Quelltext der Seite Eins

{{Begriffsklärungshinweis}}
{{Infobox Ganze Zahl
| Zahl            = 1
| Arabisch        = ١
| Chinesisch      = 一  / 弌  /壹
| Griechisch      = 
| Indisch         = १
| Teiler          = 1
| Faktorisierung  = <math>1</math> (keine Primzahl)
}}
Die '''Eins''' (1) ist die [[natürliche Zahl]] zwischen [[null]] und [[zwei]]. Sie ist ungerade, eine [[Quadratzahl|Quadrat-]] und eine [[Kubikzahl]].

== Etymologie ==
Das [[Germanische Sprachen|germanische]] Zahlwort [[mittelhochdeutsch]], [[althochdeutsch]] ''ein'' geht mit gleichbedeutenden anderen Wörtern [[Indogermanische Ursprache|indogermanischer]] Sprachen auf [[Indogermanische Ursprache|indogermanisch]] ''oi-no-s'' zurück.<ref>{{Literatur |Titel=Das Herkunftswörterbuch |Reihe=[[Duden#Duden in zwölf Bänden|Der Duden in zwölf Bänden]] |BandReihe=7 |Auflage=5. |Verlag=Dudenverlag |Ort=Berlin |Datum=2014 |Online=[https://books.google.de/books?id=KqvWCgAAQBAJ&pg=PA243&dq=ein S. 243]}} ''Siehe auch'' {{Literatur |Autor=[[Friedrich Kluge]] |Titel=[[Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache]] |Auflage=7. Auflage |Verlag=Trübner |Ort=Straßburg |Datum=1910 |Online=[https://daten.digitale-sammlungen.de/~db/0007/bsb00070228/images/index.html?&seite=132 S. 110]}}</ref>

== Mathematische Eigenschaften ==
Die Zahl 1 ist keine [[Primzahl]], aber Teiler jeder natürlichen Zahl. Sie wird oft als die kleinste natürliche Zahl genommen (manche Autoren zählen jedoch die natürlichen Zahlen von null an). Ihre [[Primfaktorzerlegung]] ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, das definitionsgemäß den Wert 1 hat. Die 1 wird häufig als eine der fünf wichtigsten Konstanten der [[Analysis]] bezeichnet (neben [[Null|0]], [[Kreiszahl|π]], [[Eulersche Zahl|e]] und [[Komplexe Zahl|i]]). Die [[Eulersche Formel#Eulersche Identität|eulersche Identität]]<!-- schreibt man klein! -->
:<math>\begin{matrix} e^{\mathrm{i}\,\pi} +1 = 0\end{matrix}</math>
stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen diesen Konstanten her.

Die 1 wird auch in anderen Bedeutungen in der [[Mathematik]] verwendet, wie als neutrales Element bei der Multiplikation in einem [[Ring (Algebra)|Ring]], genannt [[Neutrales Element|Einselement]]. In diesen Systemen können andere Rechenregeln gelten, sodass 1+1 verschiedene Bedeutungen hat und verschiedene Resultate ergeben kann. Mit 1 werden in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] auch [[Einsvektor]]en und [[Einsmatrix|Einsmatrizen]], deren Elemente alle gleich dem Einselement sind, und die [[identische Abbildung]] bezeichnet.

Die Zahl Eins ist eine [[Størmer-Zahl]].

Die Zahl Eins ist innerhalb der Punktrechnung „[[neutrales Element]]“: Dividiert man eine Zahl durch 1 (jede Zahl ist durch 1 teilbar), oder multipliziert oder potenziert man sie mit 1, so bleibt der Wert der Zahl unverändert.

Wird eine Zahl mit 0 potenziert, die ungleich 0 ist, so ist das Ergebnis per Definition 1. Die Zahl 0 potenziert mit sich selbst bleibt entweder undefiniert oder wird, wenn zweckmäßiger, ebenfalls als 1 definiert.

== Bedeutung in der Informatik ==
In der Informatik ist die Eins sehr wichtig, da sie zusammen mit der Null das [[Dualsystem]] (Binärsystem) bildet. Sie steht in der [[Maschinensprache]] für „an“ (on) und ist in [[Programmiersprache]]n als [[Datentyp]] [[boolesche Variable]] wiederzufinden (1 = wahr = true, 0 = falsch = false).

In der [[Datenmodellierung]] (speziell im [[Entity-Relationship-Modell]]), in der Beziehungen und ''Häufigkeiten'' von [[Entität (Informatik)|Entitäten]] zueinander geklärt und beschrieben werden, spielt die Zu-1-Beziehung eine wichtige Rolle, da sie die ''Eindeutigkeit'' einer Zuordnung festlegt. Beispielsweise steht die Entität „Kfz“ zur Entität „Besitzer“ in einer N-zu-1-Beziehung: Ein Besitzer kann mehrere Kfz haben, aber jedes Kfz muss ''genau einen'' Besitzer haben.

== Schreibweisen ==
=== Das Symbol 1 ===
[[Datei:Einsen.jpg|mini|Eine handschriftliche 1 mit Aufstrich, als senkrechte Linie und mit Auf- und Unterstrich]]
Das [[Symbol]] 1 wird als [[Zahlzeichen|Ziffer]] des [[Stellenwertsystem]]s verwendet. Steht die Ziffer 1 allein, so bedeutet sie nach üblicher [[Interpretation]] die „Zahl Eins“. Sie ist die größte Ziffer im [[Dualsystem]].

In Deutschland wird die Ziffer 1 gemäß der Zahlenschreibweise der [[Ausgangsschrift#Lateinische Ausgangsschrift|lateinischen Ausgangsschrift]] [[Manuelles Schreiben|handschriftlich]] in zwei Zügen gezeichnet: ein kleinerer Schrägstrich von links unten nach rechts oben und davon ausgehend ohne abzusetzen ein längerer Abstrich. Diese Schreibweise deckt sich mit der [[Ausgangsschrift#Entwicklung in Österreich|Österreichischen Schulschrift]] (beide Versionen von 1969 und 1995) und der [[Ausgangsschrift#Entwicklung in der Schweiz|Schweizer Schnürlischrift]]. Im [[Englische Sprache#Die englischsprachige Welt|englischsprachigen Kulturkreis]] und in davon beeinflussten Gebieten wird eine 1 als senkrechter Strich gezeichnet.<ref name="English">Georges Ifrah, David Bellos, E. F. Harding, Sophie Wood und Ian Monk: ''The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. ''Wiley & Sons, London  1999, ISBN 978-0-471-37568-5.</ref> Die [[Kontinentaleuropa|kontinentaleuropäische]] Schreibweise kann darum dort als [[Sieben|7]] fehlinterpretiert werden.<ref>Matthew Grissinger: Medication Errors – ''„Misidentification of Alphanumeric Symbols Plays a Role in Errors“''. P&T, Band 42, Nummer 10, Oktober 2017, S. 604–606, [https://www.semanticscholar.org/paper/Misidentification-of-Alphanumeric-Symbols-Plays-a-Grissinger/4d7309df9c1ba6f113b88ff9c547b84f3ed1c1da?p2df (Online)]</ref> Einige Personen in der anglophonen Welt schreiben eine 1 mit Aufstrich und einem Unterstrich.<ref name="English" />

Beim Schreiben von römischen Zahlen und Binärzahlen wird die 1 auch in Deutschland, Österreich und in der Schweiz als Strich gezeichnet.

=== Periodischer Dezimalbruch ===
{{Hauptartikel|0,999…}}
Die Zahl Eins besitzt neben der üblichen Schreibung als 1 eine periodische [[Dezimalsystem#Dezimalbruchentwicklung|Dezimalbruchdarstellung]] als <math>0{,}\bar9=0{,}999\ldots</math>.

Diese Aussage lässt sich auf verschiedene Arten beweisen:

==== Zurückführung auf einen bekannten unendlichen Dezimalbruch ====
: <math>\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots</math>
: <math>3 \cdot\frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots</math>
: <math>1 = 0{,}999\ldots</math>

Dieser Beweis ist weit verbreitet – es ist aber zu bedenken:
# Die erste Zeile wird hier vorausgesetzt, wäre aber eigentlich mit ähnlichen Mitteln zu beweisen wie die Aussage selbst.
# Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile verwendet auf der rechten Seite eine Eigenschaft von [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerten]], nämlich, dass die Multiplikation mit einer Konstanten (hier&nbsp;3) mit der Grenzwertbildung vertauschbar ist.

==== Anordnung der reellen Zahlen ====
Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl z gibt, die ''zwischen ihnen'' liegt, für die also x < z < y oder y < z < x gilt. Die Existenz einer solchen Zahl z ist in diesem Fall nach Definition der Dezimalbruchentwicklung nicht möglich. Bei dieser Argumentation wird verwendet, dass jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung besitzt. Eine Tatsache, die es natürlich vorher schon zu beweisen wäre.

==== Grenzwert einer Zahlenfolge ====
<math>0{,}999\ldots</math> ist der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] der Zahlenfolge <math>0{,}9\ \ 0{,}99\ \ 0{,}999\ \ 0{,}9999\ \ \ldots</math>

Das allgemeine Glied <math>a_n</math> dieser Folge ist <math>a_n = 0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n}</math>. Die Differenz zwischen <math>1</math> und <math>a_n</math> ist <math>\tfrac{1}{10^n}</math>. Für jedes noch so kleine <math>\varepsilon>0</math> findet man ein n mit <math>\tfrac{1}{10^m}<\varepsilon</math> für alle <math>m>n</math>. Also gilt nach Definition des Grenzwerts <math>0{,}999\ldots = 1</math>.

==== Geometrische Reihe ====
Für die periodische Dezimalbruchdarstellung <math>0{,}\overline{9}</math> gilt
: <math>0{,}\overline{9}=\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{10^n}</math>.
Dies ist eine unendliche [[geometrische Reihe]] der Form <math>\textstyle \sum_{i=0}^{\infty} a\cdot q^{i}</math>. Solche Reihen sind für <math>|q |< 1\;</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergent]] und haben den Wert <math>a\cdot\tfrac{1}{1-q}</math>. Mit <math>a=\tfrac{9}{10}</math> und <math>q=\tfrac{1}{10}<1</math> ergibt sich der Summenwert als
:<math>\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{\frac9{10}}=1</math>.

==== Andere Stellenwertsysteme ====
In anderen Stellenwertsystemen tritt an die Stelle der Ziffer 9 die höchste Ziffer des jeweiligen Systems. Im [[Dualsystem|Binärsystem]] ist also 1 gleich <math>0{,}111\ldots</math>, im [[Hexadezimalsystem]] gleich 0,FFF…, entsprechend in anderen Systemen.

=== Andere Zahlschriften ===
Die [[Römische Zahlen|römische Zahl]] für eins ist&nbsp;<code>I</code>. In der [[Hebräisches Alphabet|hebräischen Schrift]] hat der Buchstabe [[Aleph]] ({{Hebr|א&lrm;}}) den Zahlenwert der Eins, in der [[Arabische Schrift|arabischen Schrift]] dessen Äquivalent, das [[Alif]] ({{Arab|ا&lrm;}}). Das arabische Schriftzeichen für die Zahl Eins ist {{Arab|١&lrm;}}; in [[Bengalische Sprache|Bengalî]] wird die Zahl ebenfalls {{Beng|۱}} geschrieben, in [[Devanagari]] {{Deva|१}}, in [[Malayalam]] {{Mlym|൧}} und in [[Chinesische Sprachen|Chinesisch]] 一, im [[Armenische Zahlschrift|Armenischen]] steht der Buchstabe {{Armn|Ա}} für 1.

== Sonstige Bedeutungen ==
* Die Eins wird in vielen Ländern als [[Schulnote]] verwendet und steht unter anderem in Deutschland und Österreich für „sehr gut“, bezeichnet in der Schweiz jedoch die schlechteste Note.
* In der [[Musik]] ist die Eins der erste (meist betonte) Ton in einem [[Takt (Musik)]].
* In der [[Numerologie|Zahlensymbolik]] wird die 1 als Symbol für alles, den Anfang oder [[Gott]] verwendet (siehe auch [[Chinesische Zahlen#Zahlensymbolik|chinesische Zahlensymbolik]]).
* Die Eins steht (in [[Kryptographie|Geheimschriften]]) auch für "a", den ersten Buchstaben und ersten Vokal des Alphabets.<ref>''[[Lexikon des Mittelalters]].'' Band 4, Sp. 1173.</ref>
* Das [[Schma Jisrael|Schᵉma Jisroel]] ist der älteste Ausdruck jüdischen Selbstverständnisses und beinhaltet die [[Das Eine|Einheit]] und [[Alleinheit|Einsheit]] Gottes (adonai echad = Adonai (ist) Eins). Der Schma-Ausdruck umfasst die [[Monotheismus|monotheistische]] Essenz des [[Judentum]]s und den Zentralkontext der [[Tora]], in welchen die Kernbotschaft der [[Nächstenliebe]] gebettet ist:
<div style="margin-left:3em; text-align:center;">
{{he|1=שְׁמַ<span style="font-size:larger">ע</span>יִשְׂרָאֵל יְהוָה אֱלֹהֵינוּ יְהוָה אֶחָד&lrm;|2=schəma jisrael adonai elohenu adonai echad}}<br />
„Höre Israel! [[Adonai]] (ist) [[Elohim|unser Gott]]; Adonai (ist) Eins“<br />
(Dtn 6,4; siehe [[Talmud]] Sukkot 42a und Berachot 13b).</div>

== Sprachliches ==
* Wörter, die eine Einzigkeit ausdrücken, können mit dem griechischen [[Präfix]] ''mono'' beginnen, etwa „[[Monokel]]“ oder „[[Monografie]]“, oder sie werden vom lateinischen ''singularis'' oder ''solus'' abgeleitet, beispielsweise „[[Singular]]“ oder „[[Solo]]“.
* Wörter, die eine Einheitlichkeit ausdrücken, können vom lateinischen ''unus'' abgeleitet werden, beispielsweise „[[Union]]“ oder „[[Uniform]]“. Wörter, die Einzigartigkeit darstellen wie „[[Unikat]]“ oder „unifarben“ werden vom lateinischen [[unus]] abgeleitet.
* Wird auf die Rang- oder Abfolge Bezug genommen, so wird der lateinische Stamm ''prim-'' verwendet, beispielsweise bei „[[Primus]]“ oder „Primzahl“.

== Siehe auch ==
* [[Einstellige Verknüpfung]]
* [[Unärsystem]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|1 (number)|1 (number)}}
{{Wiktionary|eins}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Ziffern}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=7724620-2}}

[[Kategorie:Ganze Zahl|#0001]]