Quelltext der Seite Dezimalsystem

Das '''Dezimalsystem''' (von [[mittellatein]]isch ''decimalis'' zu {{laS|decem|de=zehn}}) ist ein Begriff aus der [[Mathematik]] für dasjenige [[Zahlensystem]], welches sich heutzutage als internationaler Standard etabliert hat. In seinem Aufbau ist es ein [[Stellenwertsystem]] mit der [[Stellenwertsystem#Basis|Basis]] zehn<ref>''DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache'', hrsg. v. d. Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften [https://www.dwds.de/wb/Dezimalsystem], abgerufen am 27. Oktober 2023.</ref> bzw. mit zehn verschiedenen [[Ziffer]]n.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge.'' 12. Auflage. Springer, 2019, S.&nbsp;39.</ref> Die [[Zahlzeichen]] werden aus den [[#Ziffern|Dezimalziffern]] von&nbsp;0 bis&nbsp;9 und aus deren Aneinanderreihung gebildet. In dieser Form ist das Dezimalsystem für [[ganze Zahl]]en einsetzbar und auch – ergänzt durch ein [[Dezimaltrennzeichen|Dezimalzeichen]] – für nicht-ganze Zahlen. Es wird auch als '''Zehnersystem''' oder '''Dekadisches System''' bezeichnet. In älteren Veröffentlichungen ist auch der Begriff '''Denärsystem''' zu finden.<ref>[[Rainer Kassing]]: ''Mikrocomputer, Struktur und Arbeitsweise.'' Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1984, ISBN 3-528-04217-6, S. 2 ({{Google Buch |BuchID=f8ueBgAAQBAJ |Seite=2}}).<!-- weitere Belege: {{Google Buch |BuchID=DqY2CwAAQBAJ |Seite=3}}, {{Google Buch |BuchID=mIxyAgAAQBAJ |Seite=107}} (desítkový = dezimal)--></ref>

Kulturgeschichtlich haben sich diese [[Dezimalzahl]]en in der [[Indische Zahlschrift|indischen Zahlschrift]] entwickelt. Sie sind über den arabischen Raum in die europäischen Länder weitergelangt, siehe [[Stellenwertsystem#Geschichte|Geschichte des Stellenwertsystems]]. Im deutschsprachigen Raum beherrscht das Dezimalsystem das gesamte numerische Denken und Schreiben. Daneben führen noch&nbsp;– fachsprachlich in der elektronischen [[Datenverarbeitung]]&nbsp;– das [[Dualsystem]] (Binärsystem) sowie das [[Sedezimalsystem]] (Hexadezimalsystem) ein Nischendasein.

In den [[Zahlschrift]]en der traditionellen [[Chinesische Zahlzeichen|chinesischen]] und [[Japanisches Zahlensystem|japanischen]] Dezimalsysteme, gibt es neben den Ziffern für die natürlichen Zahlen von&nbsp;1 bis&nbsp;9 zusätzlich Ziffern für Zehnerpotenzen. Letztere werden jeweils mit einer Zahlziffer paarweise kombiniert. Diese Schreibweise wird zunehmend durch die indische ersetzt.

In der Frühzeit der Entwicklung verschiedener Zahlensysteme und [[Zahlschrift]]en ist als deren Basis die Zehn recht häufig verwendet worden. Die einfache Erklärung für diese Bevorzugung liegt darin, dass „unser erster persönlicher Computer“<ref>Bernd Becker: ’’ Statistik.’’ Oldenbourg, 1993, S.&nbsp;27.</ref> unsere zehn Finger sind. Diese dienen beim [[Fingerrechnen]] als [[Zählen|Zähl-]] und [[Rechnen|Rechenhilfe]].

Seit dem 19. Jahrhundert auftauchende Vorschläge, das [[Duodezimalsystem]] (Zwölfersystem) wegen seiner Vorteile anstelle des Dezimalsystems einzuführen,<ref>Polytechnischer Verein (Würzburg): ''Gemeinnützige Wochenschrift: Organ für die Interessen der Technik, der Landwirthschaft, des Handels und der Armenpflege.'' Band 10, 1860, S.&nbsp;647. ([https://books.google.de/books?id=LMs-AAAAcAAJ&pg=PA647&hl=de online])</ref><ref>{{Internetquelle |autor=George Dvorsky |url=https://gizmodo.com/why-we-should-switch-to-a-base-12-counting-system-5977095 |titel=Why We Should Switch To A Base-12 Counting System |datum=2013-01-18 |zugriff=2023-11-01}}</ref> sind bisher erfolglos geblieben.

== Dezimales Stellenwertsystem ==
[[Datei:The Brahmi numeral system and its descendants.png|mini|hochkant=1.8|Entwicklung der Ziffern]]

=== Ziffern ===
Im Dezimalsystem verwendet man zehn verschiedene [[Arabische Zahlschrift|arabische Ziffern]]
:[[Null|0&nbsp;(null)]], [[Eins|1&nbsp;(eins)]], [[Zwei|2&nbsp;(zwei)]], [[Drei|3&nbsp;(drei)]], [[Vier|4&nbsp;(vier)]], [[Fünf|5&nbsp;(fünf)]], [[Sechs|6&nbsp;(sechs)]], [[Sieben|7&nbsp;(sieben)]], [[Acht|8&nbsp;(acht)]], [[Neun|9&nbsp;(neun)]],
die als '''Dezimalziffern''' bezeichnet werden.

Die europäischen Zeichen für diese Ziffern stammen aus dem [[Maghreb]] und haben nicht die Form, die im Nahen Osten verwendet wird. Auch [[Indischer Schriftenkreis|indische Schriften]] verwenden andere Zeichen. [[Datei:Arabic numerals-de.svg|mini|hochkant=1.8|Aktueller Stand verschiedener Entwicklungen der Dezimalziffern]]

Die Ziffern, die als [[Zahlzeichen]] zusammengefasst den Wert einer Zahl ausdrücken, werden unmittelbar aneinander gereiht; lediglich [[Schreibweise von Zahlen|Trennzeichen]] können eingefügt sein
* für eine [[Zifferngruppierung]] (z.&nbsp;B. [[Tausendertrennzeichen]] zur besseren Lesbarkeit) und
* bei nicht-ganzen Zahlen für die Abgrenzung zwischen dem ganzzahligen und dem gebrochenen Teil des Zahlzeichens.

Die Reihenfolge der Ziffern hat eine eigenständige Bedeutung. Jede Ziffer belegt eine [[Stellenwertsystem #Stelle und Stellenwert|Stelle]] (Position im Zahlzeichen), wozu man [[Einerstelle]], Zehnerstelle, Hunderterstelle usw. unterscheidet. Bei der schriftlichen Addition können dann Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw. geschrieben werden. Diese Anordnung ist erst durch die Erfindung der Ziffer Null in der indischen Zahlschrift möglich geworden. Bei der Übertragung des Zahlwortes „zweihundertfünf“ in das Zahlzeichen „205“ darf die im Wort nicht vorhandene Zehnerstelle nicht fehlen, sondern sie ist mit einer&nbsp;0 zu füllen. Anderenfalls würde „25“ geschrieben; dann wäre die&nbsp;2 nicht mehr auf ihrer Hunderterstelle.
{{Absatz}}

=== Darstellung ===
Eine Dezimalzahl wird im deutschen Sprachraum meistens in der Form

:<math>\mathbf z_m \mathbf z_{m-1} \ldots \mathbf z_0 \mathbf{,z}_{-1} \mathbf z_{-2} \ldots \mathbf z_{-n}
\qquad \left(m,n\in\mathbb{N}\right)</math>

geschrieben. Dabei ist jedes <math>\mathbf z_i</math> eine der zehn oben genannten Ziffern. (Zur besseren Unterscheidung werden hier [[Zahlzeichen|Ziffernzeichen]] fett und ihre zugehörigen Ziffernwerte normal gedruckt.) Daneben existieren je nach Verwendungszweck und Staat noch [[Schreibweise von Zahlen|weitere Schreibweisen]]. Jede Ziffer hat einen Ziffernwert; jede Stelle hat einen Stellenwert. Der Ziffernwert liegt in der konventionellen Zählreihenfolge. Der Stellenwert der <math>i</math>-ten Stelle wird durch die Zehnerpotenz <math>10^i</math> festgelegt, wenn die [[Zählvariable]] zu <math>i=0</math> auf der Einerstelle festgelegt wird.

''[[Natürliche Zahl]]en'' enden rechts mit der Ziffer <math>\mathbf z_0</math> auf der Einerstelle. Ihr vorangestellt werden die Ziffern <math>\mathbf z_1</math> auf der Zehnerstelle, <math>\mathbf z_2</math> auf der Hunderterstelle usw., bis man auf der höchstwertigen Stelle, die mit einer Ziffer belegt ist, bei <math>\mathbf z_m</math> ankommt. Sollen nur [[signifikante Stellen]] angegeben werden, so ist <math>z_m\neq 0</math>.

Positive ''[[rationale Zahl]]en'' (zum Beispiel <math>\tfrac{65}4</math>) können in einen ganzzahligen Teil und einen echten Bruch zerlegt werden (im Beispiel <math>\tfrac{65}4 =16 + \tfrac14</math>), und der Bruch lässt sich in Zehntel, Hundertstel usw. umrechnen (im Beispiel <math>\tfrac14 =\tfrac2{10} +\tfrac5{100}</math>). In der Schreibweise als Dezimalzahl folgen zur Anfügung des Bruchs rechts von der Einerstelle das [[Dezimaltrennzeichen|Dezimalzeichen]] (im deutschsprachigen Raum ist das ein Komma) und auf [[Nachkommastelle]]n die Ziffern <math>\mathbf z_{-1}</math> bis <math>\mathbf z_{-n}</math> (im Beispiel <math>\tfrac{65}4 =16{,}25</math>). Dabei kann die Anzahl <math>n</math> begrenzt sein (im Beispiel <math>n=2</math>) oder auch unbegrenzt.– Ist der Wert (Absolutwert) einer Zahl kleiner als&nbsp;1, so wird links vom Komma stets eine&nbsp;0 geschrieben.<ref name='ISO 80000-1' />

Der Wert <math>Z</math> der Dezimalzahl ergibt sich durch Summierung der mit ihrem zugehörigen Stellenwert multiplizierten Ziffernwerte. Zusätzlich ist das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] voranzustellen; ein fehlendes Vorzeichen bedeutet ein Plus.

:<math>Z =\sum_{i=-n}^m z_i \cdot 10^i > 0\ ;\qquad Z =-\sum_{i=-n}^m z_i \cdot 10^i < 0</math>.

Beispiel (mit <math>m=1</math> und <math>n=2</math>):
:<math>16{,}25 = 1 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2}</math>
oder
:<math>16{,}25 = 1 \cdot 10 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot 0{,}01</math>

Längere Ziffernfolgen werden zur besseren Lesbarkeit in Dreiergruppen strukturiert (ab dem Komma nach links und nach rechts), siehe [[Schreibweise von Zahlen]]. Dazu dient nach Empfehlung der [[ISO]] ein (geschütztes) [[schmales Leerzeichen]] als Tausendertrennzeichen; Punkte zur Gruppierung sollen nicht mehr verwendet werden, da diese in Teilen der Welt als Dezimalzeichen verwendet werden und daher missverständlich sind.<ref name='ISO 80000-1'>EN ISO 80000-1:2013, deutsche Ausgabe als DIN EN ISO 80000-1:2013. ''Größen und Einheiten – Teil 1: Allgemeines.'' Abschnitt 7.3.</ref> Demnach wird die Dezimalzahl 76543210,9876 strukturiert in {{FormatNum|76543210,9876|de}} oder für Teile der Schweiz in {{FormatNum|76543210,9876|ch}}.

=== Dezimalbruchentwicklung ===
Die Umrechnung eines gewöhnlichen [[Bruchrechnung|Bruchs]] in eine Dezimalzahl und darüber hinaus die Darstellung einer [[Reelle Zahl|''reellen Zahl'']] in der vorstehenden Weise wird als [[Dezimalbruchentwicklung]] bezeichnet<ref>Michael Merz, Mario V. Wüthrich: ''Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler.'' Vahlen, 2013, S.&nbsp;51.</ref> und unter diesem Stichwort ausführlicher behandelt.

Bei allen ''rationalen Zahlen'' ist die Folge der Ziffern [[Dezimalbruch#Periode|periodisch]] ohne Ende. Im häufig auftretenden Sonderfall, wenn die Ziffernfolge ab einer gewissen Stelle durchweg aus Nullen besteht, sagt man, dass die Dezimalbruchentwicklung abbricht. Diese Nullen dürfen auf Nachkommastellen weggelassen werden, und der [[Dezimalbruch]] wird als endlicher Dezimalbruch bezeichnet.<ref>Richard Courant, Herbert Robbins: ''Was ist Mathematik?'' 5. Auflage. Springer, 2001, S.&nbsp;54.</ref>

Bei einem unendlichen Dezimalbruch wird mit der Schreibweise&nbsp;<math>0,\mathbf a_1\mathbf a_2\mathbf a_3 \ldots</math>&nbsp; der Wert der Reihe <math>\sum_{i=1}^{\infty} a_i\cdot 10^{-i}</math> bezeichnet. Für periodische Dezimalbrüche gibt es eine [[Dezimalbruch#Notation|abgekürzte Notation]].

Eine [[irrationale Zahl]] enthält (auch) im Dezimalsystem eine unendliche, nicht-periodische Nachkommaziffernfolge.<ref>Reinhold Pfeiffer, Heidemarie Borgwadt: ''Algebraische Grundlagen.'' Gabler/Springer, 1993, S.&nbsp;82.</ref> Angeben lässt sich davon stets nur ein endlicher Teil. Mit diesem kann man sich dem Wert der irrationalen Zahl zwar je nach Länge beliebig annähern, jedoch ist eine solche endliche Darstellung niemals [[Exaktheit|exakt]]. Es ist also nur mithilfe zusätzlicher Symbole möglich, irrationale Zahlen exakt anzugeben. Beispiele solcher Symbole sind [[Wurzelzeichen]], wie <math>\sqrt 2</math>, Buchstaben wie <math>\pi</math> für die [[Kreiszahl]] oder <math>\mathrm e</math> für die [[Eulersche Zahl]], sowie mathematische Ausdrücke wie [[unendliche Reihe]]n oder [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerte]].

== Umrechnung in andere Stellenwertsysteme ==
Methoden zur Umrechnung von und in das Dezimalsystem werden im Artikel zum [[Stellenwertsystem#Konvertierungen|Stellenwertsystem]] und in Artikeln zu anderen Stellenwertsystemen beschrieben: [[Dualsystem#Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme|Dualsystem]], [[Ternärsystem#Gewöhnlich|Ternärsystem]], [[Oktalsystem#Konvertierung von Zahlen in Oktalzahlen|Oktalsystem]], [[Duodezimalsystem#Umrechnen in andere Stellenwertsysteme|Duodezimalsystem]], [[Hexadezimalsystem#Konvertierung in andere Zahlensysteme|Hexadezimalsystem]].

== Geschichte ==
{{Überarbeiten}}

Einer der ältesten Hinweise auf das Dezimalsystem prähistorischer Kulturen findet sich in einem [[Hortfund]] von [[Oberding]] aus der frühen [[Bronzezeit]] (um 1650 v.&nbsp;Chr.) mit 791 weitgehend standardisierten [[Primitivgeld|Spangenbarren]] aus Kupfer aus dem Salzburger Land und der Slowakei. Die Mehrzahl dieser Barren war in Gruppen zu 10 mal 10 Bündeln abgelegt worden.<ref>Harald Krause, Sabrina Kutscher u.&nbsp;a.: ''Europas größter Spangenbarrenhort: Der frühbronzezeitliche Kupferschatz von Oberding.'' In: Matthias Wemhoff, Michael M. Rind: ''Bewegte Zeiten: Archäologie in Deutschland.'' Berlin, Petersberg 2018, S. 167 ff.</ref><ref>J. Stolz: ''Erste Nachweise des Dezimalsystems? Der frühbronzezeitliche Spangenbarrenhort von Oberding.'' In: ''Restauro. Zeitschrift für Konservierung und Restaurierung'', 8. Jahrgang 2017, S. 14–19.</ref>

Dezimale Zahlensysteme – noch ohne Stellenwertsystem und ohne Darstellung der Null – lagen im Altertum unter anderem den Zahlschriften der [[Ägyptische Zahlschrift|Ägypter]], [[Minoer]], [[Griechische Zahlschrift|Griechen]] und [[Römische Zahlschrift|Römer]] zugrunde. Es handelte sich dabei um [[Additionssystem|additive]] Zahlschriften, mit denen beim [[Rechnen]] Zahlen zwar als Gedächtnisstütze niedergeschrieben, aber [[Arithmetik|arithmetische]] Operationen im Wesentlichen nicht schriftlich durchgeführt werden konnten: Diese waren vielmehr mit [[Kopfrechnen]] oder mit anderen Hilfsmitteln wie den [[Calculus|Rechensteinen]] (griech. ''psephoi'', lat. ''calculi'', im [[Spätmittelalter]] auch [[Rechenpfennig]]e oder franz. ''jetons'' genannt) auf dem [[Rechnen auf Linien]] und möglicherweise mit [[Fingerrechnen]] zu leisten.

[[Datei:Fingerzahlen 1-9.jpg|mini|Fingerzahlen nach [[Beda Venerabilis]], linke Hand]]
[[Datei:Fingerzahlen 10-90.jpg|mini|Fingerzahlen nach Beda Venerabilis, linke Hand]]
Den in römischer und mittelalterlicher Zeit verbreiteten, in etwas anderer Form auch in der [[Arabische Welt|arabischen Welt]] gebrauchten Fingerzahlen lag ein dezimales System für die Darstellung der Zahlen 1 bis 9999 zugrunde, ohne Zeichen für Null, und mit einem Positionssystem eigener Art. Hierbei wurden durch genau festgelegte Fingerstellungen auf der linken Hand mit kleinem, Ring- und Mittelfinger die Einer 1 bis 9 und mit Zeigefinger und Daumen die Zehner 10 bis 90 dargestellt, während auf der rechten Hand die Hunderter mit Daumen und Zeigefinger spiegelbildlich zu den Zehnern und die Tausender mit den drei übrigen Fingern spiegelbildlich zu den Einern dargestellt wurden.<ref>Menninger: ''Zahlwort und Ziffer'' (1958), II, S. 3ff.; Karl-August Wirth, Art. ''Fingerzahlen.'' In: Otto Schmidt (Hrsg.): ''Reallexikon zur deutschen Kunstgeschichte'', Band VIII, Metzler Verlag, Stuttgart 1987, Sp. 1229–1310; Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 87.</ref> Diese Fingerzahlen sollen nicht nur zum Zählen und zum Merken von Zahlen, sondern auch zum Rechnen verwendet worden sein; die zeitgenössischen Schriftquellen beschränken sich jedoch auf die Beschreibung der Fingerhaltungen und geben keine nähere Auskunft über die damit durchführbaren rechnerischen Operationen.

[[Datei:RomanAbacusRecon.jpg|mini|Römischer Handabacus (Rekonstruktion)]]
Auf den [[Rechnen auf Linien|Rechenbrettern]] des griechisch-römischen Altertums und des christlichen Mittelalters stand (demgegenüber) für die Darstellung ganzer Zahlen ein vollwertiges dezimales Stellenwertsystem zur Verfügung, indem für eine gegebene Zahl die Anzahl ihrer Einer, Zehner, Hunderter usw. durch Rechensteine in entsprechenden vertikalen Dezimalspalten dargestellt wurde. Auf dem antiken [[Abakus (Rechenhilfsmittel)|Abakus]] geschah dies durch Ablegen oder Anschieben einer entsprechenden Anzahl von [[Calculus|Calculi]] in der jeweiligen Dezimalspalte, wobei zusätzlich eine Fünferbündelung praktiziert wurde, indem je fünf Einheiten durch einen einzelnen [[Calculus]] in einem seitlichen oder oberen Sonderbereich der Dezimalspalte repräsentiert wurden.<ref>Menninger: ''Zahlwort und Ziffer'' (1958), II, S. 104ff.; Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 136ff.; Pullan, ''History of the Abacus'' (1968), S. 16ff.</ref> Auf dem [[Abakus (Rechenhilfsmittel)|Klosterabakus]] des Frühmittelalters, der häufig mit [[Gerbert von Aurillac]] verbunden wird und vom 10. bis 12. Jahrhundert in Gebrauch war, wurde stattdessen die Anzahl der Einheiten in der jeweiligen Dezimalspalte nur durch einen einzelnen Stein dargestellt, der mit einer Zahl von 1 bis 9 beziffert war.<ref>Menninger: ''Zahlwort und Ziffer'' (1958), S. 131ff; Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 530ff.; Werner Bergmann: ''Innovationen im Quadrivium des 10. und 11. Jahrhunderts. Studien zur Einführung von Astrolab und Abacus im lateinischen Mittelalter'', Steiner Verlag, Stuttgart 1985 (= Sudhoffs Archiv, Beiheft 26), S. 57ff., S. 174ff.</ref> Obwohl ein Rechenstein mit einer aus dem Arabischen stammenden Ziffer für Null ([[mittellatein]]isch ''cifra''<ref>{{Internetquelle |url=https://woerterbuchnetz.de/?sigle=MLW&lemid=C03919 |titel=„*cifra, f.“ |werk=Mittellateinisches Wörterbuch, digitalisierte Fassung im Wörterbuchnetz des Trier Center for Digital Humanities |datum=2023-01 |abruf=2023-05-20}}</ref>) zur Verfügung stand, wurde er beim abazistischen Rechnen für einen anderen Zweck verwendet – das war eine im 10. bis 12. Jahrhundert auf dem [[Gerbert von Aurillac|Gerbertschen Abakus]] gebräuchliche Rechenmethode. Das spätere Mittelalter und die [[Frühe Neuzeit]] kehrte wieder zur Verwendung unbezifferter Rechensteine zurück, welche die Spalten – nunmehr horizontal gezogenen [[Rechnen auf Linien|Linien]] – entweder für dezimales Rechnen mit [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] an der Basiszahl 10 (mit Fünferbündelung),<ref>Alfred Nagl: ''Die Rechenpfennige und die operative Arithmetik.'' In: Numismatische Zeitschrift 19 (1887), S. 309–368; Menninger: ''Zahlwort und Ziffer'' (1958), II, S. 140ff.; Pullan: ''History of the Abacus'' (1968), passim</ref> oder für das Finanzrechnen an den aus dem [[Karolingisches Münzsystem|karolingischen Münzwesen]] (1 Pfund = 20 Schilling = 240 Pfennig) ererbten monetären Grundeinheiten verwendete.<ref>Francis P. Barnard: ''The Casting-Counter and the Counting-Board. A Chapter in the History of Numismatics and Early Arithmetic'', Clarendon Press, Oxford 1916; Menninger: ''Zahlwort und Ziffer'' (1958), II, S. 152ff., S. 165, S. 178, S. 182f.; Pullan: ''History of the Abacus'' (1968), S. 52ff.; Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 146ff.</ref> Auf den antiken wie auf den mittelalterlichen Varianten dieses Hilfsmittels erfolgte die Darstellung des Wertes Null jeweils durch Freilassen der betreffenden Dezimalspalte bzw. Linie, so auch auf dem Abakus. Mithilfe der antiken und mittelalterlichen Rechenbretter ließen sich Addition und [[Subtraktion]] erheblich vereinfachen, während sie für [[Multiplikation]] und Division wenig geeignet waren oder verhältnismäßig komplizierte Operationen erforderten, die besonders für den Klosterabakus in mittelalterlichen Traktaten beschrieben wurden und in ihrer Schwierigkeit berüchtigt waren.

Eine Zahlschrift mit vollwertigem Stellenwertsystem, bei dem auch die Position des Zahlzeichens dessen Wert bestimmt, entwickelten zuerst die Babylonier auf der Basis 60 und ergänzten es vermutlich schon vor dem 4. Jahrhundert vor Chr. auch um ein eigenes Zeichen für Null.<ref>Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 411ff., S. 420.</ref> Dieses [[Sexagesimalsystem]] hat Auswirkung bis in die Jetztzeit in der Unterteilung der Winkeleinheit [[Grad (Winkel)|Grad]] und der Zeiteinheit [[Stunde]] in 60 Minuten und der Minute weiter in 60 Sekunden. Eine Zahlschrift mit Stellenwertsystem auf der Basis 10, aber noch ohne Zeichen für die Null, entstand in China vermutlich bereits einige Jahrhunderte vor der Zeitenwende (in Einzelheiten bezeugt seit dem 2. Jahrhundert vor Chr.), wahrscheinlich mithilfe von [[Rechenstäbchen]] auf einer schachbrettartig eingeteilten chinesischen Variante des Abakus, und wurde erst unter indischem Einfluss seit dem 8. Jahrhundert auch um ein Zeichen für Null ergänzt.<ref>Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 428ff., S. 511ff.</ref>

In Indien selbst sind die Anfänge des positionellen Dezimalsystems mit Zeichen für die Null nicht sicher zu bestimmen. Die ältere [[Brahmi-Ziffern|Brahmi-Zahlschrift]], die vom 3. bis zum 8. Jahrhundert in Gebrauch war, verwendete ein dezimales System mit Ansätzen zu positioneller Schreibung, aber noch ohne Zeichen für Null.<ref>Ifrah. ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 504ff.</ref> Die älteste indische Form der heutigen [[Indische Zahlen|indo-arabischen Ziffern]], mit aus der Brahmi-Zahlschrift herzuleitenden Zeichen für 1 bis 9 und einem Punkt oder kleinen Kreis für Null, ist durch sicher datierbare [[Epigraphik|epigraphische]] Zeugnisse zuerst außerhalb Indiens seit dem 7. Jh. in Südostasien als indischer Export und in Indien selbst seit dem 9. Jahrhundert zu belegen;<ref>Ifrah. ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 486ff.</ref> man nimmt jedoch an, dass die Verwendung dieses Ziffernsystems in Indien bereits im 5. Jahrhundert begann.<ref>Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 498ff.</ref> Das gleiche positionelle Dezimalsystem mit Zeichen für Null lag auch dem in etwa gleichzeitigen gelehrten Zahlwortsystem indischer Astronomen zugrunde, in dem umschreibende Ausdrücke wie „Anfang“ (1), „Augen“ (2), „die drei Zeitstufen“ (3) für die Zahlen 1 bis 9 und „Himmel“, „Leere“, „Punkt“ oder andere Wörter für Null gemäß ihrem dezimalen Stellenwert als sprachliche Umschreibung mehrstelliger Zahlen gereiht wurden.<ref>Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 493ff.</ref> Als frühes Zeugnis einer solchen positionellen Setzung von in diesem Fall weitgehend unmetaphorischen sprachlichen Zahlenbezeichnungen gilt bereits das 458 in [[Prakrit]] verfasste [[Lokavibhaga]],<ref>Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 499f.</ref> das allerdings nur in einer späteren Sanskritübersetzung erhalten ist. Voll ausgebildet findet sich das umschreibende Zahlwortsystem dann bei [[Bhaskara I.]] (7. Jh.).

Von den Arabern und den von ihnen arabisierten Völkern wurde für die Schreibung von Zahlen zunächst das dezimale additive System der alphabetischen griechischen Zahlschrift, anfangs vermittelt durch hebräisches und syrisches Vorbild, übernommen und auf die 28 Buchstaben des arabischen Alphabets übertragen.<ref>Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 307ff.</ref> Spätestens seit dem 8. Jahrhundert wurden jedoch zuerst im arabischen Orient und im Verlauf des 9. Jahrhunderts dann auch in Nordafrika und [[Al-Andalus]] die indischen Ziffern und darauf beruhenden Rechenmethoden bekannt. Die früheste Erwähnung findet sich im 7. Jahrhundert durch den syrischen Bischof [[Severus Sebokht]], der das indische System ausdrücklich lobt. Eine wichtige Rolle bei der Verbreitung in der arabischen und der westlichen Welt spielte [[Al-Chwarizmi|Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi]], der die neuen Ziffern nicht nur in seinen mathematischen Werken verwendete, sondern um 825 auch eine nur in lateinischer Übertragung erhaltene Einführung ''Kitāb al-Dschamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind'' („Über das Rechnen mit indischen Ziffern“) mit einer für den Anfänger geeigneten Beschreibung des Ziffernsystems und der darauf beruhenden schriftlichen [[Grundrechenart]]en verfasste.

Im 10./11. Jahrhundert waren im lateinischen Westen bereits westarabische oder daraus abgeleitete Ziffern (''apices'' genannt) auf den Rechensteinen des Klosterabacus aufgetaucht. Sie wurden aber nicht auch darüber hinaus als Zahlschrift oder sogar für schriftliches Rechnen verwendet. Zusammen mit dem Klosterabacus gerieten sie wieder in Vergessenheit. [[Al-Chwarizmi]] verhalf seit dem 12. Jahrhundert in lateinischen Bearbeitungen und daran anknüpfenden volkssprachlichen Traktaten dem indischen Ziffernrechnen zum Durchbruch. Deren Anfangsworte ''Dixit Algorismi'' bewirkten, dass „Algorismus“, die lateinische Wiedergabe seines Namens, sich weithin als Name dieser neuen Rechenkunst etablierte.<ref>Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'' (1998), S. 533ff.</ref> Besonders in Italien, wo [[Leonardo Fibonacci]] es in seinem ''Liber abbaci'' auch aus eigener, in Nordafrika erworbener Kenntnis bekannt machte, konnte das indische Ziffernrechnen seit dem 13. Jahrhundert den Abacus (mit unbezifferten Rechensteinen) im Finanzwesen und kaufmännischen Bereich nahezu vollständig verdrängen und sogar dessen Namen ''(abbaco)'' annehmen. In übrigen Ländern wurde es zwar zum Gegenstand des wissenschaftlichen und kaufmännischen Unterrichts, besaß bis zur Frühen Neuzeit aber im Rechnen auf Linien einen übermächtigen Konkurrenten. Auch als einfache Zahlschrift für die praktischen Zwecke des Niederschreibens von Zahlen und des [[Nummer]]ierens, für die kein Stellenwertsystem benötigt wird, konnten sich die indo-arabischen Ziffern erst seit der frühen Neuzeit allmählich gegen die römischen Zahlen durchsetzen.

Der Gebrauch von Nachkommastellen ist erstmals nachgewiesen bei [[Giovanni Bianchini]]<ref>{{Literatur |Autor=Glen Van Brummelen |Titel=Decimal fractional numeration and the decimal point in 15th-century Italy |Sammelwerk=Historia Mathematica |Datum=2024-02-17 |ISSN=0315-0860 |DOI=10.1016/j.hm.2024.01.001 |Online=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086024000016 |Abruf=2024-03-11}}; Manon Bischoff: Die Erfindung der Nachkommastellen ist 150 Jahre älter als gedacht. In: Spektrum.de, 8. März 2024 ( https://www.spektrum.de/kolumne/das-dezimaltrennzeichen-ist-150-jahre-aelter-als-gedacht/2208417 ; abgerufen am 11. März 2024).</ref> gegen Mitte des 15. Jahrhunderts. Weitere Verbreitung des Dezimalzeichens findet sich seit [[Simon Stevin]] und [[Christophorus Clavius]] gegen Ende des 16. Jahrhunderts.

== Siehe auch ==
* [[Zahlennamen]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=John D. Barrow |Titel=Warum die Welt mathematisch ist / John D. Barrow. Aus dem Engl. und mit einem Nachwort von [[Herbert Mehrtens]] |Verlag=Campus-Verl. |Ort=Frankfurt am Main |Datum=1993 |ISBN=3-593-34956-6}}
* {{Literatur |Autor=Georges Ifrah |Titel=Universalgeschichte der Zahlen. Mit Tab. und Zeichn. des Autors. |Verlag=Parkland-Verl. |Ort=Köln |Datum=1998 |ISBN=3-88059-956-4 |Übersetzer=Alexander von Platen}}
* {{Literatur |Autor=[[Karl Menninger (Mathematiker)|Karl Menninger]] |Titel=Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl. Bd. 1. Zählreihe und Zahlsprache; Bd. 2. Zahlschrift und Rechnen |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Datum=1958}} [https://digi20.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb00107066_00157.html Digitalisat]
* {{Literatur |Autor=John M. Pullan |Titel=The History of the Abacus |Verlag=Hutchinson |Ort=London |Datum=1968}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Wikibooks|Mathematikunterricht/ Sek/ Zahlensysteme/ Zehnerzahlen|Mathematik: Schulmathematik: Zahlensysteme: Zehnerzahlen}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Stellenwertsysteme}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4149429-5}}

[[Kategorie:Zahlensystem]]