Quelltext der Seite Bernhard Riemann

[[Datei:BernhardRiemannAWeger.jpg|mini|hochkant|Bernhard Riemann, Stich von [[August Weger]] (1863)]]
'''Georg Friedrich Bernhard Riemann''' (* [[17. September]] [[1826]] in [[Breselenz]] bei [[Dannenberg (Elbe)]]; † [[20. Juli]] [[1866]] in Selasca, Gemeinde Intra [heute zu [[Verbania]]] am [[Lago Maggiore]]) war ein deutscher [[Mathematiker]], der trotz seines relativ kurzen Lebens auf vielen Gebieten der [[Analysis]], [[Differentialgeometrie]], [[Mathematische Physik|mathematischen Physik]] und der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]] bahnbrechend wirkte. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker. Seine Arbeit legte den Grundstein für die [[Allgemeine Relativitätstheorie]] von [[Albert Einstein]].

== Leben ==
=== Herkunft und Jugend ===
[[Datei:Johanneum Lüneburg 1829-RZ.jpg|mini|links|Johanneum in Lüneburg 1829]]

Bernhard Riemann wuchs in einem lutherischen [[Pfarrhaus]] als eines von fünf Kindern unter beengten Verhältnissen auf. Seine Mutter, die Tochter des Hofrats Ebell in [[Hannover]], starb früh (1846). Sein namensgleicher Vater Friedrich Bernhard Riemann, der aus [[Boizenburg]] stammte, hatte an den [[Befreiungskriege]]n teilgenommen (Armee von [[Ludwig von Wallmoden-Gimborn|Wallmoden]]) und war zuletzt in [[Gusborn|Quickborn]] Pastor. Riemann hielt stets enge Verbindung zu seiner Familie.

Er besuchte von 1840 bis 1842 das Gymnasium in Hannover, danach bis 1846 das Gymnasium [[Johanneum Lüneburg|Johanneum]] in Lüneburg, von wo aus er den katastrophalen [[Hamburger Brand|Brand Hamburgs]] in der Ferne beobachten konnte. Schon früh fielen seine mathematischen Fähigkeiten auf. Ein Lehrer, der Rektor Schmalfuss, lieh ihm [[Adrien-Marie Legendre|Legendres]] ''Zahlentheorie'' ''(Théorie des Nombres),'' ein schwieriges Werk von 859 [[Quarto (Papierformat)|Quartformat]]-Seiten, bekam sie aber schon eine Woche später zurück und fand, als er Riemann im Abitur über dieses Werk weit über das Übliche hinaus prüfte, dass Riemann sich dieses Buch vollständig zu eigen gemacht hatte.

=== Studium ===
[[Datei:Bernhard Riemann 2.jpg|mini|hochkant|Bernhard Riemann als Student]]

Riemann sollte zunächst wie sein Vater Theologe werden und hatte dazu schon in Lüneburg neben Latein und Griechisch auch Hebräisch gelernt; dann aber wechselte er in [[Georg-August-Universität Göttingen|Göttingen]] zur Mathematik. Von 1846 bis 1847 studierte er in Göttingen u.&nbsp;a. bei [[Moritz Stern]], [[Johann Benedict Listing]] – einem Pionier der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] (1847 schrieb er ein Buch darüber) – und [[Carl Friedrich Gauß]], der aber damals fast ausschließlich über [[Astronomie]] und nur noch selten über angewandte Themen wie seine [[Methode der kleinsten Quadrate]] las.

1847–1849 hörte Riemann in [[Berlin]] Vorlesungen von [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Gustav Dirichlet]] über [[partielle Differentialgleichung]]en, bei [[Carl Gustav Jacobi|Jacobi]] und [[Gotthold Eisenstein]] – mit dem er nähere Bekanntschaft schloss – über [[elliptische Funktionen]], bei [[Jakob Steiner|Steiner]] Geometrie. Nach [[Richard Dedekind]] beeindruckten ihn in dieser Zeit auch die Ereignisse der [[Märzrevolution|Revolution vom März 1848]] – so hielt er als Teil des Studentenkorps einen Tag Wache vor dem königlichen Schloss.

1849 war er wieder in Göttingen und begann die Arbeit an seiner Dissertation bei Gauß zur [[Funktionentheorie]], die er 1851 abschloss.<ref>Die (sehr positive) Beurteilung von Gauß und andere ist in Reinhold Remmert ''The Riemann file Nr. 135 of the Philosophische Fakultät of Georgia Augusta at Göttingen'', Mathematical Intelligencer, 1993, Nr. 3, S. 44, abgedruckt.</ref> Danach wurde er vorübergehend Assistent des Physikers [[Wilhelm Eduard Weber]]. 1854 [[Habilitation|habilitierte]] er sich. Das Thema seines Habilitationsvortrages am 10. Juni 1854 lautete ''Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen''. 1855 starb sein Vater.

=== Professor in Göttingen, Reisen und Tod ===
[[Datei:Elise Riemann.jpg|mini|hochkant|Elise Riemann geb. Koch]]

Ab 1857 hatte Riemann in Göttingen<ref>[[Göttinger Gedenktafeln|Göttinger Gedenktafel: Barfüßerstraße 18]], [http://www.stadtarchiv.goettingen.de/texte/gedenktafeln_r.htm stadtarchiv.goettingen.de].</ref> eine außerordentliche Professur. Im selben Jahr zogen seine zwei verbliebenen Schwestern zu ihm, für die er nach dem Tod seines Bruders trotz seines schmalen Gehalts sorgen musste – zur damaligen Zeit bestand das Gehalt eines Professors zum großen Teil aus [[Hörergeld]]ern, und je anspruchsvoller die Vorlesung war, desto weniger Hörer stellten sich in aller Regel ein. Riemann erlitt aus Überarbeitung einen Zusammenbruch und begab sich zur Erholung nach [[Bad Harzburg]] zu Dedekind. 1858 besuchten ihn die italienischen Mathematiker [[Francesco Brioschi]], [[Enrico Betti]] und [[Felice Casorati (Mathematiker)|Felice Casorati]] in Göttingen, mit denen er sich anfreundete und denen er topologische Ideen vermittelte. Im selben Jahr besuchte er erneut Berlin und traf dort [[Ernst Eduard Kummer]], [[Karl Weierstraß]] und [[Leopold Kronecker]]. 1859 trat er die Nachfolge [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlets]] auf dem Lehrstuhl von Carl Friedrich Gauß in Göttingen an. Dies kennzeichnete eine kurze Periode der Zufriedenheit in Riemanns Leben. Sein Professorengehalt erlöste ihn von der Armut in den Jahren als Student und so konnte er sich schließlich eine angemessene Unterkunft und sogar eine Haushaltshilfe leisten. 1860 reiste er nach Paris und traf [[Victor Puiseux]], [[Joseph Bertrand]], [[Charles Hermite]], [[Charles Briot]] und [[Jean-Claude Bouquet]].

1862 heiratete er Elise Koch, eine Freundin seiner Schwestern, mit der er eine Tochter, Ida, hatte, die 1863 in [[Pisa]] geboren wurde. Er hielt sich dann länger in Italien auf und traf seine italienischen Mathematikerfreunde wieder. Auf der Rückkehr von einer Italienreise 1862 verschlechterte sich sein Gesundheitszustand. Riemann litt an [[Tuberkulose]]. Auch längere Aufenthalte im milden Klima Italiens konnten die Krankheit nicht heilen. Auf neuerlicher Suche nach Erholung auf seiner dritten Italienreise starb er im Alter von 39 Jahren in Selasca am [[Lago Maggiore]].<ref>Er lebte ab dem 28. Juni in der Villa Pisoni in Selasca</ref> Er wurde in [[Biganzolo]] begraben.<ref>[http://www.w-volk.de/museum/grave28.htm ''Riemanns Grab in Biganzolo''] (abgerufen am 12. August 2010).</ref> Das Grab existiert nicht mehr, nur der Grabstein in der Friedhofsmauer blieb erhalten.

Seine Tochter Ida (1863–1929) war mit dem Mathematiker und Nautiker [[Carl Schilling (Nautiker)|Carl Schilling]] verheiratet und auch die Witwe Elise Riemann (1835–1904) und deren Schwester Ida Koch (1825–1899) zogen 1890 zu den Schillings nach Bremen.<ref>Derbyshire ''Prime Obsession'', Joseph Henry Press, S. 364. [http://grabsteine.genealogy.net/tomb.php?cem=135&tomb=10001&b=S Grabstein der Witwe und Schwester von Riemann, der Tochter, von Carl Schilling und ihrer fünf Kinder in Bremen-Riensberg].</ref>

== Werk ==
Trotz seines relativ kurzen Lebens wurde Riemann zu einem der herausragendsten Mathematiker, dessen Werk bis heute von großer Bedeutung für die Naturwissenschaften ist. Zum einen gehörte er zu den Begründern der [[Funktionentheorie]], der Lehre von den Funktionen [[Komplexe Zahl|komplexer]] Variablen. Zum anderen gilt er als Begründer der [[Riemannsche Geometrie|Riemannschen Geometrie]] als einer der Wegbereiter von [[Albert Einstein|Einsteins]] [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeiner Relativitätstheorie]].

=== Geometrie ===
Veröffentlicht hat er seine Ideen zur „Riemannschen Geometrie“, d.&nbsp;h. Differentialgeometrie in beliebig vielen Dimensionen mit lokal definierter Metrik, nur in seinem Habilitationsvortrag 1854, den er noch in Gegenwart des tief beeindruckten Carl Friedrich Gauß hielt. Er hatte mehrere Themen vorgeschlagen und die „Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“ nur als letztes aufgeführt.<ref>Sie wird erst weiter bekannt durch die Veröffentlichung in den Nachrichten der Göttinger Akad. Wiss. 1868 durch Dedekind.</ref> Gauß wählte (was eigentlich unüblich ist) gezielt dieses Thema. In dem Vortrag musste sich Riemann gezwungenermaßen für einen breiteren Kreis verständlich ausdrücken, und es kommen deshalb nur wenige Formeln darin vor. In einer Pariser Preisschrift (publiziert erst 1876 in den Gesammelten Werken) deutet Riemann die konkretere Ausführung seiner Vorstellungen an (u.&nbsp;a. [[Christoffel-Symbol]]e, [[Riemannscher Krümmungstensor|Krümmungstensor]]).

=== Funktionentheorie ===
Seine geometrische Begründung der Funktionentheorie mit der Einführung [[Riemannsche Fläche|riemannscher Flächen]], auf denen mehrdeutige Funktionen wie der [[Logarithmus]] (unendlich viele Blätter) oder die Wurzelfunktion (zwei Blätter) „eindeutig“ werden, legte er bereits in seiner Dissertation vor, die nach Angabe von Dedekind schon im Herbst 1847 in Berlin abgeschlossen war (in Diskussionen mit Eisenstein soll er seinen Differentialgleichungs-Zugang zur Funktionentheorie gegenüber der mehr formalen Einstellung Eisensteins vertreten haben). Komplexe Funktionen sind „[[harmonische Funktion]]en“ (das heißt, sie erfüllen die [[Laplacegleichung]] bzw. äquivalent dazu die [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]]) auf diesen Flächen und werden durch die Lage ihrer Singularitäten und die Topologie dieser Flächen (Zahl der Schnitte u.&nbsp;a.) beschrieben. Das topologische „Geschlecht“ der Riemannflächen wird durch <math>g = w/2 - n + 1</math> gegeben, wobei in den <math>w</math> Verzweigungspunkten der Fläche <math>n</math> Blätter aneinandergeheftet sind. Für <math>g > 1</math> hat die riemannsche Fläche <math>(3 g - 3)</math> Parameter (die „Moduln“).

Seine Beiträge zu diesem Gebiet sind zahlreich. Sein berühmter [[Riemannscher Abbildungssatz]] besagt, dass jedes einfach zusammenhängende Gebiet in der komplexen Zahlenebene C entweder zu ganz C oder dem Innern des Einheitskreises „biholomorph“ äquivalent ist (das heißt, es gibt eine analytische Abbildung, auch in umgekehrter Richtung). Die Verallgemeinerung des Satzes in Bezug auf riemannsche Flächen ist das berühmte [[Uniformisierungstheorem]], um das sich im 19. Jahrhundert u.&nbsp;a. [[Henri Poincaré]] und [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] bemühten. Auch hier sind [[Mathematische Strenge|strenge Beweise]] erst mit der Entwicklung ausreichender mathematischer Werkzeuge –&nbsp;in diesem Fall aus der Topologie&nbsp;– gegeben worden.

Für den Beweis der Existenz von Funktionen auf riemannschen Flächen verwendete er eine Minimalbedingung, die er das [[Dirichlet-Prinzip]] nannte. [[Karl Weierstraß]] wies sofort auf eine Lücke hin: Riemann hatte mit seiner „Arbeitshypothese“ (für ihn war die Existenz des Minimums anschaulich klar) nicht beachtet, dass der zugrundeliegende Funktionenraum nicht vollständig sein muss und deshalb die Existenz eines Minimums nicht gesichert war. Durch die Arbeiten von [[David Hilbert]] in der Variationsrechnung wurde das Dirichlet-Prinzip um die Jahrhundertwende auf theoretisch sicheren Boden gestellt.

Weierstraß war im Übrigen von Riemann sehr beeindruckt, insbesondere von seiner Theorie [[Niels Henrik Abel|Abelscher]] Funktionen. Als diese erschien, zog er sein eigenes Manuskript, das schon bei [[Leopold Crelle|Crelle]] lag, wieder zurück und publizierte es nicht mehr. Beide verstanden sich gut, als Riemann ihn 1859 in Berlin besuchte. Weierstraß regte seinen Schüler [[Hermann Amandus Schwarz]] an, nach Alternativen zum Dirichletprinzip in der Begründung der Funktionentheorie zu suchen, worin dieser auch erfolgreich war. Für die Schwierigkeiten, die zeitgenössische Mathematiker mit Riemanns neuen Ideen hatten, ist eine Anekdote bezeichnend, die [[Arnold Sommerfeld]] überlieferte:<ref>Sommerfeld „Vorlesungen über theoretische Physik“, Band 2 (Mechanik deformierbarer Medien), Harri Deutsch, S. 124. Sommerfeld hatte die Geschichte vom Aachener Professor der Experimentalphysik Adolf Wüllner.</ref> Weierstraß hatte sich Riemanns Dissertation in den 1870er Jahren zum Studium in den Urlaub auf dem [[Rigi]] mitgenommen und klagte, sie sei schwer verständlich. Der Physiker Hermann von Helmholtz borgte sich die Arbeit über Nacht aus und gab sie mit dem Kommentar zurück, sie sei für ihn „naturgemäß“ und „wie selbstverständlich“.
[[Datei:Bernhard riemann.jpg|mini|hochkant|Riemann]]

Weitere Höhepunkte sind seine Arbeiten über abelsche Funktionen und [[Thetafunktion]]en auf Riemannschen Flächen. Riemann war seit 1857 in einem Wettkampf mit Weierstraß um die Lösung des jacobischen Umkehrproblems der [[Abelsches Integral|abelschen Integrale]], einer Verallgemeinerung der elliptischen Integrale. Riemann benutzte Thetafunktionen in mehreren Variablen und reduzierte das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen dieser Thetafunktionen. Riemann untersuchte auch die Periodenmatrix (der g abelschen Integrale 1. Gattung auf g Wegen, die sich aus „kanonischer Zerschneidung“ der Fläche mit 2g Wegen ergeben) und charakterisierte sie durch die „riemannschen Periodenrelationen“ (symmetrisch, Realteil negativ). Die Gültigkeit dieser Relationen ist nach [[Ferdinand Georg Frobenius]] und [[Solomon Lefschetz]] äquivalent mit der Einbettung von <math> C^n / \Omega</math>, (<math>\Omega</math> = Gitter aus der Periodenmatrix) in einen projektiven Raum mittels Thetafunktionen. Für ''n=g'' ist das die auch von Riemann untersuchte [[Jacobi-Varietät]] der Riemannfläche, ein Beispiel einer [[Abelsche Varietät|abelschen Varietät]] (Gitter).

Zahlreiche Mathematiker wie z.&nbsp;B. [[Alfred Clebsch]] führten die von Riemann erdachten Beziehungen zur Theorie algebraischer Kurven weiter aus. Diese Theorie lässt sich durch die Eigenschaften der auf einer riemannschen Fläche definierbaren Funktionen ausdrücken. Beispielsweise macht der [[Satz von Riemann-Roch]] ([[Gustav Roch|Roch]] war ein Student Riemanns) Aussagen über die Anzahl der linear unabhängigen Differentiale (mit gewissen Vorgaben an deren Null- und Polstellen) auf einer riemannschen Fläche.

Nach Laugwitz tauchen in einem Aufsatz über die Laplacegleichung auf elektrisch leitenden Zylindern erstmals automorphe Funktionen auf. Riemann benutzte allerdings solche Funktionen auch für konforme Abbildungen z.&nbsp;B. von Kreisbogendreiecken in den Kreis in seinen Vorlesungen über hypergeometrische Funktionen 1859 (von Schwarz wiederentdeckt) oder in der Abhandlung über Minimalflächen. Freudenthal sieht es als größten Fehler Riemanns an, dass er nicht schon in seiner Einführung der Riemannflächen an den Schnitten [[Möbiustransformation]]en zulässt und so automorphe Funktionen einführt (was er in der Theorie der hypergeometrischen Differentialgleichung an den singulären Stellen tut). Riemann kannte den Gauß-Nachlass, in dem auch die Modulfigur auftaucht.

=== Zahlentheorie ===
Seine Arbeit [[Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.|Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe]]<ref>''[[s:Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe|Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe]]'' auf [[Wikisource]].</ref> von 1859, seiner einzigen Arbeit zur Zahlentheorie, gilt mit einigen Arbeiten von [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]] und seinem Lehrer Dirichlet als Gründungsschrift der analytischen Zahlentheorie. Es ging um den Versuch, den von Gauß vermuteten Primzahlsatz
zu beweisen und zu verschärfen.

In dieser Arbeit machte er mit Hilfe der [[Funktionentheorie]] sehr weitgehende Aussagen über die Verteilung der [[Primzahl]]en. Hier findet sich vor allem auch die nach ihm benannte [[Riemannsche Vermutung]] über die Nullstellen der [[Zetafunktion]], allerdings nur in einem Satz erwähnt (er habe den Beweis nach einigen flüchtigen Versuchen aufgegeben, da er für den unmittelbaren Zweck der Abhandlung nicht nötig sei). Sie ist von tragender Bedeutung für die [[Zahlentheorie]], aber bis heute unbewiesen. Dass auch hinter diesem kurzen Aufsatz weit umfangreichere Rechnungen Riemanns stecken, zeigte [[Carl Ludwig Siegel|Siegel]] 1932 bei der Untersuchung von Riemanns Nachlass in Göttingen.

In der Arbeit von Riemann sind noch viele weitere interessante Entwicklungen. So bewies er die Funktionalgleichung der Zetafunktion (die schon Euler bekannt ist), hinter der eine solche der Thetafunktion steckt. Auch gibt er eine viel bessere Näherung für die [[Primzahlverteilung]] <math>\pi(x)</math> als die Gauß’sche Funktion Li(''x''). Durch Summation dieser Näherungsfunktion über die nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden mit Realteil 1/2 gibt er sogar eine exakte „explizite Formel“ für <math>\pi(x)</math>.

Riemann kannte Tschebyschows Arbeiten zum Primzahlsatz. Dieser hatte 1852 Dirichlet besucht. Riemanns Methoden sind aber gänzlich anders.

=== Reelle Funktionen, Fourierreihen, Riemannintegral, Hypergeometrische Differentialgleichung ===
Auf dem Gebiet der [[Funktion (Mathematik)|reellen Funktionen]] entwickelte er das ebenfalls nach ihm benannte [[Riemann-Integral]] (in seiner Habilitation). Er bewies unter anderem, dass jede stückweise stetige Funktion integrierbar ist. Ebenso geht das [[Stieltjes-Integral]] auf den Göttinger Mathematiker zurück und wird deshalb mitunter auch als Riemann-[[Thomas Jean Stieltjes|Stieltjes]]-Integral bezeichnet.

In seiner Habilitationsarbeit über [[Fourierreihe]]n, wo er ebenfalls den Spuren seines Lehrers Dirichlet folgte, bewies er, dass Riemann-integrable Funktionen durch Fourierreihen „darstellbar“ sind. Dirichlet hatte dies für stetige, stückweise differenzierbare Funktionen (also mit abzählbar vielen Sprungstellen) bewiesen. Riemann gab als von Dirichlet nicht erfassten Fall das Beispiel einer stetigen, fast nirgends differenzierbaren Funktion, in Form einer Fourierreihe. Außerdem bewies er das [[Lemma von Riemann-Lebesgue]]: falls eine Funktion durch eine Fourierreihe darstellbar ist, gehen die Fourierkoeffizienten für große ''n'' gegen Null.

Riemanns Aufsatz war auch der Ausgangspunkt von [[Georg Cantor]]s Beschäftigung mit Fourierreihen, woraus dann die [[Mengenlehre]] entstand.

Er behandelte auch die [[hypergeometrische Differentialgleichung]] 1857 mit funktionentheoretischen Methoden und kennzeichnete die Lösungen durch in der [[Monodromie]]matrix beschriebenes Verhalten auf geschlossenen Wegen um die Singularitäten herum. Der Beweis der Existenz einer solchen Differentialgleichung bei vorgegebener Monodromiematrix ist eines der [[Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen|Hilbert-Probleme]] (Riemann-Hilbert-Problem).
[[Datei:Bernhard Riemann 4.jpg|mini|hochkant|Riemann in Florenz wahrscheinlich 1863]]

=== Mathematische Physik, Naturphilosophie ===
Riemann interessierte sich auch stark für die mathematische Physik und Naturphilosophie unter dem Einfluss des Philosophen [[Johann Friedrich Herbart]].<ref>[[Erhard Scholz]]: ''Herbart’s Influence on Bernhard Riemann.'' In: ''Historia Mathematica.'' Band 9, 1982, S.&nbsp;413–440.</ref> Dieser vertrat eine Art „Feldtheorie“ der geistigen Phänomene ähnlich der elektrodynamischen in Analogie zum Gauß’schen Satz der Potentialtheorie. Herbart: „In jedem Augenblick tritt etwas Bleibendes in unsere Seele, um gleich wieder zu verschwinden.“<ref>Zitiert nach der Riemann Biographie von Laugwitz.</ref> Für Herbart, der im Rückgriff auf [[David Hume|Hume]] eine mathematische Begründung der Psychologie suchte, war das Subjekt nur das veränderliche Produkt der Ideen. Wie Riemann selbst angibt, konnte er sich zwar einigen erkenntnistheoretischen und psychologischen Konzepten von Herbart anschließen, nicht jedoch seiner Naturphilosophie.<ref>Riemann, Werke, 1876, S. 476.</ref> Seine Rezension der frühen Schriften [[Gustav Theodor Fechner]]s zeigt, dass er die von [[Friedrich Wilhelm Joseph Schelling]]s Naturphilosophie beeinflusste Lehre Fechners teilte, insbesondere die Idee, dass es ein „Inneres der Natur“ gibt, das von einem „organisierenden Prinzip“ belebt ist und zu „höheren Entwicklungsstufen“ führt.<ref>Siehe [[Marie-Luise Heuser]]: Schelling’s Concept of Self-Organization. In: R. Friedrich, A. Wunderlin (Hrsg.): ''Evolution of dynamical structures in complex systems.'' Springer Proceedings in Physics, Berlin/Heidelberg/New York (Springer) 1992, S. 395–415 zur riemannschen Rezeption der Naturphilosophie Schellings via Fechner. Siehe auch: Marie-Luise Heuser-Keßler: Subjektivität als Selbstorganisation. Schellings Transformation des Subjektsbegriffs und sein Einfluß auf erste mathematische Ansätze einer Theorie der Selbstorganisation im 19. Jahrhundert. In: Hans Michael Baumgartner, Wilhelm G. Jacobs (Hrsg.), Philosophie der Subjektivität? Zur Bestimmung des neuzeitlichen Philosophierens, Teil 2 (= Schellingiana 3.2), Stuttgart-Bad Cannstatt (frommann-holzboog) 1993, 431–440. ISBN 978-3-7728-1485-3.</ref> Riemanns Ideen zur Naturphilosophie aus seinem Nachlass sind in seinen Gesammelten Werken veröffentlicht.

Sein „Beitrag zur Elektrodynamik“ von 1858, den er von der Publikation zurückzog, sollte die [[Elektrodynamik]] vereinheitlichen: Coulombkräfte (Schwere, Elektrizität) aus Widerstand gegen Volumenänderung, „elektrodynamische“ Kräfte wie Licht, Wärmestrahlung aus Widerstand gegen Längenänderung eines Linienelements (er geht von [[André-Marie Ampère|Ampères]] Gesetz der Wechselwirkung zweier Ströme aus). Anstelle der [[Poisson-Gleichung]] für das Potential, kommt er zu einer Wellengleichung mit konstanter Lichtgeschwindigkeit. Bei der Entwicklung seiner Ideen wurde er von [[Isaac Newton]]s 3. Brief an [[Richard Bentley|Bentley]] beeinflusst (zitiert in [[David Brewster|Brewsters]] „Life of Newton“). [[Rudolf Clausius]] fand in der postum veröffentlichten Arbeit einen schweren Fehler.

Seine Verwendung des Dirichlet-Prinzips deutet schon auf Variationsmethoden hin, und Riemann hat auch eine Arbeit über [[Minimalfläche]]n geschrieben. Nach Laugwitz ist sie von Hattendorff, der sie postum herausgab, ungeschickt bearbeitet worden und nimmt viele Ideen von [[Hermann Amandus Schwarz]] vorweg.

In der mathematischen Physik arbeitete er beispielsweise über Wärmeleitungsprobleme, Potentialprobleme, [[Partielle Differentialgleichung|hyperbolische Differentialgleichung]] (er fand 1860 eine neue Lösungsmethode für Differentialgleichungen, die Stoßwellen beschreiben) und Figuren rotierender Flüssigkeiten. Aufgrund seiner Untersuchungen hyperbolischer Gleichungen ist das [[Riemann-Problem]] nach ihm benannt. Auf dem Gebiet rotierender Flüssigkeiten beantwortete er eine Frage Dirichlets und fand neue Figuren neben den schon bekannten von Dedekind, Dirichlet und [[Colin MacLaurin]]. Außerdem betrachtete er ihre Stabilität ([[Alexander Michailowitsch Ljapunow|Ljapunow]] vorwegnehmend). Hattendorf hat seine Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik nach seinem Tod herausgegeben. Später wurde daraus in der Bearbeitung von [[Heinrich Weber (Mathematiker)|Heinrich Weber]] ein damals bekanntes Lehrbuch. Noch kurz vor seinem Tod arbeitete er an einer Theorie des menschlichen Ohrs.

=== Wirkung und Würdigung ===
[[Datei:2009 11 riemann 008.jpg|mini|hochkant|Riemanns Grabstein in Biganzolo, 2009]]
[[Datei:Denkmal an Herrn Riemann, Kirche in Breselenz.jpg|mini|links|200px|Riemann-Denkmal in Breselenz]]
Riemanns Freund [[Richard Dedekind]] hat seine Werke nach seinem Tod 1876 zusammen mit Heinrich Weber in erster Auflage (2. Auflage 1892 durch Heinrich Weber) herausgegeben (und mit einer Biographie versehen), darunter auch viel nicht publiziertes Material (weitere Arbeiten soll seine Haushälterin kurz nach seinem Tod aus Unkenntnis verbrannt haben).<ref>Marcus du Sautoy, ''Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik'', München 2003, ISBN 3-423-34299-4, S. 130.</ref> Die Popularisierung seiner Funktionentheorie, die damals in Konkurrenz zu der „Potenzreihen“-Funktionentheorie à la Cauchy und Weierstraß stand, erfolgte vor allem durch [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] in seinen Vorlesungen in Leipzig und Göttingen, wobei dieser sich nicht scheute, physikalische Analogien zu betonen. Auch [[Carl Gottfried Neumann]] trug in verschiedenen Büchern zur Verbreitung von Riemanns Ideen bei. Deshalb hatte Riemanns Funktionentheorie von Anfang an bei Physikern wie [[Hermann von Helmholtz]] Erfolg. Helmholtz wandte sie schon 1868 in einer Arbeit über Flüssigkeitsbewegung (konforme Abbildungen) an und schrieb 1868 an Riemann anknüpfend eine Arbeit über das später so genannte „Riemann-Helmholtz-Raumproblem“. Den Mathematikern blieb die Funktionentheorie lange Zeit suspekt, nicht zuletzt dank Weierstraß’ Kritik am Dirichletprinzip.

Insbesondere fielen Riemanns Ideen in Italien, in dessen gerade gegründetem Nationalstaat ein großer Hunger nach neuen Ideen bestand, auf fruchtbaren Boden. Es bestanden auch persönliche Beziehungen von Riemann, der sich zur Wiederherstellung seiner Gesundheit gern in Italien aufhielt, zu italienischen Mathematikern wie [[Enrico Betti]] und [[Eugenio Beltrami]], und diese versuchten sogar, ihn ganz nach Italien auf einen Lehrstuhl in Pisa zu ziehen. Seine Krankheit und sein Tod verhinderten das.

Zu seinen unmittelbaren deutschen Schülern zählten [[Friedrich Schottky]], [[Gustav Roch]] (der im selben Jahr wie Riemann und ebenfalls an [[Tuberkulose]] starb), [[Friedrich Prym]], der wie Roch 1861 bei Riemann hörte und seine Methoden gleich in seiner Dissertation 1862 bei [[Ernst Eduard Kummer|Kummer]] anwandte.

Typisch für Riemann war ein konzeptionelles, viele Bereiche verbindendes Denken, er war aber auch „technisch“ sehr stark. Wie sein Vorbild Dirichlet vermied er aber nach Möglichkeit Rechnungen. Mit ihm begann die [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] eine zentrale Rolle in der Mathematik zu spielen.

== Verschiedenes ==
Der wissenschaftliche Nachlass von Riemann wird vom [[Zentralarchiv deutscher Mathematiker-Nachlässe]] an der [[Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen|Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen]] aufbewahrt. Er umfasst keine privaten Briefe oder persönliche Dokumente, die in der Hand der Familie blieben. Ein Teil der privaten Briefe aus dem Besitz von [[Erich Bessel-Hagen]] (der sie wahrscheinlich um die Zeit des Zweiten Weltkriegs erwarb) kam an die [[Staatsbibliothek Berlin]].<ref>Erwin Neuenschwander ''A brief report on a number of recently discovered sets of notes of Riemann´s lectures and on the transmission of the Riemann Nachlass'', Historia Mathematica, 15, 1988, 101–113.</ref>

In seinem Geburtsort Breselenz hat die Gemeinde [[Jameln]] nach ihm eine Straße benannt, ebenso wie die Städte [[Berlin]], [[Dannenberg (Elbe)]], [[Göttingen]], [[Jena]], [[Leipzig]] und [[Lüneburg]].

== Eponyme ==
Nach Riemann sind folgende mathematische Strukturen benannt:
* [[Riemann-Integral]], ein klassischer Integralbegriff der Analysis
* [[Riemann-Stieltjes-Integral]], eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals
* [[Riemann-Silberstein-Vektor]], [[Vektorraum|komplexer Vektor]], der das [[Elektrisches Feld|elektrische]] und das [[Magnetismus|magnetische Feld]] verbindet (zusätzlich nach [[Ludwik Silberstein]] benannt, manchmal auch Weber-Vektor nach [[Heinrich Weber (Mathematiker)|Heinrich Weber]])
* [[Riemann-Problem]], ein Anfangswertproblem, bei dem die Anfangsdaten konstant sind, bis auf einen Punkt, in dem sie unstetig sind
* [[Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen]], ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reeller Funktionen
* [[Riemannsche Fläche]], eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit
* [[Riemannsche Geometrie]], ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, in dem riemannsche Mannigfaltigkeiten untersucht werden
* [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]], eine reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mit einem Skalarprodukt auf dem Tangentialraum ausgestattet ist
* [[Riemannsche Normalkoordinaten]], ein Koordinatensystem, das in der riemannschen Geometrie verwendet wird
* [[Riemann-Siegelsche Theta-Funktion]]
* [[Riemannsche Vermutung]], eine Vermutung, nach der alle nichttrivialen Nullstellen der riemannschen Zetafunktion den Realteil ½ besitzen
* [[Riemannsche Xi-Funktion]], eine Transformierte der riemannschen Zetafunktion
* [[Riemannsche Zahlenkugel]], eine riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zur komplexen Ebene ergibt
* [[Riemannsche ζ-Funktion]], eine komplexe Funktion, die die analytische Fortsetzung der Dirichlet-Reihe darstellt

Weiter sind nach Riemann folgende mathematische Sätze benannt:
* [[Formel von Riemann-Hurwitz]], ein Zusammenhang zwischen Verzweigungsordnung, Blätterzahl und Geschlecht bei holomorphen Abbildungen kompakter riemannscher Flächen
* [[Riemannscher Abbildungssatz]]: jedes einfach zusammenhängende Gebiet lässt sich biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe abbilden
* [[Riemannscher Hebbarkeitssatz]]: eine Singularität einer holomorphen Funktion kann genau dann behoben werden, wenn die Funktion in einem Gebiet um die Singularität beschränkt ist
* [[Riemannscher Umordnungssatz]], ein Satz über die Umordenbarkeit bedingt konvergenter Reihen
* [[Satz von Riemann-Roch]], ein Satz über die Zahl der unabhängigen meromorphen Funktionen mit vorgegebenen Null- und Polstellen auf einer kompakten riemannschen Fläche

Zudem sind nach Riemann benannt:
* [[(4167) Riemann]], ein Asteroid des Hauptgürtels
* [[Riemann (Mondkrater)]], ein Mondkrater in der nördlichen Hemisphäre
* [[Bernhard-Riemann-Gymnasium]], ein Gymnasium in Scharnebeck

== Schriften ==
* [[Raghavan Narasimhan]] (Hrsg.): ''Riemanns Gesammelte Werke.'' Teubner/Springer, 1990 (mit dem Nachruf von Schering, der auch in dessen ''Gesammelten Werken'' Band 2 abgedruckt ist), oder
* ''Bernhard Riemann´s Gesammelte Mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass.'' herausgegeben von [[Heinrich Weber (Mathematiker)|Heinrich Weber]] unter Mitwirkung von [[Richard Dedekind]], Leipzig, B. G. Teubner 1876, 2. Auflage 1892, Nachdruck bei Dover 1953 (mit den Nachträgen herausgegeben von [[Max Noether]] und [[Wilhelm Wirtinger]], Teubner 1902)
* [[Hermann von Stahl]] (Hrsg.): ''Riemanns Vorlesungen über elliptische Funktionen.'' Teubner, 1899.
* ''Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe.'' In: ''Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften.'' Berlin, November 1859, S.&nbsp;671ff. Hier findet sich die Riemannsche Vermutung. ''[[s:Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe|Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.]]'' (Wikisource), [https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/riemann1859.pdf Faksimile des Manuskripts] bei Clay Mathematics
* ''Vorlesungen über „Partielle Differentialgleichungen“.'' 3. Auflage. Braunschweig 1882.
* ''Schwere, Elektrizität und Magnetismus.'' Hannover 1876, Hrsg. von [[Karl Hattendorff]].
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN234595299 ''Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physicalische Fragen''] Für den Druck bearbeitet und herausgegeben von [[Karl Hattendorff]]. Braunschweig, Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn, 1869.
* [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Papers.html The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann], auch in [http://www.emis.de/classics/Riemann/ emis.de]
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN309770033 ''Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe''.] Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN631015833 ''Mathematische Theorie der Schwere, der Electricität & des Magnetismus''.] Vorlesungsmanuskript zur Vorlesung, Göttingen im Sommer 1861. Ausgearbeitet von Hrn. Ed. Schultze.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002018780 ''Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite''.] Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1860, seine spezielle „Schockwelle“.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002019213 ''Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen''.] Abh. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868 ({{DTAW|riemann_hypothesen_1867}}), [http://www.emis.de/classics/Riemann/Geom.pdf EMIS, pdf]
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002018691 ''Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen''.] Abh. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen 1857
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002152711 ''Ueber das Verschwinden der ϑ-Functionen''.] In: ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Crelles Journal]].'' 1866, Band 65.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002149974 ''Allgemeine Voraussetzungen und Hülfsmittel für die Untersuchung von Functionen unbeschränkt veränderlicher Größen''.] In: ''Crelles Journal.'' 1857, Band 54.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002149982 ''Lehrsätze aus der analysis situs für die Theorie der Integrale von zweigliedrigen vollständigen Differentialien''.] In: ''Crelles Journal.'' 1857, Band 54.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002149990 ''Bestimmung einer Function einer veränderlichen complexen Größe durch Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen''.] In: ''Crelles Journal.'' 1857, Band 54.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00215000X ''Theorie der Abel'schen Functionen''.] In: ''Crelles Journal.'' 1857, Band 54.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002019183 ''Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung''.] Abh. Kgl. Ges. Wis. Göttingen, 1868.
* [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002018896 ''Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegungen eines gleichartigen flüssigen Ellipsoids''.] Abh. Ges. Wiss. Göttingen 1861.

== Literatur ==
* [[Eric Temple Bell]]: ''Men of mathematics''. New York 1986 (Erstauflage 1937). Deutsch unter dem Titel: ''Die großen Mathematiker'', Econ Verlag, 1967
* [[Umberto Bottazzini]]: ''Riemanns Einfluß auf E. Betti und F. Casorati.'' In: ''Archive for History of Exact Sciences.'' Band 18, Nr. 1, März 1977
* ders.: [http://arxiv.org/abs/math/0305022 ''„Algebraic Truths“ vs „Geometric Fantasies“: Weierstrass’ Response to Riemann''.] In: ''Proceedings of the International Congress of Mathematicians.'' Peking, 20.–28. August 2002
* Umberto Bottazzini und Rossana Tazzioli: ''“Naturphilosophie and its role in Riemann’s mathematics.”'' Revue d’Histoire des Mathématiques, Band 1, 1995, S. 3–38, [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=RHM_1995__1_1_3_0 numdam]
* Umberto Bottazzini, [[Jeremy Gray]]: ''Hidden Harmony – Geometric Fantasies. The rise of complex function theory'', Springer 2013
* {{ADB|28|555|559|Riemann, Bernhard|[[Moritz Cantor]]|ADB:Riemann, Bernhard}}
* [[Richard Courant]]: ''Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten 100 Jahre'', Naturwissenschaften, Band 14, 1926, S. 813–818, 1265–1277.
* [[Olivier Darrigol]]: ''The mystery of Riemann´s Curvature'', Historia Mathematica, Band 42, 2015, S. 47–83.
* [[Richard Dedekind]]: ''Bernhard Riemanns’s Lebenslauf.'' In: Richard Dedekind, Heinrich Weber (Hrsg.): ''Bernhard Riemann’s gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass.'' 2. Auflage. Leipzig 1892, S. 541–558, [http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/13006 Volltext] (PDF; 379&nbsp;kB) an der Universität Heidelberg
* John Derbyshire: ''Prime Obsession. Bernhard Riemann And The Greatest Unsolved Problem In Mathematics''. Washington DC 2003, ISBN 0-309-08549-7.
* [[Harold Edwards (Mathematiker)|Harold Edwards]]: ''Riemann’s Zeta Function''. Mineola, New York 2001 (Reprint), ISBN 0-486-41740-9.
* [[Hans Freudenthal]]: ''Riemann.'' In: ''[[Dictionary of Scientific Biography]]. Vol. 11. Ed. Charles Coulston Gillipsie. New York: Scribner, 1975. 447–56.''
* Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, Sumio Yamada (Hrsg.): ''From Riemann to Differential Geometry and Relativity.'' Springer, 2017, XXXIV, ISBN 978-3-319-60039-0 (unter anderem Einleitung von Athanase Papadopoulos [https://arxiv.org/abs/1710.03982 Looking backward: From Euler to Riemann])
* [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]]: [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN375425993 ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert'']. Springer-Verlag 1926, 1979.
* [[Detlef Laugwitz]]: ''Bernhard Riemann 1826–1866''. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 978-3-7643-5189-2.
* Krzysztof Maurin: ''The Riemann legacy. Riemannian Ideas in Mathematics and Physics''. Kluwer 1997
* Michael Monastyrsky: ''Riemann, Topology and Physics.'' 2. Auflage. Birkhäuser, 1999, ISBN 0-8176-3789-3.
* [[Erwin Neuenschwander]]: ''Riemann und das „Weierstraßsche“ Prinzip der analytischen Fortsetzung durch Potenzreihen''. Jahresbericht Deutsche Mathematiker Vereinigung, Band 82, S.&nbsp;1–11 (1980)
* Neuenschwander: ''Lettres de Bernhard Riemann à sa famille.'' In: ''Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques.'' Band 2, 1981, S.&nbsp;85–131, [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CSHM_1981__2__85_0 numdam.org]
* [[Olaf Neumann (Mathematiker)|Olaf Neumann]] (Hrsg.): ''Bernhard Riemann (1826–1866). Mit B. Riemann, Habilitationsvortrag, Göttingen 1854 (erstmals erschienen in Göttingen 1867 / B. G. Teubner 1876); R. Dedekind: Bernhard Riemanns Lebenslauf, B. G. Teubner 1876; O. Neumann: Über Riemanns Habilitationsvortrag, EAGLE 2017'', Leipzig, Edition am Gutenbergplatz Leipzig, 2017, ISBN 978-3-95922-097-2 [http://www.eagle-leipzig.de/097-neumann.htm (eagle-leipzig.de)]
* [[Olaf Neumann (Mathematiker)|Olaf Neumann]] (Hrsg.): ''Bernhard Riemann / Hermann Minkowski, Riemannsche Räume und Minkowski-Welt. Mit B. Riemanns Habilitationsvortrag, Göttingen 1854, und D. Hilberts Gedächtnisrede auf H. Minkowski, Göttingen 1909. Mit Originalarbeiten von B. Riemann, H. Minkowski, R. Dedekind, D. Hilbert und dem von O. Neumann verfassten Essay Riemann, Minkowski und der Begriff Raum'', Leipzig, Edition am Gutenbergplatz Leipzig, 2012, ISBN 978-3-937219-14-1 [http://www.eagle-leipzig.de/014-neumann.htm (eagle-leipzig.de)]
* [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]] (Hrsg.): ''Richard Dedekind: 1831–1981, eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag'', Braunschweig, Vieweg, 1981, ISBN 3-528-08498-7 (hier auch von Dedekind zu Riemann einiges, was er in seiner Biographie in den Gesammelten Werken mit Rücksicht auf die Witwe verschwieg)
* [[Ernst Christian Julius Schering|Ernst Schering]]: ''Rede zum Gedächtnis an Riemann vom 1. Dezember 1899.'' In: Riemann, Bernhard: ''Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlaß. Herausgegeben unter Mitwirkung von Richard Dedekind und Heinrich Weber'', Zweite Auflage, Leipzig 1892, Band 2
* Erhard Scholz: ''Herbart´s influence on Bernhard Riemann.'' Historia Mathematica, Band 9, 1982, S. 413–440.
* [[Carl Ludwig Siegel]]: ''Vorlesungen über ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie'', Göttingen, o.&nbsp;J./1995, Band 1,2 (Erläuterung von Riemanns Arbeiten), erhältlich hier: [http://www.uni-math.gwdg.de/skripte/index.php uni-math.gwdg.de]
* ders.: ''Über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie.'' Quellen-Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abt. B: Studien 2, (1932), S. 45–80. (auch in ''Gesammelte Abhandlungen'', Band 1, Springer-Verlag, Berlin and New York 1979, ISBN 978-3-540-09374-9).
* {{NDB|21|591|592|Riemann, Georg Friedrich Bernhard|Peter Ullrich|118600869}}
* [[Annette Vogt]]: ''Die Herausbildung der modernen Funktionentheorie in den Arbeiten von B. Riemann (1826–1866) und K. Weierstrass (1815–1897): ein Vergleich ihres Denkstils,'' 1986 {{DNB|870532820}} (Dissertation A Universität Leipzig 1986, 111 Seiten).
* [[André Weil]]: ''Riemann, Betti and the birth of topology.'' In: ''Archive for History of Exact Sciences'', Band 20, 1979, S. 91 und Band 21, 1980, S. 387 (u.&nbsp;a. Brief Bettis, in dem er eine Äußerung Riemanns wiedergibt, er hätte die Idee für seine Schnitte aus einer Unterredung mit Gauss)
* [[Hermann Weyl]]: Erläuterungen in seiner Herausgabe von Riemann: ''Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen''.Springer, Berlin 1919
* [[Hermann Weyl]]: ''Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkungen und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie''. Springer, 1988

== Belletristik ==
* [[Atle Næss]]: ''Die Riemannsche Vermutung. Von der Schönheit der Primzahlen und dem Rätsel der Liebe''. Piper, München 2007, ISBN 978-3-492-05110-1 (Norwegischer Originaltitel: 'Roten av minus en' ['Wurzel aus minus eins'], übersetzt von Günther Frauenlob). Taschenausgabe ebenfalls bei Piper, München 2009, ISBN 978-3-492-25366-6.

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
{{Wikisource}}
* {{DNB-Portal|118600869}}
* {{MathGenealogyProject|18232|name=Bernhard Riemann}}
* {{MacTutor|id=Riemann|title=Georg Friedrich Bernhard Riemann}}
* Dörte Haftendorn: [http://www.johanneum-lueneburg.de/homepage/chronik/riemann/bernhard-riemann-mrz06-mit-b.pdf Riemann Biographie]
* Richard Dedekind: [http://www.ub.uni-heidelberg.de/helios/fachinfo/www/math/htmg/riemann.pdf Biografie, aus den „Gesammelten Werken“] (PDF; 370 kB)
* Ritchey: [http://www.swemorph.com/pdf/anaeng-r.pdf ''Analysis and Synthesis – On Scientific Method based on a Study by Bernhard Riemann''.] (PDF; 182 kB) englische Übersetzung von Riemanns Nachlass-Arbeit über das Ohr
* Felix Klein: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN375425993 ''Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert''.] Kapitel Riemann, S. 247.
* A.Speiser: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=252019 ''Naturphilosophische Untersuchungen von Riemann und Euler''.] ''Crelles Journal'', 1927
* Felix Klein: Riemann und seine Bedeutung für die Entwicklung der Mathematik, Jahresbericht DMV 1894/95. ([http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/13005 Digitale Neuausgabe.] Univ. Heidelberg, 2010)
* Noether Brill: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN37721857X_0003 ''Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Functionen in älterer und neuerer Zeit''.] Jahrbuch DMV 1894, S. 107.
* [http://hans.sub.uni-goettingen.de/nachlaesse/Riemann.pdf Zentralarchiv Mathematiker-Nachlässe: Findbuch] (PDF; 334&nbsp;kB)
* Neuenschwanders Ausgabe von Riemanns Briefen an seine Familie findet sich hier: [http://www.numdam.org/ numdam.org]
* Wolfgang Gabcke: [https://arxiv.org/pdf/1602.08264.pdf ''Transcriptions of six letters of Bernhard Riemann preserved in the Smithsonian Libraries'' (2016)]
* Spektrum.de: [https://www.spektrum.de/wissen/bernhard-riemann-1826-1866/1167731 Bernhard Riemann (1826–1866)] 1. November 2012

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== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

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{{SORTIERUNG:Riemann, Bernhard}}
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[[Kategorie:Geboren 1826]]
[[Kategorie:Gestorben 1866]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Riemann, Bernhard
|ALTERNATIVNAMEN=Riemann, Georg Friedrich Bernhard
|KURZBESCHREIBUNG=Mathematiker
|GEBURTSDATUM=17. September 1826
|GEBURTSORT=[[Breselenz]] bei [[Dannenberg (Elbe)]]
|STERBEDATUM=20. Juli 1866
|STERBEORT=[[Selasca]] bei [[Verbania]]
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