Quelltext der Seite Dreisatz

{{Dieser Artikel| behandelt den mathematischen Dreisatz, zum gleichnamigen historischen Glücksspiel siehe [[Belle, Fluss und Einunddreißig]].}}
Der '''Dreisatz''' (in [[Österreich]] stattdessen: ''Schlussrechnung''; früher auch: ''Regeldetri'', ''Regel Detri'', ''Regel de Tri'' oder ''Regula de Tri'' von {{laS|regula de tribus [terminis]|de=Regel von drei [Gliedern]}} bzw. {{frS|Règle de trois}}; auch ''Goldene Regel'', '''Verhältnisgleichung''', ''Proportionalität'', ''Schlussrechnung'' oder kurz ''Schlüsse'' genannt)<ref>{{Meyers-1905|16|698|spezialkapitel=Regeldetri |zenoID=20007329512}}</ref><ref>{{Brockhaus-1809 |Lemma=Regel Detri |Band=4 |Seite=115 |SeiteBis=118 |zenoID=20000767042}}</ref><ref>{{Herder-1854 |Lemma=Regula de Tri |Band=4 |Seite=689 |zenoID=20003488802}}</ref><ref>{{Pierer-1857 |Lemma=Goldene Regel |Band=7 |Seite=450 |zenoID=20010022651}}</ref> ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines [[Quotient#Proportionen|Verhältnisses]] den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine (einfachere) Variante ist der [[Zweisatz]]. Der Dreisatz ist kein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]], sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit [[Proportionalität]]en vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann.

== Einfacher Dreisatz ==
* Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr&nbsp;A, desto mehr&nbsp;B.“  vor (direkte [[Proportionalität]]): Beim Verdoppeln (Verdreifachen,&nbsp;…) von&nbsp;A wird auch B verdoppelt (verdreifacht,&nbsp;…).
* Gegeben ist ein Verhältnis von <math>a</math> Einheiten einer Größe&nbsp;A zu <math>b</math> Einheiten einer Größe&nbsp;B.
* Gefragt wird nach der Anzahl <math>x</math> Einheiten der Größe&nbsp;B, die in demselben Verhältnis zu <math>c</math> Einheiten von&nbsp;A stehen.

In einer Tabelle sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
|Größe A || Größe B
|-
|<math>a</math> || <math>b</math>
|-
|<math>c</math> || <math>x</math>
|}

=== Inhaltliches Lösen ===

Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:
# <math>a</math> Einheiten von A entsprechen <math>b</math> Einheiten von B.
# Einer Einheit von A entsprechen <math>b : a</math> Einheiten von B.
# <math>c</math> Einheiten von A entsprechen also <math>x = c\cdot (b : a)</math> Einheiten von B.

In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt. In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw. multipliziert.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
|Größe A|| Größe B || Rechenschritt
|-
|<math>a</math> || <math>b</math> || <math>: a</math>
|-
|<math>1</math> || <math>b:a</math>|| <math>\cdot c</math>
|-
|<math>c</math> || <math>c\cdot (b:a)</math>||
|}
Beim Rechnen entstehende [[Bruchrechnung|Brüche]] werden in jedem Schritt [[Kürzen|gekürzt]] (siehe [[#Beispiel 1|Beispiel 1]]).

=== Hintergrund ===
[[Quotient#Proportionen|Verhältnisse]] gehören zu den elementaren mathematischen Kenntnissen und erscheinen bereits in [[Euklids Elemente]]n.<ref>Euklid: ''Die Elemente''. II. Teil. Buch V und VI. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. [[Clemens Thaer]] (Hrsg.). Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1933.</ref> Die Dreisatzregel wird (ohne Begründung) als regula de tri in den Rechenbüchern von [[Adam Ries]]<ref>Adam Ries(e): ''Rechnung auf Linien und Federn''&nbsp;… anno 1532.
114. Auflage. Magistrat der Stadt Erfurt, 1991, Pag. Biii.</ref> angegeben. Die Bezeichnung Dreisatz rührt her von den drei gegebenen, in die Rechnung ''eingesetzten'' (in altem Deutsch: „gesatzten“) Größen. Heutige deutsche Schulbücher deuten die Bezeichnung oft als das „Lösen in drei Sätzen“. In algebraischer Schreibweise handelt es sich bei der Dreisatzaufgabe um eine [[Quotient#Proportionen|Verhältnisgleichung]]:
: <math>a:b=c:x</math>
Durch Umstellen der Gleichung gewinnt man die Lösung <math>x = c\cdot (b:a)</math>
([[#Beispiel 2 (einfacher und umgekehrter Dreisatz)|Beispiel 2]]a).

== Umgekehrter Dreisatz ==
* Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger A, umso mehr B.“ vor ([[Antiproportionalität|indirekte Proportionalität]], [[#Beispiel 2 (einfacher und umgekehrter Dreisatz)|Beispiel 2]]b): Beim Halbieren (Dritteln, …) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, …).
* Dabei ergeben <math>a</math> Einheiten einer Größe A mit <math>b</math> Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt.
* Gefragt wird nach der Anzahl <math>x</math> Einheiten der Größe B, die mit <math>c</math> Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: <math>a \cdot b = c \cdot x</math>.

In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
| ''Rechne:'' ||Größe A || Größe B || ''Rechne:''
|-
|''durch'' <math>a</math>|| <math>a</math> || <math>b</math> || ''mal'' <math>a</math>
|-
|''mal'' <math>c</math>|| <math>1</math> || <math>a \cdot b</math> || ''durch'' <math>c</math>
|-
| || <math>c</math> || <math>a \cdot b / c</math> ||
|}

== Verallgemeinerter Dreisatz ==
Beim verallgemeinerten Dreisatz gehen Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein
(vgl. [[#Beispiel 3 (verallgemeinerter Dreisatz)|Beispiel 3]]).

Ausgehend von <math>a_1\cdot b_1\cdot c_1\ \mathrel{\widehat{=}}\ d_1</math>
kann man auf zwei Wegen die Lösung des Problems
<math>a_2\cdot b_2\cdot c_2\ \mathrel{\widehat{=}}\ x</math>
bestimmen.
Der einfache Dreisatz ist mehrfach anzuwenden
(man geht zuerst von <math>a_1</math> zu <math>a_2</math> über,
dann von <math>b_1</math> zu <math>b_2</math>
und schließlich von <math>c_1</math> zu <math>c_2</math>).
Alternativ können alle Schritte auch gleichzeitig ausgeführt werden:

# <math>a_1\cdot b_1\cdot c_1\ \mathrel{\widehat{=}}\ d_1</math>
# <math>1\ \mathrel{\widehat{=}}\ \frac{d_1}{a_1\cdot b_1\cdot c_1} </math>
# <math>x\ \mathrel{\widehat{=}}\ \frac{d_1\cdot a_2\cdot b_2\cdot c_2}{a_1\cdot b_1\cdot c_1}</math>

== Beispiele ==
=== Beispiel 1 ===
In 3 Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in 7 Stunden?
Es gilt:

: ''3 zu 240'' verhält sich wie ''7 zu „x“''

Rechnung in Tabellenform:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
| || Zeit in h || Strecke in km || ''Rechne:''
|-
| 1. || 3 || 240 || : 3
|-
| 2. || 1 || 80 || · 7
|-
| 3. || 7 || '''560''' || &nbsp;
|}
Lösung: In 7 Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit.

=== Beispiel 2 (einfacher und umgekehrter Dreisatz) ===

Die folgenden Beispiele haben dieselben Zahlen, jedoch unterschiedliche Verhältnisse. Im ersten Beispiel beziehen sich die Mengenangaben auf einen festen Zeitraum (''ein Arbeitstag''). Im zweiten Beispiel beziehen sich die Zeitangaben auf eine feste Mengenangabe (''eine bestimmte Menge Abraum'').

a) 21 Lastwagen transportieren 35 Tonnen Abraum an einem Arbeitstag. Wie viel Tonnen Abraum schaffen in derselben Zeit 15 Lastwagen?

* 21 Lkw <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> 35 Tonnen
* 15 Lkw <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> x Tonnen
* x = 15 · 35 / 21 = 25, also 25 Tonnen.

b) 21 Lastwagen benötigen 35 Tage für den Abtransport einer bestimmten Menge Abraum. Wie viel Zeit benötigen hierfür 15 Lastwagen?

* 21 Lkw <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> 35 Tage
* 15 Lkw <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> x Tage
* x = 35 · 21 / 15 = 49, also 49 Tage.

=== Beispiel 3 (verallgemeinerter Dreisatz) ===

2 Kühe fressen an einem Tag 48 kg Gras. Wie viel kg Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?

# 2 Kühe fressen in 24 h 48 kg Gras
# 1 Kuh frisst in 1 h 1 kg Gras
# 5 Kühe fressen in 6 h 30 kg Gras

unter der Annahme, dass die Kühe über die ganze Zeit gleichmäßig viel Gras fressen.

=== Beispiel falscher Anwendung ===
siehe: [[Kartoffelparadoxon]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Schluss und Prozentrechnung/ Direkte Proportionalität|<math>{\color{BlueViolet}\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix} }</math> Mathematik für die Schule|suffix=Direkte Proportionalität}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Schluss und Prozentrechnung/ Indirekte Proportionalität|<math>{\color{BlueViolet}\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix} }</math> Mathematik für die Schule|suffix=Indirekte Proportionalität}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Schluss und Prozentrechnung/ Vergleich direkter und indirekter Proportionalität|<math>{\color{BlueViolet}\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix} }</math> Mathematik für die Schule|suffix=Vergleich direkter und indirekter Proportionalität}}
* {{DNB-Portal|4207136-7}}
* [http://www.schule.suedtirol.it/blikk/angebote/PRIMARMATHE/ma5000.htm Pädagogisches Institut der deutschen Sprachgruppe Bozen]
* {{Serlo|Autor=|Titel=Dreisatz|Id=1769}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4207136-7}}

[[Kategorie:Elementare Algebra]]