Quelltext der Seite Bass-Guivarc‘h-Formel

In der [[Mathematik]] berechnet die '''Bass-Guivarc‘h-Formel''' die [[Wachstum von Gruppen|Wachstumsrate]] [[Nilpotente Gruppe|nilpotenter Gruppen]].

Eine [[endlich erzeugte Gruppe]] <math>G</math> ist nilpotent, wenn es eine Reihe von [[Untergruppe]]n
:<math>G=G_1\supset G_2\supset\ldots \supset G_n=\{0\}</math>
gibt, so dass 
:<math>G_k/G_{k+1}\subset Z(G/G_{k+1})</math> 
für alle <math>k</math>, wobei <math>Z</math> das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] bezeichnet. Insbesondere ist <math>G_k/G_{k+1}</math> eine endlich erzeugte [[abelsche Gruppe]] für jedes <math>k</math>.

[[Joseph A. Wolf]] bewies 1968, dass endlich erzeugte nilpotente Gruppen polynomielles Wachstum haben, d.&nbsp;h. für ein (beliebiges) [[Erzeugendensystem]] ist die Anzahl der durch Produkte von <math>n</math> Erzeugern darstellbaren Elemente durch ein [[Polynom]] in <math>n</math> beschränkt.

Der optimale Grad dieses Polynoms wurde mit unterschiedlichen Beweisen von [[Hyman Bass]] und [[Yves Guivarc‘h]] gefunden. Er ist
:<math> d(G) = \sum_{k \geq 1} k \cdot \operatorname{rank}(G_k/G_{k+1})</math>.

== Literatur ==

* J. A. Wolf: ''Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemannian manifolds.'' J. Differ. Geom. 2, 421–446 (1968).
* H. Bass: ''The degree of polynomial growth of finitely generated nilpotent groups.'' Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 25, 603–614 (1972).
* Y. Guivarc‘h: ''Croissance polynômiale et périodes des fonctions harmoniques.'' Bull. Soc. Math. Fr. 101, 333–379 (1973).

[[Kategorie:Gruppentheorie]]