepage.univie.ac.at/Gerhard.Ecker/t3skript.pdf ''Elektrodynamik. Theoretische Physik 3.''] In: ''homepage.univie.ac.at.'' Skript der Universität Wien, abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref><ref>[[Peter Ring]]: {{Webarchiv |url=http://einrichtungen.ph.tum.de/T37/WS0910/EDyn/Ring-Skript-Elektrodynamik.pdf |text=''Theoretische Physik III. Elektrodynamik.'' |wayback=20130303000244}}. In: ''einrichtungen.ph.tum.de.'' Skript der TU München, abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref>

Der Irrtum besteht wahrscheinlich darin, dass der fehlende Term irrtümlich der elektrischen Feldstärke zugeschlagen wird (manche Autoren sprechen in diesem Zusammenhang auch von einer ''effektiven'' elektrischen Feldstärke).<ref>Hier ist auch die in diesem Artikel bereits genannte Analogie mit einer Batterie nützlich: Im Zusammenhang mit Batterien spricht man statt von elektrischen Feldern von sog. ''[[Elektromotorische Kraft|elektromotorischen Kräften]],'' und es tritt auch hier das bereits angesprochene Vorzeichenproblem auf (der elektrische Strom ist parallel, nicht antiparallel zu diesen Kräften).</ref> In seiner Konsequenz führt das Weglassen des Terms <math>\vec u \times \vec B</math> dazu, dass die Größe <math>E</math> inkonsistent verwendet wird und je nach Zusammenhang eine unterschiedliche Bedeutung hat.<ref>Roland Kröger, Rolf Unbehauen: ''Zur Theorie der Bewegungsinduktion.'' Mitteilung des Lehrstuhls für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik, Universität Erlangen-Nürnberg, AEÜ, Band&nbsp;36, Heft&nbsp;9, 1982. Die Autoren kritisieren, dass die Bedeutung des Buchstaben <math>\vec E</math> für die elektrische Feldstärke dadurch inkonsistent verwendet wird und bekräftigen, dass die im Ruhesystem beobachtete magnetische Kraft nicht auf eine elektrische Feldstärke (gemessen im Ruhesystem) zurückgeführt werden kann. Wörtlich heißt es: „Die Größe <math>\vec E_1 = \vec u \times \vec B</math> ist also im Laborsystem keine legitime elektrische Feldstärke. Sie hätte als solche in der Situation von Bild&nbsp;1 auch eine seltsame stets übersehene Eigenschaft, nämlich Quellen bei negativen und Senken bei positiven Ladungen! Man kann eben nicht alles, was die Dimension der elektrischen Feldstärke hat, als solche bezeichnen. Es sei denn, man verzichtet darauf, ''überall'' in der Elektrodynamik unter ‚E‘ das gleiche zu verstehen.“</ref>

{{Absatz}}

=== Induktionsgesetz in Integralform ===
[[Datei:Spannungsdefinition.svg|mini|Die Spannung zwischen den beiden Punkten A und B entlang des eingezeichneten Wegs ist die Summe der Produkte <math>\vec E \cdot \text{d}\vec r</math> aus der elektrischen Feldstärke <math>\vec E</math> und dem Wegstückchen <math>\text{d}\vec r.</math>]]

Im folgenden Abschnitt wird die erste Integralform des Induktionsgesetzes betrachtet:
:<math>\oint\limits_{\partial {\mathcal A}} \vec E \,\mathrm{d}\vec s = -\int\limits_{\mathcal A} \frac{\partial \vec B}{\partial t} \, \mathrm{d}\vec A</math>

Entsprechend der mathematischen Formulierung des Integrals wird die Fläche <math>\mathcal A</math> zu einem konstanten Zeitpunkt betrachtet und deren zeitliche Änderung nicht berücksichtigt.

Im Hinblick auf den Begriff der induzierten Spannung –&nbsp;das Integral über die elektrische Feldstärke&nbsp;– wird zunächst die im nebenstehenden Bild eingezeichnete Verbindungslinie zwischen den Punkten A und B in einem elektrischen Feld betrachtet.

Die Spannung zwischen den Punkten A und B („äußerer Pole“ einer „Steckdose“) kann man näherungsweise berechnen, indem man den Weg in viele kleine Wegelemente <math>\text{d}\vec r</math> unterteilt. Da man aufgrund der nur geringen Länge näherungsweise von einer konstanten elektrischen Feldstärke entlang eines solchen Wegstückes ausgehen kann, ergibt sich für die Teilspannung entlang eines Wegelementes im Innern der Wert
:<math>\text{d}U\approx + \vec{E}(x,y,z)\cdot \text{d}\vec{r} = +E_{\text{tan}}\, \text{d}r.</math>

Als Gesamtspannung zwischen beiden Punkten ergibt sich somit
:<math>\Delta U \approx +\vec{E}(x_1, y_1, z_1) \cdot \text{d}\vec{r}_1 + \vec{E}(x_2, y_2, z_2) \cdot \text{d}\vec{r}_2 + \dotsb + \vec{E}(x_n, y_n, z_n) \cdot \text{d}\vec{r}_n.</math>

Die exakte Darstellung wird mithilfe eines Integrals definiert. Dieses kann man sich als Grenzwert für unendlich viele Wegstücke mit unendlich kleiner Länge <math>\left| \text{d}\vec{r} \right|\to 0</math> vorstellen. Zur Berechnung definiert man i.&nbsp;A. eine von einem Parameter <math>\xi</math> abhängige Funktion <math>\vec r(\xi)</math>, die im Bereich <math>\xi = 0 \dots 1</math> die Punkte entlang der Wegstrecke beschreibt (im Innern also ''in''&nbsp;Pfeilrichtung). Die Spannung zwischen beiden Punkten kann dann über ein Kurvenintegral formal erfasst werden:
:<math>\Delta U = \int_{\xi =0}^{1} \vec{E}(\vec r) \cdot \frac{\partial \vec r(\xi)}{\partial \xi}\text{d}\xi =: \int_{A}^{B} \vec{E}\cdot \text{d}\vec{r}\,,</math> berechnet in Pfeilrichtung

Lässt man nun den Punkt entlang der Kontur <math>C = \partial \mathcal A</math> eines Gesamtumlaufes weiterwandern, bis er die eingeschlossene Fläche genau einmal umrundet hat und wieder mit dem Ausgangspunkt identisch wird <math>(B = A),</math> ergibt sich als Gesamtwert die in der geschlossenen Leiterschleife induzierte Umlaufspannung <math>U_\text{ind}</math>:
:<math>U_\text{ind} = \oint_{C} E_\text{tan} \text{d}r = \oint_{C} \vec{E} \cdot \text{d} \vec{r}</math>

Hinsichtlich des Vorzeichens ist zu berücksichtigen, dass die Kontur die Fläche dabei im Sinne der Rechte-Hand-Regel umrundet.

Der dritte Ausdruck obiger Gleichungen ist dabei die dem zweiten Ausdruck gleichwertige vektorielle Darstellung des tangentialen Feldstärkeanteils mithilfe des [[Skalarprodukt]]es, und die beiden Integrale sind sogenannte [[Ringintegral]]e, die immer dann verwendet werden, wenn (wie hier) längs eines geschlossenen Weges integriert wird, in diesem Fall entlang der Kontur der Leiterschleife <math>C.</math>

Die induzierte Spannung lässt sich bei einer nichtbewegten Leiterschleife näherungsweise als Spannungsabfall mit einem [[Spannungsmessgerät]] messen, wenn man entlang der geschlossenen Linie eine Leiterschleife anbringt und diese an einer Stelle auftrennt. Da über dem Leiterdraht nahezu keine elektrische Spannung abfällt, liegt die ganze induzierte Spannung zwischen den Klemmen.

{{Absatz}}

== Relativistische Aspekte ==
In Messsystemen mit bewegten Komponenten treten auch schon bei kleinen Geschwindigkeiten <math>v \ll c</math> relativistische Effekte auf. Diese grundsätzliche Tatsache wird durch ein einfaches Gedankenexperiment deutlich:
* Ein Beobachter, der eine (relativ zu ihm nicht bewegte) Ladung beobachtet, wird ein elektrisches Feld messen, jedoch aufgrund des fehlenden Stromflusses kein magnetisches Feld.
* Bewegt sich der Beobachter hingegen auf die Ladung zu oder von ihr weg, so wird er einerseits bemerken, dass sich aufgrund der Bewegung das elektrische Feld verändert. Das bedeutet, dass der Beobachter bei gleicher Entfernung von der Ladung, aber anderer Relativgeschwindigkeit zur Ladung ein unterschiedliches <math>E</math>-Feld misst. Andererseits interpretiert der Beobachter die Ladung aber auch als einen Strom, der sich von ihm fort oder auf ihn zubewegt. Der Beobachter wird also zusätzlich zum elektrischen Feld ein magnetisches Feld erkennen.

Damit bei Messungen mit bewegten Komponenten keine Missverständnisse auftreten, ist die Angabe des Bezugssystems, relativ zu dem die Beobachtungen beschrieben werden, unbedingt erforderlich.
Ebenso ist es erforderlich, Größen, die in einem anderen als dem zugrunde gelegten Bezugssystem gemessen werden, mithilfe der [[Spezielle Lorentz-Transformation|Lorentztransformation]] umzurechnen.

Besonders wichtig ist die Anwendung der Lorentztransformation bei der Betrachtung elektrischer Feldstärken. Dies ist entgegen einer weit verbreiteten Ansicht schon bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit (beispielsweise einige mm/s) erforderlich und in praktisch allen Experimenten mit bewegten Leitern von Bedeutung.

[[Datei:Bewegter Leiter im Feld-Feldlinienbild.svg|mini|Experiment mit einem bewegten Leiterstab im zeitlich konstanten <math>B</math>-Feld]]

Zur Erläuterung betrachten wir erneut den bewegten Leiterstab im zeitlich konstanten <math>B</math>-Feld.

Da die Leiterschleife geöffnet ist, beträgt die stromtreibende Kraft <math>\vec F</math> auf eine Ladung <math>q</math>
:<math>\vec F = q \cdot (\vec E + \vec v \times \vec B_0) = 0.</math>
In dem mit der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> bewegten Leiterstab ergibt sich somit aus Sicht eines Beobachters im Laborsystem die Feldstärke
:<math>\vec E = -\vec v \times \vec B_0 \ne 0,</math>
während im Bereich des ruhenden Leiters mit <math>\vec v = 0</math> eine Feldstärke von
:<math>\vec E = 0</math>
herrscht.

Die Unterschiede in der Feldstärke zwischen den bewegten und den ruhenden Leiterabschnitten ergeben sich direkt aus der Lorentztransformation für die elektrische Feldstärke:
Ein Beobachter, der sich mit dem bewegten Leiterstab mitbewegt, wird innerhalb des Leiterstabes eine (Eigen-)Feldstärke von
:<math>\vec E' = \vec 0</math>
messen.
Setzt man die (gestrichene) Eigenfeldstärke in die passende [[Spezielle Lorentz-Transformation|Transformationsgleichung]] ein, so ergibt sich für die entsprechende Größe im Laborsystem:
:<math>{\vec{E}}' = \gamma \left(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}_0\right) + (1 - \gamma)\frac{\vec{E} \cdot \vec{v}}{v^2}\vec{v} = \vec 0</math>
Wegen <math>\vec v \perp \vec E</math> entfällt der gesamte rechte Term und damit auch die Relevanz des Faktors <math>\gamma</math>, der gewissermaßen „in die Null hineindividiert“ werden kann. Wie erwartet ergibt sich dabei für die elektrische Feldstärke aus Sicht des Laborsystems der Wert
:<math>\vec{E} = -\vec{v}\times \vec{B}.</math>

Mithilfe dieses Experimentes kann man demzufolge Relativitätstheorie mit einfachen Vorlesungsexperimenten demonstrieren. Da das genannte Experiment in vielen Darstellungen als ein Beispiel für elektromagnetische Induktion dargestellt wird, soll ausdrücklich bekräftigt werden, dass die Klemmenspannung nicht auf Wirbel des elektrischen Feldes zurückgeführt werden kann, da wegen <math>\operatorname{rot}\vec E = \dot{\vec B} = 0</math> solche nicht vorhanden sind. Wie das Feldlinienbild zeigt, liegt ein reines Potentialfeld vor. Diese zeigen von positiven Ladungen auf der Oberfläche der oberen Schiene zu negativen Ladungen auf der Oberfläche der unteren Schienen. In diesem Sinne kann der physikalische Vorgang, der bei diesem Experiment stattfindet, mit dem Aufladen eines Kondensators verglichen werden.

== Betrachtungen spezieller Fragestellungen ==
=== Induktionsbeispiel: Bewegter Leiterstab im Magnetfeld (mit Stromfluss) ===
[[Datei:Bewegter Leiter im Feld Res.svg|mini|Ist die Leiterschleife geschlossen und bewegt sich der Stab im Magnetfeld, kommt es zu einem Stromfluss im Stromkreis.]]

In Abänderung des weiter oben diskutierten Beispiels eines „bewegten Leiterstabes im homogenen Magnetfeld“ wird hier ein Stromkreis mit endlichem Widerstand betrachtet, sodass es bei der Bewegung des Leiterstabes im Magnetfeld zu einem Stromfluss kommt. Für die Stromstärke gilt:
:<math>I = \frac{U}{R} = \frac{\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}}{R}</math>

Hierbei wird die gesamte Flussänderung in der Leiterschleife betrachtet. Da aber die [[Induktivität]] <math>L_\Phi \approx 0</math> für eine Leiteranordnung wie hier genähert werden kann, sind auch der stromabhängige magnetische Fluss <math>\Phi_L = L_\Phi I \approx 0</math> und die dazugehörige Flussänderung <math>\tfrac{\text{d}\Phi_L}{\text{d}t} = L_\Phi\tfrac{\text{d}I}{\text{d}t} \approx 0</math> vernachlässigbar. Die induzierte Stromstärke ist damit:
:<math>I = \frac{vLB_0}{R}</math>

Wird der Leiterstab mit der konstanten Geschwindigkeit <math>v</math> bewegt, wird mechanische Arbeit verrichtet. Die Kraft ist die [[Lorentzkraft]] auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge <math>L</math> im Magnetfeld der Flussdichte <math>B_0</math>:
:<math>\vec{F} = I\vec{L}\times\vec{B}_0,</math> hier: <math>F = I\,L\,B_0</math>
Für die [[elektrische Leistung]], die im Widerstand umgesetzt wird, gilt <math>P = UI</math> und für die [[mechanische Leistung]] einer solchen gleichförmigen Bewegung gilt <math>P = vF = vILB_0 = \frac{U}{LB_0}ILB_0 = UI</math>, nachdem man die entsprechenden Größen von oben eingesetzt hat. Es wird also mechanische Arbeit in elektrische umgewandelt.

{{Absatz}}

=== Induktionsbeispiel: Leiterschleife im Magnetfeld ===
[[Datei:Leiterschleife.svg|mini|Eine Leiterschleife dreht sich im Magnetfeld.]]

Dreht sich eine Leiterschleife mit der [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega = 2 \pi f</math> in einem aus dem Laborsystem betrachtet zeitlich konstanten Magnetfeld, so verändert sich aus Sicht der Leiterschleife die magnetische Flussdichte ständig, und es ergibt sich ein veränderter magnetischer Fluss durch die Leiterschleife.

Die an den Klemmen im sich drehenden System gemessene Spannung kann folgendermaßen berechnet werden:
* Die durch die Leiterschleife berandete ebene Fläche hat den Flächeninhalt <math>A = l_1 l_2</math>.
* Die magnetische Flussdichte ändert im Koordinatensystem des mitbewegten Beobachters ständig ihren Betrag und ihre Richtung. Nimmt man an, dass das Bild die Fläche zum Zeitpunkt <math>t = 0</math> zeigt, so beträgt der senkrecht auf die Fläche auftretende Anteil der Flussdichte <math>B_\mathrm{senkr}(t) = \cos(2 \pi f t) B</math>.
* Der durch die Fläche <math>A</math> hindurchstoßende magnetische Fluss beträgt dementsprechend <math>\Phi(t) = B A \cos(2 \pi f t)</math>.
* Für die Spannung <math>U</math> folgt somit mit Hilfe der [[Kettenregel]]:
::<math>U = \frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} = B A (-2 \pi f) \sin(2 \pi f t)</math>

{{Absatz}}

=== Induktionsbeispiel: Induktion bei einer elektrischen Spule mit mehreren Windungen ===
[[Datei:Spulenflaeche.jpg|mini|Fläche einer Spule mit drei Windungen]]

Das Induktionsgesetz ist auch für elektrische Spulen mit mehreren Windungen anwendbar. Die zur Berechnung des magnetischen Flusses erforderliche Fläche wird im nebenstehenden Bild veranschaulicht.<ref>[[Hermann A. Haus]]: [http://web.mit.edu/6.013_book/www/book.html ''Electromagnetic fields and Energy.''] Kap.&nbsp;8.4. In: ''web.MIT.edu.'' [[Massachusetts Institute of Technology]], abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref> Das Induktionsgesetz in seiner allgemeinen Form erfordert daher keinen Faktor <math>N</math> für die Windungszahl der Spule, auch wenn der Spulendraht im konkreten Fall einen Zylinder mehrfach umläuft.

In den meisten Veröffentlichungen zur elektromagnetischen Induktion bei elektrischen Spulen wird der Einfachheit halber der Faktor <math>N</math> für die Windungszahl eingeführt, und das Induktionsgesetz wird in der Form
:<math>U = \frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t} \approx N \frac{\text{d}\Phi_\text{w}}{\text{d}t}</math>
angegeben. Hierbei bezeichnet <math>\Psi</math> den Fluss durch eine von dem Spulendraht und den Anschlüssen berandete Fläche, <math>\Phi_\text{w}</math> den von einer einzelnen Windung umschlossenen magnetischen Fluss und <math>U</math> die gemessene Spannung.

{{Absatz}}

=== Formulierungsvariante: ohmsches Gesetz für bewegte Leiter ===
Die Zusammenhänge bei Bewegungsinduktion lassen sich relativ leicht auch über das [[Ohmsches Gesetz|ohmsche Gesetz]] für bewegte Leiter erfassen. Im Unterschied zu einem ruhenden Leiter, bei dem ausschließlich die elektrische Feldstärke stromtreibend wirkt, wirkt auf die Ladungen in einem bewegten Leiter die komplette Lorentzkraft
:<math>\vec F_\mathrm{L} = q (\vec E + \vec v \times \vec B).</math>

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten <math>v \ll c</math> ist die im ruhenden Bezugssystem gemessene Lorentzkraft gleich groß wie die Kraft, die die Ladung im mitbewegten System erfährt.

Für bewegte Materialien, für die das ohmsche Gesetz gilt, kann die spezifische Leitfähigkeit <math>\kappa</math> durch die Gleichung
:<math>\vec J = \kappa (\vec E + \vec v \times \vec B)</math>
mit der elektrischen Feldstärke <math>\vec E</math>, der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> des jeweiligen Leiterelements und der magnetischen Flussdichte <math>\vec B</math> definiert werden. Das ohmsche Gesetz lautet dann wie im Falle unbewegter Materialien
:<math>\kappa = \text{konstant}.</math>

{{Absatz}}

=== {{Anker|Zeitlich integrierte Form, Spannungszeitfläche}} Formulierungsvariante: Zeitlich integrierte Form, Spannungszeitfläche ===
[[Datei:Sinus-integral.svg|mini|Die schraffierte Fläche stellt eine beispielhafte Spannungszeitfläche über die Dauer einer Viertelperiode der Sinusschwingung dar (100 % bei 325&nbsp;V Scheitelspannung).]]

Durch Integration über die Zeit lässt sich das Induktionsgesetz für Leiterschleifen folgendermaßen umformen:
:<math>\Phi_\text{w}(t) = \Phi_\text{w}(0) + \frac{1}{N} \cdot \int\limits_{0}^t U_\mathrm{i}(\tau)\,\text{d}\tau</math>
Diese Beziehung beschreibt den Flussverlauf als Integralfunktion des Spannungsverlaufs.

Betrachtet man den Vorgang in einem Zeitintervall von <math>0</math> bis <math>T</math> bei konstanter Fläche, durch die der magnetische Fluss tritt –&nbsp;das Zeitintervall kann sich beispielsweise über eine Halbperiode einer Wechselspannung erstrecken&nbsp;–, so folgt daraus für den sich dann ergebenden Fluss
:<math>\Phi_\mathrm{w}(T) - \Phi_\mathrm{w}(0) = \frac{1}{N} \cdot \int_0 ^T U_\mathrm{i}(\tau)\,\mathrm{d}\tau.</math>
Für den Fall <math>\Phi_\mathrm{w}(0) = 0</math> bedeutet das, dass der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife bzw. eine Flussänderung in dieser, wie sie sich durch Anlegen einer Spannung nach der gegebenen Zeit <math>T</math> dort einstellt, immer von dem Spannungszeitintegral in den angegebenen Grenzen <math>0</math> bis <math>T</math> verursacht sein und diesem auch entsprechen muss. Die dafür relevante Spannung ist jeweils die induzierte Spannung <math>U_\mathrm{i}</math>. Diese entspricht der angelegten Spannung abzüglich ohmscher Spannungsabfälle <math>(I \cdot R),</math> soweit diese nicht zu vernachlässigen sind.

Zu veranschaulichen ist das Spannungszeitintegral auch als Fläche zwischen dem Spannungsgraphen und der Zeitachse über dem Intervall <math>[0;T],</math> weshalb man es bisweilen auch als '''Spannungszeit''fläche''''' oder '''Spannungszeit''summe'''''<ref>[[Ernst Grimsehl]]: ''Lehrbuch der Physik.'' Band&nbsp;II, Leipzig 1954, S.&nbsp;321–323.</ref> bezeichnet, in meist älterer Literatur in Anlehnung an den Begriff des ''[[Kraftstoß]]es'' auch als ''Spannungsstoß.''<ref>[[Christian Gerthsen]]: ''Physik.'' 4. Auflage. Springer, Berlin 1956, S.&nbsp;258.</ref><ref>[[Adalbert Prechtl]]: ''Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik.'' Band&nbsp;2, Springer, 2007, S.&nbsp;121.</ref> Ursächlich hierfür ist der Umstand, dass messtechnisch früher die Integration von induzierten Spannungsimpulsen mittels ballistischer [[Galvanometer]] durchgeführt wurde, vgl. auch [[Magnetischer Fluss#Veranschaulichung|Veranschaulichung des magnetischen Kraftflusses]].

Beispiel für 50&nbsp;Hz bei <math>U_\text{eff} = 230\,\text{V}</math>: Auf grafische Weise durch Auszählen der kleinen Quadrate ermittelt, erhält man das Ergebnis von ca. 1,05&nbsp;Voltsekunden zum Bild rechts oben, für eine Sinushalbschwingung folglich 2,1&nbsp;Voltsekunden. Das ist die Spannungszeitfläche, welche die Induktion im Eisenkern eines Transformators von einem Ende der Hysteresekurve zum anderen Ende transportiert. Wenn ein Transformator passend zu den 230&nbsp;V bei 50&nbsp;Hz ausgelegt ist, läuft die Induktion im Dauerbetrieb hauptsächlich im senkrechten Bereich der Hysteresekurve. Höhere Spannung oder niedrigere Frequenz führt zum Übersteuern der Hysteresekurve in die waagerecht verlaufenden Bereiche, zur Kernsättigung, was dann auch in der Praxis durch den Anstieg des Magnetisierungsstromes anschaulich beobachtbar ist.

Als weiteres Beispiel kann ein vielfach praktiziertes Messprinzip für den magnetischen Fluss dienen: Hier wird der zu messende Fluss von einer Messspule erfasst und die Spannung an der Spule auf einen Integrator gegeben, der an seinem Ausgang als Ergebnis unmittelbar den Fluss anzeigt.

{{Absatz}}

=== Formulierungsvariante: Flussregel ===
Die '''Flussregel''' <math>U_i = -\dot\Phi</math> formuliert das Induktionsgesetz in Integralform für den Spezialfall einer Leiterschleife: Sie gilt für geschlossene Umlaufwege, die ganz in elektrisch leitendem (auch bewegtem) Material im (auch zeit- und ortsveränderlichen) Magnetfeld verlaufen, vorzugsweise in Leiterschleifen mit geringem Querschnitt. Im Fall bewegter Leiterschleifen muss sich die festgelegte Umlaufkurve zeitlich stetig und ''konvektiv'' (s.&nbsp;u.) ohne Unterbrechungen entwickeln. Die Geschwindigkeiten in der Anordnung müssen deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein.

'''Herleitung:''' Über den Umlaufweg im Induktionsgesetz Form&nbsp;II kann weitgehend frei verfügt werden. Im zur Flussregel führenden Ansatz wird allen Elementen <math>\text{d}\vec s</math> des Umlaufwegs die lokale Stoffgeschwindigkeit <math>\vec v</math> vorgegeben (konvektive Linienelemente, <math>\vec u = \vec v</math>). Damit gilt:
:<math>\oint\limits_{\partial{\mathcal A}(t)}{(\vec E + \vec v \times \vec B) \cdot \text{d}\vec s} = -\frac{\text{d}}{\text{d}t}\int\limits_{{\mathcal A}(t)} \vec B \cdot \text{d}\vec A</math>
Der Integrand des Linksterms ist nach den [[Spezielle Lorentz-Transformation|Transformationsgleichungen]] von Lorentz gleich der elektrischen Feldstärke <math>\vec E'</math> im Ruhesystem jedes Linienelements, sodass auch
:<math>\oint\limits_{\partial{\mathcal A}(t)}{\vec E' \cdot \text{d}\vec s} = -\frac{\text{d}}{\text{d}t}\int\limits_{{\mathcal A}(t)} \vec B(t) \cdot \text{d}\vec A\quad(*)</math>
oder kürzer
:<math>U_i = -\dot\Phi</math>
geschrieben werden kann. Die letzten beiden gleichwertigen Gleichungen sind zunächst für die oben genannten Voraussetzungen zugeschnittene Formen des Induktionsgesetzes. Die letzte Gleichung wird als ''Flussregel''<ref>[[Richard Feynman]]: ''[http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_16.html Lectures on Physics.]'' Vol.&nbsp;II, Chpt.&nbsp;16. In: ''feynmanlectures.caltech.edu.'' Abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref><ref>Richard Feynman: ''[http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_17.html Lectures on Physics.]'' Vol.&nbsp;II, Chpt.&nbsp;17. In: ''feynmanlectures.caltech.edu.'' Abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref> bezeichnet, wenn sie auf einen unverzweigten Stromkreis angewandt wird.<ref>Bei der Bildung der zeitlichen Ableitung des magnetischen Flusses ist darauf zu achten, dass sich der Flächenrand (d.&nbsp;h. die Umlaufkurve) überall nach Maßgabe der konvektiven Randelemente ''verschiebt.''</ref>
Die als ''induzierte Spannung''<ref>DIN 1324, Teil 1, Abschn. 7.3: ''Induzierte Spannung.''</ref><ref>Deutsche Online-Ausgabe des [[Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch|IEV]]: [https://www.dke.de/de/services/iev-woerterbuch/iev-schablonen-detailseite?id=41078&type=dke%7Ciev ''induzierte Spannung.''] In: ''[[Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik|DKE.de]].'' Abgerufen am 2.&nbsp;Juli 2024.</ref> bezeichnete, stromtreibend wirkende, elektromagnetische Größe <math>U_i</math> –&nbsp;ihrer Definition nach eine Ringspannung&nbsp;– erweist sich als wertgleich mit dem ''magnetischen Schwund'' <math>-\dot\Phi</math>. Ein irgendwo im Leiterkreis eingebauter Spannungsmesser, dessen Innenwiderstand groß gegen den Widerstand des restlichen Kreises ist, zeigt den Wert von <math>U_i</math> an.<ref><math>U_i</math> wurde früher als ''[[elektromotorische Kraft]] (EMK)'' bezeichnet. Im angelsächsischen Raum, z.&nbsp;B. bei Richard Feynman (s.&nbsp;o.) heißt die induzierte Spannung „(induced) electromotive force (emf <math>\mathcal E</math>)“.</ref>

Dass der magnetische Schwund <math>-\dot\Phi</math> (in Gl. (<math>*</math>) der Rechtsterm) einen elektrischen Strom durch den elektrischen Widerstand in der Leiterschleife antreiben kann, illustriert die Form des Linksterms: Dort steht die ladungsbezogene Arbeit, welche die [[Lorentzkraft]] an der Ladung bei einem Schleifenumlauf verrichtet. Der Anwendungskomfort der Flussregel liegt darin, dass die stromtreibende induzierte Spannung <math>U_i</math> in einer ruhenden oder auch bewegten Leiterschleife allein aus dem Magnetfeld bestimmt werden kann: Die elektrische Feldstärke im Laborsystem <math>\vec E</math> und jene im Ruhesystem der Linienelemente <math>\vec E'</math> kommt in der Formel nicht vor.

Die Wicklungen von Transformatoren, Elektromotoren und Generatoren zur Stromerzeugung sind Leiterschleifen im Sinne der Flussregel.

{{Absatz}}

==== Beispiel Atmende Leiterschleife ====
[[Datei:AtmendeLeiterschleife.svg|mini|'''Leiterschleife''' mit zeitveränder&shy;lichem Radius (atmend) im zeitveränderlichen Magnetfeld]]

Die rechts skizzierte kreisringförmige (elastisch gedachte) Leiterschleife mit zeitveränderlichem Radius <math>r(t)</math> befindet sich in einem homogenen, zeitabhängigen Magnetfeld <math>\vec B = B(t)\vec e_z</math>. Der Leiterquerschnitt <math>A</math> und die elektrische Leitfähigkeit <math>\kappa</math> können längs des Umfangs variieren. Die zeitliche Ableitung <math>\dot r = v</math> des Radius <math>r</math> erweist sich als die lokale, radial gerichtete Geschwindigkeit <math>v</math> der Ringelemente. Die Schleifenebene liegt normal zur <math>z</math>-Achse und bleibt parallel zu sich selbst. In der Skizze bezeichnen die Pfeile für den radialen, peripheren und axialen Einheitsvektor <math>\vec e_\rho</math>, <math>\vec e_\varphi</math> bzw. <math>\vec e_z</math> auch die Bezugsrichtungen für die in Frage kommenden skalaren Größen. Alle im Folgenden angegebenen Feldgrößen sind zeitabhängig, was die Notation nicht jedes Mal wiederholt.

Die in der Schleife induzierte Spannung <math>U_i = -\dot\Phi = -\tfrac{\text{d}}{\text{d}t}(B\vec e_z \cdot \pi r^2\vec e_z) = -\dot B\pi r^2 - B\pi 2 rv</math> treibt darin einen elektrischen Strom <math>I = U_i/R</math> an mit <math>R = \oint_{\partial\mathcal A}\tfrac{\text{d}s}{\kappa A}</math>. Dessen felderzeugende Wirkung ist als vernachlässigbar oder schon in <math>\vec B(t)</math> enthalten vorausgesetzt.

Die elektrischen Feldgrößen, die aus der Flussregel eliminiert sind, werden im Folgenden nur zur Information angegeben.
Für die Stromdichte und die elektrische Feldstärke im Ruhesystem der Ringelemente gilt
:<math>\vec S = \vec e_\varphi I/A</math> bzw. <math>\vec E' = \vec S/\kappa</math>.
Für die elektrische Feldstärke im Ruhesystem des Schleifenzentrums erhält man mit <math>\vec E = \vec E' - \vec v\times\vec B</math> das Resultat
:<math>\vec E = (S/\kappa + vB)\vec e_\varphi</math>.
Die letzte Gleichung folgt mit <math>\vec v \times \vec B = v\vec e_\rho \times B\vec e_z = -Bv\vec e_\varphi</math>.
Für den Fall, dass der Leiterquerschnitt und die Leitfähigkeit am Umfang konstant sind, spiegelt sich die Rotationssymmetrie der Anordnung auch in den Feldgrößen. Man erhält dann die Feldkoordinaten
:<math>E' = U_i/(2\pi r) = -\dot Br/2-Bv</math> und <math>E = -\dot Br/2</math>.

{{Absatz}}

==== Beispiel Spannung im Wirbelfeld ====
[[Datei:Leiter5Eck2Voltmeter.svg|mini|300px|'''Mehrdeutigkeit der elektrischen Spannung''' im zeitveränderlichen Magnetfeld. Die Zeichen + und − sind Gravuren auf den Voltmetergehäusen.]]

Die Anordnung rechts illustriert auf Basis der Flussregel, dass die an einer (mit einem zeitveränderlichen Magnetfeld verketteten) Leiterschleife abgegriffene Spannung von der Platzierung der Messleitungen abhängt. Die ''Spannung zwischen zwei Punkten'' ist dann kein eindeutiger Begriff mehr.

In dem Messaufbau kontaktieren zwei gleich gepolte Spannungsmesser die Punkte A und B eines leitenden Rahmens in der Form eines regelmäßigen Fünfecks. Sein ohmscher Widerstand beträgt <math>5R</math>. In der Leiterschleife treibt die induzierte Spannung <math>U_i = -\dot\Phi</math> den Strom <math>I = U_i/(5R)</math> an. Mit dem Umlaufweg durch das Messgerät&nbsp;1 und die Rahmenseite&nbsp;AB ist kein Fluss verkettet. Der Spannungsmesser&nbsp;1 zeigt entsprechend der Spannungsgleichung <math>-U_1-RI = 0</math> den Wert <math>U_1 = -U_i/5</math> an. Mit dem alternativen Umlauf A–C–B–Voltmeter1 zur Berechnung von <math>U_1</math> ist der zeitveränderliche magnetische Fluss <math>\Phi(t)</math> verkettet, sodass die Spannungsgleichung <math>4RI-U_1 = U_i\,(= -\dot\Phi)</math> gilt. Daraus folgt mit <math>RI = U_i/5</math> wieder <math>U_1 = -U_i/5</math>.

Für den Spannungsmesser&nbsp;2 gelten entsprechende Gleichungen: Jene ohne verketteten Fluss entlang A–Voltmeter2–B–C–A lautet <math>U_2-4RI = 0</math>. Der alternative Umlauf A–Voltmeter2–B–A mit der Spannungsgleichung <math>U_2+RI = U_i</math> ist mit dem Fluss <math>\Phi(t)</math> verkettet. Aus beiden Umläufen errechnet man <math>U_2 = (4/5)U_i</math>.

Der kein Rahmenteil durchlaufende (Vergleichs-)Umlauf nur über die beiden Spannungsmesser liefert die Gleichung <math>-U_1+U_2 = U_i</math>, die mit den oben angegebenen Termen für <math>U_1</math> und <math>U_2</math> erfüllt ist.

{{Absatz}}

== Selbstinduktion ==
{{Hauptartikel|Selbstinduktion}}

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Karl Küpfmüller]], Gerhard Kohn
   |Titel=Theoretische Elektrotechnik und Elektronik
   |Auflage=14.
   |Verlag=Springer
   |Datum=1993
   |ISBN=3-540-56500-0}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Adolf J. Schwab]]
   |Titel=Begriffswelt der Feldtheorie. Elektromagnetische Felder, Maxwell-Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz
   |Auflage=6.
   |Verlag=Springer
   |Datum=2002
   |ISBN=3-540-42018-5}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Heinrich Frohne]], Karl-Heinz Löcherer, Hans Müller, Thomas Marienhausen, Dieter Schwarzenau
   |Titel=Moeller Grundlagen der Elektrotechnik (Studium)
   |Auflage=22.
   |Verlag=Vieweg + Teubner Verlag, Springer Fachmedien
   |Ort=Berlin / Offenbach
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-8348-0898-1
   |Seiten=252 ff.}}

== Weblinks ==
* [https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/elektromagnetische-induktion ''Elektromagnetische Induktion.''] Induktion auf Schülerniveau bei LeiFi-Physik.
* Helmut Haase: {{Webarchiv |url=http://hslmg.de/Wikipedia/Spannungsinduktion.pdf |text=''Spannungsinduktion und Flussregel.'' |wayback=20140829230546}}. (PDF; 21&nbsp;Seiten; 2,5&nbsp;MB).
* {{TIBAV |10879 |Linktext=Induktion in ruhenden Leitern |Herausgeber=IWF |Jahr=2004 |DOI=10.3203/IWF/C-14868}}
* {{TIBAV |10880 |Linktext=Induktion in bewegten Leitern |Herausgeber=IWF |Jahr=2004 |DOI=10.3203/IWF/C-14869}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4129426-9|LCCN=sh85065803}}

[[Kategorie:Magnetismus]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]