Quelltext der Seite Darstellungssatz von Riesz-Markow

{{Dieser Artikel|behandelt die Darstellung positiver Linearformen durch Maße. Zur Darstellung linearer Funktionale in Hilberträumen siehe [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]].}}
Der '''Darstellungssatz von Riesz-Markow''', teilweise auch '''Darstellungssatz von Riesz''' oder '''Darstellungssatz von Riesz-Markov-Kakutani''' genannt, ist ein mathematischer Satz aus dem Grenzgebiet der [[Maßtheorie]] und der [[Funktionalanalysis]]. Er trifft eine Aussage darüber, welche positiven Linearformen auf Funktionenräumen durch [[Maß (Mathematik)|Maße]] dargestellt werden können und liefert damit auch Beschreibungen der entsprechenden [[Topologischer Dualraum|topologischen Dualräume]]. Er ist nach [[Frigyes Riesz]], [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1903)|Andrei Andrejewitsch Markow]] und [[Shizuo Kakutani]] benannt.

== Motivation ==
Betrachtet man einen [[Hausdorff-Raum]] <math> (X, \tau) </math> und einen dazugehörigen [[Maßraum]] <math> (X, \mathcal B, \mu) </math>, versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B= \sigma(\tau) </math> und einem [[Borel-Maß]] (im Sinne eines [[Lokal endliches Maß|lokal endlichen Maßes]]), so stellt man fest, dass für jedes <math> f \in C_c(X) </math>, also jede [[stetige Funktion mit kompaktem Träger]]
:<math> \int_X f \mathrm d \mu < \infty </math>

gilt. Stetige Funktionen auf einem kompakten Träger sind also immer bezüglich eines Borel-Maßes integrierbar. Außerdem definiert
:<math> I: C_c(X) \to \mathbb K </math>

ein [[lineares Funktional]] durch
:<math> I(f)= \int_X f \mathrm d \mu </math>,

das positiv ist in dem Sinne, dass
:<math> f \geq 0 \implies I(f) \geq 0 </math>

ist. Darauf aufbauend stellen sich folgende Fragen:
# ''Existiert'' zu jedem positiven Funktional im oben definierten Sinne ein Borel-Maß, das dieses Funktional „darstellt“?
# Falls dieses Borel-Maß existiert, ist es ''eindeutig''?

Außerdem stellen sich dann entsprechende weiterführende Fragen: Sind die obigen Fragen (positiv oder negativ) beantwortet, existieren weitere topologische Räume <math> X </math>, Funktionenklassen <math> \mathcal F(X) </math> und Mengen von Maßen <math> \mathcal M </math>, so dass sich jedes positive Funktional auf <math> \mathcal F(X) </math> durch Elemente aus <math> \mathcal M </math> darstellen lässt, und ist diese Darstellung eindeutig?

== Aussage ==
Sei <math> (X,\tau) </math> ein [[Hausdorff-Raum]] und <math> \mathcal B:=\mathcal B(\tau) </math> die [[Borelsche σ-Algebra]] und <math> \mu </math> ein [[Radon-Maß]] auf <math> \mathcal B </math>. Für <math> \mu </math> gilt also
* [[Lokal endliches Maß|lokale Endlichkeit]]: für jedes <math> x \in X </math> existiert eine offene Umgebung <math> U_x </math> mit <math> \mu(U_x)< \infty </math>
* [[Von innen reguläres Maß|Regularität von innen]]: Für alle <math> A \in \mathcal B </math> gilt
:<math> \mu(A)=\sup\{\mu(K) \, | \, K \subset A, \, K \text{ kompakt}\} </math>.

Des Weiteren sei
* <math> C_c(X) </math> der Raum aller [[Stetige Funktion mit kompaktem Träger|stetigen Funktionen mit kompaktem Träger]]
* <math> C_0(X) </math> die Raum aller [[C0-Funktion|stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden]]
* <math> C(X) </math> der Raum aller [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]].

Eine lineare Abbildung
:<math> I: \mathcal F \to \mathbb K </math>

von einem Funktionenraum <math> \mathcal F </math> heißt nun eine positive Linearform, wenn
:<math>f \geq 0 \implies I(f) \geq 0 </math>

gilt. Der Darstellungssatz besagt nun:
* Ist <math> X </math> ein [[lokalkompakter Raum]], so wird jede positive Linearform auf <math> C_c(X) </math> durch ein eindeutiges Radon-Maß bestimmt.
* Ist <math> X </math> ein lokalkompakter Raum, so wird jede positive Linearform auf <math> C_0(X) </math> durch ein eindeutiges, endliches Radon-Maß dargestellt.
* Ist <math> X </math> lokalkompakt und [[σ-kompakter Raum|σ-kompakt]], so wird jede positive Linearform auf <math> C(X) </math> durch ein eindeutiges Radon-Maß mit [[Träger (Maßtheorie)|kompaktem Träger]] dargestellt.

Die Darstellung ist dann jeweils gegeben durch
:<math> I(f)= \int f \mathrm d \mu </math>,

wobei <math> \mu </math> das entsprechende (endliche) Radon-Maß (mit kompaktem Träger) ist und die Aussage für alle <math> f </math> aus dem entsprechenden Funktionenraum gilt.

== Varianten ==
Es existieren zahlreiche Modifikationen des Darstellungssatzes. So kann man
* andere topologische Räume <math> X </math> als Grundraum wählen wie beispielsweise [[Vollständig regulärer Raum|vollständig reguläre Räume]],
* alternative σ-Algebren wählen wie beispielsweise die [[Vollständiges Maß|Vervollständigung]] der Borelsche σ-Algebra bezüglich eines Maßes oder die σ-Algebra der Baireschen Mengen,
* weitere Funktionenklassen wählen wie beispielsweise die [[Beschränkte stetige Funktion|beschränkten stetigen Funktionen]] <math>C_b(X) </math>
* andere Regularitätsanforderungen an das darstellende Maß stellen,

Entsprechend diesen vielfältigen Abstufungen gibt es verschiedene Varianten, den Darstellungssatz zu formulieren.

== Folgerungen ==
Ausgehend von der Darstellung positiver Linearformen lassen sich die [[Topologischer Dualraum|Dualräume]] gewisser Funktionenräume herleiten, indem man eine Linearform eindeutig in zwei positive Linearformen ([[Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion|Positivteil und Negativteil]]) zerlegt. Teilweise werden dann auch diese Aussagen über die Dualräume als der Darstellungssatz von Riesz bezeichnet.

So liefern die obigen Aussagen dann, dass der Raum der [[Reguläres Maß|regulären]] signierten oder komplexen Maße, versehen mit der [[Totalvariationsnorm]], normisomorph zum Dualraum von <math> C_0(X) </math> ist.

== Weblinks ==
* {{EoM
| Autor = 
| Titel = Riesz representation theorem
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Riesz_representation_theorem
| id = 
}}
* {{MathWorld
| id = RieszRepresentationTheorem
| title = Riesz Representation Theorem
| author = 
}}

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=7., korrigierte und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21016-7 |DOI=10.1007/978-3-642-21017-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=6., korrigierte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}

[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]