Quelltext der Seite Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus

'''Areasinus hyperbolicus''' (abgekürzt <math>\operatorname{arsinh}</math> oder <math>\operatorname{asinh}</math>) und '''Areakosinus hyperbolicus''' (abgekürzt <math>\operatorname{arcosh}</math> oder <math>\operatorname{acosh}</math>) gehören zu den [[Areafunktion]]en und sind die [[Umkehrfunktion]]en von [[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus]].

== Definitionen ==
Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

'''Areasinus hyperbolicus:'''

Definition über den [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] <math> \ln </math>:

:<math>\operatorname{arsinh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)</math> mit <math> \, x \in \R</math>
Definition über ein Integral:
:<math>\operatorname{arsinh}(x) = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^2 y^2 + 1}} \,\mathrm{d}y</math> mit <math> \, x \in \R</math>

'''Areakosinus hyperbolicus:'''

: <math>\operatorname{arcosh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)</math> für <math>x \geq 1</math>

== Umrechnung ==
Zusammen mit der [[Vorzeichenfunktion|Signumfunktion]] <math>\sgn</math> gilt der Zusammenhang:
: <math>
\operatorname{arsinh}(x) = \operatorname{sgn}(x) \cdot \operatorname{arcosh}\left(\sqrt{x^2 + 1} \right)
</math>
Für <math>x \geq 1</math> gilt:
: <math>
\operatorname{arcosh}(x) = \operatorname{arsinh}\left(\sqrt{x^2 - 1} \right)
</math>

== Eigenschaften ==
{|
|[[Datei:Inverse Hyperbolic Sine.svg|mini|300px|Graph der Funktion arsinh(x)]]
|[[Datei:Inverse Hyperbolic Cosine.svg|mini|300px|Graph der Funktion arcosh(x)]]
|}
{| class="wikitable"
|-
!&nbsp;
!Areasinus hyperbolicus
!Areakosinus hyperbolicus
|-
! [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]]
| <math> - \infty < x < + \infty </math>
| <math> 1 \le x < + \infty </math>
|-
! [[Bild (Mathematik)|Wertebereich]]
| <math> - \infty < f(x) < + \infty </math>
| <math> 0 \le f(x) < + \infty </math>
|-
! [[Periodizität (Mathematik)|Periodizität]]
| keine
| keine
|-
! [[Reelle monotone Funktion|Monotonie]]
| streng monoton steigend
| streng monoton steigend
|-
! [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]
| Punktsymmetrie zum Ursprung,<br />ungerade Funktion
| keine
|-
! [[Asymptote]]
| <math>f(x)\to \pm \ln(2|x|)</math> für <math>x \to \pm \infty</math>
| <math>f(x)\to \ln(2x)</math> für <math>x \to +\infty</math>
|-
! [[Nullstelle]]n
| <math>x = 0</math>
| <math>x = 1</math>
|-
! [[Sprungstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Polstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Extremwert|Extrema]]
| keine
| keine
|-
! [[Wendepunkt]]e
| <math>x = 0</math>
| keine
|}

== Reihenentwicklungen ==
Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die [[Doppelfakultät]] und die [[Binomialkoeffizient#Verallgemeinerung|Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten]] auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

: <math>\begin{alignat}{2}
\operatorname{arsinh}(x) &= x \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!(-x^2)^k}{(2k)!! (2k+1)} = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{\binom{ -\frac{1}{2}}{k} x^{2 k+1}}{2 k+1} & {}
\\
 &= x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7} + \cdots & \text{ für }|x| < 1
\\
\operatorname{arsinh}(x) &= \operatorname{sgn}(x) \cdot \left[ \ln(2|x|) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^2)^k} \right] & \text{ für }|x| >1
\\
\operatorname{arcosh}(x) &= \ln (2x)-\sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}x^{-2k} & {}
\end{alignat}</math>

== Ableitungen ==
Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Areasinus hyperbolicus lautet:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> für beliebige reelle Zahlen <math>x</math>.

Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arcosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> für alle reellen <math>x > 1</math>.

== Stammfunktionen ==

=== Reguläre Areafunktionen arsinh und arcosh ===
Die [[Stammfunktion|Ursprungsstammfunktion]] des Areasinus hyperbolicus lautet wie folgt:
: <math>\int_{0}^{x} \operatorname{arsinh}(y)\ \mathrm{d}y = x \cdot \operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{x^2 + 1}</math>
Somit gilt:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl[x \cdot \operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{x^2 + 1}\bigr] = \operatorname{arsinh}(x)</math>
Die durch den Punkt (1|0) verlaufende Stammfunktion und des Areakosinus hyperbolicus lautet so:
: <math>\int_{1}^{x} \operatorname{arcosh}(y)\ \mathrm{d}y = x \cdot \operatorname{arcosh}(x) - \sqrt{x^2 - 1}</math>
Somit gilt:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl[x \cdot \operatorname{arcosh}(x) - \sqrt{x^2 - 1}\bigr] = \operatorname{arcosh}(x)</math>
=== Kardinalische Areafunktionen ===
Die Ursprungsstammfunktion des kardinalischen Areasinus Hyperbolicus ist [[Dilogarithmus|dilogarithmisch]] beschaffen:
: <math>\int_{0}^{x} \frac{1}{y}\operatorname{arsinh}(y) \,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\bigl[1 - \bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)^2\bigr] + \frac{1}{2}\operatorname{arsinh}(x)^2</math>
Eng verwandt sind diese Ursprungsstammfunktionen aus den Abwandlungen des Areasinus Hyperbolicus Cardinalis:
: <math>\int_{0}^{x} \frac{\operatorname{arsinh}(y)}{y\,\sqrt{y^2 + 1}} \,\mathrm{d}y = 2\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr) - \frac{1}{2}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr)</math>
: <math>\int_{0}^{x} \frac{\operatorname{arsinh}(y)}{y\,(y^2 + 1)} \,\mathrm{d}y = \operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\biggr) - \frac{1}{4}\operatorname{Li}_2\biggl(\frac{x^2}{x^2+1}\biggr) =</math>
: <math>= \operatorname{Li}_2\bigl[1 - \bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)^2\bigr]-\frac{1}{4}\operatorname{Li}_2\bigl[1 - \bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)^4\bigr]</math>

=== Kehrwerte der Areafunktionen ===
Die Integrale der Kehrwerte von Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus beinhalten die [[Integralexponentialfunktion|Integralhyperbelfunktionen]] und sind somit nicht elementar darstellbar.

Die Ursprungsstammfunktion des reziproken Kardinalischen Areasinus Hyperbolicus ist direkt die Hälfte vom [[Integralsinus]] Hyperbolicus vom Doppelten des Areasinus Hyperbolicus:
: <math>\int_{0}^{x} \frac{y}{\operatorname{arsinh}(y)} \,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\operatorname{Shi}\bigl[2\operatorname{arsinh}(x)\bigr]</math>
: <math>\int_{1}^{x} \frac{y}{\operatorname{arcosh}(y)} \,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\operatorname{Shi}\bigl[2\operatorname{arcosh}(x)\bigr]</math>
: <math>\int_{1}^{x} \frac{1}{\operatorname{arcosh}(y)} \,\mathrm{d}y = \operatorname{Shi}\bigl[\operatorname{arcosh}(x)\bigr]</math>
Das Integral aus dem [[Kehrwert]] des Areasinus Hyperbolicus ist eine Komposition aus dem [[Integralkosinus]] Hyperbolicus:
: <math>\int_{1}^{x} \frac{1}{\operatorname{arsinh}(y)} \,\mathrm{d}y = \operatorname{Chi}\bigl[\operatorname{arsinh}(x)\bigr] - \operatorname{Chi}\bigl[\operatorname{arsinh}(1)\bigr]</math>
Dabei sind die Integralhyperbelfunktionen so definiert:
: <math>\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{1} \frac {1}{y}\sinh(xy) \,\mathrm{d}y</math>
: <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_0^1\frac{1}{y}\bigl[\cosh(xy)-1\bigr] \,\mathrm{d}y</math>

=== Beispielwerte ===
Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten des Areasinus Hyperbolicus sind gültig:
: <math>
\int_{0}^{1/2} \frac{1}{x} \operatorname{arsinh}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{20}
</math>
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x\sqrt{x^2 + 1}} \,\mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{4}
</math>
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{x(x^2 + 1)} \,\mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{8}
</math>
Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten vom Kehrwert des Areasinus Hyperbolicus sind gültig:
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}\operatorname{arsinh}(x)} \,\mathrm{d}x = \frac{4 \,G}{\pi}
</math>
: <math>
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)^{2}\operatorname{arsinh}(x)} \,\mathrm{d}x = \frac{7 \,\zeta(3)}{\pi^2}
</math>
Der Buchstabe G stellt die [[Catalansche Konstante|Catalan-Konstante]] und der Ausdruck <math>\zeta(3)</math> stellt die [[Apéry-Konstante]] dar.

== Andere Identitäten ==

=== Additionstheoreme ===
: <math>\operatorname{arsinh} u \pm \operatorname{arsinh} v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)</math>

: <math>\operatorname{arcosh} u \pm \operatorname{arcosh} v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)</math>

: <math>\begin{align}\operatorname{arsinh} u + \operatorname{arcosh} v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\
                                                                       & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}</math>

=== Vervielfachungstheoreme ===
: <math>
\begin{align}
\operatorname{arcosh}(2x^2-1)=2\operatorname{arcosh}(x)      \qquad \text{ für }x\geq 1 \\
\operatorname{arcosh}(4x^3-3x)=3\operatorname{arcosh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 1 \\
\operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1)=4\operatorname{arcosh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 1 \\
\operatorname{arcosh}(16x^3-20x^3+5x)=5\operatorname{arcosh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 1 \\
\operatorname{arcosh}(2x^2+1)=2\operatorname{arsinh}(x)      \qquad \text{ für }x\geq 0 \\
\operatorname{arsinh}(4x^3+3x)=3\operatorname{arsinh}(x) \qquad \text{ für }x\in \R \\
\operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1)=4\operatorname{arsinh}(x) \qquad \text{ für }x\geq 0 \\
\operatorname{arsinh}(16x^5+20x^3+5x)=5\operatorname{arsinh}(x) \qquad \text{ für }x\in \R 
\end{align}</math><!-- are these valid for the complex arguments??-->

== Numerische Berechnung ==
Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel

<math>\operatorname{arsinh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)</math>

berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion <math>\ln x</math> zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:
* Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
* Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.

Zunächst einmal soll der Operand <math>x</math> positiv gemacht werden:

: <math>\operatorname{arsinh} x = -\operatorname{arsinh} (-x)</math> für <math>x < 0</math> angewandt.

Für <math>x \ge 0</math> können dann folgende Fälle unterschieden werden:

''Fall 1:'' <math>x</math> ist eine große, positive Zahl mit <math>x \ge {10}^\frac{k}{2}</math>:

: <math>\operatorname{arsinh} x = \ln{2} + \ln{x},</math>

: wobei <math>k</math> die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp ''double'' 16 ist.

: Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
: <math>{10}^{k}</math> ist die kleinste positive Zahl, ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist, weshalb <math>{10}^{k}+{1} \approx {10}^{k}</math> gilt. Jetzt soll dasjenige <math>x</math> berechnet werden, ab dem gilt: <math>x^2 + 1 \approx {x}^{2}</math>. Dies gilt für  <math>{x}^{2} \ge {10}^{k}</math>, woraus <math>{x} \ge {10}^\frac{k}{2}</math> folgt. Somit kann man in der bekannten Formel für den Areasinus hyperbolicus <math>x^2 + 1</math> durch <math>x^2</math> ersetzen:

:<math>\operatorname{arsinh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)</math> ≈ <math>\ln (x + \sqrt{x^2}) = \ln ({2x}) = \ln{2} + \ln{x}</math>

''Fall 2:'' <math>x</math> ist nahe an 0, z. B. für <math>x < 0{,}125</math>:

: Verwendung der Taylorreihe:
: <math>\operatorname{arsinh} x = x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7} + \dotsb</math>

''Fall 3:'' Alle übrigen <math>x</math>:

: <math>\operatorname{arsinh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)</math>

In gleicher Weise kann der Areacosinus hyperbolicus über die Formel

: <math>\operatorname{arcosh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)</math>

berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das Problem mit den großen Operanden; die Lösung ist dieselbe wie beim Areasinus:

''Fall 1:'' <math>x</math> ist eine große positive Zahl mit <math>x \ge {10}^\frac{k}{2}</math>:

: <math>\operatorname{arcosh} x = \ln{2} + \ln{x},</math>

: wobei <math>k</math> die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist.

''Fall 2:'' <math>x < 1</math>:

: Das Ergebnis ist nicht definiert.

''Fall 3:'' Alle übrigen <math>x</math>, d. h. für <math>1 \le x < {10}^\frac{k}{2}</math>:

: <math>\operatorname{arcosh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)</math>

== Siehe auch ==
* [[Trigonometrische Funktion]]en
* [[Kreis- und Hyperbelfunktionen]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld|InverseHyperbolicSine|Inverse Hyperbolic Sine}}
* {{MathWorld|InverseHyperbolicCosine|Inverse Hyperbolic Cosine}}
* Christoph Bock: [https://www.drchristophbock.de/ElAna.pdf ''Elemente der Analysis.''] (PDF; 2,2&nbsp;MB) Abschnitt 7.10.

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]